第2模块 第7讲 一元二次方程及其应用 (精讲册)-【夺冠百分百】2025年中考数学冲刺复习(河北专用)

第7讲一元二次方程及其应用 【2022课标要求】 1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程 2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等. 3.了解一元二次方程的根与系数的关系. 4.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性， 河北中考考点梳理 考点一、一元二次方程的概念 1.定义：在整式方程中，只含有① 未知数，并且未知数的最高次数是② 的方程叫 作一元二次方程。 2.一般形式：一元二次方程的一般形式是③ 3.方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的根（或解） 温馨提示：要注意三次项系数“不能等于0这一条件因为“=0时，不合三次项，就不是 元二次方程 考点二、一元二次方程的解法 直接开平方法 可解形如(x十m)2=n(n≥0)的方程，解是④ 配方法 把方程配方为(x十h)2=k的形式，再两边开平方求解 公式法 利用求根公式x=⑤ (b2-4ac≥0)求解 因式分解法 将方程化为a(x+m)(x+n)=0的形式，则x1=⑥ ,x2=⑦ 温馨提示：运用配方法解一元二次方程时，必须把二次项系数化为1再配方。 考点三、一元二次方程根的判别式 对于关于x的方程a.x+b.x十c=0(a≠0)的根的判别式b2一4ac: 1.b2一4ac>0台方程有两个⑧ 的实数根. 失分警示：应用根的判 2.b2一4ac=0台方程有两个⑨ 的实数根 别式b一4ac时注意隐 3.b2-4uc<0台方程0 实数根， 含条件（≠0. 考点四、一元二次方程的根与系数的关系☆2022年版课标新增考点 1.设x1,x:是一元二次方程a.x十bx十c=0(a≠0)的两个根，则x1十xg=① x1x2= ② 2.设x1,x2是一元二次方程x2十p.x+g=0的两个根，则x1十x2=⑧ ，x1x2= 0 温馨提示：应用根与系数的关系时，一定要注意隐藏条件，即a≠0，b”一4c≥0 23 考点五、一元二次方程的实际应用 1.增长率问题 增长率设为x,增长次数是n,增长前是a,增长后是b,则有⑤ =b. 2.销售利润问题 利润=售价一进价，利润率 利润×100%. 温馨提示：列一元二次方程 进 解决实际问题必须检验，舍 销售总利润=每件产品利润×销售数量 掉不合要求的解。 3.面积类问题 解不规则图形的面积问题时，把不规则图形转化成规则图形，找出变化前后面积之间的关 系，列一元二次方程求解， 4.循环问题 设参加游戏的人数为x,单循环问题：游戏次数一 2x(x一1D:双循环问题：游戏次数=x(x-1). 自主复习·方法提炼 1.已知关于x的一元二次方程x2一41.x十31 通用通法 +21-1=0. 解一元二次方程的方法选择： (1)当t=3时，解这个方程： (1)若给定的方程为x=n或(x十m) (2)试判断这个一元二次方程根的情况，并 n(n≥0)型时，选用直接开平方法： 说明理由； (2)若给定的方程（或者变形后）右边为 (3)如果方程的一个根是2，求t的值和方 0,左边能因式分解，选用因式分解法： 程的另一个根： (3)若给定的方程右边为0，左边不能 (4)x1,x2是这个方程的两个实数根，若n, 因式分解时，一般选用公式法： t为正整数，且x1=n.x2,求n的值： (4)对于二次项系数化为1后，一次项 (5)若3(x十x)=10x1x2,求t的值. 系数是偶数（即形如“x十2kx十m 0”)的一元二次方程，采用配方法比较 简单 易楷警示 已知一元二次方程的根的情况，求方程 二次项系数中所含字母参数的取值范 围时，除了考虑b2一4ac的符号，还要 考虑二次项系数不为0这个前提条件， 变式1：（变换条件）已知a,c互为倒数，则关 于x的方程a.x2一x十c=0(a≠0)根的情 况是 24 变式2：（逆向思维）(2023河北石家庄新华区 机械狗的实物图和尺寸大小如图5，请通过 模拟)若关于x的一元二次方程kx一3a 计算判断玩具机械狗能否完全放人该收 =0有两个不相等的实数根，则整数飞 9 纳盒 (4)已知该矩形包装盒的生产成本为4元/个， 的最小值是 市场调研发现：如果以10元/个销售，每天 A.-2 B.-1 可以售出200个.为了减少库存，厂家决定 C.0 D.1 降价销售，根据近期销售情况发现，销售单 变式3：（变换条件）(2023湖北中考)已知一 价每降低0.1元，销售量就会增加20个， 元二次方程x2一3x十k=0的两个实数根 在尽可能减少库存的情况下，该厂家将售 为x1,x2,若x1x十2x1十2x2=1,则实数 价定为多少元时，每天的销售利润为 k= 2400元？ 2.综合实践一用矩形纸板制作长方体盒子 如图1，有一块矩形纸板，长为30cm,宽为 E(H) 16cm,要将其四角各剪去一个同样大小的 FG) 正方形，折成图2所示的底面积为240cm 的无盖长方体盒子.（纸板厚度忽略不计） 图4 图1 图2 图3 8 cm 图5 (1)求将要剪去的正方形的边长 (2)如图3，小明先在原矩形纸板的两个角 各剪去一个同样大小的正方形（阴影部 分)，经过思考他发现，再剪去两个同样大 小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖 的长方体盒子 ①请你在图3的矩形纸板中画出示意图 (用阴影表示将要剪去的矩形并用虚线表 示折线)： 通用通法 ②若折成的有盖长方体盒子的表面积为 412cm,请计算剪去的正方形的边长， 审 利润问题 设 (3)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同 几何图形问题 建立一元 列 的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳 平均增长率问题 二次模型 盒，如图4所示.若EF和HG两边恰好重 甬道问题 解 传播问题 验 合且无重叠部分，盒子的底面积为60cm, 答 问可否把家里一个玩具机械狗收纳入内？ 25解得y=1, x=1, 由题意：样，只2到 则方程组的解为 ly=1. 解得x=2.8, 3.解：(1)③×3-①×2，得y=-3, 经检险，x=2.8是原方程的解 把y=-3代入①，得3x-12=3, 位光时22器-75：不是装机，不特合实际 解得x=5, ,学习委说得对， 故答案为5，一3. (2)存在.理由如下： (2)①+②，得4x十6y=5-3m, 设每本软面笔记本为m元(1≤m≤12，m是整数)，则每本 即2(2x+3y)=5一3m, 硬面笔记本为(m十a)元， 2x+3y=5-3m 2 由题意，将12.2引 mm十《 2x+3y=1, 3 :5-3m=1, 解得a=了n: 2 'a为正整数 解得m=1. ,.m=4或8或12， 12r-3y=13.① 变式：解：(1) a=3或6或9. 13x+4y=-6,② ①×3-②×2，得-17y=51,解得y=-3, =1,5,不符合题意： la-6 mn十a 把y=-3代入①，得x=2, 所以/=2. m=4, 1221 当 时 mm+a =3,符合题意1 a=3 1y=-3 m=12, 1221 (2)由题意可得r=一y,将它代入2x一3y=13,得2× 当 =1,符合题念， w=9 （一)-3y=13,解得y=-1 5 .a的值为3或9. 变式：解：(1)设该企业有x条甲类生产线，y条乙类生产线， 所以r=一y=了 13 根据题意，得 x十y=30, 设口”为a,则有号。十4×(-品）=-6：解得a- 22 3.x+2y=70, x=10. 解得 y=20. 第6讲分式方程及其应用 答：该企业有10条甲类生产线，20条乙类生产线： 【河北中考·考点梳理】 (2)设一件乙生产线生产的商品的遵价为m元，则一件甲 ①未知数②整式③最荷公分母①检验③去分母 生产线生产的商品的进价为(m十10)元， @0⑦0⑧无解⑨无解@所列分式方程 根据题意，得1600750×2. m十10m 【自主复习·方法提炼】 解得m■150， 1期：查m=3时，方程系-票2支为系名 经检险，m=150是所列方程的解，且特合题意， 一2，解得x=一6，将x=一6代入x+3=-3,则得x= ,m+10=150+10=160(元). 一6是原方程的解 答：一件甲生产线生产的商品的进价为160元，一件乙生 (2)由原方程，得 产线生产的商品的进价为150元. 2r=m.r-2x-6, 第7讲一元二次方程及其应用 ①整理，得 (4一m)x=一6， 【河北中考·考点梳理】 当4一m■0即m■4时，原方程无解： ①一个②2③a.x”+ar+c=0(a≠0)①x=±m-m ②当分母x十3=0，即x=一3时，原方程无解， 故2×(-3)=-3m-2×(-3)-6, ⑤btV-4a ⑥一m⑦一n图不相等⑨相等 2a 解得m=2. 综上所述，m=2或4， @没有①-么巴5G-p81a1+x) a 变式1：C变式2：D 【自主复习·方法提炼】 2.解：(1)设每本硬而笔记本为x元，则每本软而笔记本为 1.解：(1)当1=3时，原方程化为x一12x十32=0. (x-1.2)元， 整理，得(x一8)(x4)=0, x-8=0,戏r-4=0, .30-2b=30-20=10(cm).46-4b=46-4×10= 所以x,=8,x:=4. 6(cm). (2)方程有两个实数解 .折成的有盖的长方体收钠盒的长为10m,宽为6m,高 理由如下： 为5cm. b-4ac=(-4t)°-4(31+2t-1)=16t-12r2-8:+4 10>8.6=6,5<7, =42-81+4=4(1-1)2. ,玩具机械狗不能完全放入该收纳盆， 当1=1时，b2一4ac=0,方程有两个相等的实数解： (4)设每个售价为a元，则销售量为[200+20×10(10 当1≠1时，b2一4ac>0,方程有两个不相等的实数解； a)]个，则 缩上所述，方程有两个实数解， (a-4)[200+200(10-a)]=2400, (3)岁r=2时，将x=2代入x2一41x十32十21一1=0可 整理.得a3一15a+56=0. 得4一81+32十21一1=0.整理，得12一21十1=0，解得1 解得a1=7,a:=8, 1.将1=1代入x2-4tx+312+21-1=0,可得x2-4x+ 但是要尽可能诚少库存， 4=0,解得x1=「：=2，故知1的值为1，另一个根也为2. .a=8不符合题意，取a=7, (4)解方程，得x=31一1，或x=1十1， 答：波厂家将售价定为每个7元时，每天的销售利洞为 =n1 2400元. .3t-1=n(t+1),或(+1=n(3t-1), 当3-1=n1+1)时，n=3一十 4 第8讲一元一次不等式（组）及其应用 【河北中考·考点梳理】 n,1为正整数， ①不等②未知数③所有④集合⑤解集⑤> ∴.当1十1=2时，n=1:当1十1=4时，n=2: ⑦>⑧>⑨<⑩<①1②同一Bx>b 当1十1=m(31一1)时，n=t=1,不满足条件，合去。 ④.x<a⑤a<x<b0无解 综上所远，n的值为1或2. 【自主复习·方法提炼】 (5)对于关于x的一元二次方程x2一41x十31十21一1 1.解：(1)由题意，一5<-4. 0.由一元二次方程根与系数的关系，可得x:十x2=, ∴.(-5)☆(-4)=-5十(-4)=-9 x1x2=32+2-1.x1+xi=(x1+x:)2-2xx1= 故答案为一9 1012-4(+2,3(x+x)=10x1x2,.3(101-4t+2) (2)由题意，分两种情形， 10(3+21-10.解得2=， ①当3x一2≥2一x时，即x≥1， 变式1：无实数根变式2：D变式3：一5 (3x一2)☆(2-x)=3r-2-(2-x)=6. 2.解：(1)设剪去的正方形的边长为xcm .x=2.5>1,符合题意. 根据题意列方程为(30一2x)(16一2x)=240, 当3.x一2<2一x时，即x<1, 解得x1=20,x2=3, (3r-2)☆(2-x)=3.x-2+(2-x)=6. 当x=20时，30-2x<0,16-2x<0, ,x=3>1,不符合题意. 所以不符合题盘舍去， 踪上x=2.5. 答：剪去正方形的边长为3cm. (3)(「)由题意，分两种情形 (2)①画出的图形如图所示： ①当2n十1≥m一2时，即m≥一3， (2m+1)☆(m-2)=(2m+1)-(m-2)>2. .m>一1. 故此时m>一1. ②当2m+1<m-2时，即m<-3, ②设剪去的正方形的边长为ycm. (2m+1)☆(m一2)=(2m+1)+(m-2)>2 根据题意可列方程为30×16-2y-2×0y=412, .m>1. 故此时无解。 解得y1=-17(含)，y:=2, 棕上.m>一1. 答：剪去的正方形的边长为2cm, (川)其在数轴上表示为： (3)玩具机械狗不能完全放入孩收钠金，理由如下： 设剪去小长方形的宽为bcm(b<15),别折成的有盖的长 方4方立0十立34方 方体救纳盒的底面长为(30一2h)cm,宽为(46一4b)cm, (m)M的最小整数解为0. 根据题意，得(30-2b)(46一4b)=60。 2.解：(1)规定[a]表示不大于4的最大整数。 整理，得2b2-536+330=0, .[x]=3. 解得b1=10,b:=16.5>15(不符合题意，舍去)， M(r.y)=x+y.