第2模块 第5讲 一次方程(组)及其应用 (精讲册)-【夺冠百分百】2025年中考数学冲刺复习(河北专用)

第二模块 方程（组）与不等式（组） 食块体系相图 分式方程的解 不等式的解集 检验 代数式之间的大小关系 不的 分式方程 相等 不 性 关系 关系 式质 去分母 一元一次不等式 二元一 消元 次方程组 一元一次方程 方程 不等式 转化 降次 一元一次不等式组 一元二次方程 公 概念 解法 实际应用 集的 部分 不等式组的解集 根的判别式 根与系数的关系 第5讲 一次方程（组）及其应用 【2022课标要求】 1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程：理解方程解的意义，经历估计 方程解的过程 2.掌握等式的基本性质：能解一元一次方程. 3.掌握消元法，能解二元一次方程组. 4.·能解简单的三元一次方程组.（选学内容，不作为考试要求） 河北中考考点梳理 考点一、等式的基本性质 等式两边加（或减）同一个① ,结果仍相等. 性质1 即如果a=b,那么a士c=b士② 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为③ 的数，结果仍相等， 性质2 即如果a=b,那么ac=④ a=b(c 失分警示：当等式两边同时除以一个字母时，一定要有条件保证这个字母不为0。 考点二、一元一次方程的概念及解法 1.定义：如果方程中只含有⑥ 未知数（元），且含有未知数的式子都是⑦ ,未 16 知数的次数都是⑧，这样的方程叫作一元一次方程， 失分警示：注意在一元一次方程中一次项的系数不为0， 2.解一元一次方程的一般步骤 (1)去分母 方程两边同乘各分母的⑨ (2)去括号 根据去括号法则，括号前是负数的，去括号后括号内各项要⑩ (3)移项 把含未知数的项移到方程左边，常数项移到方程右边，注意移项要变号 (4)合并同类项 把方程化成① 的形式 (5)系数化为1 方程两边同除以未知数的② 失分警示：去分母时不要福乘某一项，尤其是常数项 考点三、二元一次方程（组】 1.二元一次方程：含有⑧ 个未知数，且未知数的次数都是 2.二元一次方程组：方程中有两个未知数，含有未知数 的项的次数都是1，并且一共有⑤ 个方程. 温馨提示：二元一次方程组中的每个 3.二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程 方程不一定都是二元一次方程，也可 的⑥ 以是一元一次方程， 4.二元一次方程组的基本解法 (1)基本思路是“⑦ ”,变“二元”为“一元” (2)两种基本解法：⑧ 消元法和四 消元法. 5.三元一次方程组的解法 温馨提示：当方程组中相同未 通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“圆 ”,使 知数的系数相同或互为相反数 解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化时，直接用加减消元法较为 为解一元一次方程。 简单 考点四、一次方程（组）的实际应用 1.列方程解应用题的步骤 一审，二设，三列，四解，五验，六答. 2.常见等量关系 航行问题 顺水速度=船速十水速逆水速度=船速一水速 工作量问题 工作量一工作效率×工作时间 利润问题 单件利润=售价一进价利润率利 成本 ×100% 总场数=胜场数十负场数十平场数 比赛积分问题 总积分=胜场积分十负场积分十平场积分 鸡的头数十兔的头数=总头数 鸡免同笼问题 鸡脚的总数十兔脚的总数=脚数和 17 自主复习，方法提炼 1,解方程x 0.1.x-22+3.x 2.(2024河北保定易县期中)解方程组. 0.3 0.6 3x+2y=14, (1)(用代入法解) x=y+3: 4x+3y=5, (2)(用加减法解) 2x-y=-5. …易精警示 解一元一次方程时的注意事项： (1)去分母时，一是注意不要漏乘不含 分母的项：二是当分子是一个多项式 通用通法 当两个方程中同一个未知数的系数为 时，要注意加括号： 1或一1，或者某个方程的常数项为0 (2)去括号时，要注意括号前的系数与 时，一般采用代入消元法：当两个方程 符号： 中的同一个未知数的系数相同或互为 (3)移项时要变号， 相反数，或者存在整数倍数关系时， x-3x+2=3. 变式：（改变条件）解方程：0.2一 般采用加减消元法， 0.5 变式：（改变条件）(2024河北邯郸武安二模) x+3y=4①， 解方程组 下面是两名同学 2x-y=1②， 的解答过程： 甲同学： 解：把方程2.x一y=1变形为y=2x一1， 再将y=2.x一1代入方程①得x+3(2x 1)=4,… 乙同学： 解：将方程2x一y=1的两边同乘3得6x -3y=3③，再将①+③，得到(x+3y)+ (6x-3y)=4十3，… 18 (1)甲同学运用的方法是 ,乙同学 通用通法 运用的方法是 :(填序号)》 解答此类问题，一殷是将已知的方程的 ①代入消元法：②加减消元法。 解代入原方程（组），把原方程（组）转化 (2)请选择一种解法，写出完整的解答 为一个关于方程（组）中字母系数的新 过程. 方程（组），再解这个新方程（组）即可解 决问题。 变式：（改变条件）嘉淇准备完成题目：解二元 2x-3y=13, 一次方程组 发现系数 ☐x+4y=-6, “口”印刷不清楚， (1)他把“☐”猜成3，请你解二元一次方程 2x-3y=13, 组 3x+4y=-6: 3.数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出 (2)妈妈说：“你猜错了，我看到该题的标准 示的一道二元一次方程组的问题： 答案中x与y是一对相反数.”通过计算说 已知关于x,y的二元一次方程组 明原题中“☐”是几？ 3x+4y=3,① 的解满足2x十3y=1③， x+2y=2-3n② 求m的值. 将①③联立 哈哈！直接①+ 可得一个新 ②可以更简便 的不含m的 地求出m的值. 小云 二元一次方 小辉 程组 (1)按照小云的方法，x的值为 y的值为 (2)请按照小辉的思路求出m的值. 19y=4-25”=4-(5)"=4-(5")2=4-(x+3)2. ⑧两91两⑩公共解D消元B代人0加减 整理.得y=一x一6x一5， @二元 .用含r的代数式表示y为y=-x2-6x-5. 【自主复习·方法提炼】 (4)(a"·b·b)'=a"·bw+=a"b, ,.3n=9,3m十3=15， 1.解：方程可化为x-二20_10+15x 3 3 ,.m=3.m=4. 去分母，得3x-(x-20)=10十15x (5):4X16X64”=4X4X4=4+n+=41+m=4, 去括号，得3x-x+20=10十15r. .1十5m=21,.m=4, 移项，得3.x一x一15x=10-20, .(一)3÷(m3·m)=一m÷m5=一m=一4， 合并同类项，得一13x=一10， 第4讲分式 系数化为1，得工= 10 【河北中考·考点梳理】 变式：解：方程可化为10（一3》_10x+2=3, 2 5 ①整式②字母③B≠0④B=0⑤A=0⑤B≠0 即5(x一3)-2(x+2)=3, ⑦不为0⑧公因式⑨同分母0公因式①最高次幂 去括号，得5x一15-2r-4=3, 移项，得5x一2x=3十15十4， b 合并同类项，得3x=22, 【自主复习·方法提炼】 1解：)写出的分式有兰学，多案不京一 系致化为1，得-号 (2)对于分式+3. 3x+2y=14,① 状-2当r≠2时，诚分式有意义：当x■一2 2.解：(1) lx=y+3.@ 时，该分式的值为0， 把②代入①，得3(y十3)十2y=14 2·当+2>0 (3)对于分式+2. 1x十2<0， 解得y=1. 学 时，解得 x-2>0 x-20 把y=1代入②，得x=1十3=4， x>2或r<-2: 中当>2浅心-2时，分式号的维为三载 六原方程组的解为=· ly=1. 4x+3y=5.① 变式1：D变式2：A (2) 2r-y=-5.@ 2.解：原式-二，+20-2+2 由②×3+①，得10r=-10, r-2 (r-1)2 解得r=一1， 根题意，x≠1且x≠士2， 把x=一1代入②，得2×(-1)-y=-5, 当x=0时，原式=一2. 解得y=3, 变式：解：(1)由题意，得A=+1,￡ x2-1 中+2+ ·原方程组的解为下一1， +=点+- 1y=3. (x-1)2 x一1 变式：解：(1)甲网学运用的方法是①，乙同学运用的方法 =2x十1 是②. x-1 故答案为①，② ②专A=5时告-5 (2)选择①： 把方程2x一y=1变形为y=2r-1, 去分母.得2x十1=5(x一1)， 再将y=2x一1代入方程①，得x十3(2x一1)=4， 解这个整式方程，得x=2, 解得x=1, 经检验，x=2是原分式方程的解， 把r=1代入y=2r一1，得y=2-I=1, 故当A=5时，x=2. 第二模块方程（组）与不等式（组） 则方程组的解为口=1… y=I. 选择②： 将方程2x一y=1的两边同乘3得6.x一3y=3③ 第5讲一次方程（组）及其应用 再将①十③，得到(x十3y)+(6x一3y)=4十3， 【河北中考·考点梳理】 整理，得7x=7。 ①数（或式子）②③0④e:⑤≠0团一个⑦整式 解得x=1, ⑧1④最小公倍数⑩变号①4x=b(a≠0)⑧系数 把x=1代入①，得1十3y=4, 解得y=1, x=1, 由题意：样，只2到 则方程组的解为 ly=1. 解得x=2.8, 3.解：(1)③×3-①×2，得y=-3, 经检险，x=2.8是原方程的解 把y=-3代入①，得3x-12=3, 位光时22器-75：不是装机，不特合实际 解得x=5, ,学习委说得对， 故答案为5，一3. (2)存在.理由如下： (2)①+②，得4x十6y=5-3m, 设每本软面笔记本为m元(1≤m≤12，m是整数)，则每本 即2(2x+3y)=5一3m, 硬面笔记本为(m十a)元， 2x+3y=5-3m 2 由题意，将12.2引 mm十《 2x+3y=1, 3 :5-3m=1, 解得a=了n: 2 'a为正整数 解得m=1. ,.m=4或8或12， 12r-3y=13.① 变式：解：(1) a=3或6或9. 13x+4y=-6,② ①×3-②×2，得-17y=51,解得y=-3, =1,5,不符合题意： la-6 mn十a 把y=-3代入①，得x=2, 所以/=2. m=4, 1221 当 时 mm+a =3,符合题意1 a=3 1y=-3 m=12, 1221 (2)由题意可得r=一y,将它代入2x一3y=13,得2× 当 =1,符合题念， w=9 （一)-3y=13,解得y=-1 5 .a的值为3或9. 变式：解：(1)设该企业有x条甲类生产线，y条乙类生产线， 所以r=一y=了 13 根据题意，得 x十y=30, 设口”为a,则有号。十4×(-品）=-6：解得a- 22 3.x+2y=70, x=10. 解得 y=20. 第6讲分式方程及其应用 答：该企业有10条甲类生产线，20条乙类生产线： 【河北中考·考点梳理】 (2)设一件乙生产线生产的商品的遵价为m元，则一件甲 ①未知数②整式③最荷公分母①检验③去分母 生产线生产的商品的进价为(m十10)元， @0⑦0⑧无解⑨无解@所列分式方程 根据题意，得1600750×2. m十10m 【自主复习·方法提炼】 解得m■150， 1期：查m=3时，方程系-票2支为系名 经检险，m=150是所列方程的解，且特合题意， 一2，解得x=一6，将x=一6代入x+3=-3,则得x= ,m+10=150+10=160(元). 一6是原方程的解 答：一件甲生产线生产的商品的进价为160元，一件乙生 (2)由原方程，得 产线生产的商品的进价为150元. 2r=m.r-2x-6, 第7讲一元二次方程及其应用 ①整理，得 (4一m)x=一6， 【河北中考·考点梳理】 当4一m■0即m■4时，原方程无解： ①一个②2③a.x”+ar+c=0(a≠0)①x=±m-m ②当分母x十3=0，即x=一3时，原方程无解， 故2×(-3)=-3m-2×(-3)-6, ⑤btV-4a ⑥一m⑦一n图不相等⑨相等 2a 解得m=2. 综上所述，m=2或4， @没有①-么巴5G-p81a1+x) a 变式1：C变式2：D 【自主复习·方法提炼】 2.解：(1)设每本硬而笔记本为x元，则每本软而笔记本为 1.解：(1)当1=3时，原方程化为x一12x十32=0. (x-1.2)元， 整理，得(x一8)(x4)=0,