第1模块 第2讲 二次根式 (精讲册)-【夺冠百分百】2025年中考数学冲刺复习(河北专用)

第2讲 二次根式 【2022课标要求】 1.了解二次根式、最简二次根式的概念. 2.了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算. 河北中考，考点梳理 考点一、二次根式的有关概念 1.二次根式的定义：形如① 的式子叫二次根式 2.最简二次根式满足的条件 (1)被开方数不含② 温馨提示：二次根式具有双重非 (2)被开方数中不含③ 的因数或因式 负性，即a≥0且4≥0 3.同类二次根式：几个二次根式化成④ 二次根式 后，如果被开方数⑤ ,那么这几个二次根式就叫 同类二次根式。 考点二、二次根式的性质 (a)2=⑥ (a≥0) 基本性质 √a=lal= a(a≥0) -a(a<0) 积的算术平方根 ab=a·wb(a≥0，b≥0) 商的算术平方根 a ja bb =(a≥0，b>0) 失分警示：化简V不要忽略a<0的情况，误认为Va=4. 考点三、二次根式的运算☆重点 二次根式的加减 先将各根式化为⑦ 二次根式，再合并被开方数相同的二次根式 二次根式的乘法 √a·√b=⑧ (a≥0，b≥0) 二次根式的除法 Ja =⑨ (a≥0，b>0) 6 二次根式的混合运算 先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的 温馨提示：(1)实数运算中的运算律（交换律、结合律、分配律）在二次根式的运算中仍然适 用：(2)进行二次根式的运算时·结果一定要化为最简二次根式或整式， 7 考点四、分母有理化 1.1a a(a>0 aa·aa 1 a+√b 2. a+√ -(a≥0，b≥>0，且a≠b). a-√i(a-√b)(a+√b)a-b 考点五、二次根式的估算 1.一般先对根式进行平方，如（√7）=7. 2.找出平方后所得数相邻的两个完全平方数，如4<7<9. 3.对以上两个整数开方，如√4=2，⑨=3. 4.这个根式的值在这两个相邻整数之间，如2<√7<3. 自主复习方法提炼 1.先阅读，后回答问题：x为何值时， (4)已知实数a,b满足a= √x(x-3)有意义？ √6-9+√9-b+ ,求a-2b1-√12ab 解：要使该二次根式有意义，需x(x一3)>≥0， b-3 x≥0， x0, 的值. 由乘法法则，得 或 x-3≥0x-3≤0， 解得x≥3或x≤0. .当x≥3或x≤0时，√/x(x一3)有意义. (1)体会解题思想后，请你解答：x为何值 x-1 时十6有意义？ 拓展延伸： (2)若x,y为实数，且x2=√y-5+ 通用通法 二次根式的被开方数必须是非负数，若 √5一y+9,求x+y的值： 代数式中含有多个二次根式，则每一个 二次根式的被开方数都要满足这一条 件：若是分式与二次根式结合的形式， 不但要保证二次根式的被开方数是非 (3)若实数a满足|99一a|十√a一100= 负数还要满足分式的分母不等于0：若 a,求a+99的值； 式子中含有零指数解或负整数指数暴， 还要保证零指数幂或负整数指数幂的 底数不等于0 2.阅读下列材料回答问题. (6)如果x十y=m,xy=n且x>y>0,化 形如m士2√n的化简，只要我们找到两个 简√m-2√n. 数a,b,使a+b=m,ab=n,则（√a)2+ (b)2=m,√a·b=√n,那么便有 √m±2m=v√（√a±b)”=a±√b(a> b).如W3+2√2,3=1十2,2=1×2，∴.3 +22=(2+1),∴.W3+22=2+1. (1)若a十b√5=(10-√2)2，当a,b均为 整数时，则a= ,b= (2)填空：√6+25= ;W11+210 (3)若va+215=√m+√n,且a,m,n 均为正整数，则a= 3-5 (4)计算2 (5)当1≤a≤2时，化简：Wa+2√a-1 +va-2a-I; 通用通法 二次根式的化简规律：√a的化简与a的 化简相同，要先判断a的取值范围.当：≥ 0时wa=u:当a<0时wW云=一4. 易精警示 二次根式的运算结果必须是最简二次 根式或不含二次根式，且分母中不含二 次根式2025中考冲刺·数学参考答案（配赠） (夹页部分)精讲册 第2讲二次根式 【河北中考·考点梳理】 第一模块数与式 ①a(a≥0)②分母③能开得尽方④最简⑤相同 第1讲实数 ©a⑩最简⑧Va压@√只 【自主复习·方法提炼】 【河北中考·考点梳理】 ①有②无③不④原点⑤正方向单位长度 1解：溪使镇二次版式有意文，离>0， ⑦一一⑧大于⑨符号①0①：②0B-4≥ 由乘法法则，得 x-1≥0，￥x-1≤0， 或 ⑥1⑩1@士1⑧001④10④原数的整数位数或 3x+6>03x+6<0, 1②非零数⑧右④左⑤四舍五人函0@0,1 解得x≥1或x<一2， @0,±1④士4④4@4②右国左@小加 /r-1 六当≥引或1<-2时√3r+6有意义 @0@大@大@小@正国负@0⊙1B日 (2)x2=√y-5+5-y+9, 由二次根式有意义，可知y一5≥0且5一y≥0： ①1@5 .y≥5且y≤5， 【自主复习·方法提炼】 y-5, 1.A变式：6 x2=9, x=士3. 2.解：(1)正数集合：5.5，+2.4,25%45十203，…： 当x=3时，x十y=3十5=8： 负分合子-5…： 3 当x=-3时，x+y=-3+5=2. (3),|99-a|+√a-100=d, 整数集合：{0.一1，一5，十203，…1： .a-100≥0， 3 负数集合：{-后，-1，-3.5，-5… ∴a≥100， .方程199一a|+√a-100=a可化为a-99+a一100 (2)如国所示 =d, 33 .a-100=99. -3.5 55 3.5 4-3-2-012345 .a-100=992. 解得a=9901, (3)这些数的大小关系为-5<-3.5<-1<-3 .a+99=9901+99=10000. 5 <0 1 25%<+2.4<45<5.5<+203. （4要伏a=个9十月=衣+有意义，必须6：-9≥ b-3 0且9-b2≥0且b-3≠0. 0-号+5.5+0+(-10+24+(-85)+25%+4号 解得b=一3， +(-5)+203 ∴a=0+0+6 =-1. -3-3 -(-号+4号+24)+6.5-1-5-5+203)+25% 则{a-2h1-/12ab =6+199+25% =|-1-2X×(-3)-√/12×(-1)×(-3) =205 =1-1+61-√36 =5-6 3.解：(1)由非负数的性质，可得a=3,b=4,c=5. =-1. (2)a2+b=3+4-25,√25-5. 2.解：(1)（√10-√2） (3)图为a=3,0=4,c=5,且a2+62=3+42=25=c2.故 =(10)+(w2)-2×√10×√2 知以4，b,e为边的三角形为直角三角形 =10+2-2√20 =12-2√20 3a*b"码指数⑤na十mb十mc0am十an十m+bm =12-45, @a”-2⑧u2士2ab十⑧同底数幂@相加@整式 的积@m(a+b+c)@(a+b)(a一b)④(a士b) ,a+b√5=（√10-√2），a,b均为整数， ⑥提取公因式④公式 ∴.a=12.b=-4. 【自主复习·方法提炼】 故答案为12，一4. (2):1×5-5,1+5-6, 1解：宁y的系数是号次数是5 ∴.6+25=(wT+5), 1 ∴.√6+25=√(wI+5)=1+5. 故答案为25， 1×10=10.1+10=11. (单项大宁，气 ∴.11+210=(W厅+√0)， 多项式：x-2.x'y+1,-ab+5ah2-a,4x2+2.ry,2xy ∴.√11+2√10=√(Wī+√10)=1+o, -4y3+5x-1. 故答案为1+√5.1+10 (3)多项式2xy-4y+5x2-1各项依次为2.xy (3)(m+√n)2=(m)2+2m·i+(m)2=m十 -4y,5x,-1 (4)该多项式的次数是4，三次项的系数是一4，常数项是 2mn+n=(m十n)十2√mn -1, √a十2√5=√m十Vm且4，m,n均为正整数， 故答案为4，一4，一1， .(m十n)十2mn=a+215, (5)由题意，可知x十1=0，y一2=0， .m+n=g.mn=15, 解得x=-1,y=2, 当m=3,n=5或m=5,n=3时，a=m十n=8: 把x■-1y=2代入2x'y-4y3+5x-1,得 当m=1,n=15或m=15,n=1时，a=m十#=16. 2x3y-4y3+5.x-1 故答案为8或16. =2×(-1)2×2-4×2+5×(-1)°-1 (4)1×5=5,1+5=6, =2×(-1)×2-4×8+5×1-1 ∴6-25=(w5-T), =-4-32+5-1 ∴√6-25=√(W5-1)=5-1. =-32. (6)关于xy的多项式xy一y十xy一3的次数与 :2 6-25 5-D正-5-1 2 多项式2xy-4y2+5x2-1的次数相同，故知关于x,y (5)a+2√a-I=(a-T)+2√a-T+1=(a-T 的多项式x“y2一xy十xy一3的次数为4， ∴.a十2=4，则a=2. +1), 多项式x“y2一xy2十x”y一3的常数项为b, a-2wa-I=(a-I)2-2√a-I+1=(a-1-1). h=-3. 又1≤a≤2，则0≤√a-可≤1.得-1≤√a-T-1≤0， 关于xy,x的单项式一2xy的次数是c,系数为d, ∴.Wa+2a-ī+va-2√a-i .c=3+1+1=5,d=-2. =V(√a-T+1)+√/（√a-I-1)月 .b(a-c)+d =-3×(2-5)+(-2) =√a-I+1-a-I+1 m7. =2. 变式：0或8 (6)x十y=m·xy=n且x>y>0: 2.解：(1)8=(2)=2 .√m-2√m 由题意，得6x=3x十3， =√r-2√y+y 解得x=1, =√(Wx)”-2√·+（√） x的值是1 (2),3×9×27 =√(E-y) ■3×3×3 =√F- =3 第3讲整式及因式分解 =3", 可得6x=12, 【河北中考·考点梳理】 解得x=2,.x的值是2. ①数②字母③数字①所有⑤最高的项⑥相同 (3),x=5”-3, ⑦指数⑧不改变⑨改变四a+”①a·吧a= .5"=x+3,