第1模块 第1讲 实数 (精讲册)-【夺冠百分百】2025年中考数学冲刺复习(河北专用)

第一模块 数与式 很块体家相国 按定义分 有理数、无理数 分类 按性质分 负实数、0、正实数 实数 相关概念 数轴、相反数、 绝对值、倒数 加法运算 减法运算 运算 乘法运算 除法运算 开平方 平方根、算术平方根 乘方运算 开方运算 应用 开立立方根 科学记数法 概念幻单项式、多项式 合并同类项 整式 加减运算 去括号 幂的运算 运算 提公因式法 乘法运算 乘法公式因式分解 公式法 除法运算 概念 代数式 分式 性质 应用 约分、通分 运算 加减乘除 二次根式 概念（双重非负性）、运算 第1讲 实数 【2022课标要求】 1.有理数 (1)理解负数的意义；理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小： (2)借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数和绝对值的方法， (3)理解乘方的意义。 (4)掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）：理解有理数的运算 律，能运用运算律简化运算 (5)能运用有理数的运算解决简单问题. 2.实数 (1)了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上的点一一对应. (2)能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小. (3)能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值. (4)了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根. 一1 (5)了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算 求千以内完全立方数（及对应的负整数）的立方根，会用计算器计算平方根和立方根. (6)能用有理数估计一个无理数的大致范围， (7)了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近 似计算 (8)会用科学记数法表示数. 河北中考 考点梳理 考点一、实数的分类及正负数的意义 1.实数的分类 (1)按实数的定义分类 (2)按实数的性质分类 整数总可以写成① 限 正有理数 温馨提示：非负数是指 正实数 有理数 小数或② 限循环 正无理数正数和0，自然数是指0 实数 分数小数的形式 实数零 和正整数」 无理数：无限③ 循环小数 负有理数 负实数 负无理数 2.正负数的意义：一般地，对于相反意义的量，若规定其中一个量为正，并在表示这个量的前面 加上符号“十”，则把与它意义相反的量规定为负，并在表示这个量的前面加上符号“一”.如 规定向东为“十”，则向西为“一” 考点二、实数的有关概念和性质☆重点 1.数轴：规定了④ 、⑤ 和⑥ 的直线。 (1)三要素：原点、正方向和单位长度， 失分警示：(1)求数轴上两，点间的距 (2)实数与数轴上的点⑦ 对应 离，且有动点时，要分情况讨论 (3)数轴上右边点表示的数⑧ 左边点表示(2)到数轴上某一点距离相等的点 的数. 有两个·分别位于该，点两侧 (4)数轴上两点间的距离：AB=a一b. 原点正方向 A B -3a-2-10b12本 单位长度 2.相反数：只有⑨ 不同的两个数，互为相反数. 性质：(1)一般地，a和一a互为相反数，特别地，0的相反数是0. (2)若a,b互为相反数，则a十b=0 a=-1(b≠0). 3.绝对值：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值. ① (a>0), 温馨提示：绝对值等于其本 性质：(1)a=@ (a=0), 身的数是非负数：绝对值等 ⑧ (a<0). 于其相反数的数是非正数， (2)绝对值具有非负性，即a|④ 0. (3)相反数与绝对值的关系：①互为相反数的两个数的绝对值相同：②若||= 1b|,则a=b或a=-b. a0方 4.倒数：乘积是⑤的两个数互为倒数」 (1)性质：若a,b互为倒数，则ab=G (2)特殊情况：倒数是其本身的数是⑦ ,8 没有倒数。 5.科学记数法：把一个数表示成a×10的形式（其中a大于或等于⑧ ,且a小于④ n为整数). (1)n的确定（设原数为x):当|x|≥10时，n等于④ :当0<|x<1 时，n为负整数，|n|等于原数左起第一个② 前所有零的个数（包含小数点前的零）. (2)科学记数法的还原：当n>0时，a的小数点向3 移动n位：当n<0时，a的小数点向 ④ 移动n位，不够的数位用0补齐 温馨提示：对于含有计数单位或计量单位的数用科学记数法表示时，应先把计数单位或计量 单位转化为数字，然后用科学记数法表示，总而言之，用科学记数法表示实际问题中的数字 时要注意单位」 6.近似数：接近实际的数或在计算中按要求所取的与某个准确数接近的数，常采用⑤ 法得到一个数的近似数.一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到哪一位 7.平方根、算术平方根，立方根 平方根 算术平方根 立方根 实数a(a≥0)的算术 实数(a≥0)的平方根为 定义 平方根为a,0的算 实数a的立方根为a ±√a 术平方根为0 被开方数 大于或等于0 任意实数 正数的平方根有两个，且互 只有一个，符号与被开方 个数 为相反数：负数没有平方根： 只有一个（非负数） 数相同 0的平方根是0 平方根等于本身的数是 算术平方根等于其本 立方根等于其本身的数是 特殊情况 四 身的数是@ 四 16的算术平方根为 举例 16的平方根为四 64的立方根为@ 温馨提示：正数a的平方根是士√a,算术平方根是a. 8.非负数：在实数范围内，正数和0统称为非负数，常见的非负数有： (1)任意实数a的绝对值是非负数，即a|>0: (2)任意实数a的偶次方是非负数，即a2"≥0，n为正整数： (3)任意非负数a的算术平方根是非负数，即，√a≥0(a≥0). 考点三、实数的大小比较 1.数轴比较法：数轴上两个点表示的数，②边的数总比图边的数大. 2.性质比较法：(1)正数>0>负数：(2)两个负数比较大小，绝对值大的反而④ 3.差值比较法：设a,b是任意两个实数，则a一b>0时，得a>b;a一b<0时，得a<b:a一b=0 时，得a=b. 4.平方比较法：a2>b2台a>b(a>0,b>0)(主要应用于无理数估值及含无理数的数的大小 比较). 5.立方比较法：a3>b3台a>b. 6.作商法：若a>0.b>0,则①分>1台a>b:②号=1=a=b:③号<15a<b 温馨提示：(1)若一组教据中有正数、0和负数，判断最大的数直接在正数中比较，判断最小 的数直接在负数中比较：(2)实数比较大小时，若涉及运算，则先计算再比较 考点四、实数的运算☆重点 1.运算法则 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相⑤ 异号两数相加，绝对值相等时和为 :绝对值不相等时，取绝对值较 加法法则 ⑦ 加数的符号，并用较⑧■ 的绝对值减去较@ 的绝对值 一个数同0相加，仍得这个数 减法法则 减去一个数，等于加这个数的相反数：a一b=a十（一b) 两数相乘（除），同号得④⑩，异号得①，并把绝对值相乘（除）：任何数 乘除法则 与0相乘，都得@：0除以任何一个不等于0的数，都得0 温馨提示：几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为 负：当负因数有偶数个时，积为正 2.实数的运算律 (1)加法交换律：a+b=b十a. (2)加法结合律：(a十b)十c=a十(b十c). 失分警示：(b一c)÷a=b÷a一c÷a(a≠ (3)乘法交换律：ab=ba. 0)的本质是乘法对加法的分配律，是正确 (4)乘法结合律：(ab)c=a(bc). 的：a÷(b一c)不能用分配律。 (5)分配律：a(b+c)=ab十ac. 3.常见实数运算 a·a·…·a=a”表示n个a相乘（注意a十a十…十a=na表示n个a相 乘方 个 加) (1)a°=8 (a≠0)：a1=④ (a≠0)；a"= (a≠0，n为 1 幂的运算 正整数)： (2)一1的奇次方为一1，一1的偶次方为1. 即（一1）2+1=级 :(1)"=⑥ sin30°=cos60°=@ ,sin45°=cos45°=48 ,sin60°= 特殊角的三 c0330°=④9 ,tan30°=@ ,tan45°-① 角函数值 tan60°=® 4.实数的运算顺序 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的. 5.简便运算 (1)凑整法：利用交换律、结合律和分配律把算式中的所有小数或分数凑成整数. 凑整 8××0.25×号=8x0.125×(侍×程)=3 凑整 99×5-99×号=99×(3-)=99 凑整 (2)凑十、凑百法：应用平方差公式或完全平方公式把个位不为0的整数凑成整十、整百、整 千数等 凑整 凑整 1007×993=1000+71000-7)=999951 101-100+1)=100+2×100×1+1=10201 凑整 自主复习，方法提炼 1.(2023浙江中考)下面四个数中，比1小的 (3)用符号“<”将这些数的大小关系表示 正无理数是 ……………………0 出来； B、③ (4)计算这些数的和. 3 D 变式：（变换设问方式）(2023河北石家庄二 十八中三模)有六个数：0.1427，(-0.5)3， 22 ,3.1416,-2x,0.1020020002…(每相 邻两个2之间依次多一个0)，若无理数的 个数为x,整数的个数为y,非负数的个数 为x,则x十y十x …通用通法 常见无理数的几种类型： (1)根号型：如5,9等开方开不尽的数： (2)三角函数型：如sin45°，tan30°等 (注意tan45°不是无理数)： (3)构造型：如0.1010010001…（每相 3.已知a,b,c满足(a-3)2+√b-4+|c一 邻两个1之间依次多一个0)： 51=0. (4)含元型：如π十2等」 (1)求a,b,c的值： (2)求a十b2的算术平方根： 3 2.给定有理数-55.50，-1，+2.4，-3.5， (3)试判定以a,b,c为边的三角形的形状， 并说明理由 25%,45.-5,+203 (1)把各数填入下列相应的集合内： 正数集合：{ …}: 负分数集合：{ …}； 整数集合：{ …}: 负数集合：{ …} (2)把下面的数轴画完整，并把上面负分数 集合里的数和它们的相反数标在数轴上；2025中考冲刺·数学参考答案（配赠） (夹页部分)精讲册 第2讲二次根式 【河北中考·考点梳理】 第一模块数与式 ①a(a≥0)②分母③能开得尽方④最简⑤相同 第1讲实数 ⑧00最简图va5@号 【自主复习·方法提炼】 【河北中考·考点梳理】 ①有②无③不④原点⑤正方向的单位长度 1上解：溪使镇二次服式有意文，高≥0， ⑦一一⑧大于⑨符号①0①：②0B-4≥ 由乘法法则，得 -1≥0x-10 ⑥1⑩1⑦土1B001④10@原数的整数位数诚 13x+6>0(3x+6<0, 1②非零数⑧右④左⑤四舍五人函0@0,1 解得x≥1或x<一2， @0,±1④士4圆4@4②右国左@小西加 /r-1 六当≥引或r<-2时√3r十6有意义 @0@大@大国小四正④负@0⑧18 a (2)x2=√y-5+5-y+9, 由二次根武有意义，可知y一5≥0且5一y≥0. ①1®5 .y≥5且y≤5， 【自主复习·方法提炼】 ∴y-5, 1.A变式：6 x2=9, x=士3. 2.解：1)正数集合：5.5，+2.4,25%.45十203.…： 当x=3时，x十y=3+5=8: 负分合--5… 3 当x=-3时，x+y=-3+5=2. (3),|99-a|+√/a-100=d, 整数集合：{0.一1，一5，十203，…1： .a-100≥0， 3 负数集合：{-后-1，-3.5，-5… ∴a≥100， .方程199-a|+√a-100=a可化为a-99+√a一100 (2)如国所示 =d, 33 .a-100=99, 35 55 3.5 43-2-012345 a-100=992. 解得a=9901, (3)这些数的大小关系为-5<-3.5<-1<-3 <0< .a+99=9901+99=10000. 5 25%<+2.4<4 <5,5<+203. 1 （4要伏a=个9十=不+有意义，必须6-9≥ b-3 0且9-b2≥0且b-3≠0. 0-号+5.5+0+(-10+24+(-85)+25%+4号 解得b=一3， +(-5)+203 a=0+0+6 =-1. -3-3 -(-号+4吉+24)+6.5-1-5-5+203)+25% 则{a-2h1-√/12ab =6+199+25% =|-1-2X(-3)|-√/12×(-1)×(-3) =205 =|-1+61-36 =5-6 3.解：(1)由非负数的性质，可得a=3,h=4,c=5. =-1. (2)a2+b=32+4-25,√25=5. 2.解：(1)（√10-√②） (3)图为a=3,0=4,c=5,且a2+62=3+4=25=c2.故 =(10)+(w2)-2×√10×√2 知以4，b,c为边的三角形为直角三角形 =10+2-2√20