3.2 不等式的基本性质（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（湘教版2024）

3.2 不等式的基本性质 题型一 不等式的基本性质 1．用不等式的性质说明下图中的事实，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．如果，那么下列不等式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 3．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 4．已知，下列结论：；；若，则；若，则，其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 5．请根据不等式的基本性质填空： 问题：若，，，试判断x的取值范围． 解答：∵，∴（理由：不等式的基本性质1） ∴（理由：__________） ∵，∴（理由：___________） ∴________（理由：_________） ∵，∴______（理由：_________） 6．若，且，求实数a的取值范围． 题型二 运用不等式的基本性质将不等式转化为，或的形式 7．将下列不等式化为“”或“”的形式． (1)； (2)； (3)． 8．根据不等式的基本性质，请将下列不等式化为“”或“”的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三 运用不等式的基本性质比较实数的大小 9．利用不等式的基本性质，你能比较与的大小吗？说说你的理由． 10．比较和的大小． 11．请解决以下两个问题： (1)利用不等式的性质1比较与的大小； (2)利用不等式的性质2比较与的大小． 题型四 移项 12．解不等式，下列选项中移项正确的是（   ） A． B． C． D． 13．将下列不等式化成“”或“”的形式． (1)； (2)． 题型五 不等式基本性质的错题复原 14．阅读下面解题过程，再回答问题． 已知，试比较与的大小． 解：∵，① ∴，② ∴．③ (1)上述解题过程中，从第________步开始出现错误； (2)错误的原因是什么？ (3)请写出正确的解题过程． 15．下面是小明同学将不等式转化为，或的形式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： ，第二步 ，第三步 ，第四步 ．第五步 (1)以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的； (2)第 步开始出现错误，这一步错误的具体原因是 ； (3)请直接写出正确答案为 ． 16．下面是小颖同学将不等式转化为或的形式的解答过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母得，第步 去括号得，第步 移项得，第步 合并同类项得，第步 两边都除以，得第步 任务一：填空： （）以上运算步骤中，第步去括号依据的运算律是 　　； （）第步移项的依据是 　　； （）第 　　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　　； 任务二：请写出正确的解答过程． 17．下列命题中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 18．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 19．设、为实数，则下列说法正确的是（   ） A．，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 20．解决下面问题： (1)已知，比较与的大小．（选择适当的不等号填空） 解：，且（已知） _______（不等式的基本性质3） _______（不等式的基本性质2） (2)若，比较与的大小，并说明理由． 21．实数在数轴上的位置如图所示，则中最大的是（    ） A． B． C． D． 22．比较下列各组数的大小． (1)与； (2)与； (3)与． 23．已知均为正数，，，试说明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2 不等式的基本性质 题型一 不等式的基本性质 1．用不等式的性质说明下图中的事实，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据图形及不等式的性质求解即可． 【详解】解：用不等式的性质说明下图中的事实，正确的是若，则， 故选：A． 2．如果，那么下列不等式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了不等式的性质，根据不等式的性质分别进行判断，即可求出答案． 【详解】解：A、若，则，原变形成立，故本选项不符合题意； B、若，则，原变形成立，故本选项不符合题意； C、若，则，原变形成立，故本选项不符合题意； D、若，则，原变形不成立，故本选项符合题意． 故选：D． 3．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、由可得，则此项正确，不符合题意； B、由可得，则，则此项错误，符合题意； C、由可得，则此项正确，不符合题意； D、因为，所以由可得，则此项正确，不符合题意； 故选：B． 4．已知，下列结论：；；若，则；若，则，其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，，故结论错误； ∵， ∴当时，；当时，，故结论错误； ∵， ∴，故结论错误； ∵，， ∴， ∴，故结论正确； ∴正确的个数是个， 故选：． 5．请根据不等式的基本性质填空： 问题：若，，，试判断x的取值范围． 解答：∵，∴（理由：不等式的基本性质1） ∴（理由：__________） ∵，∴（理由：___________） ∴________（理由：_________） ∵，∴______（理由：_________） 【答案】不等式的基本性质2，不等式的传递性，6，不等式的基本性质2，6，不等式的传递性． 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．依据不等式的基本性质进行填空即可． 【详解】解：， （理由：不等式的基本性质． （理由：不等式的基本性质． ， （理由：不等式的传递性）． （理由：不等式的基本性质． ， （理由：不等式的传递性）． 故答案为：不等式的基本性质2，不等式的传递性，6，不等式的基本性质2，6，不等式的传递性． 6．若，且，求实数a的取值范围． 【答案】实数a的取值范围为 【分析】本题考查不等式的基本性质，由，且，结合不等式的基本性质可知，即可求解．理解并掌握不等式的基本性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得． 答：实数a的取值范围为． 题型二 运用不等式的基本性质将不等式转化为，或的形式 7．将下列不等式化为“”或“”的形式． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了不等式的基本性质： （1）不等式两边同时减去6，即可求解； （2）不等式两边同时除以，即可求解； （3）不等式两边同时减去，即可求解； 熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解：不等式两边同时减去6， 得：， 解得：． （2）不等式两边同时除以， 得：， 解得：． （3）不等式两边同时减去， 得：， 解得：． 8．根据不等式的基本性质，请将下列不等式化为“”或“”的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据不等式的性质变形即可． （2）根据不等式的性质变形即可． （3）根据不等式的性质变形即可． （4）根据不等式的性质变形即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ （2）∵， ∴， ∴ （3）∵ ∴ ∴， ∴ （4）∵ ∴， ∴， ∴． 题型三 运用不等式的基本性质比较实数的大小 9．利用不等式的基本性质，你能比较与的大小吗？说说你的理由． 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 因为与的分母相同，所以只需比较分子的大小，由，得，即可得出结果． 【详解】解：，理由如下： 因为， 即， 所以， 所以. ∴． 10．比较和的大小． 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，根据算术平方根得，由不等式的性质得，继而得到，即可得解．掌握算术平方根的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 即． 11．请解决以下两个问题： (1)利用不等式的性质1比较与的大小； (2)利用不等式的性质2比较与的大小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）当时，，即； 当时，，即． （2）因为，所以当时，； 当时，． 题型四 移项 12．解不等式，下列选项中移项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是不等式的性质，不等式未知数移到左边，常数项移到右边变形得到结果，即可做出判断． 【详解】解：一元一次不等式移项时，移动的项要变号 因此将方程移项可得到 故选A． 13．将下列不等式化成“”或“”的形式． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查的知识点是不等式的性质、求一元一次不等式的解集．结合不等式的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：两边同时加上，得， 即； （2）解：两边同时加上，得， 两边都除以，得． 题型五 不等式基本性质的错题复原 14．阅读下面解题过程，再回答问题． 已知，试比较与的大小． 解：∵，① ∴，② ∴．③ (1)上述解题过程中，从第________步开始出现错误； (2)错误的原因是什么？ (3)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)② (2)不等式两边乘同一个负数时，不等号的方向没有改变 (3) 【分析】本题考查的是不等式的性质，熟记性质是解题的关键． （1）根据不等式的基本性质：不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变，即可得出结果； （2）根据不等式的基本性质：不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变，即可得出结果； （3）先利用不等式的性质，两边同时乘以，不等号的方向改变； 再利用不等式的性质，两边同时加1，不等号的方向不变，即可得解． 【详解】（1）解：根据题意即可得出从第②步开始出现错误， 故选：②； （2）解：错误地运用了不等式的基本性质3，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变； （3）解：∵， ∴， ∴． 15．下面是小明同学将不等式转化为，或的形式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： ，第二步 ，第三步 ，第四步 ．第五步 (1)以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的； (2)第 步开始出现错误，这一步错误的具体原因是 ； (3)请直接写出正确答案为 ． 【答案】(1)不等式的基本性质2 (2)五；不等式两边除以时，不等号的方向没有改变 (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． （1）根据不等式的基本性质，即可解答； （2）根据解一元一次不等式的步骤，进行计算逐一判断即可解答； （3）按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答． 【详解】（1）以上解题过程中，第一步是进行去分母，变形依据是不等式的基本性质2， 故答案为：不等式的基本性质2； （2）第五步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边除以时，不等号的方向没有改变； 故答案为：五；不等式两边除以时，不等号的方向没有改变； （3）该不等式的正确解集为， 故答案为：． 16．下面是小颖同学将不等式转化为或的形式的解答过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母得，第步 去括号得，第步 移项得，第步 合并同类项得，第步 两边都除以，得第步 任务一：填空： （）以上运算步骤中，第步去括号依据的运算律是 　　； （）第步移项的依据是 　　； （）第 　　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　　； 任务二：请写出正确的解答过程． 【答案】任务一：（）乘法分配律；（）不等式的性质；（）；去分母时，每一项都要乘以最小公倍数，第步中没有乘以最小公倍数；任务二：见解析． 【分析】任务一：（）根据乘法分配律即可求解； （）根据不等式的性质即可求解； （）根据去分母时漏乘最小公倍数即可求解； 任务二：按照解一元一次不等式的步骤解答即可求解； 本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】解：任务一： （）第步去括号依据的运算律是乘法分配律， 故答案为：乘法分配律； （）第步移项的依据是不等式的性质， 故答案为：不等式的性质； （）第步开始出现错误，这一步错误的原因是，去分母时，每一项都要乘以最小公倍数，第步中没有乘以最小公倍数， 故答案为：；去分母时，每一项都要乘以最小公倍数，第步中没有乘以最小公倍数； 任务二：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，． 17．下列命题中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键； 根据不等式的性质：（1）不等式两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A、和均大于，但不一定大于，故选项错误 B、不等式两边同时乘以负数，不等号方向应改变，加减法不改变不等号的符号，故选项错误； C、不等式两边乘以负数，不等号方向改变，加减法不改变不等号的符号，故选项正确； D、不等式两边同时乘以负数，不等号方向应改变，故选项错误； 故选：C 18．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的大小，不等式的性质．由数轴可得，，则，，，而不一定成立，然后判断作答即可． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，， 而并一定成立；当时，则； ∴D正确，故符合要求；A、B、C错误，故不符合要求； 故选：D． 19．设、为实数，则下列说法正确的是（   ） A．，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、若，则，不能确定，所以此项说法错误，不符合题意； B、若，，则，所以，此项说法正确，符合题意； C、若，，则，所以此项说法错误，不符合题意； D、若，则或，所以不一定大于0，此项说法错误，不符合题意； 故选：B． 20．解决下面问题： (1)已知，比较与的大小．（选择适当的不等号填空） 解：，且（已知） _______（不等式的基本性质3） _______（不等式的基本性质2） (2)若，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)＜，＜； (2)见解析． 【分析】本题考查了不等式的性质：①不等式的传递性：若，，则，②把不等式的两边都加(或减去)同一个数，不等号仍然成立；③不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号仍然成立；不等式两边都乘(或除以)同一个负数，必须改变不等号方向，所得不等式成立． （1）根据不等式的性质解答即可； （2）根据不等式的性质解答即可． 【详解】（1）解：，且（已知） （不等式的基本性质3） （不等式的基本性质2） 故答案为：＜，＜； （2）解：，且（已知） （不等式的基本性质3） （不等式的基本性质2）． 21．实数在数轴上的位置如图所示，则中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，实数与数轴，由数轴可得，再根据不等式的性质判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴最大的数是， 故选：． 22．比较下列各组数的大小． (1)与； (2)与； (3)与． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查实数的大小比较，算术平方根，不等式的性质， （1）根据，然后利用算术平方根即可得出结论； （2）根据，，得到，，即可得出结论； （3）根据，得到，即可得出结论； 理解算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （2）∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∴． 23．已知均为正数，，，试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了不等式的性质，分式加减运算，先根据，得出，，最后得出答案即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，， ∴， ∴， 同理， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$