精品解析：辽宁省鞍山市海城市东部集团2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题

海城市东部集团八年级（上）第三次质量监测 数学试卷 （试卷满分120分，答题时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的姓名、准考证号； 2．考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效； 3．考试结束，将答题卡交回，进行统一评卷； 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 木工师傅要做一个三角形木架，现有两根木条的长度分别为13和8，则第三根木条的长度可以是（　　） A. 5 B. 18 C. 21 D. 23 3. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是（    ） A. 十边形 B. 九边形 C. 八边形 D. 七边形 4. 已知，，若的周长为偶数，则的取值为（ ） A. 4 B. 3 C. 5 D. 3或4或5 5. 中国古代在公元前2世纪就制成了世界上最早的潜望镜，西汉初年成书的《淮南万毕术》中有这样的记载：“取大镜高悬，恳水盆于其下，则见四邻矣”，如图①，其工作方法主要利用了光的反射原理．如图②，呈水平状态，为法线，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，平分，于点C，点D在上，若，则的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 7. 如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点C、D，使得，再画出的垂线，使点E与点A、C在一条直线上，这时测得线段的长就是线段的长，其原理运用到三角形全等的判定是（ ） A. B. C. D. 8. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的角平分线，的面积为12，长为6，点E，F分别是，上的动点，则的最小值是（　　） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 10. 如图，在边长为的正方形中，减去一个边长为的小正方形（），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于、的恒等式（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知等腰三角形的一个内角为，则另两个角的度数是__________． 12. 如图，分别是△ABC的角平分线和高线，且，则________． 13. 如图，在中，，是角平分线，若，，则点到的距离为________． 14. 若是关于的完全平方式，则__________． 15. 如图，长方体的长为，宽为，高为，点B在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是__________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 因式分解： （1） （2） 17. 计算 （1） （2） 18. 如图，在中，，，，D是延长线上一点，连接，若，求的长． 19. 如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，点，平行于轴． （1）求出点的坐标； （2）作出关于轴对称的； （3）在轴上找一点，使得，请直接写出点的坐标_____． 20. 如图，是的中线，，于，于．求证：． 21. 某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天． （1）这项工程的规定时间是多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？ 22. “白银号”种子的价格是元，如果一次性购买以上的种子，则超过部分的种子价格打折购买种子所需的付款金额单位：元与购买量单位：之间的函数关系如图所示： （1）根据图象，写出当购买种子超过时，付款金额单位：元关于购买量单位：的函数解析式； （2）若购买的种子，求付款金额； （3）当顾客付款金额为元时，求此顾客购买了多少种子． 23. 探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，，将其沿折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点E，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，，点E从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出运动时间t（秒）的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海城市东部集团八年级（上）第三次质量监测 数学试卷 （试卷满分120分，答题时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的姓名、准考证号； 2．考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效； 3．考试结束，将答题卡交回，进行统一评卷； 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：由轴对称图形的定义可知，四个选项中，只有D选项中的图形是轴对称图形， 故选：D． 2. 木工师傅要做一个三角形木架，现有两根木条的长度分别为13和8，则第三根木条的长度可以是（　　） A. 5 B. 18 C. 21 D. 23 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型． 【详解】解：设第三根木条的长度为x，则， 即， ∴第三根木条的长度可以是18，不可以是5，21，23， 故选：B． 3. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是（    ） A. 十边形 B. 九边形 C. 八边形 D. 七边形 【答案】B 【解析】 【分析】设这个多边形是n边形，就可以列出方程，即可解得n的值． 【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意得：， 解得， 则这个多边形是九边形． 故选：B 【点睛】本题考查了多边形内角和定理，熟练掌握n边形的内角和可以表示成是解答本题的关键． 4. 已知，，若的周长为偶数，则的取值为（ ） A. 4 B. 3 C. 5 D. 3或4或5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，以及三角形的三边关系．首先根据得到，，然后利用三角形三边关系得到，然后利用的周长为偶数求解即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∴，即 ∴的周长为 ∵的周长为偶数 ∴为偶数 ∴为偶数 ∴． 故选：A． 5. 中国古代在公元前2世纪就制成了世界上最早的潜望镜，西汉初年成书的《淮南万毕术》中有这样的记载：“取大镜高悬，恳水盆于其下，则见四邻矣”，如图①，其工作方法主要利用了光的反射原理．如图②，呈水平状态，为法线，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理及垂线定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键，由可得，由，可得，进而得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 6. 如图，平分，于点C，点D在上，若，则的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，过点P作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，即可解答． 【详解】解：如图，过点P作于E， ∵平分，，， ， ， ∴的面积为：， 故选：C． 7. 如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点C、D，使得，再画出的垂线，使点E与点A、C在一条直线上，这时测得线段的长就是线段的长，其原理运用到三角形全等的判定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意得出，又因为，证明，故，即可作答． 【详解】解：依题意，， 即， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 8. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 9. 如图，是的角平分线，的面积为12，长为6，点E，F分别是，上的动点，则的最小值是（　　） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】作关于的对称点，由是的角平分线，得到点一定在上，过作于，交于，则此时，的值最小，的最小值，过作于，根据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论． 【详解】解：作关于的对称点， 是的角平分线， 点一定在上， 过作于，交于， 则此时，的值最小，的最小值， 过作于， 的面积为12，长为6， ， 垂直平分， ， ， ， 的最小值是4， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性质证明的最小值为三角形某一边上的高线． 10. 如图，在边长为的正方形中，减去一个边长为的小正方形（），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于、的恒等式（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，利用图形面积相等建立等式是解题的关键． 分别表示出两个图形中阴影部分的面积，根据阴影部分面积相等即可得到答案． 【详解】解：∵正方形中，， 梯形中，， ∴关于、的恒等式为：． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知等腰三角形的一个内角为，则另两个角的度数是__________． 【答案】，或， 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 等腰三角形两个底角相等，分两种情况：角为顶角和角为底角，分别计算另外两个角即可． 【详解】解：若角为顶角，则另外两个底角为：； 若角为底角，则另外一个底角也为，则顶角为：． 故答案为：，或，． 12. 如图，分别是△ABC的角平分线和高线，且，则________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，是基础题，准确识图找出各角度之间的关系是解题的关键． 根据三角形的内角和等于求出，再根据角平分线的定义求出，根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高线， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在中，，是角平分线，若，，则点到的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．过点E作，垂足为点F，先求出的长，再由角平分线的性质即可得出结论． 【详解】解：过点E作，垂足为点F， ，， ． ，，是角平分线， ． 故答案为：． 14. 若是关于的完全平方式，则__________． 【答案】7或-1 【解析】 【分析】直接利用完全平方公式的定义得出2（m-3）=±8，进而求出答案． 【详解】解：∵x2+2（m-3）x+16是关于x的完全平方式， ∴2（m-3）=±8， 解得：m=-1或7， 故答案为-1或7． 【点睛】此题主要考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键． 15. 如图，长方体的长为，宽为，高为，点B在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是__________． 【答案】25 【解析】 【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的正面和上面进行展开时，③当沿长方体的右面和下面进行展开时，然后利用勾股定理进行求解最短路径即可．解题的关键是熟练掌握几何体的展开图及勾股定理． 【详解】解：由题意得： ①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，如图所示： ， ∴在中，； ②当沿长方体的正面和上面进行展开时，如图所示： ， ∴在中，； ③当沿长方体的右面和下面进行展开时，如图所示： ， ∴在中，； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B， 需要爬行的最短距离是， 由长方体的特征可得其他途径必定比①②③两种更远，故不作考虑； 故答案为：25． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先分组得到，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算， 对于（1），先去绝对值，再化简，合并同类二次根式即可； 对于（2），先根据二次根式的乘除法法则计算，再计算加减即可． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 18. 如图，在中，，，，D是延长线上一点，连接，若，求的长． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．先根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，再在中，利用勾股定理可求，然后根据线段和差即可得． 【详解】解：在中，，，， ， 是直角三角形，且， 在中，， ； 答：的长为11． 19. 如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，点，平行于轴． （1）求出点的坐标； （2）作出关于轴对称的； （3）在轴上找一点，使得，请直接写出点的坐标_____． 【答案】（1） （2） 如图，即为所求； （3）或 【解析】 【分析】此题考查坐标系中点坐标特点，画轴对称图形，利用三角形面积求点坐标， （1）根据平行于轴，得到，求出，即可得到点的坐标； （2）根据轴对称的性质得到点，顺次连线即可得到； （3）根据得到，求出点的坐标为或． 【小问1详解】 解：∵，，平行于轴， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵，点的坐标为，平行于轴，， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或． 20. 如图，是的中线，，于，于．求证：． 【答案】 证明：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，先利用证明，得到，再利用即可证明，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】略 21. 某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天． （1）这项工程的规定时间是多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？ 【答案】（1）30天 （2）225000元 【解析】 【分析】（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意列出方程，求解即可； （2）先计算出甲乙两队合作的天数，再计算费用即可． 【小问1详解】 解：（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意得： ， 解得：x＝30． 经检验，x＝30是原分式方程的解． 答：这项工程的规定时间是30天． 【小问2详解】 该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷（天）， 则该工程施工费用是：22.5×（6500+3500）＝225000（元）． 答：该工程的费用为225000元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，运用方程思想解答． 22. “白银号”种子的价格是元，如果一次性购买以上的种子，则超过部分的种子价格打折购买种子所需的付款金额单位：元与购买量单位：之间的函数关系如图所示： （1）根据图象，写出当购买种子超过时，付款金额单位：元关于购买量单位：的函数解析式； （2）若购买的种子，求付款金额； （3）当顾客付款金额为元时，求此顾客购买了多少种子． 【答案】（1） （2）购买的种子，付款金额为元 （3）当顾客付款金额为元时，此顾客购买了种子 【解析】 【分析】（1）根据图像可知：和坐标，设解析式为，运用待定系数法求解即可； （2）根据（1）中解析式当时代入求解即可； （3）根据图像可知当顾客付款金额为元时，购买数量大于，根据（1）中解析式，令，代入求解即可． 【小问1详解】 解：当时， 由图象可知是的一次函数，且过点和， 设， 则， 解得：， ； 【小问2详解】 根据， 当时，， ， 购买的种子，付款金额为元； 【小问3详解】 根据图像可知当顾客付款金额为元时，购买数量大于， 由， 令时，则， 解得：， 当顾客付款金额为元时，此顾客购买了种子． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，理解题意，找到数量关系是解决问题的关键． 23. 探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，，将其沿折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点E，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，，点E从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出运动时间t（秒）的值． 【答案】（1）5；（2）6；（3）t的值为2.5或10 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得到：由折叠的性质得：，设，则，利用勾股定理即可求解； （2）根据长方形的性质与折叠的性质易得：，设，则，在中，由勾股定理得：，即可求解； （3）分两种情况，①当点在长方形内部时，由折叠的性质得，，再由勾股定理得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当点在长方形外部时，折叠的性质得，，同①得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）由折叠的性质得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得： ； （2）四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； （3）四边形是长方形， ，， 设线段的垂直平分线交于点，交于点， 则， 分两种情况： ①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为5， （秒）； ②如图，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，， 同①得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为， （秒）； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，t的值为2.5秒或10秒． 【点睛】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $