重难点04 平面向量的最值问题与三角形的“四心（5题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学【热点·重点·难点】专练（北京专用）

重难点04 平面向量的最值问题与三角形的“四心 三年考情分析 2025年考向预测 该内容是向量问题中的命题的重难点，综合性强，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，以选择填空题的形式出现，也是很可能，需要综合复习 平面向量求最值范围的常用方法： 1.定义法：利用数量积的概念及其运算律转化所求问题，再运用基本不等式或二次函数性质求其最值问题； 2.基底法：利用基底转化向量，然后根据向量运算律化简目标，接着运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 3.坐标法：先根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标，将平面向量的运算坐标化，然后运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 4.数形结合法：结合条件进行向量关系推导，然后利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹，结合图形,确定临界位置的动态分析求出范围。 题型1 数量积的最值问题 1．（2024·北京昌平·二模）已知正方形的边长为1，点满足．当时， ；当 时，取得最大值． 2．（2024·北京朝阳·一模）在中，，，点在线段上.当取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京平谷·模拟预测）已知，，P是曲线上一个动点，则的最大值是（   ） A．2 B． C． D． 4．（2022·北京丰台·三模）为等边三角形，且边长为2，则与的夹角大小为 ，若，则的最小值为 . 5．（2023·北京海淀·模拟预测）已知菱形的边长为，，（）．当时， ；当取得最小值时， ． 题型2 夹角的最值问题 1．（2023·北京·模拟预测）平面向量，满足，且，则与夹角的正弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北黄冈·一模）已知向量，且，则与夹角的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东江门·二模）设向量，则的最小值为 . 4．（2024·四川宜宾·三模）已知点O，A，B，C均在同一平面内，，，，当取最大值时， ． 5．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知非零向量满足，设与的夹角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型3 模长的最值问题 1．（2024·北京石景山·一模）已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为 ． 2．（2023·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知是圆上的动点．若，，，则的最大值为（　　） A．16 B．12 C．8 D．6 3．（2023·北京海淀·三模）已知为单位向量，向量满足，，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 4．（2023·北京房山·一模）在中，，为所在平面内的动点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·北京丰台·三模）已知、、都是平面向量，且，若，则的最小值为（    ）. A．1 B． C．2 D．3 题型4 系数关系的最值问题 1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，P是线段AD上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是 . 2．（2023·北京海淀·模拟预测）已知点O是边长为4的正方形的中心，点P是正方形ABCD所在平面内一点，，若． （1）的取值范围是 ； （2）当取得最大值时， 3．（2024·广东梅州·三模）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若，则+的最大值为（   ） A．3 B．2 C． D．2 4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．（2024·山西太原·三模）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了 “勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” (以直角三角形的斜边为边得到的正方形). 类比 “赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且，点在上，，点在 内 (含边界)一点，若，则的最大值为 . 题型5 三角形的四心问题 1.重心向量式 设是的重心,为平面内任意一点,则有 ①;② ③若,则动点的轨迹经过三角形的重心 ④若,则动点的轨迹经过三角形的重心 2.垂心向量式 若是的垂心,为平面内任意一点,则有: ①;② ③,则动点的轨迹通过的垂心 3.内心向量式 若是的垂心,则有：① ②,则动点的轨迹经过三角形的内心 4.外心向量式 若是的外心,为平面内任意一点,则 ① ② ③,则动点的轨迹通过外心. ④若 1．（2024·全国·模拟预测）已知平面上四个点，其中任意三个不共线．若，则直线一定经过三角形的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 2．（2022·23高一下·山东·阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题不正确的有（   ）    A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 3．（2024·天津北辰·三模）在中，，为外心，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（2022·新疆·一模）已知平面向量 ，满足，，点D满足，E为的外心，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川南充·三模）已知点P在所在平面内，若，则点P是的（    ） A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心 （建议用时：60分钟） 1．（2024·湖北黄冈·二模）已知为单位向量，向量满足，则的最大值为（    ） A．9 B．3 C． D．10 2．（2024·北京海淀·三模）已知点，，O为坐标原点，则的取值范围是 ． 3．（2023·北京昌平·二模）已知点在圆上运动，且，若点的坐标为，则的取值范围是 . 4．（2023·北京东城·一模）已知正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内部（不含边界）的动点，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·北京·模拟预测）已知点，直线l与圆交于两相异点B，C，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·24高三上·广东清远·期末）正方形中，，为中点，为中点，则 ；若为上的动点，则的最大值为 . 7．（2023·24高三上·福建三明·期中）如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边，分别交于点，，若是的中点，则的取值范围是 ；若是平面内一点，且满足，则的最小值是 . 8．（2023·全国·模拟预测）在等腰中，角A，B，C所对应的边为a，b，c，，，P是外接圆上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·四川眉山·一模）如图，是边长为的等边三角形，，点在以为直径的半圆上（含端点），设，则（   ）    A．的值不可能大于 B． C．的最小值为 D．的最大值为2 10．（2024·安徽淮南·一模）已知点是直线上的动点，在直线上的投影为，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 11．（2024·湖北·模拟预测）四边形是边长为4的正方形，点是正方形内的一点，且满足，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 12．（2024·山东威海·一模）在中，，，是所在平面内一点，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 13．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知点在同一平面内且为定点，分别是点轨迹上的点且，则的最大值与最小值之和是 . 14．（2024·河北沧州·三模）对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边中，，以三条边为直径向外作三个半圆，是三个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点04 平面向量的最值问题与三角形的“四心 三年考情分析 2025年考向预测 该内容是向量问题中的命题的重难点，综合性强，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，以选择填空题的形式出现，也是很可能，需要综合复习 平面向量求最值范围的常用方法： 1.定义法：利用数量积的概念及其运算律转化所求问题，再运用基本不等式或二次函数性质求其最值问题； 2.基底法：利用基底转化向量，然后根据向量运算律化简目标，接着运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 3.坐标法：先根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标，将平面向量的运算坐标化，然后运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 4.数形结合法：结合条件进行向量关系推导，然后利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹，结合图形,确定临界位置的动态分析求出范围。 题型1 数量积的最值问题 1．（2024·北京昌平·二模）已知正方形的边长为1，点满足．当时， ；当 时，取得最大值． 【答案】 /0.5 【分析】第一空建立如图所示坐标系，用坐标分分别表示出，再计算数量积即可；第二空建立如图所示坐标系，用坐标表示出，，结合二次函数的性质计算数量积的最大值即可. 【详解】根据题意，建立以为原点的平面直角坐标系，如图    则 因为正方形的边长为1， 当时，，所以， 所以， 所以； 如图，    因为，所以， 所以，， 所以， 所以当时，取得最大值. 故答案为：；. 2．（2024·北京朝阳·一模）在中，，，点在线段上.当取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，以所在直线为轴，以的垂直平分线建立轴，建立平面直角坐标系，    由，，则， 所以，，，设， 则，， 则， 当时，取得最小值，此时，. 故选：B 3．（2024·北京平谷·模拟预测）已知，，P是曲线上一个动点，则的最大值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，即， 则曲线表示以坐标原点O为圆心，半径为1的上半圆，并记为， 设点，则， 所以，令，则， 故直线（斜率为，纵截距为）与曲线有公共点，如图所示：    直线过点，则，即， 直线与曲线相切，则，解得或（舍去）， 所以，则，所以的最大值为. 故选：D. 4．（2022·北京丰台·三模）为等边三角形，且边长为2，则与的夹角大小为 ，若，则的最小值为 . 【答案】 / 【详解】由题意知，如图， 由为等比三角形，得， 所以； 因为，所以点E为AC的中点， 则，又， 所以 ， ， 又，所以， 所以. 故答案为：；. 5．（2023·北京海淀·模拟预测）已知菱形的边长为，，（）．当时， ；当取得最小值时， ． 【答案】 【详解】当时，， ； ， 所以 所以当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：；. 【点睛】关键点睛：对于第二空，可由平面向量数量积的运算法则得出，从而利用二次函数的性质解决问题. 题型2 夹角的最值问题 1．（2023·北京·模拟预测）平面向量，满足，且，则与夹角的正弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示：设，，则，设，，， ， 当，即时等号成立，故， 当最小时，最大， 故与夹角的正弦值的最大值为. 故选：B 2．（2024·湖北黄冈·一模）已知向量，且，则与夹角的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 已知向量，， 即,即， 建立如图所示平面直角坐标系， 设，，，， 则，，， 又，则，即N的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 由图可知，当与圆相切时，最大，此时， 则的最大值为，即与夹角的最大值为. 故选： 【点睛】关键点点睛：本题考查了平面向量数量积的运算，关键通过数形结合的方法建立坐标系解决问题. 3．（2024·广东江门·二模）设向量，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】，令，则， 所以， 当，即时，取得最小值，且最小值为． 故答案为： 4．（2024·四川宜宾·三模）已知点O，A，B，C均在同一平面内，，，，当取最大值时， ． 【答案】 【详解】因为，, 所以, 在中，设， 所以, 当余弦值最小时，最大， 当且仅当，即，最大， 所以满足条件. 故答案为：. 5．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知非零向量满足，设与的夹角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，因为， 所以，所以， 则， 当时取等号，所以的最小值为． 故选：B． 题型3 模长的最值问题 1．（2024·北京石景山·一模）已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为 ． 【答案】1 【详解】如图所示：    设， 当时，取得最小值， 过点作于点，即可得的最小值为， 又与的夹角为，即，易知， 所以. 即的最小值为1. 故答案为：1 2．（2023·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知是圆上的动点．若，，，则的最大值为（　　） A．16 B．12 C．8 D．6 【答案】B 【详解】因为，， 所以. 故选：B 3．（2023·北京海淀·三模）已知为单位向量，向量满足，，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】C 【详解】依题意设，， 由，所以，则， 又，且， 所以，即， 所以，当且仅当时取等号， 即的最大值为. 故选：C 4．（2023·北京房山·一模）在中，，为所在平面内的动点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，可得，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 取的中点，则， 所以， 故选：D 5．（2023·北京丰台·三模）已知、、都是平面向量，且，若，则的最小值为（    ）. A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】依题意可设，，， 则，又， 所以，即，则点在以为圆心，半径的圆上运动， 因为，所以点在（）上运动，根据对称性不妨令点在（）上， 则表示圆上的点与（）上的点连线段的长度， 因为圆心到（）的距离， 所以的最小值为，即的最小值为.    故选：A 题型4 系数关系的最值问题 1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，P是线段AD上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是 . 【答案】 【详解】解：因为在中，， 所以， 又因为，则， 因为三点共线，则，结合题意知， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故答案为： 2．（2023·北京海淀·模拟预测）已知点O是边长为4的正方形的中心，点P是正方形ABCD所在平面内一点，，若． （1）的取值范围是 ； （2）当取得最大值时， 【答案】 【详解】解：建立以A为原点的坐标系，如图所示： 由可得P的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 设，则有， 所以， 又因为， 所以， 由P的轨迹方程可知， 即，所以， 所以的范围为：； 将代入，得， 所以点在圆上， 设， 则， 所以当时，取最大值，此时， 所以， 所以， 所以. 故答案为：； 【点睛】方法点睛：对于较复杂的平面向量中涉及范围的问题，通过建模，将问题转化向量的坐标运算，从代数角度出发进行解答，从而降低难度. 3．（2024·广东梅州·三模）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若，则+的最大值为（   ） A．3 B．2 C． D．2 【答案】A 【详解】如图所示，建立平面直角坐标系. 设, 易得圆的半径，即圆C的方程是， ，若满足， 则，，所以， 设，即，点在圆上， 所以圆心到直线的距离，即，解得， 所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A. 【点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算. （2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决. 4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】因为三点共线， 所以存在实数k，使，即， 又向量不共线，所以， 由，所以， 当且仅当时，取等号， 即的最小值为4. 故选：B 5．（2024·山西太原·三模）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了 “勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” (以直角三角形的斜边为边得到的正方形). 类比 “赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且，点在上，，点在 内 (含边界)一点，若，则的最大值为 . 【答案】 【详解】， 取的中点，连接， 因为，故， 又，所以，故，且， 所以的最大值为，此时点与点重合. 故答案为： 题型5 三角形的四心问题 1.重心向量式 设是的重心,为平面内任意一点,则有 ①;② ③若,则动点的轨迹经过三角形的重心 ④若,则动点的轨迹经过三角形的重心 2.垂心向量式 若是的垂心,为平面内任意一点,则有: ①;② ③,则动点的轨迹通过的垂心 3.内心向量式 若是的垂心,则有：① ②,则动点的轨迹经过三角形的内心 4.外心向量式 若是的外心,为平面内任意一点,则 ① ② ③,则动点的轨迹通过外心. ④若 1．（2024·全国·模拟预测）已知平面上四个点，其中任意三个不共线．若，则直线一定经过三角形的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以，即直线一定经过三角形的边上的高，即直线一定经过三角形的垂心. 故选：D. 2．（2022·23高一下·山东·阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题不正确的有（   ）    A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 【答案】C 【详解】对A选项，因为，所以， 取的中点，则，所以， 故，，三点共线，且， 同理，取中点，中点，可得，，三点共线，，，三点共线， 所以为的重心，A正确；    对B选项，若为的内心，可设内切圆半径为， 则，，， 所以， 即，B正确； 对C选项，若，，为的外心，则， 设的外接圆半径为，故，， ， 故，，， 所以，C错误；    对D选项，若为的垂心，， 则， 如图，，，，相交于点， 又， ，即， ，即， ，即， 设，，，则，，， 因为，， 所以，即， ，则，D正确； 故选：C    【点睛】关键点点睛：本题考查向量与四心关系应用，关键是利用三角形的几何关系及向量数量积及向量线性表示逐项判断. 3．（2024·天津北辰·三模）在中，，为外心，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由O为△ABC外心，可得在方向上的投影向量为， 则，故， 又，设， 则 ， 当且仅当时等号成立， 由可知，， 故的最大值为． 故选：A． 4．（2022·新疆·一模）已知平面向量 ，满足，，点D满足，E为的外心，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，， ∵，解得：， ∴两向量夹角， ∵， 以为坐标原点, ,垂直于所在直线为,轴建立平面直角坐标系, 如图所示, 则, 设, 由, 知, 解得, ∴ 又E为的外心， ∴， ∴为等边三角形, ∴， ∴, ∴. 故选：B. 5．（2024·四川南充·三模）已知点P在所在平面内，若，则点P是的（    ） A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心 【答案】D 【详解】在中，由，得， 即，由，同理得， 显然，即与不重合，否则，同理， 则，即，， 于是平分，同理平分， 所以点P是的内心. 故选：D （建议用时：60分钟） 1．（2024·湖北黄冈·二模）已知为单位向量，向量满足，则的最大值为（    ） A．9 B．3 C． D．10 【答案】C 【详解】根据条件得， 得到，所以，即的最大值为， 故选：C. 2．（2024·北京海淀·三模）已知点，，O为坐标原点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设点,, 所以,即, 所以, 因为， 所以. 故答案为： 3．（2023·北京昌平·二模）已知点在圆上运动，且，若点的坐标为，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，所以为圆直径， 设，则， 所以, 故， 所以当 时，，， 故 故答案为：. 4．（2023·北京东城·一模）已知正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内部（不含边界）的动点，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以中点为原点建立如下直角坐标系； 则，，， 设，则，， 则， 即，则，其中，， 则， 则， 故选：D. 5．（2023·北京·模拟预测）已知点，直线l与圆交于两相异点B，C，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，设是线段的中点， 则 ， 表示点与点两点间的距离的平方， 由于在圆内，所以，所以， 所以， 所以. 故选：A 6．（2023·24高三上·广东清远·期末）正方形中，，为中点，为中点，则 ；若为上的动点，则的最大值为 . 【答案】 【详解】以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，由于正方形的边长为，分别是线段的中点，所以，所以. 设，则，由于，所以，所以的最大值为. 故答案为：（1）；（2） 【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的运算，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 7．（2023·24高三上·福建三明·期中）如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边，分别交于点，，若是的中点，则的取值范围是 ；若是平面内一点，且满足，则的最小值是 . 【答案】 【详解】由直线l过正方形的中心O且与两边AB、CD分别交于点M、N，得O为MN的中点， 则，， 由Q是BC的中点，得，又，则， 所以取值范围为； 令，则 ， 则，即，于是，即点T 在直线BC上， 因此，，则， 而，因此， 所以的最小值为. 故答案为：； 8．（2023·全国·模拟预测）在等腰中，角A，B，C所对应的边为a，b，c，，，P是外接圆上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意等腰中，，， 故，设外接圆半径为R，则； 以的外接圆圆心为原点，以的垂直平分线为y轴， 过点O作的平行线为x轴，建立平面直角坐标系，    则，设，， 则，， 则， ， 故， 因为，故， 即的取值范围是， 故选：C 9．（2024·四川眉山·一模）如图，是边长为的等边三角形，，点在以为直径的半圆上（含端点），设，则（   ）    A．的值不可能大于 B． C．的最小值为 D．的最大值为2 【答案】B 【详解】对于A选项，过点作交延长线于， 过点作交于，作图如下：    在平行四边形中，，由，则，故A选项错误； 对于B选项，，故B正确； 对于C、D选项，取线段中点，连接，，作图如下：   ， 在等边三角形中，易知，所以， ，则， 设与的夹角为，易知，则， 所以，故C、D选项错误，. 故选：B. 10．（2024·安徽淮南·一模）已知点是直线上的动点，在直线上的投影为，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】根据题意，作图如下所示： 因为点在直线上，故可设点的坐标为， 根据向量数量积的几何意义，易知， 又，， 故，当且仅当时取得等号； 故的最小值为. 故选：B. 11．（2024·湖北·模拟预测）四边形是边长为4的正方形，点是正方形内的一点，且满足，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，建立如图所示的直角坐标系， 设,. 所以,,,, 所以, 因为, 即, 故点在以点为圆心，半径为的圆周上运动， 所以的最大值为. 故选：D. 12．（2024·山东威海·一模）在中，，，是所在平面内一点，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， ， ， ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最大值为. 故选：D. 13．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知点在同一平面内且为定点，分别是点轨迹上的点且，则的最大值与最小值之和是 . 【答案】 【详解】根据，可得， 点轨迹是以为圆心，半径为2的圆. 取的中点，连接， 则， 又， 所以， 即， 所以. 故的最大值与最小值之和是12. 故答案为：12 14．（2024·河北沧州·三模）对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边中，，以三条边为直径向外作三个半圆，是三个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】如图所示，过点作，交直线于点， 设，可得. 设，，则， 因为，所以， 由图可知，当与半圆相切时，最大， 又由，，可得， 所以，即最大为，所以的最大值为. 故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$