精品解析：江苏省镇江市丹徒区四校联考2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题

八年级数学阶段性学习评价 一、单项选择题（本题共10小题，每小题只有1个选项符合题意．每小题3分，共30分） 1. 下列四种图案是2024年巴黎奥运会中部分运动项目的示意图，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形．熟练掌握轴对称图形的概念，是解决问题的关键．轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念逐一判断，即得． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意； D、该图形是轴对称图形，本选项符合题意． 故选：D． 2. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，能构成直角三角形的一组是（ ） A. 1，， B. 6，7，8 C. 2，3，4 D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】解：A.，能构成直角三角形，符合题意； B.，不能构成直角三角形，不符合题意； C. ，不能构成直角三角形，不符合题意； D.，不能构成直角三角形，不符合题意； 故选：A． 3. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数非负，即，求解即可得出答案． 【详解】解：∵ 被开方数必须满足， ∴ ， 故选B． 4. 点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点坐标与轴对称，熟练掌握点坐标关于轴对称的变换规律是解题关键．根据点坐标关于轴对称的变换规律“横坐标不变，纵坐标变为相反数”求解即可得． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为， 故选：B． 5. 在平面直角坐标系中，点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，根据偶次方的非负性可得，则，即可得到点的横坐标为负，纵坐标为正，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴点的横坐标为负，纵坐标为正． ∴点在第二象限， 故选：B． 6. 两个一次函数、，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一次函数图象与，的关系，逐项判断即可． 【详解】、如果过第一、二、四象限的图象是的图象，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故错误； 、如果过第一、二、四象限的图象是的图象，由的图象可知，，；由的图象可知，，，故正确； 、如果过第一、二、四象限的图象是的图象，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故错误； 、如果过第一、二、四象限的图象是的图象，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故错误， 故选：． 【点睛】此题考查了一次函数的图象性质，灵活运用一次函数图象的性质是解题的关键． 7. 已知一次函数y＝(k＋2)x－1，且y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ） A. k＞2 B. k＜2 C. k＞－2 D. k＜－2 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的性质可得k+2＜0，解不等式即得答案． 【详解】解：因为一次函数y＝(k＋2)x－1，y随x的增大而减小， 所以k+2＜0，解得：k＜－2． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的性质和一元一次不等式的解法，属于基础题型，熟练掌握一次函数的性质是关键． 8. 的整数部分是3，则实数a的范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小， 根据无理数的大小估计解答即可． 【详解】解：的整数部分是3， ． ． ． 故选：D． 9. 如图表示的是某公司一种产品30天的销售情况，其中图①是该产品日销售量y（件）与日期t（日）的函数图象，图②是该产品单件的销售利润w（元）与日期：t（日）的函数图象．下列结论错误的是（　　） A. 第25天的销售量为200件 B. 第6天销售一件产品的利润是19元 C. 第20天和第30天的日销售利润相等 D. 第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象分别求出当，一件产品的销售利润w（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为，当时，产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为，根据日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润，即可进行判断． 【详解】A、根据图①可得第25天的销售量为200件， 故此选项正确，不符合题意； B、设当，一件产品的销售利润w（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为， 把代入得： ， 解得：， ∴， 当时，， 故此选项正确，不符合题意； C、当时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为， 把代入得： ， 解得：， ∴， 当时，日销售利润为（元）； 当时，日销售利润为（元）， ∴第20天和第30天销售利润不相等， 故此选项错误，符合题意； D、当时，日销售利润为（元）， 当时，日销售利润为（元）． ∴第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润， 故此选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求函数解析式． 10. 已知一次函数的图象如图，则下列说法：①；②是方程的解；③若点）是这个函数的图象上的两点，且，则；④当时，，则．其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，关键是灵活运用一次函数的性质．图象过第一，二，四象限，可得，可判定①；根据增减性，可判断③④，由图象与x轴的交点可判定②． 【详解】解：∵图象过第一，二，四象限， ∴，故①正确； ∴y随x增大而减小， ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵一次函数与轴的交点坐标为， ∴是方程的解，故②正确； 当时，， ∴当时，；时，， 代入得， 解得，故④正确； 综上，正确的个数有4个， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 实数4的算术平方根为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义，即可求解． 【详解】解：∵， ∴4的算术平方根是2． 12. 比较大小： __________ .（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．先比较与的大小，再根据两个负数的大小比较法则解题即可． 【详解】解：， ∵， 故答案为：． 13. 已知点都在直线上，则与大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题关键．根据一次函数的增减性求解即可得． 【详解】解：∵一次函数中的， ∴随的增大而减小， 又∵点都在直线上，且， ∴， 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，将点绕原点O顺时针旋转得到点，则的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，根据题意作轴，轴，证明出，得到，，进而求解即可． 即可求解． 【详解】解：如图所示：作轴，轴， 由题意得：， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴的坐标为 故答案为：． 15. 已知一次函数的图像与直线关于x轴对称，则一次函数的表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与几何变换问题，求一次函数表达式，首先求出直线与y轴的交点为，与x轴的交点为，然后根据题意求出一次函数与y轴的交点为，与x轴的交点为，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：，当时，， 当时，， ∴直线与y轴的交点为，与x轴的交点为， 一次函数的图像与直线关于x轴对称， 一次函数与y轴的交点为，与x轴的交点为， 设一次函数的解析式为， 把，代入得，， 解得：， 所以，一次函数的解析式为：． 故答案为：． 16. 某市规定了每月用水不超过l8立方米和超过18立方米两种不同的收费标准，该市用户每月应交水费y（元）是用水x（立方米）的函数，其图象如图所示．已知小丽家3月份交了水费102元，则小丽家这个月用水量为_____立方米． 【答案】30 【解析】 【分析】根据题意和函数图象中的数据可以求得当x＞18时对应的函数解析式，根据102＞54可知，小丽家用水量超过18立方米，从而可以解答本题． 【详解】解：设当x＞18时的函数解析式为y=kx+b， 图象过（18，54），（28，94） ∴,得 即当x＞18时的函数解析式为：y=4x-18， ∵102＞54， ∴小丽家用水量超过18立方米， ∴当y=102时，102=4x-18，得x=30， 故答案为30． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先求算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，再进行加减运算； （）先化简绝对值，立方根，算术平方根，再进行加减运算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 求下列各式中x的值： （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用平方根，立方根的定义解方程． （1）移项，利用平方根的定义解方程即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 解得：或； 【小问2详解】 解：， ， 解得：． 19. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据中垂线的性质，得到，等边对等角，得到，三角形的内角和定理求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知：， 设，则，， 在中，由勾股定理，得：， 即， 解得； ∴． 20. 已知，如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，现有A，B，C三点，其中点A坐标为，点B坐标为． （1）请根据点A，B的坐标在方格纸中建立平面直角坐标系，并直接写出点C坐标为________； （2）依次连接，，，得到，请判断的形状，并说明理由； （3）若点C关于直线的对称点为点D．求点D的坐标； （4）在y轴上找一点F，使的面积等于的面积，求点F的坐标. 【答案】（1）建立平面直角坐标系如图所示： （2） 如图所示， 由网格图，可知，，， ∵， ∴， ∴为直角三角形． （3） （4）点F的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据点A坐标为，得原点在点A右侧4个单位长度，再向下平移1格，即可得； （2）根据勾股定理得出，，，根据得，即可得； （3）过点C作交于点E，使，即可得； （4）根据的面积等于的面积得点F、D到的距离相等，则，进行计算即可得； 掌握平面直角坐标系，勾股定理及其逆定理，轴对称，三角形面积，是解题的关键． 【小问1详解】 解：， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，过点C作交于点E，使， 点D的坐标为． 【小问4详解】 解：∵的面积等于的面积， 点F、D到的距离相等， 则， 解得或， ∵点F在y轴上， ∴点F的坐标为或． 21. 已知与成正比例，当时， （1）求与之间的关系式； （2）该函数的图象经过点，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，正比例的性质； （1）设，代入，，求得，即可求解； （2）将点代入（1）中解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵与成正比例， 设， 时，， ， 解得：， 与的关系式为： 即； 【小问2详解】 解：∵的图象经过点， ∴ 解得： 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求的值； （2）已知点，是该一次函数图象上一点，当的面积为6时，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象的平移规律等知识点，根据一次函数图象的平移规律得出k的值是解题关键． （1）根据一次函数平移的性质得出一次函数解析式为，把代入求出b的值，即可得出一次函数解析式； （2）根据题意得出，结合，，得出，求出或，即可得出点P的坐标． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∵一次函数经过点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知一次函数解析式为， 如图，∵是该一次函数图象上一点， ∴， ∵，， ∴， 解得：或， 当时，， 当时，， ∴点的坐标为或． 23. 作出函数与的图象，利用图象解答下列问题： （1）方程组的解为______； （2）时取何值范围是______； （3）与同时成立时取何值范围是______； （4）直线的图象与轴交于点，直线的图象与轴交于点，两者相交于点，求的三角形的面积； （5）在直线的图象上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【解析】 【分析】（）根据题意画出图象，利用方程组中两方程对应函数的交点坐标得出方程组的解；  （）利用函数图象得出在轴上方时，对应的取值范围，即可确定的取值范围；  （）利用函数图象得出在轴上方时，对应的取值范围，即可确定的取值范围；  （）利用已知图象求出的长度，再结合三角形的面积计算公式进行求解；  （）由与的面积相等得出点的横坐标，进而代入函数解析式得出点坐标； 此题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式，三角形面积求法等知识，正确利用数形结合分析是解题的关键． 【小问1详解】 解：列表： 描点、连线，得到图象如下： 通过图象可知的解为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：时取何值范围是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图所示：与同时成立时取值范围是， 故答案为：； 【小问4详解】 解：∵时，，，， 如图， ∴，， ∴则， 故的三角形的面积为：； 【小问5详解】 解：∵与的面积相等，异于点的另一点， ∴点横坐标为：， ∴当时， ， ∴点坐标为：． 24. 【初步探究】 （1）如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，AB＝EC，BE＝CD，连接AE、DE．判断△AED的形状，并说明理由． 【解决问题】 （2）如图2，在长方形ABCD中，点P是边CD上一点，在边BC、AD上分别作出点E、F，使得点F、E、P是一个等腰直角三角形的三个顶点，且PE＝PF，∠FPE＝90°．要求：仅用圆规作图，保留作图痕迹，不写作法． 【拓展应用】 （3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），点B（4，1），点C在第一象限内，若△ABC是等腰直角三角形，则点C的坐标是　 　． （4）如图4，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），点C是y轴上的动点，线段CA绕着点C按逆时针方向旋转90°至线段CB，CA＝CB，连接BO、BA，则BO+BA的最小值是　 　． 【答案】（1）△AED是等腰直角三角形； （2）点E、F即为所求； （3）（1，2）、（3，3）、（，）；（4） 【解析】 【分析】（1）证明△ABE≌△ECD （SAS），即可求解； （2）如图，以点D为圆心CP长为半径作弧交AD于点F，以点C为圆心，DP长为半径作弧交BE于点E，连接EF，EP，FP，点E、F即为所求； （3）分∠CAB=90°、∠ABC=90°、∠ACB=90°，三种情况求解即可； （4）求出B（m，1+m），则：BO+BA= ，BO+BA的值相当于求点P（m，m）到点M（1，-1）和点N（0，-1）的最小值，即可求解． 【详解】解：（1）△AED是等腰直角三角形， 证明：∵在△ABE和△ECD中， , ∴△ABE≌△ECD （SAS） ∴AE＝DE，∠AEB＝∠EDC， ∵在Rt△EDC中，∠C＝90°， ∴∠EDC+∠DEC＝90°． ∴∠AEB+∠DEC＝90°． ∵∠AEB+∠DEC+∠AED＝180°， ∴∠AED＝90°． ∴△AED是等腰直角三角形； （2）略． （3）如图，当∠CAB＝90°，CA＝AB时，过点C作CF⊥AO于点F，过点B作BE⊥AO于点E， ∵点A（2，0），点B（4，1）， ∴BE＝1，OA＝2，OE＝4，∴AE＝2， ∵∠CAB＝90°，BE⊥AO， ∴∠CAF+∠BAE＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°， ∴∠CAF＝∠ABE，且AC＝AB，∠AFC＝∠AEB＝90°， ∴△ACF≌△BAE（AAS） ∴CF＝AE＝2，AF＝BE＝1， ∴OF＝OA﹣AF＝1， ∴点C坐标为（1，2） 如图，当∠ABC＝90°，AB＝BC时，过点B作BE⊥OA，过点C作CF⊥BE ∵∠ABC＝90°，BE⊥OA， ∴∠ABE+∠CBF＝90°，∠ABE+∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF，且BC＝AB，∠AEB＝∠CFB＝90° ∴△BCF≌△ABE（AAS） ∴BE＝CF＝1，AE＝BF＝2，∴EF＝3 ∴点C坐标为（3，3） 如图，当∠ACB＝90°，CA＝BC时，过点C作CD⊥OA于点D，过点B作BF⊥CD于点F， ∵∠ACD+∠BCF＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°， ∴∠BCF＝∠CAD，且AC＝BC，∠CDA＝∠CFB， ∴△ACD≌△CBF（AAS） ∴CF＝AD，BF＝CD＝DE， ∵AD+DE＝AE＝2 ∴2＝AD+CD＝AD+CF+DF＝2AD+1 ∴DA＝， ∴CD＝，OD＝， ∴点C坐标（，） 综上所述：点C坐标为：（1，2）、（3，3）、（，） 故答案为（1，2）、（3，3）、（，） （4）如图作BH⊥OH于H． 设点C的坐标为（0，m）， 由（1）知：OC＝HB＝m，OA＝HC＝1， 则点B（m，1+m）， 则：BO+BA＝， BO+BA的值，相当于求点P（m，m）到点M（1，﹣1）和点N（0，﹣1）的最小值， 相当于在直线y＝x上寻找一点P（m，m），使得点P到M（0，﹣1），到N（1，﹣1）的距离和最小， 作M关于直线y＝x的对称点M′（﹣1，0）， 易知PM+PN＝PM′+PN≥NM′， M′N＝， 故：BO+BA的最小值为． 【点睛】本题为四边形综合题，主要考查的是三角形全等的性质、勾股定理、最小值等知识，综合性较强. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学阶段性学习评价 一、单项选择题（本题共10小题，每小题只有1个选项符合题意．每小题3分，共30分） 1. 下列四种图案是2024年巴黎奥运会中部分运动项目的示意图，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，能构成直角三角形的一组是（ ） A. 1，， B. 6，7，8 C. 2，3，4 D. ，， 3. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 两个一次函数、，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ） A. B. C. D. 7. 已知一次函数y＝(k＋2)x－1，且y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ） A. k＞2 B. k＜2 C. k＞－2 D. k＜－2 8. 的整数部分是3，则实数a的范围（ ） A. B. C. D. 9. 如图表示的是某公司一种产品30天的销售情况，其中图①是该产品日销售量y（件）与日期t（日）的函数图象，图②是该产品单件的销售利润w（元）与日期：t（日）的函数图象．下列结论错误的是（　　） A. 第25天的销售量为200件 B. 第6天销售一件产品的利润是19元 C. 第20天和第30天的日销售利润相等 D. 第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润 10. 已知一次函数的图象如图，则下列说法：①；②是方程的解；③若点）是这个函数的图象上的两点，且，则；④当时，，则．其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 实数4的算术平方根为_____． 12. 比较大小： __________ .（填“”“”或“”） 13. 已知点都在直线上，则与大小关系是______． 14. 在平面直角坐标系中，将点绕原点O顺时针旋转得到点，则的坐标为________． 15. 已知一次函数的图像与直线关于x轴对称，则一次函数的表达式为________． 16. 某市规定了每月用水不超过l8立方米和超过18立方米两种不同的收费标准，该市用户每月应交水费y（元）是用水x（立方米）的函数，其图象如图所示．已知小丽家3月份交了水费102元，则小丽家这个月用水量为_____立方米． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 求下列各式中x的值： （1）； （2）． 19. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 20. 已知，如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，现有A，B，C三点，其中点A坐标为，点B坐标为． （1）请根据点A，B的坐标在方格纸中建立平面直角坐标系，并直接写出点C坐标为________； （2）依次连接，，，得到，请判断的形状，并说明理由； （3）若点C关于直线的对称点为点D．求点D的坐标； （4）在y轴上找一点F，使的面积等于的面积，求点F的坐标. 21. 已知与成正比例，当时， （1）求与之间的关系式； （2）该函数的图象经过点，求的值． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求的值； （2）已知点，是该一次函数图象上一点，当的面积为6时，求点的坐标． 23. 作出函数与的图象，利用图象解答下列问题： （1）方程组的解为______； （2）时取何值范围是______； （3）与同时成立时取何值范围是______； （4）直线的图象与轴交于点，直线的图象与轴交于点，两者相交于点，求的三角形的面积； （5）在直线的图象上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，请直接写出点的坐标． 24. 【初步探究】 （1）如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，AB＝EC，BE＝CD，连接AE、DE．判断△AED的形状，并说明理由． 【解决问题】 （2）如图2，在长方形ABCD中，点P是边CD上一点，在边BC、AD上分别作出点E、F，使得点F、E、P是一个等腰直角三角形的三个顶点，且PE＝PF，∠FPE＝90°．要求：仅用圆规作图，保留作图痕迹，不写作法． 【拓展应用】 （3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），点B（4，1），点C在第一象限内，若△ABC是等腰直角三角形，则点C的坐标是　 　． （4）如图4，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），点C是y轴上的动点，线段CA绕着点C按逆时针方向旋转90°至线段CB，CA＝CB，连接BO、BA，则BO+BA的最小值是　 　． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $