第02讲 用坐标描述简单的几何图形（2个知识点+2类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（人教版2024）

第02讲 用坐标描述既简单几何图形 课程标准 学习目标 ①用坐标描述简单几何图形 ②根据简单几何图形的关键点的坐标确定简单几何图形 1. 能够熟练的用坐标描述简单的几何图形。 2. 能够熟练在平面直角坐标系根据关键点确定简单的几何图形。 知识点01 用坐标描述简单的几何图形 1. 用坐标描述简单的几何图形： 一般地，我们可以建立平面直角坐标系来描述一些简单几何图形。在建立平面直角坐标系描述简单的几个图形时，一般只需要用坐标来描述几何图形的关键点的位置即可。 【即学即练1】 1．如图，长方形ABCD的长为6，宽为4，建立适当坐标系，并写出各顶点的坐标． 知识点02 根据简单几何图形的关键点的坐标确定简单的几何图形 1. 根据简单几何图形的关键点的坐标确定简单的几何图形： 在平面直角坐标系中，有简单几何图形的一些关键点的坐标可以确定这些关键点的位置，进而确定这个简单的几何体。 【即学即练1】 2．已知：A（0，1），B（2，0），C（4，3） （1）在坐标系中描出各点，画出△ABC； （2）求△ABC的面积． 题型01 建立坐标系确定几何图形的点的坐标 【典例1】如图，四边形ABCD是长方形，AB＝5，AD＝6，分别与长方形边长平行的两条数轴建立平面直角坐标系，已知A（﹣3，﹣2），则点C的坐标是（　　） A．（2，4） B．（3，2） C．（3，4） D．（2，3） 【变式1】适当建立直角坐标系，描出点（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，﹣1），（3，0），（4，﹣2），（0，0），并用线段顺次连接各点，看图案像什么？ 【变式2】如图所示，建立平面直角坐标系，使点B，C的坐标分别为（0，0），（4，0）．写出点A，D，E，F，G的坐标，并指出它们所在的象限． 【变式3】如图，四边形ACEG和四边形BDFH都是正方形，B，D，F，H分别是正方形ACEG各边的中点，BF的长为8，试建立适当的直角坐标系，写出点A、B、C、D、E、F、G、H的坐标． 【变式4】如图，在边长均为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，并描出下列各点：A（2，1），B（4，1），C（1，3），D（﹣1，3），E（1，﹣2），F（1，4），G（3，2），H（3，﹣2），I（﹣1，1），J（3，3）． （1）连接AB，CD，EF，GH，IJ，描出它们的中点并写出这些中点的坐标； （2）将上述中点的横坐标和纵坐标分别与对应线段的两个端点的横坐标和纵坐标进行比较，你发现它们之间有什么关系？用文字语言表述出来． （3）根据你的发现，若某线段两端点的坐标分别为（a，b），（c，d），则该线段中点的坐标为多少？ 题型02 在坐标系中表示几何图形的关键点的坐标并求几何图形的面积 【典例1】如图，A、B两点的坐标分别为（2，4），（6，0），点P是x轴上一点，且△ABP的面积为6，则点P的坐标为 　 　． 【变式1】在直角坐标系中，已知A（﹣3，4），B（﹣1，﹣2），O（0，0），画出三角形并求三角形AOB的面积． 【变式2】如图，描出A（﹣2，1），B（2，﹣2），C（2，3），D（0，1）四个点，连接AB，BD，DC，CA．求所连线段围成图形的面积． 【变式3】（1）在平面直角坐标系描出下列点A（4，0），B（3，1），C（5，3），D（0，3），并依次连接O，A，B，C，D，O围成一个封闭图形． （2）求出第（1）题中图形的面积． （3）指出第（1）题中三个角：∠ABC，∠BAO，∠C之间的等量关系，并证明． 1．已知直线MN∥x轴，M点的坐标为（2，3），并且线段MN＝3，则点N的坐标为（　　） A．（﹣1，3） B．（5，3） C．（1，3）或（5，3） D．（﹣1，3）或（5，3） 2．在平面直角坐标系中，点A（﹣3，4），点B是x轴上的一个动点，下列数值能作为线段AB长度的是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 3．三角形ABC中，点B和点C的位置如图所示，点A的位置正确的是（　　） A．（5，3） B．（9，5） C．（3，5） D．（2，2） 4．在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．如图中的P，Q两点即为“等距点”．若点A的坐标为（﹣3，1），点B的坐标为B（m，m+6），且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为（　　） A．（3，9） B．（﹣3，3） C．（﹣9，﹣3） D．（﹣9，3） 5．如图，在正方形网格中，点A，B分别用数对（2，1），（7，1）表示，在图中确定点C，连接AB，BC，CA，得到以A为直角顶点的等腰直角三角形，则表示点C的数对是（　　） A．（2，5） B．（2，6） C．（7，5） D．（7，6） 6．如图，已知∠AOC＝30°，∠BOC＝150°，OD平分∠BOA．若点A表示为（2，30°），点B表示为（4，150°），则点D表示为（　　） A．（5，90°） B．（5，75°） C．（5，60°） D．（5，120°） 7．如图，点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴、y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”，例如：如图中的点P（1，3）是“垂距点”．下列选项是“垂距点”是（　　） A．（﹣1，5） B．（2，﹣2） C．（﹣2，6） D．（1，﹣5） 8．在直角坐标系中，过不同的两点P（2a，6）与Q（4+b，3﹣b）的直线PQ∥x轴，则（　　） A．，b＝﹣3 B．，b＝﹣3 C．，b≠﹣3 D．，b≠﹣3 9．如图，已知点A（﹣3，1），B（﹣3，﹣5），点C（x，y）在线段AB上运动，当OC＞OA时，y的取值范围为（　　） A．﹣5≤y＜﹣1 B．y＜1 C．﹣1＜y＜1 D．﹣5＜y≤﹣1 10．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度按逆时针方向沿四边形ABCD的边做环绕运动；同时，另一动点Q从点C出发，以每秒3个单位长度的速度按顺时针方向沿四边形ABCD的边做环绕运动，则第4次相遇时的点的坐标是（　　） A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（1，﹣2） D．（1，1） 11．如图，平面上的25个点组成一个5×5的点阵，同一行或同一列中的两个相邻点之间的距离相等，在点阵中建立平面直角坐标系，若B（2，0），C（2，4），则点A的坐标为 　 ． 12．如图，△ABC的顶点都在方格的格点上，顶点A，B的坐标分别为（﹣1，1），（1，﹣1），则顶点C的坐标是 　 　． 13．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，3），点B（﹣1，0），点D（2，3），点C在x轴上．若CD＝AB，则点C的坐标为 　 　． 14．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（a，b）且∠AOB＝∠BAO＝45°，则a3+6ab2+9a2b的值为 　 　． 15．在平面直角坐标系中，若两点A（x1，y1）、B（x2，y2），线段AB的中点是C，则点C的坐标为），例如：点A（2，4）、点B（3，﹣1），则线段AB的中点C的坐标为，即．请利用上面的结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点M（a，b），N（a+2，a+b），线段MN的中点P恰好位于y轴上，且到x轴的距离是3，则a﹣2b的值等于 　 　． 16．如图，平面直角坐标系中，已知C（0，5），D（a，5）（a＞0），A，B在x轴上，若∠1＝∠D，请写出∠ACB和∠BED数量关系并证明你的结论． 17．如图，一只甲虫在5×5的方格（每一格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右为正，向下向左为负．例如：从A到B记为：A→B（+1，+3）；从C到D记为：C→D（+1，﹣2）（其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向）． （1）填空：A→C（ 　 　，　 　）；C→B（ 　 　，　 ）． （2）若甲虫的行走路线为：A→B→C→D→A，请计算甲虫走过的路程． 18．已知平面直角坐标系中有一点M（2m+1，m﹣1）． （1）若点M在y轴上，求点M的坐标． （2）若N的坐标为（5，﹣2），MN∥x轴，求点M的坐标． （3）若点M到y轴的距离为3，求点M的坐标． 19．如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（a，0），（a，b），点C在y轴上，且BC∥x轴，a，b满足|a﹣3|+（b﹣4）2＝0．点P从原点出发，以每秒2个单位的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的路线运动（回到O为止）． （1）写出点A，B，C的坐标； （2）当点P运动4秒时，求出点P的坐标； （3）点P运动t秒后（t≠0），是否存在点P到x轴的距离为个单位的情况．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 20．在平面直角坐标系中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“识别距离”，给出如下定义： 若|x1﹣x2|＞|y1﹣y2|，则点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“识别距离”为|x1﹣x2|； 若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“识别距离”为|y1﹣y2|． 例如：对于点P1（2，﹣1）与点P2（4，3），因为|2﹣4|＜|﹣1﹣3|，所以点P1与点P2的“识别距离”为4． 【初步理解】 （1）已知点A（﹣1，0），B（1，3），则点A与点B的“识别距离”为　 　． 【深入应用】 （2）已知点A（2，0），点B为y轴上的一个动点， ①若点A与点B的“识别距离”为4，求出满足条件的点B的坐标； ②点A与点B的“识别距离”的最小值为　 ． 【知识迁移】 （3）已知点C（m，2m﹣1），D（0，0），直接写出点C与点D“识别距离”的最小值及对应的C点坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 用坐标描述既简单几何图形 课程标准 学习目标 ①用坐标描述简单几何图形 ②根据简单几何图形的关键点的坐标确定简单几何图形 1. 能够熟练的用坐标描述简单的几何图形。 2. 能够熟练在平面直角坐标系根据关键点确定简单的几何图形。 知识点01 用坐标描述简单的几何图形 1. 用坐标描述简单的几何图形： 一般地，我们可以建立平面直角坐标系来描述一些简单几何图形。在建立平面直角坐标系描述简单的几个图形时，一般只需要用坐标来描述几何图形的关键点的位置即可。 【即学即练1】 1．如图，长方形ABCD的长为6，宽为4，建立适当坐标系，并写出各顶点的坐标． 【分析】以点B为坐标原点建立平面直角坐标系，然后根据点的坐标的写法分别写出即可． 【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示， A（0，4），B（0，0），C（6，0），D（6，4）． 知识点02 根据简单几何图形的关键点的坐标确定简单的几何图形 1. 根据简单几何图形的关键点的坐标确定简单的几何图形： 在平面直角坐标系中，有简单几何图形的一些关键点的坐标可以确定这些关键点的位置，进而确定这个简单的几何体。 【即学即练1】 2．已知：A（0，1），B（2，0），C（4，3） （1）在坐标系中描出各点，画出△ABC； （2）求△ABC的面积． 【分析】（1）描点、连线，画出△ABC即可； （2）利用△ABC的面积＝矩形的面积﹣三个小直角三角形的面积，即可求出△ABC的面积． 【解答】解：（1）描点，画出△ABC，如图所示． （2）S△ABC＝3×42×41×22×3＝4． 题型01 建立坐标系确定几何图形的点的坐标 【典例1】如图，四边形ABCD是长方形，AB＝5，AD＝6，分别与长方形边长平行的两条数轴建立平面直角坐标系，已知A（﹣3，﹣2），则点C的坐标是（　　） A．（2，4） B．（3，2） C．（3，4） D．（2，3） 【分析】由长方形的性质和点A的坐标，分别求得点B、D的坐标，则点C的横坐标＝点B的横坐标，点C的纵坐标＝点D的纵坐标． 【解答】解：∵A（﹣3，﹣2），四边形ABCD是长方形，AB＝5，AD＝6， ∴B（5﹣3，﹣2），即B（2，﹣2）． D（﹣3，6﹣2），即D（﹣3，4）． ∴C（2，4）． 故选：A． 【变式1】适当建立直角坐标系，描出点（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，﹣1），（3，0），（4，﹣2），（0，0），并用线段顺次连接各点，看图案像什么？ 【分析】描点根据顺序连线即可． 【解答】解：如图，像“鱼”． 【变式2】如图所示，建立平面直角坐标系，使点B，C的坐标分别为（0，0），（4，0）．写出点A，D，E，F，G的坐标，并指出它们所在的象限． 【分析】以点B为坐标原点建立平面直角坐标系，然后写出各点的坐标即可． 【解答】解：如图，A（﹣2，3）第二象限， D（6，1）第一象限， E（5，3）第一象限， F（3，2）第一象限， G（1，5）第一象限． 【变式3】如图，四边形ACEG和四边形BDFH都是正方形，B，D，F，H分别是正方形ACEG各边的中点，BF的长为8，试建立适当的直角坐标系，写出点A、B、C、D、E、F、G、H的坐标． 【分析】根据四边形ACEG和四边形BDFH都是正方形，且B，D，F，H分别是正方形ACEG各边的中点，可知BF与CE平行，据此可解决问题． 【解答】解：因为四边形ACEG和四边形BDFH都是正方形， 且B，F分别是AC和EG的中点， 所以BF∥AG∥CE， 则四边形ABFG和四边形BCEF都是矩形． 以BF所在直线为x轴，BF的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示， 由BF＝8可知， A（﹣4，4），B（﹣4，0），C（﹣4，﹣4），D（0，﹣4），E（4，﹣4），F（4，0），G（4，4），H（0，4）． 【变式4】如图，在边长均为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，并描出下列各点：A（2，1），B（4，1），C（1，3），D（﹣1，3），E（1，﹣2），F（1，4），G（3，2），H（3，﹣2），I（﹣1，1），J（3，3）． （1）连接AB，CD，EF，GH，IJ，描出它们的中点并写出这些中点的坐标； （2）将上述中点的横坐标和纵坐标分别与对应线段的两个端点的横坐标和纵坐标进行比较，你发现它们之间有什么关系？用文字语言表述出来． （3）根据你的发现，若某线段两端点的坐标分别为（a，b），（c，d），则该线段中点的坐标为多少？ 【分析】（1）根据坐标的确定方法：分别读出各点的纵横坐标，即可得到各个点的坐标； （2）根据（1）中的坐标与中点坐标找到规律； （3）利用（2）中的规律进行答题． 【解答】解：（1）如图： 各中点的坐标分别是M（3，1），N（0，3），P（1，1），Q（3，0），R（1，2）． （2）对于点M的坐标来说：，； 对点N 来说：，； 对点P来说：，； 对点Q来说：，； 对点R来说：，． 由此发现中点的横坐标为对应线段的两个端点的横坐标和的一半， 中点的纵坐标为对应线段的两个端点的纵坐标和的一半． （3）若某线段两端点的坐标分别为（a，b），（c，d）， 那么该线段的中点坐标为，． 题型02 在坐标系中表示几何图形的关键点的坐标并求几何图形的面积 【典例1】如图，A、B两点的坐标分别为（2，4），（6，0），点P是x轴上一点，且△ABP的面积为6，则点P的坐标为 　（3，0）或（9，0）　． 【分析】设P点坐标为（x，0），则根据三角形面积公式得到•4•|6﹣x|＝6，然后去绝对值求出x的值，再写出P点坐标． 【解答】解：如图，设P点坐标为（x，0）， 根据题意得•4•|6﹣x|＝6， 解得x＝3或9， 所以P点坐标为（3，0）或（9，0）． 故答案为：（3，0）或（9，0）． 【变式1】在直角坐标系中，已知A（﹣3，4），B（﹣1，﹣2），O（0，0），画出三角形并求三角形AOB的面积． 【分析】根据平面直角坐标系找出点A、B、C的位置，然后顺次连接即可；再作出△ABO所在的矩形，然后根据三角形的面积等于矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，然后进行计算即可得解． 【解答】解：△AOB如图； 作出长方形ACDE， 长方形ACDE的面积＝6×3＝18 △ACB的面积6×2＝6， △AOE的面积4×3＝6， △BOD的面积1×2＝1， ∴△AOB的面积＝18﹣6﹣6﹣1＝5． 答：三角形AOB的面积为5． 【变式2】如图，描出A（﹣2，1），B（2，﹣2），C（2，3），D（0，1）四个点，连接AB，BD，DC，CA．求所连线段围成图形的面积． 【分析】根据题意，画出图形，再求出所画图形的面积即可． 【解答】解：如图所示， 连接AB， 因为，， 所以S四边形， 即所连线段围成图形的面积为8． 【变式3】（1）在平面直角坐标系描出下列点A（4，0），B（3，1），C（5，3），D（0，3），并依次连接O，A，B，C，D，O围成一个封闭图形． （2）求出第（1）题中图形的面积． （3）指出第（1）题中三个角：∠ABC，∠BAO，∠C之间的等量关系，并证明． 【分析】（1）根据题意，画出图形即可． （2）按要求求出（1）中所画图形的面积即可． （3）根据（1）中所画图形即可解决问题． 【解答】解：（1）如图所示， （2）连接AC， 则； 又由勾股定理得， AB，BC， 所以， 故． 所以（1）中所画图形的面积为． （3）∠ABC＝∠OAB+∠DCB． 因为DC∥OA， 所以∠DCA+∠CAO＝180°． 又因为∠DCA＝∠DCB+∠BCA，∠CAO＝∠CAB+∠BAO， 所以∠DCB+∠BAO＝180°﹣（∠BCA+∠CAB）． 又因为∠ABC+∠BAC+∠BCA＝180°， 所以∠ABC＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）， 所以∠ABC＝∠DCB+∠BAO． 1．已知直线MN∥x轴，M点的坐标为（2，3），并且线段MN＝3，则点N的坐标为（　　） A．（﹣1，3） B．（5，3） C．（1，3）或（5，3） D．（﹣1，3）或（5，3） 【分析】根据平行于x轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． 【解答】解：∵直线MN∥x轴，且M点的坐标为（2，3）， ∴点N的纵坐标为3， ∵MN＝3， ∴2+3＝5，2﹣3＝﹣1， 即点N的横坐标为5或﹣1， ∴则点N的坐标为（﹣1，3）或（5，3）． 故选：D． 2．在平面直角坐标系中，点A（﹣3，4），点B是x轴上的一个动点，下列数值能作为线段AB长度的是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据点到直线的距离垂线段最短，当AB⊥x轴时，线段AB长度最小，点B坐标为（﹣3，0），故AB＝4，即可求解． 【解答】解：由题意可得： 故当B是x轴上任意一点时，AB⊥x轴时，线段AB的长度最小， ∴根据坐标轴的性质可得，此时点B坐标为（﹣3，0）， ∴AB＝4， 即线段AB的最小值是4， 故选：A． 3．三角形ABC中，点B和点C的位置如图所示，点A的位置正确的是（　　） A．（5，3） B．（9，5） C．（3，5） D．（2，2） 【分析】根据A，B在同一条竖直的直线上，A，C在同一条水平的直线上，由B，C坐标得出A的坐标． 【解答】解：∵A，B在同一条竖直的直线上， ∴A，B的横坐标相同，即A的横坐标为5， ∵A，C在同一条水平的直线上， ∴A，C的纵坐标相同，即A的纵坐标为3， ∴A的坐标为（5，3）， 故选：A． 4．在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．如图中的P，Q两点即为“等距点”．若点A的坐标为（﹣3，1），点B的坐标为B（m，m+6），且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为（　　） A．（3，9） B．（﹣3，3） C．（﹣9，﹣3） D．（﹣9，3） 【分析】先分析出直线上的点到x、y轴距离中有3的点，再根据”等距点“概念进行解答即可． 【解答】解：∵点A的坐标为（﹣3，1），到x、y轴的距离中的最大值等于3， ∴点B坐标中到x、y轴的距离中，至少有一个为3的点， 如果m＝3时，点B坐标为（3，9）； 如果m＝﹣3时，点B坐标为（﹣3，3）； 如果m+6＝3时，点B坐标为（﹣3，3）； 如果m+6＝﹣3时，点B坐标为（﹣9，﹣3）， 这些点中与A符合“等距点”的是：（﹣3，3）， 故选：B． 5．如图，在正方形网格中，点A，B分别用数对（2，1），（7，1）表示，在图中确定点C，连接AB，BC，CA，得到以A为直角顶点的等腰直角三角形，则表示点C的数对是（　　） A．（2，5） B．（2，6） C．（7，5） D．（7，6） 【分析】根据正方形网格中各点的坐标，找到C点，使之满足以A为直角顶点的等腰直角三角形即可． 【解答】解：如图所示， ∵A（2，1），B（7，1），C（2，6） ∴AB＝5，AC＝5， ∵CA⊥AB， ∴△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形． 故选：B． 6．如图，已知∠AOC＝30°，∠BOC＝150°，OD平分∠BOA．若点A表示为（2，30°），点B表示为（4，150°），则点D表示为（　　） A．（5，90°） B．（5，75°） C．（5，60°） D．（5，120°） 【分析】根据点A和点B的表示方法，得出∠BOC和∠AOC的度数，再根据OD平分角BOA及点D的位置即可解决问题． 【解答】解：因为∠AOC＝30°，∠BOC＝150°， 所以∠AOB＝150°﹣30°＝120°． 因为OD平分∠AOB， 所以∠AOD， 所以∠DOC＝60°+30°＝90°， 又因为点D在从内向外的第5层圆上， 所以点D可表示为（5，90°）． 故选：A． 7．如图，点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴、y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”，例如：如图中的点P（1，3）是“垂距点”．下列选项是“垂距点”是（　　） A．（﹣1，5） B．（2，﹣2） C．（﹣2，6） D．（1，﹣5） 【分析】根据新定义计算满足纵横坐标绝对值和为4即可． 【解答】解：A、|﹣1|+|5|＝6≠4，不是“垂距点”，不符合题意； B、|2|+|﹣2|＝4，是“垂距点”，符合题意； C、|﹣2|+|6|＝8≠4，不是“垂距点”，不符合题意； D、|1|+|﹣5|＝6≠4，不是“垂距点”，不符合题意； 故选：B． 8．在直角坐标系中，过不同的两点P（2a，6）与Q（4+b，3﹣b）的直线PQ∥x轴，则（　　） A．，b＝﹣3 B．，b＝﹣3 C．，b≠﹣3 D．，b≠﹣3 【分析】根据平行于x轴的直线上点的纵坐标相等列出方程计算即可得解． 【解答】解：∵过不同的两点P（2a，6）与Q（4+b，3﹣b）的直线PQ∥x轴， ∴2a≠4+b，6＝3﹣b， 解得b＝﹣3，a． 故选：B． 9．如图，已知点A（﹣3，1），B（﹣3，﹣5），点C（x，y）在线段AB上运动，当OC＞OA时，y的取值范围为（　　） A．﹣5≤y＜﹣1 B．y＜1 C．﹣1＜y＜1 D．﹣5＜y≤﹣1 【分析】作点A关于x轴的对称点A′，则A′（﹣3，﹣1）．再结合图象即可直接确定y的取值范围． 【解答】解：如图，作点A关于x轴的对称点A′，则A′（﹣2，﹣1）． ∵OC＞OA， ∴点C在A′B上，且不与A′重合． ∵B（﹣3，﹣5）， ∴y的取值范围为﹣5≤y＜﹣1． 故选：A． 10．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度按逆时针方向沿四边形ABCD的边做环绕运动；同时，另一动点Q从点C出发，以每秒3个单位长度的速度按顺时针方向沿四边形ABCD的边做环绕运动，则第4次相遇时的点的坐标是（　　） A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（1，﹣2） D．（1，1） 【分析】利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为3和2，P、Q的速度和是5，求得每一次相遇的地点的坐标即可解答． 【解答】解：∵点A（1，1）、B（﹣1，1）、C（﹣1，﹣2）、D（1，﹣2）， ∴AB＝CD＝1﹣（﹣1）＝2，AD＝BC＝1﹣（﹣2）＝3， ∴矩形的周长为2×（2+3）＝10， 由题意，经过1秒时，P、Q在点B（﹣1，1）处相遇，接下来P、Q两点走的路程和是10的倍数时，两点相遇，相邻两次相遇间隔时间为10÷（2+3）＝2（秒）， ∴第二次相遇点是CD的中点（0，﹣2）， 第三次相遇点是点A（1，1）， 第四次相遇点是点（﹣1，﹣1）， 故选：A． 11．如图，平面上的25个点组成一个5×5的点阵，同一行或同一列中的两个相邻点之间的距离相等，在点阵中建立平面直角坐标系，若B（2，0），C（2，4），则点A的坐标为 　（0，4）　． 【分析】根据题意，建立合适的平面直角坐标系即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为点B坐标为（2，0），点C坐标为（2，4）， 则如图所示， 所以点A的坐标为（0，4）． 故答案为：（0，4）． 12．如图，△ABC的顶点都在方格的格点上，顶点A，B的坐标分别为（﹣1，1），（1，﹣1），则顶点C的坐标是 　（2，0）　． 【分析】依据点A，B的坐标建立直角坐标系中，即可得到点C的坐标． 【解答】解：根据题意，建立平面直角坐标系如图所示， 由图可知点C的坐标为（2，0）． 故答案为：（2，0）． 13．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，3），点B（﹣1，0），点D（2，3），点C在x轴上．若CD＝AB，则点C的坐标为 　（1，0）或（3，0）　． 【分析】根据轴对称的性质即可求解． 【解答】解：∵点A（﹣2，3），点B（﹣1，0）， ∴点A关于直线x＝﹣2的对称点为E（3，0）， 连接AE，则AB＝AE， ∵点A（﹣2，3），点D（2，3）， ∴点A、D关于y轴对称， ∴点B、点E关于y轴的对称点为（1，0）和（3，0）， ∴若点C为（1，0）或（3，0）时，AB＝CD， ∴若CD＝AB，则点C的坐标为（1，0）或（3，0）． 故答案为：（1，0）或（3，0）． 14．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（a，b）且∠AOB＝∠BAO＝45°，则a3+6ab2+9a2b的值为 　128　． 【分析】如图，过点B作BC⊥x轴于点C，通过解直角△AOB求出OB的长度；然后再通过解等腰直角△OBC来求BC、OC的长度，即点B的坐标． 【解答】解：如图，过点B作BC⊥x轴于点C，则∠BCO＝90°． ∵A（0，4）， ∴OA＝4， ∵∠AOB＝∠BAO＝45° ∴∠OBA＝90°， ∴AB＝OB＝2． ∵∠BOC＝45°， ∴OC＝BC＝2， ∴B（2，2）． ∴a＝2，b＝2． ∴a3+6ab2+9a2b＝23+6×2×22+9×22×2＝128． 故答案为：128． 15．在平面直角坐标系中，若两点A（x1，y1）、B（x2，y2），线段AB的中点是C，则点C的坐标为），例如：点A（2，4）、点B（3，﹣1），则线段AB的中点C的坐标为，即．请利用上面的结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点M（a，b），N（a+2，a+b），线段MN的中点P恰好位于y轴上，且到x轴的距离是3，则a﹣2b的值等于 　﹣8或4　． 【分析】先求出MN的中点P的坐标，再根据点P满足的条件列出方程求出a、b的值，最后代入代数式计算即可． 【解答】解：根据题意可得：点M（a，b），N（a+2，a+b），线段MN的中点P（a+1，）， ∵点P恰好位于y轴上， ∴a+1＝0，解得a＝﹣1， ∵点P到x轴的距离是3， ∴3或3， ∴或， ∴b或b， ∴a﹣2b＝﹣12＝﹣8或a﹣2b＝﹣1﹣24． 综上分析，a﹣2b的值为﹣8或4． 故答案为：﹣8或4． 16．如图，平面直角坐标系中，已知C（0，5），D（a，5）（a＞0），A，B在x轴上，若∠1＝∠D，请写出∠ACB和∠BED数量关系并证明你的结论． 【分析】先由C点、D点的纵坐标相等，可得CD∥x轴，即CD∥AB，然后由两直线平行同旁内角互补，可得：∠1+∠ACD＝180°，然后根据等量代换可得：∠D+∠ACD＝180°，然后根据同旁内角互补两直线平行，可得AC∥DE，然后由两直线平行内错角相等，可得：∠ACB＝∠DEC，然后由平角的定义，可得：∠DEC+∠BED＝180°，进而可得：∠ACB+∠BED＝180°． 【解答】解：∠ACB+∠BED＝180°． 理由：∵C（0，5）、D（a，5）（a＞0）， ∴CD∥x轴，即CD∥AB， ∴∠1+∠ACD＝180°， ∵∠1＝∠D， ∴∠D+∠ACD＝180°， ∴AC∥DE， ∴∠ACB＝∠DEC， ∵∠DEC+∠BED＝180°， ∴∠ACB+∠BED＝180°． 17．如图，一只甲虫在5×5的方格（每一格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右为正，向下向左为负．例如：从A到B记为：A→B（+1，+3）；从C到D记为：C→D（+1，﹣2）（其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向）． （1）填空：A→C（ 　+3　，　+4　）；C→B（ 　﹣2　，　﹣1　）． （2）若甲虫的行走路线为：A→B→C→D→A，请计算甲虫走过的路程． 【分析】（1）根据题意可以求得A→C和C→B分别记为什么，从而可以解答本题； （2）根据题意可以在图形标出M、N、P、Q的位置． 【解答】解：（1）由题意可得， A→C记为（+3，+4）；C→B记为（﹣2，﹣1）， 故答案为：+3，+4；﹣2，﹣1； （2）如图所示， ∵A→B＝3+1＝4，B→C＝1+2＝3，C→D＝1+2＝3，D→A＝2+4＝6． ∴AB+BC+CD+DA ＝4+3+3+6 ＝16． 18．已知平面直角坐标系中有一点M（2m+1，m﹣1）． （1）若点M在y轴上，求点M的坐标． （2）若N的坐标为（5，﹣2），MN∥x轴，求点M的坐标． （3）若点M到y轴的距离为3，求点M的坐标． 【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征即可解决问题． （2）根据平行于x轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． （3）根据点到y轴的距离是其横坐标的绝对值即可解决问题． 【解答】解：（1）因为点M在y轴上， 所以2m+1＝0， 解得m， 所以m﹣1， 则点M的坐标为（0，）． （2）因为MN∥x轴，且点N的坐标为（5，﹣2）， 所以m﹣1＝﹣2， 解得m＝﹣1， 所以2m+1＝﹣1， 所以点M的坐标为（﹣1，﹣2）． （3）因为点M到y轴的距离为3， 所以|2m+1|＝3， 解得m＝1或﹣2， 当m＝1时， 2m+1＝3，m﹣1＝0， 则点M的坐标为（3，0）； 当m＝﹣2时， 2m+1＝﹣3，m﹣1＝﹣3， 则点M的坐标为（﹣3，﹣3）， 综上所述：点M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣3）． 19．如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（a，0），（a，b），点C在y轴上，且BC∥x轴，a，b满足|a﹣3|+（b﹣4）2＝0．点P从原点出发，以每秒2个单位的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的路线运动（回到O为止）． （1）写出点A，B，C的坐标； （2）当点P运动4秒时，求出点P的坐标； （3）点P运动t秒后（t≠0），是否存在点P到x轴的距离为个单位的情况．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）直接根据非负数的性质和平行线的性质写出坐标即可； （2）当P点在线段BC上时满足要求，此时P点横坐标与A点纵坐标相等，求出CP，据此作答； （3）点P可能运动到AB或BC或OC上，所以进行分类讨论． 【解答】解：（1）∵|a﹣3|+（b﹣4）2＝0， ∴a﹣3＝0，b﹣4＝0， ∴a＝3，b＝4， 根据平面直角坐标系得，A（3，0），B（3，4）， ∵BC∥x轴， ∴C点、B点的纵坐标相等， ∴C（0，4）； （2）当P运动4秒时，点P运动了2×4＝8个单位长度， ∵AO＝3，AB＝4， ∴点P运动3秒时，点P在线段BC上， ∴BP＝8﹣7＝1， ∴CP＝3﹣1＝2， ∴点P的坐标是（2，4）； （3）存在． 如图，∵t≠0， ∴点P可能运动到AB或BC或OC上， ①当点P运动到AB上时，2t≤7， ∴0＜t，P1A＝2t﹣OA＝2t﹣3， ∴2t﹣3t， 解得：t＝2， ∴P1A＝2×2﹣3＝1， ∴点P1的坐标为（3，1）； ②当点P运动到BC上时，7≤2t≤10，即x≤5， 点P2到x的距离为4， ∴t＝4， 解得：t＝8， ∵x≤5， ∴不符合题意； ③当点P运动到OC上时，10≤2t≤14，即5≤t≤7， P3O＝OA+AB+BC+OC﹣2t＝14﹣2t， ∴14﹣2tt， 解得t， ∴P3O＝14﹣2， ∴点P3的坐标为（0，）． 综上所述，点P运动t秒后，存在点P到x轴的距离为t个单位长度的情况，点的P坐标为：（3，1）或（0，）． 20．在平面直角坐标系中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“识别距离”，给出如下定义： 若|x1﹣x2|＞|y1﹣y2|，则点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“识别距离”为|x1﹣x2|； 若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“识别距离”为|y1﹣y2|． 例如：对于点P1（2，﹣1）与点P2（4，3），因为|2﹣4|＜|﹣1﹣3|，所以点P1与点P2的“识别距离”为4． 【初步理解】 （1）已知点A（﹣1，0），B（1，3），则点A与点B的“识别距离”为　3　． 【深入应用】 （2）已知点A（2，0），点B为y轴上的一个动点， ①若点A与点B的“识别距离”为4，求出满足条件的点B的坐标； ②点A与点B的“识别距离”的最小值为　2　． 【知识迁移】 （3）已知点C（m，2m﹣1），D（0，0），直接写出点C与点D“识别距离”的最小值及对应的C点坐标． 【分析】（1）根据“识别距离”的定义直接计算判断即可； （2）①根据“识别距离”的定义列方程，再解出即可； ②根据“识别距离”的定义分情况讨论求解即可； （3）根据“识别距离”的定义可知：点C与点D“识别距离”的最小，|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|，由此列出关于m的方程，解出m的值即可． 【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），B（1，3）， ∴|x1﹣x2|＝|﹣1﹣1|＝2，|y1﹣y2|＝|0﹣3|＝3， ∴|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|， 根据“识别距离”的定义，可知点A与点B的“识别距离”为3， 故答案为：3； （2）①∵B为y轴上的动点， ∴可设B点坐标为（0，b）， ∵点A（2，0）与点B的“识别距离”为4，|2﹣0|＝2， ∴|0﹣b|＝4， ∴b＝±4． ∴点B的坐标为（0，4）或（0，﹣4）； ②∵|2﹣0|＝2，根据“识别距离”的定义可知， 当|0﹣b|＞2时，点A与点B的“识别距离”大于2， 当|0﹣b|≤2时，点A与点B的“识别距离”等于2， ∴点A与点B的“识别距离”的最小值为2， 故答案为：2． （3）点C与D的“识别距离”的最小值； 相应的C点坐标为． 理由：由“识别距离”的定义可知：点C与点D“识别距离”的最小，|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|， ∵C（m，2m﹣1），D（0，0）， ∴|m﹣0|＝|m|，|2m﹣1﹣0|＝|2m﹣1|， ∴|m|＝|2m﹣1|， 解得：m＝1或m， 当m＝1时，“识别距离”为|1﹣0|＝1， 当m时，“识别距离”为|0|， ∴点C与D的“识别距离”的最小值为； 相应的C点坐标为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$