精品解析：广东省深圳市南山区外国语学校（集团）滨海学校2024-2025学年九年级下学期开学数学试题

南山外国语学校（集团）滨海学校九年级下期初寒假作业反馈 数学学科 一、单选题（3*8=24分） 1. 在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了锐角三角函数的定义，根据锐角的正切等于对边比邻边解答． 【详解】解：如图， ∵在中，， ∴． 故选：C． 2. 下列各式中，是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键．直接利用二次函数的定义分析得出答案． 【详解】A．不是二次函数，故本选项不符合题意； B．是一次函数不是二次函数，故本选项不符合题意； C．是二次函数，故本选项符合题意； D．不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 相交或相切 【答案】D 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 【详解】解：∵⊙O的半径为2cm，线段OA=3cm，线段OB=2cm， 即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径， ∴点A⊙O外．点B在⊙O上， ∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切， 故选：D． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键． 4. 深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由铁栅栏的全长及的长，可得出平行于墙的一边长为米，再利用长方形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式． 【详解】解：铁栅栏的全长为15米，米， 平行于墙的一边长为米． 根据题意得：． 故选：A． 5. 如图，滑雪道的长为，则滑雪道的竖直高度的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦函数的定义解答即可． 本题考查了正弦函数的应用，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，的长为， 故， 故选：B． 6. 如图，点、、在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．直接利用圆周角定理求解． 【详解】解：． 故选：D． 7. 如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（    ）海里 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，含角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．过点作，交的延长线于，由题意可知，由含的直角三角形的性质可得出海里，再通过角度的计算得出，通过等角对等边可得出海里，根据余弦的定义求出，最后根据线段的和差关系可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于， 则， 由题意可知：，海里， ∴海里，， ∵， ∴， ∴, ∴海里， ∵， ∴海里， ∴海里， 故选：B． 8. 抛物线的对称轴为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论正确的有（ ） ①；②；③若是方程的两个根，则；④图象上有两点和，若，且，则一定有． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数对称轴和图象得出的符号，即可判断①；由时，，即可判断②；画出函数的图象，根据图象可判断③；根据二次函数性质可判断④；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴， ∴， ∵抛物线对称轴为，与轴的一个交点在点和之间， ∴抛物线与轴的另一个交点在点和之间， ∴抛物线与轴的交点在轴的正半轴上， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与轴的另一个交点在点和之间， ∴时，， 即， ∴，故②正确； 由方程得，， 画函数的图象如下， 由图象可知，直线与抛物线相交于两点，交点横坐标满足，故③正确； ∵抛物线开口向下，图象上有两点和，对称轴为 ，，且， ∴点在对称轴右侧， 当时, 在抛物线的右侧，随的增大而减小， ∵， ∴， 当时，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵, ∴， 又∵抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴的越近，函数值越大， ∴， ∴图象上有两点和，若，且，则一定有， 故④正确； ∴结论正确的有个， 故选：． 二、填空题（3*5=15分） 9. 计算的值等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，代入特殊角的三角函数值进行计算，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，每天可以销售100件，经调查发现，销售单价每提高1元，销售量相应减少10件，则销售价提高______元时，可以使每天的销售利润最大． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．设销售价提高元时，每天的销售利润为元，根据利润（销售价进价）销售量建立函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：设销售价提高元时，每天的销售利润为元， 由题意得： ， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值， 即销售价提高4元时，可以使每天的销售利润最大， 故答案为：4． 11. 如图，正六边形内接于中，已知外接圆的半径为2，则阴影部分面积为___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，根据阴影面积总体面积空白面积即可得出答案． 【详解】解：如图，正六边形内接于中，已知外接圆的半径，过作于， ∴， ∴等边三角形， ∴，， ∴， ∴阴影面积为， 故答案为：． 12. 如图，从楼顶处看楼下荷塘处的俯角为，看楼下荷塘处的俯角为，已知楼高为，则荷塘的宽为_____（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，先说明，再由锐角三角函数定义求出的长，即可解决问题．熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键． 【详解】解：∵从楼顶处看楼下荷塘处的俯角为，看楼下荷塘处的俯角为， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即荷塘的宽为． 故答案为：． 13. 如图，内接于， 高相交于点F， 若， 则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识点．作直径，证明四边形是平行四边形，推出，，在和中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作直径，连接，设的半径为， ∵为的直径， ∴，即，， ∵是的高， ∴，， ∴， ∴四边形平行四边形， ∴，， 在中，，即， 解得（负值舍去）， ∴， 在中，，即， 解得（负值舍去）． 故答案为：． 三、解答题 14. 计算和解方程 ①计算：． ②计算：． ③解方程：； ④解方程：． 【答案】①4；②4；③；④ 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值，解一元二次方程： ①先化简各式，再进行加减运算即可； ②先化简各式，再进行加减运算即可； ③利用配方法解方程即可； ④利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：①原式； ②原式； ③， ， ， ∴， ∴； ④ ， ， ， ∴． 15. 如图，在网格中按要求作图． （1）在图1中以点A为旋转中心，作绕点A顺时针旋转后得到； （2）在图2中用无刻度的直尺作出的外心O．（保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换、三角形的外接圆与外心，熟练掌握旋转的性质、三角形的外心的定义是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可． （2）结合三角形的外心的定义，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，则点即为所求． 【小问1详解】 解：如图1，即为所求． 【小问2详解】 解：如图2，分别作线段，的垂直平分线，相交于点， 则点即为所求． 16. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线，与y轴的交点为，与x轴的一个交点为． （1）求这个二次函数的表达式及顶点坐标． （2）通过观察图象，当时，请直接写出自变量x的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标为 （2）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，正确的求出二次函数的解析式，是解题的关键： （1）根据对称性求出抛物线与坐标轴的另一个交点，设出两点式，把代入解析式，求出函数解析式，进而求出顶点坐标即可； （2）找到抛物线在轴的下方时的自变量的范围即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， 设抛物线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， ∴， ∴， ∴顶点坐标为：； 【小问2详解】 由图象可知：当时，或． 17. 如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一座古塔．小山斜坡的坡度为，坡长为39米，在小山的坡底A处测得该塔的塔顶C的仰角为45°，在坡顶B处测得该塔的塔顶C的仰角为74°．（参考数据：，，，） （1）求坡顶B到地面的距离的长； （2）求古塔的高度（结果精确到1米）． 【答案】（1）15米 （2）古搭的高度约为29米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形，掌握锐角三角函数的定义． （1）根据坡度得到，设，则，勾股定理求出的值即可； （2）延长交于点G，则，四边形为矩形，在中，得到，列出算式，求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得，， ， 设，则  ， ，   ， ， ， （米）； 答：坡顶B到地面的距离的长为15米； 【小问2详解】 解：延长交于点G，则，四边形为矩形， ∴，， ， ，   ，   ， ； 在中，，   ， ，， ， ，   （米）．   答：古搭的高度约为29米． 18. 如图，等腰内接于，，点是上的点（不与点，重合），连接并延长至点，连接并延长至点，与交于点． （1）求证：； （2）若，求半径长． 【答案】（1）见解析 （2）半径长 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理； （1）由四边形为圆内接四边形，得到，根据等腰三角形的性质得出，根据同弧所对圆周角相等得出，再结合和对顶角相等即可证明； （2）连接，根据圆周角定理可得，再由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵点，，，均在上， ∴四边形为圆内接四边形， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示连接， ∵ ∴ 设的半径为，则中， 解得：（负值舍去） ∴半径长 19. 综合与实践：根据以下素材，探索完成任务． 如何设计大棚苗木种植方案？ 【素材1】如图①是一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为，宽为矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面． 【素材2】种植苗木时，每棵苗木高．为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．（即苗木的数目为偶数个） 【解决问题】 （1）大棚上半部分形状是一条抛物线，设大棚的高度为y，种植点的横坐标为x．根据图②建立的平面直角坐标系，通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的解析式； （2）探究种植范围．在图②的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下（即），确定种植点的横坐标x的取值范围； （3）拟定种植方案．给出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标x的值． 【答案】（1） （2） （3）最前排符合所有种植条件的苗木数量为18棵，最左边一棵苗木种植点的横坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意求出抛物线的解析式． （1）根据题意建立直角坐标系，分别得到，，再根据待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）根据每棵苗木高，且苗木顶部不触碰大棚得到，即可求出种植点的横坐标的取值范围； （3）根据（2）的种植点的横坐标的取值范围即可求出数量和最左边一棵苗木种植点的横坐标． 【小问1详解】 解：根据图中的坐标系以及题意可得， 点A的坐标为，点B的坐标为， ∵抛物线的顶点坐标为点， ∴可设抛物线的解析式为：， 把点代入可得：， 解得：， ∴抛物线的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：∵种植苗木时，每棵苗木高， ∴当时， 解得：，， ∵苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布， ∴种植点的横坐标的取值范围为：； 【小问3详解】 解：根据题中所知，种植后苗木成轴对称分布，且相邻两棵苗木种植点之间间隔， ∴在距离y轴的两则开始种植，最前排可种植：（棵）， 则最左边一棵苗木种植点的横坐标． 答：最前排符合所有种植条件的苗木数量为18棵，最左边一棵苗木种植点的横坐标为． 20. 如图1，内接于，是的直径，过点B作交于点D（点D与点B不重合）． （1）求证：． （2）如图2，过点C作交的延长线于点E，连结交于点F． ①若，求的长；②若是直角三角形，求的值 【答案】（1）见详解 （2）①1；② 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质得出，根据等边对等角可得出，等量代换可得出，即可得出． （2）①连接，设交于点H，利用圆周角定理，平行线的性质，垂径定理得到 ；利用矩形的判定与性质得到，利用正弦的定义得出含角的直角三角形，由含角的直角三角形的性质，圆周角定理和等边三角形的判定与性质得到，再利用等腰三角形的三线合一的性质求得，则结论可求； ②利用分类讨论的思想方法得到，利用直角三角形的性质和等角的余角相等的性质和等腰三角形的性质得到；设、、，则，利用勾股定理和相似三角形的判定与性质分别表示，进而得到x，y的方程，解方程求得x，y的关系式，代入化简运算即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴．， ∴． 【小问2详解】 解：连接，设交于点H，如图， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． ②∵是直角三角形， 当时，点F在外，由于为弦，这与交于点F不符； 当时，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴点D在外，这与题意不符． ∴只有．则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 设、、， 则， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． ∴， ∴， ∴(负数不合题意，舍去) ∴， ∴， 即 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正弦值求角，含角的直角三角形的性质，连接直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南山外国语学校（集团）滨海学校九年级下期初寒假作业反馈 数学学科 一、单选题（3*8=24分） 1. 在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 相交或相切 4. 深高小学部饲养了两只萌萌羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，滑雪道的长为，则滑雪道的竖直高度的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点、、在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（    ）海里 A B. C. D. 8. 抛物线的对称轴为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论正确的有（ ） ①；②；③若是方程两个根，则；④图象上有两点和，若，且，则一定有． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（3*5=15分） 9. 计算的值等于__________． 10. 某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，每天可以销售100件，经调查发现，销售单价每提高1元，销售量相应减少10件，则销售价提高______元时，可以使每天的销售利润最大． 11. 如图，正六边形内接于中，已知外接圆的半径为2，则阴影部分面积为___________________． 12. 如图，从楼顶处看楼下荷塘处的俯角为，看楼下荷塘处的俯角为，已知楼高为，则荷塘的宽为_____（结果保留根号）． 13. 如图，内接于， 高相交于点F， 若， 则的长为_________． 三、解答题 14. 计算和解方程 ①计算：． ②计算：． ③解方程：； ④解方程：． 15. 如图，网格中按要求作图． （1）在图1中以点A为旋转中心，作绕点A顺时针旋转后得到的； （2）在图2中用无刻度的直尺作出的外心O．（保留作图痕迹） 16. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线，与y轴的交点为，与x轴的一个交点为． （1）求这个二次函数表达式及顶点坐标． （2）通过观察图象，当时，请直接写出自变量x的取值范围． 17. 如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一座古塔．小山斜坡的坡度为，坡长为39米，在小山的坡底A处测得该塔的塔顶C的仰角为45°，在坡顶B处测得该塔的塔顶C的仰角为74°．（参考数据：，，，） （1）求坡顶B到地面的距离的长； （2）求古塔的高度（结果精确到1米）． 18. 如图，等腰内接于，，点是上的点（不与点，重合），连接并延长至点，连接并延长至点，与交于点． （1）求证：； （2）若，求半径长． 19. 综合与实践：根据以下素材，探索完成任务． 如何设计大棚苗木种植方案？ 【素材1】如图①是一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面． 【素材2】种植苗木时，每棵苗木高．为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．（即苗木的数目为偶数个） 【解决问题】 （1）大棚上半部分形状是一条抛物线，设大棚的高度为y，种植点的横坐标为x．根据图②建立的平面直角坐标系，通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的解析式； （2）探究种植范围．在图②的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下（即），确定种植点的横坐标x的取值范围； （3）拟定种植方案．给出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标x的值． 20. 如图1，内接于，是的直径，过点B作交于点D（点D与点B不重合）． （1）求证：． （2）如图2，过点C作交的延长线于点E，连结交于点F． ①若，求的长；②若是直角三角形，求的值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $