第08讲 余弦定理（2大知识点+3大题型+分层练习）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修二）

第08讲 余弦定理 目录 题型归纳 1 题型01 余弦定理及辨析 2 题型02 余弦定理解三角形 3 题型03 余弦定理边角互化的应用 4 分层练习 5 夯实基础 5 能力提升 8 知识点01正弦定理 定理 余弦定理 内容 a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝a2＋c2－2accos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C　 变形形式 cos A＝； cos B＝； cos C＝ 知识点02利用余弦定理理解三角形 利用余弦定理可以解决的两类问题 (1)已知两边及夹角，先求第三边，再求其余两个角． (2)已知三边，求三个内角． 题型01余弦定理及辨析 【例1】（23-24高一下·山东济南·阶段练习）设分别为内角的对边，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高一下·浙江杭州·期中）已知非零向量，满足，，且，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．1 【变式2】（20-21高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则边长 . 【变式3】（22-23高一下·陕西宝鸡·期中）（1）请你用文字语言和符号语言两种形式叙述余弦定理； （2） 请你用向量法证明余弦定理. 题型02 余弦定理解三角形 【例2】（22-23高一下·江苏扬州·期中）已知两地相距5 km，两地相距10，若测得，则两地间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则 . 【变式2】（23-24高一下·北京东城·期中）在中，三个内角的对边分别是，若，求,. 【变式3】（23-24高一下·陕西商洛·期末）在中，已知为的中点，，，. (1)求的面积； (2)求的长. 题型03 余弦定理边角互化的应用 【例3】（23-24高一下·甘肃天水·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高一下·陕西西安·期中）在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角B的最大值为 . 【变式2】（23-24高一下·福建莆田·期末）设的内角所对的边分别为． (1)证明：； (2)若，，，求． 【变式3】（22-23高一下·浙江台州·期末）在锐角中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，. (1)求证：； (2)求的取值范围. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一下·四川凉山·期末）在中，，，，则边（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·安徽六安·期末）的内角的对边分别为，已知，则（    ） A．1 B． C．3 D．1或3 3．（23-24高一下·河南洛阳·期中）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·新疆·期中）在中，角的对边分别为.已知，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一下·广西河池·期中）为三角形三边，满足，则三角形的形状可为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 6．（23-24高一下·湖北襄阳·期中）中,,点在线段上,下列结论正确的是（） A．若是中线,则 B．若是高,则 C．若是角平分线,则 D．若,则是线段的三等分点 三、填空题 7．（23-24高一下·云南昭通·期中）已知中，，则AB中线CM长等于 . 8．（23-24高一下·江苏南京·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则 . 四、解答题 9．（22-23高一下·广东湛江·期末）证明余弦定理：在中，角A，B，C的对边为a，b，c，则. 10．（23-24高一下·重庆长寿·期末）已知分别为三个内角的对边，若且. (1)求角A； (2)若，求边的值． 11．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知的三个角的对边分别为， (1)已知，求边上中线长. (2)请用表示边的中线长，并写出推导过程. 12．（23-24高一下·重庆·期末）在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，，，. (1)求a的值； (2)求的值. 13．（21-22高一下·重庆沙坪坝·期末）中，内角，，的对边分别为，，，． (1)求角的大小； (2)若，，为边上的中点，求的长． 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·浙江·期中）已知的三条边长分别为a，b，c，且，则此三角形的最大角与最小角之和为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·贵州·期中）如图，在中，已知，则为（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24高一下·四川内江·期中）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，过作于，作于，记，，则（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．是定值 D．是定值 二、多选题 5．（22-23高一下·重庆渝中·期中）在钝角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，那么c的值可能为（    ） A．1 B． C．2 D．4 6．（22-23高一下·湖北恩施·期中）钝角的内角、、的对边分别为、、，若，，且，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高一下·安徽·期中）在中，，，点是边上一点，且，当取得最小值时，的值为 . 8．（23-24高一下·四川成都·期中）某同学在利用正弦定理和余弦定理解三角形的研究性学习中发现，用边角互化的思想求出以下三个式子的值都等于同一个常数. （1）； （2）； （3）； 这个常数为 ，将该同学发现的结论一般化后表述出来为 . 四、解答题 9．（23-24高一下·江苏·期中）已知的内角的对边分别为，若，求中线的长． 10．（23-24高一下·上海·期中）如下图，是线段外一点，是线段的垂直平分线上的动点 (1)若，求 (2)求 11．（23-24高一下·江苏南通·期中）如图，在中，已知分别为边上的中点，相交于点. (1)求； (2)求的值. 12．（23-24高一下·天津红桥·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，， (1)求a的值； (2)求的值. 13．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知中，，令，且．过边上一点（异于端点）作边的垂线，垂足为，再由作边的垂线，垂足为，又由作边的垂线，垂足为．设． (1)求的长度； (2)若，求的值； (3)若存在实数，使得为常数，求的值，并写出该常数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 余弦定理 目录 题型归纳 1 题型01 余弦定理及辨析 2 题型02 余弦定理解三角形 7 题型03 余弦定理边角互化的应用 9 分层练习 13 夯实基础 13 能力提升 23 知识点01正弦定理 定理 余弦定理 内容 a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝a2＋c2－2accos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C　 变形形式 cos A＝； cos B＝； cos C＝ 知识点02利用余弦定理理解三角形 利用余弦定理可以解决的两类问题 (1)已知两边及夹角，先求第三边，再求其余两个角． (2)已知三边，求三个内角． 题型01余弦定理及辨析 【例1】（23-24高一下·山东济南·阶段练习）设分别为内角的对边，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】余弦定理及辨析 【分析】根据余弦定理，即可求解. 【详解】根据余弦定理可知，. 故选：B 【变式1】（22-23高一下·浙江杭州·期中）已知非零向量，满足，，且，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．1 【答案】A 【知识点】余弦定理及辨析、已知数量积求模 【分析】设，则，取的中点，由可得，进而得到.要使最小，也最小，由图可知、、三点共线时满足，设，则，，，由余弦定理得，则由可得，进而求解. 【详解】设，则，取的中点， 由， 即， 即， 即, 即， 所以， 而， 即， 所以要使最小，也最小， 显然，此时、、三点共线， 设， 则，，， 因为， 所以由余弦定理得， 即， 即， 由，即， 所以， 所以的最小值为. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题关键在于转化为，进而转化为进而求解 【变式2】（20-21高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则边长 . 【答案】1或2 【知识点】余弦定理及辨析 【分析】利用余弦定理建立方程，解出b. 【详解】在中，由，，， 由余弦定理得： ， 解得：b=1或b=2 故答案为：1或2. 【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考： (1)从题目给出的条件，边角关系来选择； (2)从式子结构来选择． 【变式3】（22-23高一下·陕西宝鸡·期中）（1）请你用文字语言和符号语言两种形式叙述余弦定理； （2）请你用向量法证明余弦定理. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【知识点】余弦定理及辨析 【分析】（1）考查余弦定理的证明，利用教材中的证明即可； （2）构建三角形，利用向量的性质证明即可. 【详解】（1）文字语言：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.   符号语言：                               在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则 ，，； （2）法一 ：在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 如图设那么   ， 所以，同理得，； 法二： 已知△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则， ， 即   同理可证， 题型02 余弦定理解三角形 【例2】（22-23高一下·江苏扬州·期中）已知两地相距5 km，两地相距10，若测得，则两地间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理直接求解即可. 【详解】由余弦定理得，， 即，则. 故选：D. 【变式1】（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则 . 【答案】/ 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据已知条件直接利用余弦定理求解即可 【详解】由余弦定理知， 因为，所以. 故答案为： 【变式2】（23-24高一下·北京东城·期中）在中，三个内角的对边分别是，若，求,. 【答案】， 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理求出、，勾股定理求出. 【详解】由余弦定理得， 所以， 所以， 因为，所以， 又，所以，所以， 所以，. 【变式3】（23-24高一下·陕西商洛·期末）在中，已知为的中点，，，. (1)求的面积； (2)求的长. 【答案】(1). (2). 【知识点】几何图形中的计算、余弦定理解三角形 【分析】(1)，又因已知为的中点，可得，根据余弦定理可求出长，继而求出面积，所以即可求出的面积； (2)根据余弦定理可求出的长. 【详解】（1）根据题意可知， 又因为为的中点，可得， ，，， 根据余弦定理， 代入已知条件得， 得到，故所以可得是直角三角形， 所以可得 故答案为： （2）由第一问可知， 根据余弦定理可知， 代入得， 所以可得， 故答案为： 题型03 余弦定理边角互化的应用 【例3】（23-24高一下·甘肃天水·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】余弦定理边角互化的应用 【分析】根据余弦定理边角互化即可求解. 【详解】由得, 由于，所以，故， 故选：B 【变式1】（22-23高一下·陕西西安·期中）在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角B的最大值为 . 【答案】 【知识点】余弦定理边角互化的应用 【分析】利用余弦定理和基本不等式求解. 【详解】由余弦定理，代入，得， 整理得：， 则， 当仅当时取“”， 由因为，所以， 所以角B的最大值为. 故答案为：. 【变式2】（23-24高一下·福建莆田·期末）设的内角所对的边分别为． (1)证明：； (2)若，，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【知识点】余弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）直接使用余弦定理即可证明； （2）先得到，然后分情况讨论的取值. 【详解】（1）由余弦定理即得. （2）由已知有，故. 若，则； 若，则，解得或（舍去）. 所以或. 【变式3】（22-23高一下·浙江台州·期末）在锐角中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，. (1)求证：； (2)求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】余弦定理解三角形、余弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据题意利用余弦定理进行角化边，运算求解即可； （2）根据锐角三角形结合对勾函数可得，再利用余弦定理可得，进而可得结果. 【详解】（1）因为 由余弦定理得 ， 整理得，即. 所以. （2）由（1）可知：， 由余弦定理可得， 设，则， 因为，且，不妨设，即，可知， 且是锐角三角形，则，得，即， 则，解得，所以， 由对勾函数可知在上单调递增，且， 则，所以， 且，则， 所以的取值范围为. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一下·四川凉山·期末）在中，，，，则边（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理可求的值. 【详解】由余弦定理可得，故 故选：C. 2．（23-24高一下·安徽六安·期末）的内角的对边分别为，已知，则（    ） A．1 B． C．3 D．1或3 【答案】D 【分析】根据题意利用余弦定理运算求解. 【详解】由余弦定理可得，即， 整理可得，解得或. 故选：D. 3．（23-24高一下·河南洛阳·期中）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用二倍角余弦公式求解，再利用余弦定理转化求解即可. 【详解】因为，所以， 又，， 所以， 所以. 故选：D 4．（23-24高一下·新疆·期中）在中，角的对边分别为.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理计算可得. 【详解】由余弦定理可得. 故选：B 二、多选题 5．（23-24高一下·广西河池·期中）为三角形三边，满足，则三角形的形状可为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】AD 【分析】依题意可得，即可判断. 【详解】因为， 所以， 则或， 所以三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：AD 6．（23-24高一下·湖北襄阳·期中）中,,点在线段上,下列结论正确的是（） A．若是中线,则 B．若是高,则 C．若是角平分线,则 D．若,则是线段的三等分点 【答案】AC 【分析】分别使用向量解决三角形中线长问题，等面法求解高线、角平分线问题，两次使用余弦定理解决三等分点问题. 【详解】 A选项：由余弦定理知： 因为是中线，则 则 则 B选项： 则 则故B错误. C选项： 即 则则故C正确. D选项：在中 在中 即若是线段的三等分点，则 但不是方程的解，则选项D错误. 故选：AC. 三、填空题 7．（23-24高一下·云南昭通·期中）已知中，，则AB中线CM长等于 . 【答案】/ 【分析】利用两次余弦定理计算即可求解. 【详解】由题意知， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得. 故答案为： 8．（23-24高一下·江苏南京·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则 . 【答案】 【分析】由余弦定理可得答案. 【详解】， ， 故答案为： 四、解答题 9．（22-23高一下·广东湛江·期末）证明余弦定理：在中，角A，B，C的对边为a，b，c，则. 【答案】证明见解析 【分析】建立图象，把用进行线性表示，两边平方化简即可. 【详解】如图. 设，， 则 所以 所以 10．（23-24高一下·重庆长寿·期末）已知分别为三个内角的对边，若且. (1)求角A； (2)若，求边的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量数量积得，代入余弦定理即可； （2）直接利用余弦定理即可. 【详解】（1）由得 ，，. （2）由余弦定理得： 故. 11．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知的三个角的对边分别为， (1)已知，求边上中线长. (2)请用表示边的中线长，并写出推导过程. 【答案】(1) (2)，过程见解析 【分析】（1）设边上的中线记为，根据余弦定理得和 ，解得. （2）利用余弦定理求出边上的中线即可． 【详解】（1）设边上的中线记为，根据余弦定理得, 所以， 所以. （2）边的中线长为, 证明：设边BC上的中线记为ma， 根据余弦定理得， 所以 ， 所以. 12．（23-24高一下·重庆·期末）在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，，，. (1)求a的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用余弦定理可得：进一步求解即可. （2）利用余弦定理和两角和与差的公式求解即可. 【详解】（1）中，，，， 由余弦定理可得， 即, 整理可得：，解得或(舍)， 所以； （2）由余弦定理可得， 在三角形中，可得sin, 所以 13．（21-22高一下·重庆沙坪坝·期末）中，内角，，的对边分别为，，，． (1)求角的大小； (2)若，，为边上的中点，求的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据余弦定理，结合完全和公式进行求解即可； （2）根据余弦定理进行求解即可. 【详解】（1）， 因为，所以； （2）因为，，， 所以有，（舍去）， ， 解得：. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由余弦定理的边角互化可得，，即可得到的关系式，代入计算即可得到，再由同角的平方关系即可得到结果. 【详解】因为，所以， 整理可得①， 又，可得， 所以，解得②， 由①②可得， 所以， 则. 故选：D 2．（23-24高一下·浙江·期中）已知的三条边长分别为a，b，c，且，则此三角形的最大角与最小角之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意由边长比例关系可求得再由余弦定理可得，即可得出结论. 【详解】根据题意不妨设，；解得 所以可得此三角形的最大角与最小角分别为和； 由余弦定理可得，又， 可得； 所以. 故选：B 3．（23-24高一下·贵州·期中）如图，在中，已知，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理求出，即而求出，结合两角和的正弦公式，即可求得答案. 【详解】在中，由余弦定理：， 所以为锐角，， 所以． 故选：B 4．（23-24高一下·四川内江·期中）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，过作于，作于，记，，则（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．是定值 D．是定值 【答案】C 【分析】由题意，结合余弦定理，三角恒等变换即可化简求解. 【详解】由题意， 由余弦定理有 ， 故ABD错误，C正确. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键在于得到，，由此即可顺利得解. 二、多选题 5．（22-23高一下·重庆渝中·期中）在钝角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，那么c的值可能为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】BCD 【分析】考虑为钝角或为钝角两种情况，根据余弦定理得到或，得到答案. 【详解】若为钝角，则，且， 即，BC满足； 若为钝角，则，且， 即，D满足； 故选：BCD 6．（22-23高一下·湖北恩施·期中）钝角的内角、、的对边分别为、、，若，，且，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】分析可知为钝角，利用余弦定理结合三角形三边关系可得出的取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】因为，，且，则， 因为为钝角三角形，故为钝角， 且，解得， 由三角形三边关系可得，则，故， 故选：BC. 三、填空题 7．（23-24高一下·安徽·期中）在中，，，点是边上一点，且，当取得最小值时，的值为 . 【答案】 【分析】由余弦定理可得，由三点共线，可得，从而得，两边平方，结合二次函数的性质求解即可. 【详解】解：由余弦定理得，， 即， 解得（ 舍去）， 因为点是边上一点，且， 所以， 所以， 所以， 所以当时，取最小值. 故答案为：. 8．（23-24高一下·四川成都·期中）某同学在利用正弦定理和余弦定理解三角形的研究性学习中发现，用边角互化的思想求出以下三个式子的值都等于同一个常数. （1）； （2）； （3）； 这个常数为 ，将该同学发现的结论一般化后表述出来为 . 【答案】 / 【分析】选择②，直接计算可得；利用余弦定理，当时，再化边为角得结果. 【详解】选择②， 由， 则； 由余弦定理，当时，再化边为角得 . 故答案为：；； 四、解答题 9．（23-24高一下·江苏·期中）已知的内角的对边分别为，若，求中线的长． 【答案】 【分析】利用余弦定理得到，解方程求解即可. 【详解】根据题意，作图如下： 在和中，由余弦定理得： ，， 又， 两式相加得， 即，，． 即三角形的中线长为． 10．（23-24高一下·上海·期中）如下图，是线段外一点，是线段的垂直平分线上的动点 (1)若，求 (2)求 【答案】(1)16； (2) 【分析】（1）由余弦定理求出，利用数量积定义即可求； （2）建立直角坐标系，利用数量积的坐标运算即可求. 【详解】（1）由题意知， . （2）以所在的轴为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，如图： 则设， 因为， 所以，解得 所以， 所以. 11．（23-24高一下·江苏南通·期中）如图，在中，已知分别为边上的中点，相交于点. (1)求； (2)求的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用余弦定理即可求解. （2）设，将把和用来表示，由题意可知,进而利用平面向量的数量积即可求解. 【详解】（1）因为，由余弦定理知： ， 所以. （2）设， 因为分别为的中点， 所以. 因为， 所以， . 又，. 所以. 12．（23-24高一下·天津红桥·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，， (1)求a的值； (2)求的值. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）直接由余弦定理即可求解； （2）由二倍角公式得，再结合两角差的余弦公式即可求解. 【详解】（1）由余弦定理，，即， 而，所以； （2）因为，所以， 又，所以， 所以， 从而. 13．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知中，，令，且．过边上一点（异于端点）作边的垂线，垂足为，再由作边的垂线，垂足为，又由作边的垂线，垂足为．设． (1)求的长度； (2)若，求的值； (3)若存在实数，使得为常数，求的值，并写出该常数． 【答案】(1) (2) (3)；该常数为 【分析】（1）根据向量数量积求出，余弦定理求的长度； （2）由，得，设，余弦定理求，由，可得的值； （3）由，可求得，则有，代入中判断值为常数的条件. 【详解】（1）设，则，得， 所以. （2）由已知，则， 设，则， 所以，则有，得. （3）由可得，由（1）知， ，， ， ， ， ， 又，所以， 所以， 若为常数，则，即，此时该常数为. 【点睛】关键点点睛： 结合图形，利用向量数量积和余弦定理求出内角的余弦值，由，在各直角三角形中利用的边长和三角函数求出，找到与的关系. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$