精品解析：广东省广州市广州市铁一中学2024-2025学年九年级数学下学期开学测试卷

2024学年第二学期开学学情摸查 初三数学 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 有一组数据：19，19，18，19，20，19，18，这组数据众数和中位数分别是（ ） A. 19，19 B. 19，18 C. 18，18 D. 18，19 3. 二次函数的顶点坐标为（ ） A B. C. D. 4. 已知一个多边形内角和是外角和4倍，则这个多边形是（ ） A. 八边形 B. 九边形 C. 十边形 D. 十二边形 5. 已知扇形的圆心角为120°，面积为，则扇形的弧长是（ ） A. B. C. D. 6. 点与点关于原点对称，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2024 7. 如图，内接于，AD是的直径，若，则的度数是（ ） A. 60° B. 65° C. 70° D. 75° 8. 如图，在中，点D在边上，且．阅读以下作图步骤： ①以点C为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N； ②以点D为圆心，的长为半径画弧，交于点； ③以点为圆心，的长为半径画弧，交前一条弧于点； ④连接并延长，交于点E． 根据以上作图步骤，一定可以得到的结论是（ ） A. B. C. D. 9. 换元法是一种重要的转化方法，如：解方程，设，原方程转化为．已知m，n是实数，满足，则n的取值范围是（ ） A. n≤0 B. n≥4 C. n≥2 D. n≥3 10. 如图，为双曲线上一点，过点作轴、轴的垂线，分别交直线于、两点，若直线与轴交于点，与轴交于点，则值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 有四张不透明卡片为为，，，，除正面的数不同外，其余都相同，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，抽到写有无理数的卡片的概率为________． 12. 某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头C测一段水平雪道一端A处的俯角为50°，另一端B处的俯角为45°，若无人机镜头处的高度为米，点A，D，B在同一直线上，则通道AB的长度为_________米．(结果保留整数，参考数据，，) 13. 如图，中，，，点P为边上一点，则线段长的范围是____________． 14. 如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，过点作轴于，连接，与相交于点，若，则的值为__________． 15. 如图，中，，与相切于D，与的延长线分别相切于E、F，则的半径为______ 16. 一副含45°和30°角的直角三角形纸板ABC和DEF按图1摆放，BC=DE=12，．现将点D从B点向A点滑动，边DE始终经过BC上一点G，BG=2．H是DF边上一点，满足DH=DG（如图2），当点E到达G点时运动停止．当E到达G点时BD的长为________；运动过程中AH的最小值是________． 三、解答题（本题共9小题，满分72分，解答题需写出文字说明，推理过程和演算步骤） 17. 解不等式组： 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的； （2）请画出绕点B逆时针旋转后的，求点A到所经过的路径长． 19. “唱响红色主旋律，不忘初心担使命．”为宣传红色文化教育，展示青少年听党话、跟党走的良好精神风貌．南昌市某校举办了“红五月”大合唱展演活动．九年级学生准备选择A．《龙的传人》、B．《祖国有我》、C．《东方红》、D．《我和我的祖国》四首歌曲中的两首进行合唱，已知每首歌曲被选中的机会均等． （1）选中《龙的传人》是_________事件，选中《唱支山歌给党听》是___________事件（填“不可能”、“必然”或“随机”）； （2）请你用列举法、列表法或画树状图法表示出所有可能的结果，并求“选中《祖国有我》和《东方红》”的概率． 20. 我市某景区商店在销售北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品时，发现该纪念品的月销售量y件是销售单价x元的一次函数，如表是该商品的销售数据． 销售单价x（元） 40 50 月销售量y（件） 100 80 （1）求y与x的函数关系式； （2）若该商品的进货单价是30元．请问，每件商品的销售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ 21. 如图，一架飞机以每小时千米的速度水平飞行，某个时刻，从地面控制塔（塔高）观测到飞机在处的仰角为，分钟后测得飞机在处的仰角为，试确定飞机的飞行高度．（，结果精确到） 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，，与x轴交于点C，与y轴交于点D． （1）求一次函数的表达式． （2）若点P为x轴上一个动点，当的面积是9时，求点P的横坐标． 23. 如图，为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是的中点，于E，于F． （1）求证：是⊙O的切线； （2）若，求的长度． 24. 已知等边内接于点P为弧上的一个动点，连结、、． （1）如图1，当线段经过点O时，写出线段，，满足的等量关系，并说明理由． （2）如图2，点P为弧的任意一点（点P不与点A、点B重合），试探究线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论． （3）如图3，在中，，，的外角平分线交的外接圆于点P，于E，求的长． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C． （1）求该二次函数的表达式； （2）连接，在该二次函数图象上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由； （3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线，分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期开学学情摸查 初三数学 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的识别．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念依次对各项进行判断即可．轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；把一个图形绕着一个定点旋转后，与初始图形重合，这种图形叫做中心对称图形，这个定点叫做对称中心． 【详解】解：．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．既是轴对称，又是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 有一组数据：19，19，18，19，20，19，18，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 19，19 B. 19，18 C. 18，18 D. 18，19 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了众数和中位数，根据众数和中位数的定义解题即可． 【详解】解：从小到大排列为：18，18，19，19，19，19，20， 其中出现最多次数的为：19，∴众数为19， 一共7个数，中位数为第4个数，∴中位数为：19， 故选：A． 3. 二次函数的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的顶点坐标．先把二次函数解析式化为顶点式，进而即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴二次函数的顶点坐标为． 故选：A 4. 已知一个多边形内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（ ） A. 八边形 B. 九边形 C. 十边形 D. 十二边形 【答案】C 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为n，然后根据内角和与外角和公式列方程求解即可. 【详解】设这个多边形的边数为n， 则（n－2）×180°＝4×360°， 解得：n＝10， 故选C. 【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理及多边形的外角和定理，熟练掌握多边形内角和定理是解答本题的关键.n变形的内角和为：(n-2) ×180°， n变形的外角和为：360°；然后根据等量关系列出方程求解． 5. 已知扇形的圆心角为120°，面积为，则扇形的弧长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形面积公式求得半径R，再根据弧长的公式求弧长即可． 【详解】令扇形的半径为R，弧长为l， ∵， ∴R=6， ∴． ∴扇形的弧长为4π． 故选：B． 【点睛】本题考查了弧长的计算和扇形面积的计算．解答该题需要牢记弧长公式和扇形的面积公式． 6. 点与点关于原点对称，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2024 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了原点对称，熟练掌握关于原点对称的规律是解题的关键．利用关于原点对称点的性质可得a、b的值，再计算的值即可解答． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， ． 故选：B． 7. 如图，内接于，AD是的直径，若，则的度数是（ ） A. 60° B. 65° C. 70° D. 75° 【答案】C 【解析】 【分析】首先连接CD，由AD是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得，又由圆周角定理，可得，再用三角形内角和定理求得答案． 【详解】解：连接CD， ∵AD是的直径， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形的内角和定理．熟练掌握圆周角定理是解此题的关键． 8. 如图，在中，点D在边上，且．阅读以下作图步骤： ①以点C为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N； ②以点D为圆心，的长为半径画弧，交于点； ③以点为圆心，的长为半径画弧，交前一条弧于点； ④连接并延长，交于点E． 根据以上作图步骤，一定可以得到的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据作图得，于是得到，得到，结合平行线分线段成比例定理，计算解答即可． 【详解】解：根据作图得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选项C错误； ∵， ∴，， ∴故选项D，A错误；选项B正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，平行线的判定，三角形相似的判定和性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握基本作图，三角形相似的判定和性质，平行线分线段成比例定理是解题的关键． 9. 换元法是一种重要的转化方法，如：解方程，设，原方程转化为．已知m，n是实数，满足，则n的取值范围是（ ） A. n≤0 B. n≥4 C. n≥2 D. n≥3 【答案】D 【解析】 【分析】先将原等式左边变形，再利用换元法思想求出n关于x的二次函数，确定x的范围后再确定n的范围即可． 【详解】解：原等式变形可得， 令， 则， 该抛物线开口向上，对称轴为， ∵， n的最小值为， ∴n的取值范围是， 故选：D． 【点睛】本题考查了用换元法的思想确定变量的取值范围，涉及到了解一元二次方程和二次函数的图象与性质，解题关键是正确运用换元法，同时能熟练运用二次函数的知识求出最值． 10. 如图，为双曲线上一点，过点作轴、轴的垂线，分别交直线于、两点，若直线与轴交于点，与轴交于点，则值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数综合应用，熟练掌握一次函数及反比例函数的性质是解题关键．过点作轴于点，过点作轴于点，首先求得两点坐标，进而可知、长度，利用三角函数解得，；设点坐标为，可知，再在与中计算、的长度，最后计算的值即可． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图， 对于直线，令，解得， 令，解得， ∴点，， ∴，， ∴， ∴，， 设点坐标为， 则有， ∴， 根据题意，点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴，， ∵轴，轴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 有四张不透明的卡片为为，，，，除正面的数不同外，其余都相同，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，抽到写有无理数的卡片的概率为________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查概率和无理数的概念．根据无理数的定义和概率公式即可求出概率． 无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比．若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环． 【详解】解：∵、为无理数， ∴抽到写有无理数的卡片的概率为：， 故答案为： 12. 某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头C测一段水平雪道一端A处的俯角为50°，另一端B处的俯角为45°，若无人机镜头处的高度为米，点A，D，B在同一直线上，则通道AB的长度为_________米．(结果保留整数，参考数据，，) 【答案】438 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质求出，根据正切的定义求出，结合图形计算即可． 【详解】解：由题意得，， 在中，， （米）， 在中，， 则（米）， 则（米）， 故答案是：． 【点睛】本题查考了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，解题的关键是：能借助构造的直角三角形求解． 13. 如图，中，，，点P为边上一点，则线段长的范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形、勾股定理和等腰三角形的性质，过点A作交于点D，则有，，求得和，过点B作交于点E，利用余弦求得，利用勾股定理求得,结合线段长最短为点B到的距离，最长为即可得到答案． 【详解】解：过点A作交于点D，如图， ∵，， ∴，，， ∴，， 过点B作交于点E， 则，解得， 在中， ∵线段长最短为点B到的距离，最长为， ∴， 故答案为：． 14. 如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，过点作轴于，连接，与相交于点，若，则的值为__________． 【答案】18 【解析】 【分析】过点B作BE⊥x轴于E，延长线段BA，交y轴于F，得出四边形AFOD是矩形，四边形OEBF是矩形，得出S矩形AFOD=6，S矩形OEBF=k，根据平行线分线段成比例定理证得AB=2OD，即OE=3OD，即可求得矩形OEBF的面积，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值． 【详解】解：过点B作BE⊥x轴于E，延长线段BA，交y轴于F， ∵AB∥x轴， ∴AF⊥y轴， ∴四边形AFOD是矩形，四边形OEBF是矩形， ∴AF=OD，BF=OE， ∴AB=DE， ∵点A在双曲线y=上， ∴S矩形AFOD=6， 同理S矩形OEBF=k， ∵AB∥OD， ∴OD:AB=CD:AC=1:2， ∴AB=2OD， ∴DE=2OD， ∴OE=3OD， ∴S矩形OEBF=3S矩形AFOD=18， ∴k=18． 故答案是：18． 【点睛】本题主要考查反比例函数．解题的关键在于要利用反比例函数的比例系数k的几何意义表示矩形的面积． 15. 如图，中，，与相切于D，与的延长线分别相切于E、F，则的半径为______ 【答案】3 【解析】 【分析】连接，设的半径为r，根据切线长定理可得，，，根据勾股定理求解，即可求解． 【详解】解：连接，如图， 设的半径为r， ∵， ∴四边形矩形， ∴， ∵， ∴， ∵与相切于D，与的延长线分别相切于E、F， ∴，，， ∴， ∴，解得：， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了，直角三角形的性质，切线的性质，勾股定理，掌握切线的性质是解题的关键． 16. 一副含45°和30°角的直角三角形纸板ABC和DEF按图1摆放，BC=DE=12，．现将点D从B点向A点滑动，边DE始终经过BC上一点G，BG=2．H是DF边上一点，满足DH=DG（如图2），当点E到达G点时运动停止．当E到达G点时BD的长为________；运动过程中AH的最小值是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】当E到达G点时，在中勾股定理即可求得BD的长，以为圆心，为半径作，延长交于点，连接，，，当时，最小，过点作,过点作，则四边形是矩形，设，，，根据，列出方程，解方程求解即可求解． 【详解】当E到达G点时，在， 如图，以为圆心，为半径作，延长交于点，连接，， ，DH=DG 是等边三角形, 在中， 在直线上运动， 当时，最小， 过点作,过点作，则四边形是矩形， 设，，， 则 又 解得 , 故答案：， 【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，圆周角定理，等边三角形的性质，求得是解题的关键． 三、解答题（本题共9小题，满分72分，解答题需写出文字说明，推理过程和演算步骤） 17. 解不等式组： 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别解出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的； （2）请画出绕点B逆时针旋转后的，求点A到所经过的路径长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析， 【解析】 【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点，，即可． （2）分别作出A，B，C的对应点，，即可，再利用弧长公式求解即可． 【小问1详解】 如图所示即为所求； 【小问2详解】 如图所示即为所求， ， 点A到经过的路径长． 【点睛】本题考查作图——旋转变换，中心对称，勾股定理和弧长公式，解题的关键是正确得出对应点的位置． 19. “唱响红色主旋律，不忘初心担使命．”为宣传红色文化教育，展示青少年听党话、跟党走的良好精神风貌．南昌市某校举办了“红五月”大合唱展演活动．九年级学生准备选择A．《龙的传人》、B．《祖国有我》、C．《东方红》、D．《我和我的祖国》四首歌曲中的两首进行合唱，已知每首歌曲被选中的机会均等． （1）选中《龙的传人》是_________事件，选中《唱支山歌给党听》是___________事件（填“不可能”、“必然”或“随机”）； （2）请你用列举法、列表法或画树状图法表示出所有可能的结果，并求“选中《祖国有我》和《东方红》”的概率． 【答案】（1）随机，不可能 （2） 【解析】 【分析】（1）根据随机事件和不可能事件的概念求解即可； （2）画树状图，这次选择所有等可能的结果共有种，其中“选中《祖国有我》和《东方红》”的结果有种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 选中《龙的传人》是随机事件，选中《唱支山歌给党听》是不可能事件； 故答案为：随机，不可能 【小问2详解】 根据题意画树状图如下： 从树状图可以看出，所有可能结果共有12种，且每种结果出现的可能性相等，其中选中《祖国有我》和《东方红》的结果：即、，有2种， （选中《祖国有我》和《东方红》）． 【点睛】此题考查的是树状图法求概率以及随机事件和不可能事件的概念．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 20. 我市某景区商店在销售北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品时，发现该纪念品的月销售量y件是销售单价x元的一次函数，如表是该商品的销售数据． 销售单价x（元） 40 50 月销售量y（件） 100 80 （1）求y与x的函数关系式； （2）若该商品的进货单价是30元．请问，每件商品的销售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ 【答案】（1）y与x的函数关系式为； （2）每件商品的销售价定为60元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是1800元． 【解析】 【分析】（1）设y与x的函数关系式为，再根据待定系数法求解即可； （2）根据月利润=每件商品的利润×月销售量列出列出解析式，再将其化为顶点式，再根据其性质取最大值即可． 【小问1详解】 解：设y与x的函数关系式为， 根据题意得，， 解得：， ∴y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设每个月可获得的利润为w， 根据题意得，， 整理得，， ∵， ∴该抛物线开口向下，w有最大值， 当时，w有最大值，最大值为1800元． ∴每件商品的销售价定为60元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是1800元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． 21. 如图，一架飞机以每小时千米的速度水平飞行，某个时刻，从地面控制塔（塔高）观测到飞机在处的仰角为，分钟后测得飞机在处的仰角为，试确定飞机的飞行高度．（，结果精确到） 【答案】飞机的飞行高度约为 【解析】 【分析】首先根据飞机的速度与时间算出AB的长度，再过点O作OD⊥AB，垂足为D，设OD＝x千米，由∠OBD＝45°，可得BD＝OD＝x千米，则AD＝（x＋75）千米，再利用三角函数可算出x的值，进而可得到CD的长． 【详解】解：由题意得： 过点作垂足为 设在中， 在中， = 解得 答：飞机飞行高度约为． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，，与x轴交于点C，与y轴交于点D． （1）求一次函数的表达式． （2）若点P为x轴上的一个动点，当的面积是9时，求点P的横坐标． 【答案】（1） （2）或11 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题： （1）将代入，求出反比例函数解析式，进而求出B点坐标，利用待定系数法可求一次函数解析式； （2）设点P的横坐标为n，求出C点坐标，根据列方程，求出n值即可． 【小问1详解】 解：将代入，得， 将代入，得． ∴． 将，代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：设点P的横坐标为n， 将代入，解得，， 即， ∴，， 解答或． ∴点P的横坐标为或11． 23. 如图，为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是的中点，于E，于F． （1）求证：是⊙O的切线； （2）若，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】（1）连接，根据点D是的中点，得出，进而根据内错角相等，得出，最后根据，即可得出结论； （2）过点O作，垂足为H，可得，再由平行线的性质得出，再证明，利用全等三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 连接． ∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵于E， ∴． ∴． ∴． 又∵是半径， ∴是⊙O的切线． 【小问2详解】 过点O作，垂足为H． ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定定理，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 24. 已知等边内接于点P为弧上的一个动点，连结、、． （1）如图1，当线段经过点O时，写出线段，，满足的等量关系，并说明理由． （2）如图2，点P为弧的任意一点（点P不与点A、点B重合），试探究线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论． （3）如图3，在中，，，的外角平分线交的外接圆于点P，于E，求的长． 【答案】（1），理由见解析 （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理得出，由等边三角形的性质得出，求出，由直角三角形的性质得出，，即可得出结论； （2）在上截取，连接，证明是等边三角形，得出，，证出，证明，得出，即可得出结论； （3）在上截取．连接并延长交圆于．连接，由线段垂直平分线的性质得出，由等腰三角形的性质和圆周角定理得出．．得出，证出，证出．得出，得出，证出．即可得出答案． 【小问1详解】 解：，理由如下： 线段经过点， 是的直径， ， 是等边三角形， ， ， ，， ； 【小问2详解】 ，理由如下： 在上截取，连接，如图2所示： 是等边三角形， ，， ， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ； 【小问3详解】 在上截取．连接并延长交圆于．连接，如图3所示： ，， ， ． ． ， ， 又平分， ． ， ． ，即， ． 【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系等知识；熟练掌握圆周角定理和等边三角形的性质是解题的关键． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C． （1）求该二次函数的表达式； （2）连接，在该二次函数图象上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由； （3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线，分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意，分情况讨论，①过点作关于对称点，即可求P的坐标，②轴上取一点，使得，则，设，根据勾股定理求得，建列方程，解方程求解即可； （3）设，，过点作轴于点，则，证明，根据相似三角形的性质列出比例式求得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵由二次函数，令，则， ， 过点，， 设二次函数的表达式为， 将点代入得， ， 解得， ， 【小问2详解】 二次函数的图象经过点，， 抛物线的对称轴为， ①如图，过点作关于的对称点， ， ， ， ， ②轴上取一点，使得，则，设， 则， ， 解得， 即， 设直线CD的解析式为， ， 解得， 直线CD的解析式为， 联立， 解得或， ， 综上所述，或， 【小问3详解】 的值是定值， 设，， 过点作轴于点，则， ， ， ， ， ， 即， ，， ， ， ． 即的值是定值 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，角度问题，相似三角形的性质与判定，掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$