精品解析：广东省汕头市潮阳区2024-2025学年高一上学期期末数学试题

潮阳区2024-2025学年度第一学期高一级教学质量监测试卷 数学 第I卷 选择题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. （ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 设，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 6. 已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则的值为（ ） A B. C. D. 8. 已知是定义在上的函数，当时，且的图象关于对称．对于给定的正数，定义函数，若函数有零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知角终边经过点，则下列选项正确的有（ ） A. 可能为锐角 B. C. D. 点在第二象限 10. 已知且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知不等式，下列说法正确的有（ ） A. 若，则不等式的解集为 B. 若，则不等式的解集为 C. 若，恒成立，则整数的取值集合为 D. 若恰有两个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 第II卷 非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为________． 13 ________． 14. 设函数，其中表示不超过的最大整数，如，，，则________，集合中所有元素之积为________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集，集合，集合． （1）当时，求； （2）若，且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16. 已知函数的最小正周期为，且． （1）求函数的解析式及其单调递减区间； （2）求在上的最大值与最小值． 17. 某科研单位的研究人员对某种细菌的繁殖情况进行了研究，在培养皿中放入了一定数量的细菌，经过1小时细菌的数量变为12个，再经过2小时细菌的数量变为27个，并发现该细菌的个数增长的速度越来越快．现该细菌数量（单位：个）与经过时间（，单位：小时）的关系有以下两个函数模型可供选择：①；②． （1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型解析式； （2）求开始时放入的细菌的数量，并求至少经过几个小时该细菌的数量多于开始放入时的100000倍．（参考数据：，） 18. 设函数． （1）判断的奇偶性并予以证明； （2）设，经研究，此时有，证明：； （3）设，且，若，恒成立，求实数的取值范围． 19. 设是定义在上的函数，若存在正实数，使得对任意的，都有成立，则称函数具有性质． （1）判断函数，是否具有性质，并说明理由． （2）是否存在正实数，使得函数具有性质？若存在，求出的取值集合；若不存在，说明理由． （3）若函数同时满足下列条件，求所有可能的非空数集：①具有性质；②，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 潮阳区2024-2025学年度第一学期高一级教学质量监测试卷 数学 第I卷 选择题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解一元一次不等式得集合N，然后与集合M取并集即得答案. 【详解】求解不等式，得，即集合， 又 所以； 故选：C 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解. 【详解】命题“，”的否定为“，”， 故选：B. 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式化简即可求出. 【详解】 , 故选： 4. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 综上，. 故选：B 5 设，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出函数的图象，数形结合可知，当且时，才可能使得，根据分段函数，代数对应的解析式，建立关于的方程，解方程即可得解. 【详解】 画出画出函数的图象，如上图所示，由图象可知， 当且时，才可能使得， 所以解得 故选：B 6. 已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据吗函数的定义和图象与性质可得，进而求出，结合二次函数在区间上单调性求出参数即可. 【详解】由幂函数的定义知，，解得或， 当时，，为奇函数，不符合题意； 当时，，为偶函数，符合题意，故. 所以，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为直线， 又在上单调，则或， 解得或，即实数的取值范围为. 故选：D 7. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将已知条件两边平方，求得的值以及判断和的符号，将由，求得的值，再等价变形，代入即可得解. 【详解】由 两边平方得 ， 即，而，故. 所以，而 解得， 所以， 故选：A. 8. 已知是定义在上的函数，当时，且的图象关于对称．对于给定的正数，定义函数，若函数有零点，则实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由的图象关于对称，可得出的奇偶性，然后利用奇偶性求出的解析式，根据函数定义，再结合的解析式即可画出的图象，最后将函数有零点问题转化为函数图象有交点问题，从而可得解. 【详解】因为的图象关于对称，所以函数的图象关于， 所以函数为偶函数，即， 又当时，当时，，， 即，所以， 由题意可得，函数的图象如下图所示： 若函数有零点，等价于方程有解，等价于函数与函数的图象有交点，由上图可知，当时，满足题意. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知角的终边经过点，则下列选项正确的有（ ） A. 可能为锐角 B. C. D. 点在第二象限 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，确定角所象限判断A；利用三角函数定义求解判断BCD. 【详解】对于A，角的终边经过点，则角为第二象限角，不可能为锐角，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，，则点在第三象限，D错误. 故选：BC 10. 已知且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知条件求的取值范围，即可判断A；由指数幂的运算判断C；利用基本不等式判断B、D. 【详解】对于A，且，可知，，所以 所以，即，故A正确； 对于B， 当且仅当时，取等号，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，， 当且仅当时，取等号，故D正确； 故选：ACD 11. 已知不等式，下列说法正确的有（ ） A. 若，则不等式的解集为 B. 若，则不等式的解集为 C. 若，恒成立，则整数的取值集合为 D. 若恰有两个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】先因式分解得到二次函数的两点式，代入，即可得，从而可判断A选项；根据得出，从而可直接解，即可判断B选项；分与讨论，当时，转化为含参二次不等式恒成立问题，写出等价条件，解不等式组即可判断C选项；分类讨论分别求解不等式，即可判断D选项. 【详解】， 对于A，若，恒成立，所以的解集为，故A正确； 对于B，若，则，的解集为，故B正确； 对于C，恒成立，即， 当时，等价于 解不等式组得，所以整数取值为， 当时，恒成立，满足题意. 综上所述，整数的取值为，故C错误； 对于D，易知， 当，即时， 的解集为， 易知该解集中不止两个整数解，不符合题意，舍去； 当，即时，由知不符合题意； 当，即时， 的解集为， 易知该解集中不止两个整数解，不符合题意，舍去； 当，即时， 的解集为， 若该解集中恰有两个整数解，则，解得. 综上，实数的取值范围是，故D正确 故选：ABD 第II卷 非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数定义域为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据偶次根式的被开方数大于等于0及分母不等于0，建立不等式组，解不等式组即可得解. 【详解】由题意可得，解不等式组得且 所以函数的定义域为， 故答案为： 13. ________． 【答案】13 【解析】 【分析】由指数和对数的运算性质，结合换底公式即可求得结果. 【详解】原式 故答案为：13 14. 设函数，其中表示不超过的最大整数，如，，，则________，集合中所有元素之积为________ 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】代入计算求出函数值；分段求出函数的值域，进而求出集合中所有元素之积. 【详解】函数，则； ，因此函数的周期为， 则， 当时，；当时，，； 当时，；当时，，； 当时，，； 当时，，， 因此，， 所以集合中所有元素之积为. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：分段讨论求出函数的值域是求得第2空答案的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集，集合，集合． （1）当时，求； （2）若，且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式化简集合A，代入，得到集合B根据补集与交集的运算，可得答案； （2）根据必要不充分条件的集合表示，建立不等式组，可得答案. 【小问1详解】 解一元二次不等式，得或， 所以或，所以 当时， 所以 【小问2详解】 因为“”是“”的必要不充分条件， 所以，又因为 所以或 解不等式组得 综上所述，实数的取值范围为 16. 已知函数的最小正周期为，且． （1）求函数的解析式及其单调递减区间； （2）求在上的最大值与最小值． 【答案】（1），； （2）最大值与最小值分别为. 【解析】 【分析】（1）利用给定条件，求出即得的解析式，再利用正弦函数单调性求出递减区间. （2）求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求出最值. 【小问1详解】 由函数的最小正周期为，得，解得， 由，得，解得，所以函数的解析式为； 由，得， 所以函数的单调递减区间是. 【小问2详解】 当时，，则当，即时，， 当，即时，， 所以函数在上的最大值与最小值分别为. 17. 某科研单位的研究人员对某种细菌的繁殖情况进行了研究，在培养皿中放入了一定数量的细菌，经过1小时细菌的数量变为12个，再经过2小时细菌的数量变为27个，并发现该细菌的个数增长的速度越来越快．现该细菌数量（单位：个）与经过时间（，单位：小时）的关系有以下两个函数模型可供选择：①；②． （1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； （2）求开始时放入的细菌的数量，并求至少经过几个小时该细菌的数量多于开始放入时的100000倍．（参考数据：，） 【答案】（1） （2）开始时放入的细菌的数量为8个，至少经过29个小时该细菌的数量多于开始放入时的100000倍. 【解析】 【分析】（1）根据函数的增长速度比较即可得模型，代入数值即可待定出参数； （2）由题意列出指数不等式，根据对数函数单调性以及对数的运算性质即可求解. 【小问1详解】 由指数函数和幂函数函数图象可知： 的增长速度越来越快，的增长速度越来越慢， 依题意选函数更适合， 则有，解得，即. 【小问2详解】 令，则，即开始时放入的细菌的数量为8个， 令， ∴， ∵，∴至少经过29个小时该细菌的数量多于开始放入时的100000倍. 18. 设函数． （1）判断的奇偶性并予以证明； （2）设，经研究，此时有，证明：； （3）设，且，若，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）奇函数，证明见解析； （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）函数是奇函数，再利用奇函数定义推理即得. （2）根据给定条件，利用对数的运算性质化简即可得证. （3）探讨函数的单调性，结合（1）（2）的结论，求出在上的最大值与最小值的差即可得解. 【小问1详解】 函数是奇函数. 函数中，由，得， ，， 所以函数是奇函数. 【小问2详解】 当时，， 因此，， 所以. 【小问3详解】 由，得，又， 由（1）（2）得， 函数，函数在上单调递减， 函数在上单调递增，因此函数在上单调递减， 当时，， 由，，得， 所以实数的取值范围是. 19. 设是定义在上的函数，若存在正实数，使得对任意的，都有成立，则称函数具有性质． （1）判断函数，是否具有性质，并说明理由． （2）是否存在正实数，使得函数具有性质？若存在，求出的取值集合；若不存在，说明理由． （3）若函数同时满足下列条件，求所有可能的非空数集：①具有性质；②，都有． 【答案】（1）函数，具有性质，理由见解析 （2）当时，函数具有性质，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数具有性质的定义判断即可； （2）根据余弦函数的周期性，即可求出的取值集合. （3）采用数形结合的思想，进行分类讨论分析即可得出结论. 【小问1详解】 当时，； 当时，，即，所以，即； 所以函数，具有性质； 【小问2详解】 当时，函数具有性质，理由如下： 由函数周期性可知，当时，， 即恒成立，所以函数具有性质. 【小问3详解】 当时，与的草图如下图所示： 当时 当时 当时 由图易知，当时，均不满足恒成立，即不有性质； 当时，与的草图如下图所示： 当时 由图易知，当时，不满足恒成立，即不有性质； 当时 由图易知，当时，，使得，不符合题意； 由图易知，当时，即，函数同时满足条件①与②. 综上所述， 【点睛】关键点点睛：第（1）问的关键点在于新定义的理解，然后根据定义判断即可；第（2）问的关键点，借助余弦函数的周期性；第（3）问的关键点，利用数形结合，通过分类讨论画出与的草图，然后即可得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $