精品解析：重庆市重庆市九龙坡区四川外国语大学附属外国语学校2024-2025学年九年级下学期开学数学试题

重庆实验外国语学校初三（下）入学定时作业 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中，有理数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数的分类、算术平方根、立方根，熟练掌握有理数和无理数的定义是解题的关键．根据无有理数和无理数的定义，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、是无理数，故此选项不符合题意； B、是无理数，故此选项不符合题意； C、是无理数，故此选项不符合题意； D、是有理数，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两边的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．根据轴对称图形的定义，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、图形是轴对称图形，符合题意； B、图形不是轴对称图形，不符合题意； C、图形不是轴对称图形，不符合题意； D、图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 3. 下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式是解题的关键．根据因式分解的定义，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、，不属于因式分解，故此选项不符合题意； B、，不属于因式分解，故此选项不符合题意； C、，属于因式分解，故此选项符合题意； D、，不属于因式分解，故此选项不符合题意； 故选：C． 4. 如图，与位似，点为位似中心，若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，根据位似图形的概念、相似三角形的性质进行判断即可． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，， ∴与位似比为，与相似，相似比为， ∴， 故选：B． 5. 估计的值应在（　　） A. 3到4之间 B. 2到3之间 C. 1到2之间 D. 0到1之间 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，不等式的性质，先根据二次根式的运算法则化简，再估算，然后利用不等式的性质即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴． 故选D． 6. 小川一家春节期间团圆相聚，他和兄弟姐妹们约定了互赠礼物，若他们一共购买了90份礼物，则小川及兄弟姐妹一共多少人？假设一共有人，则可以列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．根据题意，每人送出份礼物，再利用送礼物的总数送礼物的人数每人送礼物的份数，建立等量关系即可解答． 【详解】解：假设一共有人， 由题意得，． 故选：B． 7. 毕达哥拉斯学派常把沙滩上的沙粒或小石子用数表示，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图，第1个图形中有1个圆点，第2个图形中有6个圆点，第3个图形中有15个圆点，第4个图形中有28个圆点，…，以此类推，第6个图形对应的圆点数为（　　） A. 45 B. 66 C. 65 D. 91 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律的探索，根据前几个图形中圆点个数得出规律，从第2个图形开始，后面的图形中圆点的个数为前一个的个数分别加上，，，个，这些个数都间隔，即可求解． 【详解】解：∵第1个图形中有1个圆点， 第2个图形中有个圆点， 第3个图形中有个圆点， 第4个图形中有个圆点， …，以此类推， 第5个图形中有个圆点， 第6个图形对应的圆点数为个圆点， 故选：B． 8. 如图，扇形的半径长为2，，以为直径画半圆，取弧的中点，连接，则阴影部分面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积，过点D作将的延长线于点E，由已知可推出阴影部分面积等于扇形面积加个半圆的面积，加以为边长的小正方形的面积，再减去面积，最后根据扇形面积公式代入数据即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，过点D作将的延长线于点E，取中点，连接，则， ∵扇形的半径长为2， ∴， 又∵，点为弧的中点， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵阴影部分面积等于扇形面积，加个半圆的面积，加正方形的面积，再减去面积， ∴ ． 故选：A． 9. 如图，在矩形中，，平分交于点、交于点，过作于点、交于点，若，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形结合平分得到四边形是正方形，得到，再由，设，，则，，然后由，得到，代入后得到，由，得到，代入后得到，即可得到，解得，得到，，再求出，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴设，，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，解一元二次方程，勾股定理等知识点． 10. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘以3再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如：取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过9个步骤变成1（简称为9步“雹程”），我们将第一次循环得到1的步骤记作；再如正整数，，将初始数记作，，，…，，第一次循环得到1的步骤为6步，记作； 现给出冰雹猜想的关系如下：已知满足：（为正整数），． ① ② ③若，则的值可能有4种情况 以上说法中正确的个数为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了归纳推理，根据运算规则逆向寻找结果即可． 【详解】解：①根据题意得，，，，，，，，，， ∴，故①错误； ②同理可得：， ∴， 又同理可得： ∴， ∴，故②错误； ③若，则的值可能有以下3种情况： ， ， ， 故③错误； 综上所述，无正确的． 故选：A． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 一年一度的铁路春运自2025年1月14日开始至2月22日结束，全国铁路发送旅客估计有亿人次，则数510300000用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 如图，是正五边形，延长、交于点，则___________． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和定理、三角形的内角和定理，掌握多边形的外角和为，三角形的内角和为是解题的关键．由题意得，、为正五边形的外角，利用多边形的外角和定理得到，再利用三角形内角和定理即可解． 【详解】解：由题意得，、为正五边形的外角， 正五边形的外角和为， ， ． 故答案为：36． 13. 现将背面完全一样，正面分别写有“中”、“考”、“必”、“胜”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“必胜”的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，根据题意，准确画出树状图或列出表格得到所有等可能结果是解题的关键．分别记“中”、“考”、“必”、“胜”为A，B，C，D，利用树状图的方法可得所有等可能结果；再找恰好组成“必胜”字样的结果数，利用概率公式计算可得． 【详解】解：分别记“中”、“考”、“必”、“胜”为A，B，C，D， 画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰好组成“必胜”字样的结果数有2种结果， 所以抽取的两张卡片上的文字恰好组成“必胜”字样的概率为：， 故答案为：． 14. 若关于的一元一次不等式组有解且至多有2个整数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数之和为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程的解，先解关于x的一元一次不等式组，再根据不等式组有解且至多有2个整数解得到a的取值范围，再解分式方程，根据分式方程有整数解，求出所有满足条件的整数a的值，并求出它们的和即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ， ∵关于x的一元一次不等式组有解且至多有2个整数解， ∴， ∴， 解，得， ∴， ∵关于y的分式方程有整数解， ∴或或或1， ∵， ∴， ∴， ∴所有满足条件的整数a的值为：或或1， ∴所有满足条件的整数a之和为：， 故答案为：． 15. 如图，是的直径，是切线，交于点，若，，则的长为___________，过点作于点，连接并延长交于点，则的长为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，由是的直径，得，由勾股定理得出．结合切线的性质，证明，可求；作于点H，连接，，依次证明，，通过相似三角形对应边成比例，结合勾股定理，即可求出的长． 【详解】解：连接， 是的直径， ， ，， ． 是的切线， ， ， ， 又， ， ， ； ， 在中， ． ． ， ， 又， ， ，即， ， ， 作于点H，连接，， 设，则， ，， ， ，即， ， 是的直径，， ，， ，， ， ， ， ， ， 整理得，， 解得（负值舍去）， ， ，即， ． 故答案为：，． 【点睛】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，切线的性质等，难度较大，通过作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 16. 若一个四位自然数的千位数字与百位数字之差的绝对值为十位数字，千位数字、百位数字与个位数字的和恰好为12，且这个四位数能被12整除，那么称这个数为“双12数”． 例如：，∵，，且，∴4404是“双12数”； 又如，∵，，但，∴1655不是“双12数”． 则1764___________（填“是”或“否”）“双12数”；若一个“双12数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，当为整数时，求出所有满足条件的的平均值为___________． 【答案】 ①. 是 ②. 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、代数式求值，理解“双12数”的定义是解题关键．根据“双12数”的定义即可得是“双12数”；先求出，，，再分两种情况：①和②，根据为整数逐个讨论的值，由此即可得． 【详解】解：∵，，， ∴是“双12数”． ∵一个“双12数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， ∴，，， ①当时，，， ∴，， ， ∵为整数， ∴时，，此时，不能被12整除； 时，，此时，不能被12整除； 时，，此时，不能被12整除； 时，，此时，能被12整除； 时，，此时，能被12整除； 时，，此时，不能被12整除； 时，，此时，不能被12整除； 时，，此时，不能被12整除； ②当时，，， ∴，， ， ∵为整数， ∴时，，此时，不能被12整除； 时，，此时，不能被12整除； 时，，此时，能被12整除； 时，，此时，不能被12整除； 时，，此时，不能被12整除； 综上，所有满足条件的的值为，，， 则所有满足条件的的平均值为， 故答案为：是，． 三、解答题：（本大题8个小题，第17题16分，其余每个小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. （1）计算：； （2）解二元一次方程组：； （3）化简：； （4）化简：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查了乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值以及立方根，解二元一次方程组，整式和分式的化简． （1）先分别计算乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值以及立方根，再算除法，最后算加减即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （3）先利用平方差公式、单项式乘多项式展开，然后合并同类项即可； （4）先算括号里面的减法，再算除法． 【详解】解：（1） ； （2）， 得，， 解得， 将代入得， 解得， ∴方程组的解为； （3） ； （4） ． 18. 寒假期间休闲放松，观影是个好选择，电影《哪吒之魔童闹海》上映10天突破60亿票房成为中国电影票房榜冠军，为了解大家对电影的评价情况，小川同学从某电影院上午、下午观影后的观众中各随机抽取20名观众对电影评价评分（十分制）进行收集、整理、描述、分析．所有观众的评分均高于8分（电影评分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 上午20名学生的评价评分为：8.1，8.7，8.9，9，9，9.2，9.2，9.4，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.7，9.7，9.8，9.9，10，10，10． 下午20名学生的评价评分在C组的数据是：9.1，9.2，9.3，9.3，9.3，9.3，9.4，9.4． （1）上述图表中___________，___________，___________； （2）根据以上数据分析，你认为该影院上、下午观众中哪个时间段的观众对电影的评分较高？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）上午有800名观众，下午有600名观众参加了此次评分调查，估计上下午参加此次评分调查认为电影特别优秀（）的观众人数一共是多少？ 【答案】（1），，40； （2）上午观众时间段的观众对电影的评分较高， ∵上午的平均数，中位数，众数均高于下午， ∴上午观众时间段的观众对电影的评分较高； （3）此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是1080人． 【解析】 【分析】本题考查了求中位数，众数，用样本估计总体． （1）根据中位数，众数的定义，即可求出a和b的值，先求出下午a组的人数所占百分比，即可求出m的值； （2）根据上午和下午平均数，中位数，众数，即可得出结论； （3）将上午和下午认为电影特别优秀的观众人数相加即可． 【小问1详解】 解：∵上午的数据中，出现4次，出现次数最多， ∴； ， ， ∵， ∴下午的中位数在C组， ∴， ， ∴， 故答案为：，，40； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是1080人． 19. 在学习了矩形的相关知识后，小外同学进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的一条对角线一点与另外两个端点连线，再与这条对角线上任一端点组成的2个三角形面积有特殊关系． 提出猜想，小外同学猜想这2个三角形面积相等． 方案构思，小外与同学进行充分讨论，发现两个三角形底边相同，如果能够证明高也是相等即可得面积相等，根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： 数学建模：如图，在矩形中，为对角线上一点，连接、，过作于点． 合作探究：（1）请你用尺规过点作的垂线交于点（不写作法，保留作图痕迹）． 严密推理：（2）已知：矩形，于点，于点．求证：． 证明：∵四边形是矩形， ∴，___________①___________． ∴． ∵___________②___________，， ∴，． ∴． ∴． ∴___________③___________． 而，___________④___________． ∴． 所以过矩形的一条对角线上任意一点与另外两个端点连线，再与这条对角线上任一端点组成的2个三角形面积相等；进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：___________⑤___________． 【答案】（1）图见解析，（2），，，，过平行四边形的一条对角线上任意一点与另外两个端点连线，再与这条对角线上任一端点组成的2个三角形面积相等 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——作垂线，矩形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）根据尺规作图——作垂线，即可解答； （2）根据矩形的性质得出，．则，进而得出，则，根据三角形的面积公式，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求； （2）∵四边形是矩形， ∴，． ∴． ∵，， ∴，． ∴． ∴． ∴． 而，． ∴． 所以过矩形的一条对角线上任意一点与另外两个端点连线，再与这条对角线上任一端点组成的2个三角形面积相等；进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：过平行四边形的一条对角线上任意一点与另外两个端点连线，再与这条对角线上任一端点组成的2个三角形面积相等． 故答案为： ，，，，过平行四边形的一条对角线上任意一点与另外两个端点连线，再与这条对角线上任一端点组成的2个三角形面积相等． 20. 重外生物组在学习生物解剖这一章节为了让学生体验实验的乐趣，决定从市场购买成年雌蛙和雄蛙若干供实验使用．经调研发现市场每只雌蛙价格比雄蛙少3元，生物组花费140元购买雌蛙，而购买相同数量的雄蛙则需要200元． （1）则市场雌蛙与雄蛙的售价分别为多少元/只？ （2）为了加大培养学生对生物的兴趣，某班级决定再次购买两种蛙，已知班级有54名学生，若刚好花完500元钱，且每个人至少都有一只蛙可以解剖，则至少购买多少只雌蛙？ 【答案】（1）雌蛙的售价为7元/只，雄蛙的售价为10元/只 （2）20只 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、二元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设雌蛙的售价为元/只，则雄蛙的售价为元/只，根据题意列出方程求解即可； （2）设购买只雌蛙，只雄蛙，根据题意有，得到，结合为整数得到是10的倍数，再从小到大逐个列举可能的值，直到满足的值不小于54，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设雌蛙的售价为元/只，则雄蛙的售价为元/只， 由题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则． 答：雌蛙的售价为7元/只，雄蛙的售价为10元/只． 【小问2详解】 解：设购买只雌蛙，只雄蛙， 由题意得，， ， 又为整数， 是10的倍数， 当时，，此时，不符合题意； 当时，，此时，不符合题意； 当时，，此时，符合题意； 答：至少购买20只雌蛙． 21. 如图1，在平行四边形中，，，，点为边的中点，点沿着的方向每秒1个单位运动，到达点停止运动，同时点沿着的方向每秒个单位运动，一点停止时另一点也停止运动，连接、、，设的运动时间为秒，记的面积为，记的面积为． （1）请直接写出、关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在图2给定的平面直角坐标系中，画出函数、的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合、的函数图象，请直接写出时的取值范围． 【答案】（1）， （2）图象见解析，性质：当时，取最大值，（答案不唯一，合理即可） （3） 【解析】 【分析】（1）过作于点，由，得到，，再由中点得到即可说明点与点重合，即，，然后利用等高的三角形面积比等于底的比求、关于的函数表达式，注意点需要分在线段和上两种情况讨论； （2）根据、关于的函数表达式结合范围画出图象即可； （3）结合图象找到在上方时的取值范围，即为时的取值范围． 【小问1详解】 解：过作于点， ∵平行四边形中，，， ∴，，，，， ∴，即， ∴，， ∵点为边的中点， ∴， ∴点与点重合，即，， ∴， ∴， ∵点沿着的方向每秒个单位运动，运动时间为秒， ∴，， ∵，的面积为， ∴， 整理得， ∵点沿着的方向每秒1个单位运动，设的运动时间为秒， ∴当点在线段上时，，此时，； 当点在线段上时，，此时， 如图，延长、交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 整理得， 综上所述，； 【小问2详解】 解：函数、的图象如图所示： 由图象可得，当时，取最大值，（答案不唯一，合理即可）； 【小问3详解】 解：由函数图象可得，当时，的取值范围为． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，平行四边形的性质，三角函数，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，证明是解题的关键． 22. 外卖员已经成为一个城市的风景，小明在家点了餐和奶茶正等着外卖员的到来．如图，餐厅在广场中心的北偏西且米，经测量，小明家在餐馆的北偏东且米，奶茶店在小明家的正北方向，奶茶店在餐馆的东北方向．（参考数据：，） （1）求小明家到广场的长度（结果保留根号）； （2）若外卖员甲从广场出发去餐馆取小明点的餐再送往小明家，同时外卖员乙从餐馆出发先到奶茶店取了奶茶再去小明家，若乙取奶茶和甲取餐时间一样，在两人速度相同的情况下谁先到达小明家？请通过计算说明． 【答案】（1）米， （2）若乙取奶茶和甲取餐时间一样，在两人速度相同的情况下甲先到达小明家，理由见解析 【解析】 【分析】（1）作，于点，延长交的延长线于点，作于点，先证明四边形为矩形，利用解直角三角形得到、，，，进而得到，，再结合勾股定理求解，即可解题； （2）作，延长交于点，证明四边形为正方形，进而得到，再结合勾股定理得到，分别算出甲、乙的路程，并进行比较，即可解题． 【小问1详解】 解：作，于点，延长交的延长线于点，作于点， ， ，， ， ，， 四边形为矩形， 由题知，，米， 米，米， 米， ， ， 米， 米，米， 米， 米， 米， 米； 【小问2详解】 解：作，延长交于点， ，，， 四边形为矩形， ，， 奶茶店在餐馆的东北方向， ， ， ， 四边形为正方形， 米， 米，米， 米， 米， ， 若乙取奶茶和甲取餐时间一样，在两人速度相同的情况下甲先到达小明家． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 23. 如图1，已知抛物线与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点，连接、，若，． （1）求抛物线的解析式； （2）点为直线上方抛物线上的一个动点，连接、，、为上的两个动点且满足（在左侧），为上一个动点，连接、，当最大时，求的最小值； （3）如图2，将抛物线沿着射线平移得到新抛物线，上找一点，连接，当与互补时，请写出所有符合条件的的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 【答案】（1） （2） （3）或． 【解析】 【分析】（1）由面积求出，根据得到，，再代入列方程计算即可； （2）过作轴，交于点，交轴于点，在上方找一点，使，，过作轴，交轴于点，连接，先设，则，得到，当时，最大，此时，由，，得到四边形是平行四边形，则，点先向右移动1个单位长度，再向上移动个单位长度得到点，则，，当、、三点共线时取等号，由垂线段最短可得最小值为，即可求出的最小值； （3）先求出平移后解析式为，当在直线下方时，取点，则，则是直线与新抛物线的交点，求出直线解析式，再与新抛物线联立即可得到；当在直线上方时，取一点，使，，则，得到是直线与新抛物线的交点，设，由距离公式列方程求出，再求出直线解析式再与新抛物线联立即可得到． 【小问1详解】 解：令，则，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵抛物线与轴交于，两点（在左侧）， ∴，， 把，代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：过作轴，交于点，交轴于点，在上方找一点，使，，过作轴，交轴于点，连接， ∵，， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∵轴，交于点，交轴于点， ∴设，则， ∴， ∴， ∴当时，最大，此时， ∵，，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形，点沿射线方向移动个单位长度得到点， ∴，点先向右移动1个单位长度，再向上移动个单位长度得到点，则 ∴， ∴当、、三点共线时最小，由垂线段最短可得最小值为， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：∵将抛物线沿着射线平移得到新抛物线，，，， ∴将抛物线先向右移动2个单位长度，再向上移动1个单位长度得到新抛物线， ∴平移后解析式为， 当在直线下方时，如图， 取点，则， ∴，， ∵， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， ∴是直线与新抛物线的交点， ∵，， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得或（不在下方，舍去）， ∴； 当在直线上方时，如图，取一点，使，， ∴， ∴， ∴是直线与新抛物线的交点， 设， ∴，， 两方程相减整理得， 代入得， 解得 当时，，此时与重合， ∴，， ∴， ∵，， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， 联立，得， 解得， ∵在和之间， ∴，此时 ∴； 综上所述，当与互补时，或． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及求抛物线解析式，线段最值，平行四边形的判定与性质，平移，勾股定理，二次函数与角度问题等知识点． 24. 在中，，，点是外部的一点，连接、，若，延长至点，连接，若． （1）如图1，若，，求． （2）如图2，过点作于点交于点，求证：． （3）如图3，将关于对称得到，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，并将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，当最大时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点作，交的延长线于点，先利用等腰直角三角形的性质求出，再求出，即可得、长，再利用，即可求出的长，即可求解； （2）过点作，交的延长线于点，先证明四边形是矩形，得出，再利用一线三垂直全等模型证明，结合证明等腰直角三角形，得出， 再证明，得出，再利用线段的和差即可证明； （3）由，是定值，利用定角定弦模型确定点在以中点为圆心，为直径的上；构造平行四边形，则，，通过角度证明，结合旋转性质可证明，则，是定长，则点在以定点为圆心，长为半径的上；利用两相交圆上两点之间的最大距离可得当、、、依次共线时，最大，作出图形，利用三角函数和勾股定理分别计算边长即可求得． 【小问1详解】 解：如图，过点作，交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作，交的延长线于点， 又∵，， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 【小问3详解】 解：∵将关于对称得到， ∴， 再结合是定值， 则可构造的外接圆，如图，得， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴点在上， ∴为中点，， ∴点在以中点为圆心，为直径的上； 过点作且，连接，，如图， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由旋转得，，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴，是定长， ∴点在以定点为圆心，长为半径的上； 利用两相交圆上两点之间的最大距离可得当、、、依次共线时，最大，此时如图所示， 过点作于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角函数，勾股定理，含角的直角三角形的性质，圆的性质，能熟练地根据题意正确作出辅助线，并掌握全等模型，轨迹圆模型是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆实验外国语学校初三（下）入学定时作业 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中，有理数是（　　） A. B. C. D. 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，与位似，点为位似中心，若，则（　　） A. B. C. D. 5. 估计的值应在（　　） A. 3到4之间 B. 2到3之间 C. 1到2之间 D. 0到1之间 6. 小川一家春节期间团圆相聚，他和兄弟姐妹们约定了互赠礼物，若他们一共购买了90份礼物，则小川及兄弟姐妹一共多少人？假设一共有人，则可以列方程为（　　） A. B. C. D. 7. 毕达哥拉斯学派常把沙滩上的沙粒或小石子用数表示，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图，第1个图形中有1个圆点，第2个图形中有6个圆点，第3个图形中有15个圆点，第4个图形中有28个圆点，…，以此类推，第6个图形对应的圆点数为（　　） A. 45 B. 66 C. 65 D. 91 8. 如图，扇形的半径长为2，，以为直径画半圆，取弧的中点，连接，则阴影部分面积为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，平分交于点、交于点，过作于点、交于点，若，则的长为（　　） A. B. C. D. 10. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘以3再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如：取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过9个步骤变成1（简称为9步“雹程”），我们将第一次循环得到1的步骤记作；再如正整数，，将初始数记作，，，…，，第一次循环得到1的步骤为6步，记作； 现给出冰雹猜想的关系如下：已知满足：（为正整数），． ① ② ③若，则的值可能有4种情况 以上说法中正确的个数为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 一年一度的铁路春运自2025年1月14日开始至2月22日结束，全国铁路发送旅客估计有亿人次，则数510300000用科学记数法表示为___________． 12. 如图，是正五边形，延长、交于点，则___________． 13. 现将背面完全一样，正面分别写有“中”、“考”、“必”、“胜”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“必胜”的概率是______． 14. 若关于的一元一次不等式组有解且至多有2个整数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数之和为___________． 15. 如图，是的直径，是切线，交于点，若，，则的长为___________，过点作于点，连接并延长交于点，则的长为___________． 16. 若一个四位自然数的千位数字与百位数字之差的绝对值为十位数字，千位数字、百位数字与个位数字的和恰好为12，且这个四位数能被12整除，那么称这个数为“双12数”． 例如：，∵，，且，∴4404是“双12数”； 又如，∵，，但，∴1655不是“双12数”． 则1764___________（填“是”或“否”）“双12数”；若一个“双12数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，当为整数时，求出所有满足条件的的平均值为___________． 三、解答题：（本大题8个小题，第17题16分，其余每个小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. （1）计算：； （2）解二元一次方程组：； （3）化简：； （4）化简：． 18. 寒假期间休闲放松，观影是个好选择，电影《哪吒之魔童闹海》上映10天突破60亿票房成为中国电影票房榜冠军，为了解大家对电影的评价情况，小川同学从某电影院上午、下午观影后的观众中各随机抽取20名观众对电影评价评分（十分制）进行收集、整理、描述、分析．所有观众的评分均高于8分（电影评分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 上午20名学生的评价评分为：8.1，8.7，8.9，9，9，9.2，9.2，9.4，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.7，9.7，9.8，9.9，10，10，10． 下午20名学生的评价评分在C组的数据是：9.1，9.2，9.3，9.3，9.3，9.3，9.4，9.4． （1）上述图表中___________，___________，___________； （2）根据以上数据分析，你认为该影院上、下午观众中哪个时间段的观众对电影的评分较高？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）上午有800名观众，下午有600名观众参加了此次评分调查，估计上下午参加此次评分调查认为电影特别优秀（）的观众人数一共是多少？ 19. 在学习了矩形的相关知识后，小外同学进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的一条对角线一点与另外两个端点连线，再与这条对角线上任一端点组成的2个三角形面积有特殊关系． 提出猜想，小外同学猜想这2个三角形面积相等． 方案构思，小外与同学进行充分讨论，发现两个三角形底边相同，如果能够证明高也是相等即可得面积相等，根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： 数学建模：如图，在矩形中，为对角线上一点，连接、，过作于点． 合作探究：（1）请你用尺规过点作的垂线交于点（不写作法，保留作图痕迹）． 严密推理：（2）已知：矩形，于点，于点．求证：． 证明：∵四边形是矩形， ∴，___________①___________． ∴． ∵___________②___________，， ∴，． ∴． ∴． ∴___________③___________． 而，___________④___________． ∴． 所以过矩形的一条对角线上任意一点与另外两个端点连线，再与这条对角线上任一端点组成的2个三角形面积相等；进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：___________⑤___________． 20. 重外生物组在学习生物解剖这一章节为了让学生体验实验的乐趣，决定从市场购买成年雌蛙和雄蛙若干供实验使用．经调研发现市场每只雌蛙价格比雄蛙少3元，生物组花费140元购买雌蛙，而购买相同数量的雄蛙则需要200元． （1）则市场雌蛙与雄蛙的售价分别为多少元/只？ （2）为了加大培养学生对生物的兴趣，某班级决定再次购买两种蛙，已知班级有54名学生，若刚好花完500元钱，且每个人至少都有一只蛙可以解剖，则至少购买多少只雌蛙？ 21. 如图1，在平行四边形中，，，，点为边的中点，点沿着的方向每秒1个单位运动，到达点停止运动，同时点沿着的方向每秒个单位运动，一点停止时另一点也停止运动，连接、、，设的运动时间为秒，记的面积为，记的面积为． （1）请直接写出、关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在图2给定的平面直角坐标系中，画出函数、的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合、的函数图象，请直接写出时的取值范围． 22. 外卖员已经成为一个城市的风景，小明在家点了餐和奶茶正等着外卖员的到来．如图，餐厅在广场中心的北偏西且米，经测量，小明家在餐馆的北偏东且米，奶茶店在小明家的正北方向，奶茶店在餐馆的东北方向．（参考数据：，） （1）求小明家到广场的长度（结果保留根号）； （2）若外卖员甲从广场出发去餐馆取小明点的餐再送往小明家，同时外卖员乙从餐馆出发先到奶茶店取了奶茶再去小明家，若乙取奶茶和甲取餐时间一样，在两人速度相同的情况下谁先到达小明家？请通过计算说明． 23. 如图1，已知抛物线与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点，连接、，若，． （1）求抛物线的解析式； （2）点为直线上方抛物线上的一个动点，连接、，、为上的两个动点且满足（在左侧），为上一个动点，连接、，当最大时，求的最小值； （3）如图2，将抛物线沿着射线平移得到新抛物线，上找一点，连接，当与互补时，请写出所有符合条件的的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 24. 在中，，，点是外部的一点，连接、，若，延长至点，连接，若． （1）如图1，若，，求． （2）如图2，过点作于点交于点，求证：． （3）如图3，将关于对称得到，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，并将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，当最大时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $