精品解析：江苏省盐城市东台市第一教育联盟2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

江苏省盐城市东台市第一教育联盟2024-2025学年九年级上学期12月月考 数学试卷 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 在下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查判断一元二次方程，从三个方面：①含有一个未知数；②未知数的最高次数是二次；③是一个整式方程；结合选项逐项验证即可得到答案，熟记一元二次方程定义“含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的整式方程”是解决问题的关键． 【详解】解：A、是多项式，不是方程，不符合题意； B、变形为，是一元二次方程，符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、中含有分式部分，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：B． 2. 如图，张老汉想用长为75米的棚栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个面积为720平方米的矩形羊圈，并在边上留一个5米宽的门（门用其他材料）．设的长为x米，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程，用含x的式子表示出的长，矩形的面积等于长乘宽，由此可得答案． 【详解】解：设的长为x米，则的长为米， 故， 故选B． 3. 校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在这个三角形花坛的（ ） A. 外心 B. 垂心 C. 重心 D. 内心 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形外心的性质，根据三角形外心的性质即可解答． 【详解】解：∵喷泉到花坛三个顶点的距离相等， ∴喷泉为三角形的花坛三边的垂直平分线的交点，即外心， 故选：A． 4. 如图，已知切于点A，的半径为3，，则切线长为（ ） A. B. 8 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、勾股定理等知识点，掌握切线的性质成为解题的关键． 如图：连接，由切线的性质可得，然后运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵切于点A， ∴， ∵的半径为3，， ∴， ∴． 故选C． 5. 某校在计算学生的数学总评成绩时，规定期中考试成绩占，期末考试成绩占，林琳同学的期中数学考试成绩为分，期末数学考试成绩为分，那么他的数学总评成绩是（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】D 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算方法列式计算即可． 【详解】解：他的数学总评成绩是分， 故选：D． 【点睛】本题主要考查加权平均数算法，熟练掌握加权平均数的算法是解题的关键． 6. 将二次函数的图象向右移1个单位，再向上移2个单位后所得函数的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数左加右减，上加下减的平移规律是解题的关键．根据二次函数图象的平移规律进行求解即可． 【详解】解：将二次函数的图象向右移1个单位，再向上移2个单位后所得函数的关系式为， 故选：D 7. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式与顶点坐标，对称轴的关系．顶点式，顶点坐标为．已知抛物线解析式为顶点式，直接求出顶点坐标． 【详解】解：∵为抛物线的顶点式， 根据顶点式的特点，顶点坐标为. 故选：B． 8. 如图，已知二次函数 、、为常数，且的图象顶点为，经过点；有以下结论：①；②；③；④时，随的增大而减小；⑤对于任意实数，总有，其中正确的有( ) A. ①②③ B. ②③④ C. ③④⑤ D. ①④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图像的性质确定、、的正负即可解答；③将点的坐标代入即可解答；④根据函数图像即可解答；⑤运用作差法判定即可． 【详解】解：①由抛物线的开口方向向下，则，故①正确； ②∵抛物线的顶点为，， ，， ， ， 抛物线与轴的交点在正半轴， ， ，故②错误； ③抛物线经过点， ，即，故③错误； ④抛物线的顶点为，且开口方向向下， 时，随的增大而减小，即④正确； ⑤， ， ，则⑤正确； 综上，正确是①④⑤． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，灵活运用二次函数图像的性质以及掌握数形结合思想成为解答本题的关键． 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9. 若是方程的两根，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，根据根与系数关系求解即可． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴， 故答案为：． 10. 关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，则a的取值范围是 ________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义和判别式的意义可得且，据此列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得：且，解得：且． 故答案为：且． 11. 已知圆锥的母线长为6，其侧面积为，则该圆锥底面圆的半径为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查求圆锥底面圆的半径．根据圆锥的侧面积公式（分别为底面圆半径和母线长），进行求解是解题的关键． 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为，则由题意得，， 解得：， 故答案为：3． 12. 如图，四点都在上，若，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的内接四边形，利用圆的内接四边形对角互补计算即可，熟练掌握内接四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵、、、四点都在上，， ∴， 故答案为：． 13. 不透明的盒中有2枚黑棋和3枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，由题意可知一共有5枚棋子，黑棋有2枚，然后根据公式求解即可． 【详解】解：根据题意，一共有5枚棋子，黑棋有2枚， ∴从盒中随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是， 故答案为：． 14. 已知一组数据的平均数是10，方差是2，数据的方差是_____. 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了方差与算术平均数，用到的知识点：如果一组数据的平均数为，方差为，那么另一组数据，，，的平均数为，方差为．根据方差和平均数的变化规律可得：数据，，……，的平均数是，方差是方差为，再进行计算即可． 【详解】解：∵数据的方差是2， ∴数据的方差是． 故答案为：8． 15. 已知抛物线经过两点，则t的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求出对称轴和函数解析式是解题的关键． 先根据对称点求出对称轴为直线，继而求出b，再将代入函数解析式即可． 【详解】解∵抛物线经过两点， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， 所以解析式为：， 当，则， 故答案为：． 16. 已知关于x的二次函数，当时，函数y的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，能够根据二次函数解析式判断出抛物线的开口方向、对称轴，并熟练运用数形结合思想是解题的关键．根据函数解析式得出抛物线的对称轴，抛物线开口向上，当时，函数有最小值，距离对称轴越远，函数值越大，由此可解． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴在范围内，当时，函数有最小值，最小值为1， 当时，函数有最大值，最大值为：， ∴的取值范围为， 故答案为：． 三．解答题（共96分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，选择适当的方法求解是解题的关键． （1）运用因式分解法求解即可； （2）运用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：移项得：， 因式分解得：， ∴或， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴． 18. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ， 不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2），． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握，方程有两个不相等的实数根是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式，得到，再根据平方的非负性，即可证明结论； （2）将代入方程，求出，再根据因式分解法解二元一次方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入方程，得：． 解得：． 当时，方程为， ， ，， 方程的另一个根是． 19. “秋风起，蟹脚痒”，随着大闸蟹的大量上市，某大闸蟹销售公司前三个月的月销售利润逐月增长，第1个月的销售利润为20万元，第3个月的销售利润为万元．假设从第1个月到第3个月每月销售销钩利润的平均增长率相同． （1）求从第1个月到第3个月每月销售利润的平均增长率； （2）进入第4个月，大闸蟹产量逐渐下降，第4个月的销售利润比第3个月的销售利润下降了，求从第1个月到第4个月的销售利润之和． 【答案】（1） （2）从第1个月到第4个月的销售利润之和为万元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）设从第1个月到第3个月每月销售利润的平均增长率为x，则第2个月的销售利润为万元，第3个月的销售利润为万元，据此列出方程求解即可； （2）先求出第2个月和第4个月的利润，再把四个月的利润求和即可得到答案． 【小问1详解】 解：设从第1个月到第3个月每月销售利润的平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：从第1个月到第3个月每月销售利润的平均增长率为； 【小问2详解】 解： 万元， 答：从第1个月到第4个月的销售利润之和为万元． 20. 某校举办知识竞赛，满分100分．在初赛中，甲乙两组学生成绩如下（单位：分）： 甲组：30，60，60，60，60，60，70，90，90，100． 乙组：50，60，60，60，70，70，70，70，80，90． 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 68 60 376 乙组 70 70 （1）以上成绩统计分析表中_____，_____； （2）请计算乙组的方差； （3）如果你是指导老师，你会选择哪一组同学代表学校参加复赛？并说明理由． 【答案】（1）60，68 （2）116 （3）乙组，方差小，波动小，成绩越稳定 【解析】 【分析】（1）根据加权平均数，众数的定义解答即可． （2）根据方差公式，解答即可． （3）根据方差作出决策解答即可． 本题考查了平均数，众数，方差，熟练掌握公式是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵60出现的次数最多， ∴众数； ∵， ∴； 故答案为：60，68． 【小问2详解】 解：根据题意，得 ． 【小问3详解】 解：∵． 故选乙组，因为方差小，波动小，成绩越稳定． 21. 不负韶华梦，读书正当时！某校对A．《三国演义》、B．《红楼梦》、C．《西游记》、D．《水浒传》四大名著开展“传统文化经典著作”推荐阅读活动． （1）小云从这4部名著中，随机选择1部阅读，他选中《红楼梦》的概率为 ． （2）小萌拟从这4部名著中，选择2部作为课外阅读书籍．求《红楼梦》被选中的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及《红楼梦》被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：共有4部名著， ∴随机选择1部为《西游记》的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中《红楼梦》被选中的结果有6种， ∴《红楼梦》被选中的概率为． 22. 草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． （1）这顶锥形草帽的底面半径为_______，侧面积为_______；（结果保留） （2）计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【答案】（1）15； （2）所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度． 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图，勾股定理，扇形的弧长和面积． （1）利用勾股定理可求得圆锥的底面半径，利用圆锥的侧面积公式即可求解； （2）根据扇形的弧长公式得到，求出即可． 【小问1详解】 解：∵母线长为、高为， ∴底面半径为， 侧面积为， 故答案为：15；； 【小问2详解】 解：设扇形卡纸的圆心角的度数为， 由题意得， ∴， 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度． 23. 如图，是的直径，C是弧的中点，过点C作的垂线，垂足为点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定及扇形的面积公式，矩形的判定和性质等知识点，熟练地掌握切线的判定方法是解决本题的关键． （1）连接，证明，可得，再进一步可得结论； （2）连接、，证明四边形是矩形，可得，再证明，可得，可得，利用可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接、，交于点， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 已知二次函数． （1）画出这个函数的图像； （2）根据图像，直接写出答案： 函数值的最大值； 当时，函数值的取值范围． 【答案】（1）如图： ； （2）； 【解析】 【分析】本题主要考查了画二次函数的图像—五点作图法，函数最大值以及求相应自变量范围内的函数值的取值范围，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据五点作图法的步骤：列表；描点；画图；即可解答； （2）根据函数的图像即可求得； 根据函数的图像即可求得． 【小问1详解】 解：列表： 描点，画图，二次函数的图像如下所示： 【小问2详解】 解：由图像可知，函数最大值是； 当时， 当时，， 所以函数值的取值范围：． 25. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，在直线下方的抛物线取一点M，过点M作平行于轴的直线交于N，求线段的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法将A、B、C三点的坐标代入抛物线的解析式中即可求解． （2）先求得直线的解析式，然后根据与y轴的平行可设点，，则，依据二次函数的性质即可求得的最大值． 【小问1详解】 将 、代入抛物线中， 解得： ∴抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 如下图，设直线的解析式为： 将点的坐标代入上述解析式，得 ∴． 直线的解析式为：． 因平行于x轴，且点N在直线上，点M在抛物线上， 故设点，， ， 当时，MN的值最大， 最大值为：． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数的最值，利用点的坐标表示线段的长度，本题采用了转化的解题思路，即将线段长度的最值问题转化为二次函数的最值问题．理解和掌握二次函数的性质是解题的关键． 26. 某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价元，规定销售单价不低于元，且不高于元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． （1）直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？ （3）该商户从每天的利润中捐出元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，求销售单价的范围． 【答案】（1）； （2）将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是元； （3）捐款后每天剩余利润不低于元，销售单价的范围是． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．解决本题的关键是根据二次函数的性质求出二次函数的最值，从而解决利润最大的问题． 根据销售单价每上涨元，每天销量减少个，列出与之间的函数关系式，根据规定销售单价不低于元，且不高于元可得自变量的取值范围； 根据利润销量单件利润可以得到，利用二次函数的性质求出最大利润； 根据捐款后每天剩余利润不低于元，可以得到，求出方程的解，再根据自变量的取值范围确定销售单价的范围． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：根据题意得： 整理得：， 配方得：， ，抛物线的对称轴为， 当时，随的增大而增大， 又， 当时，有最大值，最大值为， 将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是元； 【小问3详解】 解：根据题意可得：剩余利润为元， 捐款后每天剩余利润不低于元， ， ， 解方程， 可得：，， 又，， 要使捐款后每天剩余利润不低于元，则， 答：捐款后每天剩余利润不低于元，销售单价的范围是． 27. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点． （1）下列函数存在二倍点的有__________；（填序号） ①；②；③；④（为常数） （2）若二次函数（为常数）在的图象上存在两个二倍点，则的取值范围是_________； （3）若抛物线对于任意的常数恒有两个二倍点，求的范围． 【答案】（1）③④ （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查定义新运算，二次函数图象的性质，解不等式组，理解新定义的计算方法，二次函数图象的性质时解题的关键． （1）根据新定义可得，，代入计算即可求解； （2）根据题意，当时，；当时，；根据存在二倍点，代入得，则有，解得，，又因为当时，二次函数，当时，二次函数，可得，则有，由此即可求解； （3）根据存在二倍点，把代入得，，则有，又因为对于任意的常数恒有两个二倍点，则设关于 的二次函数与轴无交点，根据判别式即可求解． 【小问1详解】 解：根据新定义可得，， ∴①，无解，不存在二倍点； ②，则，无解，不在二倍点； ③，整理得，，解得，， ∴存在二倍点； ④，整理得，， ∵， ∴方程有解， ∴存在二倍点； 综上所述，存在二倍点的有：③④； 【小问2详解】 解：二次函数（为常数）在的图象上存在两个二倍点， ∴当时，；当时，； ∵存在二倍点， ∴，整理得，， ∵， ∴， 当时，二次函数，当时，二次函数， ∴， 解得，， ∴的取值范围是； 【小问3详解】 解：抛物线对于任意的常数恒有两个二倍点， ∴把代入得，，整理得，， ∴，即， ∵对于任意的常数恒有两个二倍点， ∴设关于的二次函数与轴无交点， ∴， 解得，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省盐城市东台市第一教育联盟2024-2025学年九年级上学期12月月考 数学试卷 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 在下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，张老汉想用长为75米的棚栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个面积为720平方米的矩形羊圈，并在边上留一个5米宽的门（门用其他材料）．设的长为x米，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在这个三角形花坛的（ ） A. 外心 B. 垂心 C. 重心 D. 内心 4. 如图，已知切于点A，的半径为3，，则切线长为（ ） A. B. 8 C. 4 D. 2 5. 某校在计算学生的数学总评成绩时，规定期中考试成绩占，期末考试成绩占，林琳同学的期中数学考试成绩为分，期末数学考试成绩为分，那么他的数学总评成绩是（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 6. 将二次函数的图象向右移1个单位，再向上移2个单位后所得函数的关系式为（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知二次函数 、、为常数，且的图象顶点为，经过点；有以下结论：①；②；③；④时，随的增大而减小；⑤对于任意实数，总有，其中正确的有( ) A. ①②③ B. ②③④ C. ③④⑤ D. ①④⑤ 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9. 若是方程的两根，则____． 10. 关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，则a的取值范围是 ________． 11. 已知圆锥的母线长为6，其侧面积为，则该圆锥底面圆的半径为______． 12. 如图，四点都在上，若，则_____________． 13. 不透明的盒中有2枚黑棋和3枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是________． 14. 已知一组数据的平均数是10，方差是2，数据的方差是_____. 15. 已知抛物线经过两点，则t的值为_____． 16. 已知关于x的二次函数，当时，函数y的取值范围为______． 三．解答题（共96分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 19. “秋风起，蟹脚痒”，随着大闸蟹的大量上市，某大闸蟹销售公司前三个月的月销售利润逐月增长，第1个月的销售利润为20万元，第3个月的销售利润为万元．假设从第1个月到第3个月每月销售销钩利润的平均增长率相同． （1）求从第1个月到第3个月每月销售利润的平均增长率； （2）进入第4个月，大闸蟹产量逐渐下降，第4个月的销售利润比第3个月的销售利润下降了，求从第1个月到第4个月的销售利润之和． 20. 某校举办知识竞赛，满分100分．在初赛中，甲乙两组学生成绩如下（单位：分）： 甲组：30，60，60，60，60，60，70，90，90，100． 乙组：50，60，60，60，70，70，70，70，80，90． 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 68 60 376 乙组 70 70 （1）以上成绩统计分析表中_____，_____； （2）请计算乙组的方差； （3）如果你是指导老师，你会选择哪一组同学代表学校参加复赛？并说明理由． 21. 不负韶华梦，读书正当时！某校对A．《三国演义》、B．《红楼梦》、C．《西游记》、D．《水浒传》四大名著开展“传统文化经典著作”推荐阅读活动． （1）小云从这4部名著中，随机选择1部阅读，他选中《红楼梦》的概率为 ． （2）小萌拟从这4部名著中，选择2部作为课外阅读书籍．求《红楼梦》被选中的概率． 22. 草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． （1）这顶锥形草帽的底面半径为_______，侧面积为_______；（结果保留） （2）计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 23. 如图，是的直径，C是弧的中点，过点C作的垂线，垂足为点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 24. 已知二次函数． （1）画出这个函数的图像； （2）根据图像，直接写出答案： 函数值的最大值； 当时，函数值的取值范围． 25. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，在直线下方的抛物线取一点M，过点M作平行于轴的直线交于N，求线段的最大值． 26. 某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价元，规定销售单价不低于元，且不高于元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． （1）直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？ （3）该商户从每天的利润中捐出元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，求销售单价的范围． 27. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点． （1）下列函数存在二倍点的有__________；（填序号） ①；②；③；④（为常数） （2）若二次函数（为常数）在的图象上存在两个二倍点，则的取值范围是_________； （3）若抛物线对于任意的常数恒有两个二倍点，求的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $