精品解析：湖北省潜江市2024-2025学年九年级上学期12月十三校联考数学试题

2024-2025学年度十二月九年级数学试卷 一、单选题（共10题，每题3分，共30分） 1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，根据如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，解答本题即可． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 如图，在中，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，据此进行解答即可. 【详解】解：∵， ∴ 故选：C 3. 将抛物线向右平移3个单位，再向下平移5个单位，所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移规律：左加右减，上加下减．据此进行作答即可． 【详解】解：依题意，把抛物线向右平移3个单位，再向下平移5个单位， 所得抛物线的表达式为， 故选：A． 4. 若是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，其一般形式为且是常数，根据概念知：，则可得，从而完成解答． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴， ∴ 故选：A． 5. 关于二次函数的性质，下列说法不正确的是（ ） A. 顶点是 B. 图象开口向上 C. 函数有最小值 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、性质、最值，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵二次函数， ∴图象的顶点坐标为，故选项A说法错误，符合题意； ∵， ∴函数的图象开口向上，故选项B说法正确，不符合题意； ∴函数的最小值为，故选项C说法正确，不符合题意； ∵对称轴为直线，函数的图象开口向上； ∴当时，y随x的增大而增大，故选项D说法正确，不符合题意； 故选：A． 6. 《九章算术》中有题曰：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多少步？若设甲、乙二人从出发到相遇的时间为，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意画出图形，结合勾股定理计算即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：画出图形，如图所示： 由勾股定理可得：， 故选：A． 7. 如图，在半径为5的中，是直径，是弦，D是弧的中点，与交于点E．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，利用垂径定理得到，再利用三角形中位线定理得到，接着证明，得到，设，则，，利用半径为5，解出x，最后在中由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，交于， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵是直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴，即， ∴， 在中，， 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 8. 如图，中，，，，以点A为圆心、为半径画弧，交于点E，以点B为圆心、为半径画弧，交于点F，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算、含30度角的直角三角形、勾股定理，掌握特殊角的三角函数、扇形和三角形面积计算公式是解题的关键．求出，根据三角函数求出；利用扇形的面积公式，根据“阴影部分的面积扇形的面积扇形的面积三角形的面积”计算即可． 【详解】解：，，， ，， ， 阴影部分的面积为． 故选：A． 9. 如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象，确定当时，，即有，再证明，即可作答． 【详解】解：根据函数图象有：当时，， 此时：， ∵， ∴， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，矩形的边，的长是关于m的一元二次方程的两个根，且．将矩形沿对角线折叠，点B的对应点为点，与交于点E，连接，则下列结论正确的个数有（ ） ① ② ③ ④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的基本性质，全等三角形证明及性质，相似三角形的证明，能够找到三角形全等以及相似的两个三角形是本题解题关键．先解方程得到，，通过折叠性质先证得，即可判断②，再通过勾股定理算出，即可判断①，全等中得到角相等，即可判断④，连接与交于点，利用等面积法可求出，进而勾股定理求得，判断③． 【详解】解：∵矩形的边，的长是关于的一元二次方程的两个根， 解方程，得到，， ∴，， ∵矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，与交于点， ∴，，，，， 在与中，，，， ∴，故②正确； ∴，， 设，则， 在直角三角形中，， ∴，解得， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴， ∴， ， ∴，故④正确； ∴ ∴ 如图，连接与交于点，连接， ∴ ∵与关于轴对称， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴ 在中，，故③正确 正确的结论有②③④． 故选：C． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 关于的一元二次方程有一个根是，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本考查了一元二次方程的解，熟练掌握方程的解能使得方程两边相等是解题的关键．把代入方程解之即可得到的值． 【详解】解：把代入方程， 得， 解得：； 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，将绕原点按逆时针方向旋转得到，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，先画出图形，再利用旋转的性质可得答案． 【详解】解：如图所示， ∵点的坐标为， ∴点的坐标是， 故答案为：． 13. 如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为______ 【答案】九##9 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角，掌握圆周角定理是解决问题的关键，理解正多边形的边数与相应的圆心角之间的关系是解决问题的前提． 根据圆周角定理可得正多边形的边所对的圆心角，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案． 【详解】解：如图，设正多边形的外接圆为，连接，， ， ， 而， 这个正多边形为正九边形， 故答案为：九． 14. 如图，的直径，是的弦，于点E，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理．先求出再利用勾股定理即可得得出，最后用垂径定理即可得出． 【详解】解：如图， 连接， 的直径， ， ∵， ， ， ， 在中，， ． 故答案为：． 15. 如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=．在以上4个结论中，其中一定成立的_______________（把所有正确结论的序号都填在横线上） 【答案】①②④． 【解析】 【分析】 【详解】解：由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°， ∴∠DFG=∠A=90°， ∴△ADG≌△FDG，①正确； ∵正方形边长是12， ∴BE=EC=EF=6， 设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12-x， 由勾股定理得：EG2=BE2+BG2， 即：（x+6）2=62+（12-x）2， 解得：x=4 ∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，②正确； BE=EF=6，△BEF是等腰三角形， 则△GED不是等腰三角形， △GDE与△BEF不相似， ③错误； S△GBE=×6×8=24，S△BEF=S△GBE=×24=，④正确. 故答案为：①②④ 三、解答题（共9题，共75分） 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 17. 如图，在中，，是绕着点顺时针方向旋转得到的，此时、、在同一直线上．求： 旋转角的大小； 若，，求的长． 【答案】（1）90°；（2）7； 【解析】 【分析】（1）一组对应边所夹的角称为旋转角，∠ACE就是旋转角; （2）利用勾股定理求出BC，CE＝AC，便得出BE. 【详解】∵是绕着点顺时针方向旋转得到的，此时、、在同一直线上， ∴， 即旋转角为；在中，∵，， ∴， ∵绕着点旋转得到， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转角的定义和勾股定理. 18. 仅用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹． （1）如图，为的弦，画一条与长度相等的弦； （2）如图，正五边形内接于圆，请作出一条直径； 【答案】（1） 与长度相等的弦如图所示： （2） 直径如图所示： 【解析】 【分析】（1）分别过、作直径和，连接，由得； （2）连接，，，交于点，作射线交圆于点，因为是正五边形内接于圆，，则，垂直平分，因为，所以垂直平分，得，从而得为直径． 本题主要考查了作图复杂作图，垂直平分线的性质与判定，垂径定理，圆周角定理，正多边形和圆，熟练掌握无刻度直尺作图，垂径定理是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知米，米，测点D到地面的距离米，到旗杆的水平距离米，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为14米． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的判定与性质，主要利用了相似三角形对应边成比例．求出，根据相似三角形对应边成比例列式求出，再求出，然后根据旗杆的高度代入数据计算即可得解． 【详解】解：，， ， ， 即， 解得， ，，， ， 四边形是矩形， ， （米）． 答：旗杆的高度为14米． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若为方程的一个根，且满足，求整数的值． 【答案】（1） 证明：， ∴， ， ， 该方程总有两个实数根． （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）计算，证明即可解题． （2）因式分解解一元二次方程，再根据题意可得，根据是整数，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ，即， 又为整数， 可取，． 21. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，C是的中点，过点C作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）连接，已知，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，得，根据C是中点得，得，得 ，根据，得，即得是的切线； （2）设交于点F，根据垂径定理推论得，得，四边形是矩形，得，根据为直径，得，得，根据，得，得，得，即得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设交于点F， ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆综合，熟练掌握圆切线的判定和性质，圆周角定理推论，垂径定理推论，勾股定理，相似三角形判定和性质，矩形的判定与性质，是解题的关键． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 问题背景 如图是某校利用大课间开展阳光体育跳大绳活动的瞬间，跳绳时，绳甩到最高处时的形状可以看作抛物线，为了了解学生的身高与跳绳时所站位置之间的关系，九年级数学实践活动小组开展了一次探究活动． 素材 如图，小组成员测得甲、乙两名同学拿绳的手间距为米，到地面的距离和均为米． 素材 如图，身高为米的小丽站在距点的水平距离为米的点处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点．以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系． 问题解决 任务 设此抛物线的解析式为，求的值． 任务 身高为米的张老师也想参加此次跳绳活动，问：他站立时绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由． 【答案】任务：； 任务，不能．理由如下： 由任务知，该抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为，即绳子甩到最高处时最高点的高度为米， ∵， ∴他站立时绳子不能顺利从他头顶越过． 【解析】 【分析】任务：利用待定系数法，把，代入，即可求出的值； 任务：将抛物线解析式化为顶点式，得到绳子甩到最高处时的高度为米，据此即可得到答案； 本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：任务：由题意可知，，，． 把，代入，得， ， 解得：， 任务：略 23. 在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习． 【操作发现】 小明作出了的内接等腰三角形，．并在边上任取一点（不与点， 重合），连接，然后将绕点逆时针旋转得到．如图① 小明发现：与的位置关系是__________，请说明理由： 【问题解决】1：连接，与相交于点．如图②，求证； 【问题解决】2：连接，与相交于点．如图②，求证； 【实践探究】 连接，与相交于点．如图②，小明又发现：当确定时，线段的长存在最大值．请求出当．时，长的最大值； 【答案】操作发现：与相切；理由如下： 解：连接并延长交于点M，连接， ∵是直径， ， ， 由旋转的性质得， ∵， ， ， ∵是的半径， 与相切； 故答案为：相切； 问题解决1： 证明：如图： 由旋转的性质得：， 即， ∵， ， ， 问题解决2： 证明：如图： ， ， ， ， 实践探究： 【解析】 【分析】操作发现：连接并延长交于点M，连接，则，由旋转的性质得，，故，即可求证； 问题解决1：由旋转的性质得：，故，可得，即可证明； 问题解决2：证明“一线三等角”相似即可； 实践探究：由，设，则，则， 那么，转化为二次函数求最值即可． 【详解】操作发现：略 问题解决1： 略 问题解决2： 略 实践探究： 解：∵， ， 设，则， ， ， ， 当时，有最大值为． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，圆周角定理，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数求最值等知识点，难度较大． 24. 综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，动点P在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求证：是一个定值． 【答案】（1）； （2），； （3） 证明：设直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 整理得：， 一元二次方程中， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 这两个不相等的实数根分别为、， 则有， 是一个定值． 【解析】 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法把点和点的坐标代入，得到，解方程组求出、的值，可得抛物线的解析式； （2）过点作轴，交于点，把分成和，可得的面积为，配方可得，从而可知当时，的面积有最大值，此时的坐标为； （3）设直线的解析式为，因为、是抛物线与直线的交点，可得方程，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系可证是一个定值． 【小问1详解】 解：把点和点的坐标代入， 得到：， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如下图所示，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， ， ， 整理得：， 可知当时，的面积有最大值，最大值是， 当时，， 此时点的坐标为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度十二月九年级数学试卷 一、单选题（共10题，每题3分，共30分） 1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向右平移3个单位，再向下平移5个单位，所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 若是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. B. C. D. 5. 关于二次函数的性质，下列说法不正确的是（ ） A. 顶点是 B. 图象开口向上 C. 函数有最小值 D. 当时，y随x的增大而增大 6. 《九章算术》中有题曰：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多少步？若设甲、乙二人从出发到相遇的时间为，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在半径为5的中，是直径，是弦，D是弧的中点，与交于点E．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，，，以点A为圆心、为半径画弧，交于点E，以点B为圆心、为半径画弧，交于点F，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 10. 如图，矩形的边，的长是关于m的一元二次方程的两个根，且．将矩形沿对角线折叠，点B的对应点为点，与交于点E，连接，则下列结论正确的个数有（ ） ① ② ③ ④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 关于的一元二次方程有一个根是，则________． 12. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，将绕原点按逆时针方向旋转得到，则点的坐标是________． 13. 如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为______ 14. 如图，的直径，是的弦，于点E，，则的长为______． 15. 如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=．在以上4个结论中，其中一定成立的_______________（把所有正确结论的序号都填在横线上） 三、解答题（共9题，共75分） 16. 解方程：． 17. 如图，在中，，是绕着点顺时针方向旋转得到的，此时、、在同一直线上．求： 旋转角的大小； 若，，求的长． 18. 仅用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹． （1）如图，为的弦，画一条与长度相等的弦； （2）如图，正五边形内接于圆，请作出一条直径； 19. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知米，米，测点D到地面的距离米，到旗杆的水平距离米，求旗杆的高度． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若为方程的一个根，且满足，求整数的值． 21. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，C是的中点，过点C作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）连接，已知，求的长． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 问题背景 如图是某校利用大课间开展阳光体育跳大绳活动的瞬间，跳绳时，绳甩到最高处时的形状可以看作抛物线，为了了解学生的身高与跳绳时所站位置之间的关系，九年级数学实践活动小组开展了一次探究活动． 素材 如图，小组成员测得甲、乙两名同学拿绳的手间距为米，到地面的距离和均为米． 素材 如图，身高为米的小丽站在距点的水平距离为米的点处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点．以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系． 问题解决 任务 设此抛物线的解析式为，求的值． 任务 身高为米的张老师也想参加此次跳绳活动，问：他站立时绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由． 23. 在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习． 【操作发现】 小明作出了的内接等腰三角形，．并在边上任取一点（不与点， 重合），连接，然后将绕点逆时针旋转得到．如图① 小明发现：与的位置关系是__________，请说明理由： 【问题解决】1：连接，与相交于点．如图②，求证； 【问题解决】2：连接，与相交于点．如图②，求证； 【实践探究】 连接，与相交于点．如图②，小明又发现：当确定时，线段的长存在最大值．请求出当．时，长的最大值； 24. 综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，动点P在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求证：是一个定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $