精品解析：辽宁省沈阳市法库县2024-2025学年 上学期八年级12月份月考数学试卷

2024-2025学年八年级数学上学期12月学情调研 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下面几个数：，1.010010001…（两个1中间的0依次增多），，，，，其中无理数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 3的算术平方根是（　　） A. ±3 B. C. 3 D. 3. 已知点，关于轴对称，则的值是（ ） A. 3 B. C. 8 D. 4. 如图，一次函数的图像交y轴于点，交x轴于点，则下列说法正确的是（ ） A. 该函数的表达式为 B. 点不在该函数图象上 C. 点，在图象上，若，则 D. 将图象向上平移1个单位得到直线 5. 《九章算术》是中国古代的数学专著，第七章“盈不足”专讲盈亏问题，其中记录了这样一道问题：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价几何？条件部分的译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，若设共有人，物品价格元，则下面所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值是（ ） A. 3 B. 1 C. D. 7. 某条公共汽车线路收支差额与乘客量的函数关系如图所示（收支差额车票收入支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变支出费用，提高车票价格；建议(Ⅱ)不改变车票价格，减少支出费用.下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则下列说法正确的是： A. ①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ） B. ②反映了建议（Ⅰ)，④反映了建议（Ⅱ） C. ①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） D. ②反映了建议（Ⅱ），④反映了建议（Ⅰ） 8. 如图，宽为的长方形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，圆柱底面半径为，高为18cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点B在点A的正上方，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（　　） A. 21cm B. 24cm C. 30cm D. 32cm 10. 八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（　　） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 函数中，自变量的取值范围为_________． 12. 一直角三角形的两边长为3和4，则该三角形的面积为______． 13. 若的平方根是，的立方根是2，则的值是__________． 14. 如图，已知函数和的图象交于点，点的横坐标为，则关于，的方程组的解是______________． 15. 某电信公司手机的收费标准有，两类，已知每月应缴费用（元）与通话时间（分）之间的关系如图所示．当通话时间为200分钟时，按这两类收费标准缴费的差为______． 16. 如图，在长方形中，是边上一点，是直线上一动点，将沿直线折叠，点的对应点为点，当点三点在一条直线上时，的长为________． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 18. 用适当的方法解下列方程组： （1） （2） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，且． （1）点的坐标为_________，点的坐标为_________； （2）画出关于轴对称的； （3）的面积为_________； （4）已知点为轴上一点，若使得的周长最小，周长最小值为________，点坐标为________． 20. 消防云梯主要用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．如图，已知云梯最多能伸长到，消防车高．某次任务中，消防车在A处将云梯伸长至最长，消防员从高的处救人后，消防车需到达B处使消防员从24m高的处救人，求消防车从A处向着火的楼房靠近的距离． 21. “沉睡数千年，一醒惊天下”，三星堆遗址出土的文物再现了古蜀文明的辉煌景象．某校组织师生共480人开展三星堆博物馆研学活动．该校计划向运输公司租用A，B两种车型接送师生往返，若租用A型车3辆，B型车6辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则还有15人没有座位． （1）求A，B两种车型各有多少个座位？ （2）若要求租用的每辆客车都坐满，那么共有多少种租车方案？并列出所有的租车方案． 22. 先阅读下列材料，然后解决问题： 【阅读感悟】 在平面直角坐标系中，已知点，当t的值发生改变时，点Q的位置也会发生改变，为了求点Q运动所形成的图象的解析式，令点Q的横坐标x，纵坐标y，得到了方程组消去t，得，即，可以发现，点随t的变化而运动所形成的图象的解析式是． 【尝试应用】 （1）观察下列四个点的坐标，不在函数图象上的是（ ） A． B． C． D． （2）求点随t的变化而运动所形成的图象的解析式； 【综合运用】 （3）如图，在平面直角坐标系中，点P在一次函数的图象上运动．已知点为定点，连接，过点A作直线，且，求点B随点P的变化而运动所形成的图象的解析式． 23. 平面直角坐标系中，直线，分别交x轴，y轴于点A，点C；点B在y轴负半轴上．且，点在直线上，点P是x轴上的一个动点，设点P的横坐标为t． （1）求直线的函数表达式． （2）连接、，若的面积等于面积的，直接写出t的值___________． （3）以为斜边作等腰直角三角形，是否存在t的值，使点E落在线段或上？直接写出所有满足t的值___________． （4）直接写出的最小值为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年八年级数学上学期12月学情调研 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下面几个数：，1.010010001…（两个1中间的0依次增多），，，，，其中无理数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，求立方根，首先计算立方根，然后利用无理数定义即无限不循环小数判断即可． 【详解】解：， ∴无理数有：1.010010001…（两个1中间的0依次增多），，，共有3个． 故选：C． 2. 3的算术平方根是（　　） A. ±3 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义判断即可. 【详解】解：3的算术平方根是． 故选B． 【点睛】本题考查的是算术平方根的概念，属于基础题目，掌握算术平方根的概念是解题的关键. 3. 已知点，关于轴对称，则的值是（ ） A. 3 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数、纵坐标相等，求出值，代入代数式求值即可得到答案． 【详解】解：点，关于轴对称， ，解得， ， 故选：D． 【点睛】本题考查代数式求值，涉及平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征，根据关于轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数、纵坐标相等，求出值是解决问题的关键． 4. 如图，一次函数的图像交y轴于点，交x轴于点，则下列说法正确的是（ ） A. 该函数的表达式为 B. 点不在该函数图象上 C. 点，在图象上，若，则 D. 将图象向上平移1个单位得到直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数的性质、一次函数的平移等知识点，掌握一次函数图像的性质成为解题的关键． 先运用待定系数法求得函数解析式即可判断A选项，将代入解析式即可判断B选项；根据一次函数增减性即可判断C选项；根据一次函数的平移规律可判断D选项． 【详解】解：A．由题意可得：，解得，即函数解析式为，故A选项不符合题意； B．当时，，即点在该函数图像上，故B选项不符合题意． C．在中，y随x的增大而增大，则当时，，故C选项不符合题意． D． 图像向上平移1个单位得到直线，故D选项符合题意． 故选：D． 5. 《九章算术》是中国古代的数学专著，第七章“盈不足”专讲盈亏问题，其中记录了这样一道问题：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价几何？条件部分的译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，若设共有人，物品价格元，则下面所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设共有人，物品价格元，根据“每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】设共有人，物品价格元， 根据题意得，． 故选：A． 6. 已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值是（ ） A. 3 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是二元一次方程的解，解题关键是把方程的解代入原方程．把代入方程，得到一个含有未知数m的一元一次方程，从而可以求出m的值． 【详解】解：把代入二元一次方程，得 ， 解得：， 故选：D． 7. 某条公共汽车线路收支差额与乘客量的函数关系如图所示（收支差额车票收入支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变支出费用，提高车票价格；建议(Ⅱ)不改变车票价格，减少支出费用.下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则下列说法正确的是： A. ①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ） B. ②反映了建议（Ⅰ)，④反映了建议（Ⅱ） C. ①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） D. ②反映了建议（Ⅱ），④反映了建议（Ⅰ） 【答案】A 【解析】 【分析】观察函数图象可知，函数的横坐标表示乘客量，纵坐标表示收支差额，根据题意得；（I）的平行于原图象，（II）与原图象纵截距相等，但斜率变大，进而得到答案. 【详解】∵建议（Ⅰ）是不改变支出费用，提高车票价格；也就是也就是图形增大倾斜度，提高价格， ∴③反映了建议（Ⅰ）， ∵建议（Ⅱ）是不改变车票价格，减少支出费用，也就是y增大，车票价格不变，即平行于原图象， ∴①反映了建议（Ⅱ）． 故选A． 【点睛】此题主要考查了函数图象的性质，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程是做题的关键． 8. 如图，宽为的长方形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． 设一个小长方形的长为，则宽为，根据题意列出方程，求出的值，再利用长方形的面积公式即可求解． 【详解】解：设一个小长方形的长为，则宽为， 由题意得，， 解得， 则， ∴一个小长方形的长为，宽为， ∴一个小长方形的面积为． 故选：A． 9. 如图，圆柱底面半径为，高为18cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点B在点A的正上方，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（　　） A. 21cm B. 24cm C. 30cm D. 32cm 【答案】C 【解析】 【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，常用“化曲面为平面”的思想，将圆柱体的侧面展开，利用勾股定理计算斜边长度． 【详解】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的最短路线是； 即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分为3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的最短路线：； 圆柱体地面半径为cm， cm 圆柱体的高cm， cm 在中， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查勾股定理在计算最短路径中的应用，要求学生具有一定空间想象能力，利用化曲面为平面的思想，准确画出侧面展开图并结合勾股定理进行计算是本题的解题关键． 10. 八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式以及正方形的性质，有一定难度，解题的关键是作出辅助线，根据题意得到直角三角形的面积，利用三角形的面积公式求出的长．设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作轴于B，作轴于C，易知，利用三角形的面积公式和已知条件求出A的坐标即可得到该直线l的解析式． 【详解】解：设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作轴于B，作轴于C， ∵正方形的边长为1， ∴， ∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分， ∴两边面积分别是4， ∴三角形面积是5， ∴， ∴， ∴， 由此可知直线l经过， 设直线l解析式为， 则，解得：， ∴直线l解析式为， 故选D． 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 函数中，自变量的取值范围为_________． 【答案】x≥且x≠1 【解析】 【分析】由题意根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式求解即可． 【详解】解：根据题意得，2x+1≥0且x-1≠0， 解得x≥且x≠1． 故答案为：x≥且x≠1． 【点睛】本题考查函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 12. 一直角三角形的两边长为3和4，则该三角形的面积为______． 【答案】6或 【解析】 【分析】利用分类讨论：长度为4的边为直角边时和长度为4的边为斜边时，根据三角形面积公式和勾股定理即可求解． 【详解】分类讨论：①当长度为4的边为直角边时，那么长度为3的边即是另一条直角边， ∴这个三角形的面积为； ②当长度为4的边为斜边时，那么长度为3的边即为一条直角边， 根据勾股定理可知另一条直角边的长度为， ∴这个三角形的面积为． 故答案为：6或． 【点睛】本题主要考查勾股定理，利用分类讨论的思想是解答本题的关键． 13. 若的平方根是，的立方根是2，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一个数的平方根和立方根求原数，根据立方根和平方根的定义求出a、b的值是解题的关键：若，那么a就叫做b的平方根，若，那么a就叫做b的立方根． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是2， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，已知函数和的图象交于点，点的横坐标为，则关于，的方程组的解是______________． 【答案】 【解析】 【分析】先把x＝2代入y＝x＋3，得出y＝5，则两个一次函数的交点P的坐标为（2，5）；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解． 【详解】解：把x＝2代入y＝x＋3，得出y＝5， 函数和的图象交于点P（2，5）， 即x＝2，y＝5同时满足两个一次函数的解析式． 所以关于x，y的方程组的解是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一次函数与二元一次方程组的联系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 15. 某电信公司手机的收费标准有，两类，已知每月应缴费用（元）与通话时间（分）之间的关系如图所示．当通话时间为200分钟时，按这两类收费标准缴费的差为______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查一次函数，解题的关键是掌握一次函数解析式的求解方法． 利用待定系数法求出两者的函数解析式，再分别求出当时，y的值，再求它们的差． 【详解】解：设A类的解析式为， 把点，代入解析式， 得，解得， ∴， 设B类的解析式为， 把点代入解析式， 得，解得， ∴， 当时，A类，B类， ． 故答案为：20． 16. 如图，在长方形中，是边上一点，是直线上一动点，将沿直线折叠，点的对应点为点，当点三点在一条直线上时，的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，图形的折叠；在旋转过程中有两次和，在一条直线上，第一次在线段上，第二次在线段的延长线上，利用平行的性质证出，即可求解． 【详解】解：如图： 将沿直线折叠，点的对应点为点， ，， ， ， ， ， ，，， ，，，， ， ， ； 如图： 由折叠， ， ， ， ， ， ； 故答案为：或． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了负整数指数幂，零指数幂和化简绝对值，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算负整数指数幂，零指数幂和化简绝对值，然后计算加减即可； （2）根据二次根式的混合运算法则求解即可． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 18. 用适当的方法解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． （1）方程组利用加减消元法求解即可； （2）方程组整理后，方程组利用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 ， 得：， 解得， 把代入①，可得：， 解得：， 故方程组的解为：； 【小问2详解】 将方程组变形可得：， 得：， 解得：， 将代入①，可得：， 解得：， 故方程组的解为：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，且． （1）点的坐标为_________，点的坐标为_________； （2）画出关于轴对称的； （3）的面积为_________； （4）已知点为轴上一点，若使得的周长最小，周长最小值为________，点坐标为________． 【答案】（1）， （2）如图，即为所求． （3） （4）， 【解析】 【分析】（1）由图可得出答案； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）利用割补法求三角形的面积即可； （4）使的周长最小，即最小，连接，交y轴于点P，连接，此时满足最小，最小值为的长，利用勾股定理分别求出，的长，即可求出的周长最小值，然后利用待定系数法求出所在直线表达式为，即可求出点P的坐标． 【小问1详解】 解：由图可得，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 的面积； 【小问4详解】 ∵使的周长最小， ∴最小， ∵，为定值， ∴使最小， 连接，交y轴于点P，连接， 此时满足最小，最小值为的长， ∵， ∴的周长最小值为， 设所在直线表达式为 ∴ 解得 ∴所在直线表达式为 ∴当时， ∴． 【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题、勾股定理，一次函数的应用，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 20. 消防云梯主要用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．如图，已知云梯最多能伸长到，消防车高．某次任务中，消防车在A处将云梯伸长至最长，消防员从高的处救人后，消防车需到达B处使消防员从24m高的处救人，求消防车从A处向着火的楼房靠近的距离． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理求出、的长，即可解决问题． 【详解】解：由题意，易得，，A，B，D三点在同一直线上． ，， ． 在中，由勾股定理，得． 在中，由勾股定理，得 ． 答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为． 21. “沉睡数千年，一醒惊天下”，三星堆遗址出土的文物再现了古蜀文明的辉煌景象．某校组织师生共480人开展三星堆博物馆研学活动．该校计划向运输公司租用A，B两种车型接送师生往返，若租用A型车3辆，B型车6辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则还有15人没有座位． （1）求A，B两种车型各有多少个座位？ （2）若要求租用的每辆客车都坐满，那么共有多少种租车方案？并列出所有的租车方案． 【答案】（1）A型车有45个座位，B型车有60个座位． （2）共有2种租车方案；分别是租用A型车4辆，B型车5辆；租用A型车8辆，B型车2辆． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解题的关键． （1）设A型车有x个座位，B型车有y个座位，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设租用A，B两种车型分的辆数分别为m和n，根据题意可得：，则有：，然后列举m确定n即可解答． 【小问1详解】 解：设A型车有x个座位，B型车有y个座位， 根据题意得：，解得：． 答：A型车有45个座位，B型车有60个座位． 【小问2详解】 解：设租用A，B两种车型分的辆数分别为m和n， 根据题意可得：，则有： 当时，； 当时，． 所以，共有2种租车方案；分别是租用A型车4辆，B型车5辆；租用A型车8辆，B型车2辆． 22. 先阅读下列材料，然后解决问题： 【阅读感悟】 在平面直角坐标系中，已知点，当t的值发生改变时，点Q的位置也会发生改变，为了求点Q运动所形成的图象的解析式，令点Q的横坐标x，纵坐标y，得到了方程组消去t，得，即，可以发现，点随t的变化而运动所形成的图象的解析式是． 【尝试应用】 （1）观察下列四个点的坐标，不在函数图象上的是（ ） A． B． C． D． （2）求点随t的变化而运动所形成的图象的解析式； 【综合运用】 （3）如图，在平面直角坐标系中，点P在一次函数的图象上运动．已知点为定点，连接，过点A作直线，且，求点B随点P的变化而运动所形成的图象的解析式． 【答案】B；；或 【解析】 【分析】（1）将点代入函数解析式，即可得到答案； （2）令，消去即可得到答案； （3）当点B在第一象限时，过点P作轴于点E，过点B作轴于点D，证明，设，将用含的式子表示，设，得到，即可得到答案．当点B在第三象限时，同理可求得点B的坐标，进而即可求得答案． 【详解】（1）解：将代入函数， ，成立，故在函数图象上，选项A不符合题意； 将代入函数， ，不成立，故不在函数图象上，选项B符合题意； 将代入函数， ，成立，故在函数图象上，选项C不符合题意； 将代入函数， ，成立，故在函数图象上，选项D不符合题意； 故选：B． （2）令， 消去得， 故解析式为； （3）设， 如图1，当点B在第一象限时，过点P作轴于点E，过点B作轴于点D， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ，， ， 易知， ，， ， ， ， 设， ， 消去得； 当点B在第三象限时，过点A作直线轴于点A，过点P作于点G，过点B作于点H，设与y轴交于点M， 同理可得，， ， 设， ， 消去得； 综上所述，点B随点P的变化而运动所形成的图象的解析式为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何的综合题，用待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，添加K型全等图形的辅助线是解答本题的关键． 23. 平面直角坐标系中，直线，分别交x轴，y轴于点A，点C；点B在y轴负半轴上．且，点在直线上，点P是x轴上的一个动点，设点P的横坐标为t． （1）求直线的函数表达式． （2）连接、，若的面积等于面积的，直接写出t的值___________． （3）以为斜边作等腰直角三角形，是否存在t的值，使点E落在线段或上？直接写出所有满足t的值___________． （4）直接写出的最小值为___________． 【答案】（1） （2）3或 （3）或0或4 （4） 【解析】 【分析】（1）先求出A、B的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （2）先求于面积，从而求出的面积，然后根据求解即可； （3）分E在线段或上两种情况讨论即可； （4）过P作于点Q，易求，则当C、P、Q三点共线，且时最小，然后根据等积法求解即可． 【小问1详解】 解：当时，，解得， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设直线的函数表达式， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式； 【小问2详解】 解：∵点在直线上， ∴， ∴ 当时，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又若的面积等于面积的， ∴， ∵， ∴， 解得或； 【小问3详解】 解：当点E在线段上， 过E作轴，过D作于G，过P作于H， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴，， 设， 又，， ∴， 解得或（舍去）， ∴ ∵， ∴， 解得； 当点E在线段上， 过D作轴于G， 同理可证， ∴，， 设， ∴， ∴或， 当时，，此时，∴，∴； 当时，，此时，∴，∴． 综上，或0或4； 【小问4详解】 解：过P作于点Q， ∵，， ∴， 又 ∴是等腰直角三角形， ∴， 则当C、P、Q三点共线，且时，最小，即最小， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查一次函数的应用、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $