培优03 多边形解三角形及中线、角平分线问题-2024-2025学年高一数学考点剖析及精准练习（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） 培优03 多边形解三角形、中线、角平分线及外接圆问题 类型一、多边形解三角形 将多边形分割成多个三角形，若有一个三角形可用正余弦定理求解六要素，则要根据所求边或角所在的三角形合理求解边角；若没有一个三角形可求解六要素，则需要根据条件选择边角要素（要挑选有关系的边角或者两三角形的的公共边或公共角）进行假设，然后利用正余弦定理构造方程进行求解 类型二、角平分线与中线问题 1.角平分线 若是的角平分线，则有：①等面积法；② 2.中线 若是的中线，则 方法一：向量法； 方法二：（双余弦定理法）在中，由余弦定理得，① 在中，由余弦定理得，② 因为，所以，所以①+②式即可 类型三、外接球问题 利用正弦定理，其中为外接圆半径 题型01多边形解三角形 1．在平面四边形ABCD中，. (1)求AB； (2)求的面积. 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）因为，，， 所以在直角中，，， 所以中，因为，， 由余弦定理得，， 所以． （2）由（1）知，，，， 所以，则，即， 所以， 所以的面积为. 2．平面凸四边形中，． (1)若，求； (2)若，求 【答案】(1) (2) 【详解】（1）连接，由（1）知， 在中易知． 在中，由，得， 易知． ． 在中由余弦定理得： ， ； （2）连接，在中，由． 得， ， ， 在中，由知． 3．如图， 平面四边形 中，,， 则的长为 . 【答案】 【详解】在中，，所以，又， 由正弦定理可得，，即， 解得， 在中，，所以，又， 由正弦定理可得，，即， 解得， 又因为，所以 在中，由正弦定理可得， 即， 所以. 故答案为：. 4．在四边形中，. (1)求的大小； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 由，得，可得. （2）因为， 由（1）得，且， 所以，， 在中，由正弦定理得， 所以. 5．在平面四边形 中. (1)求 ； (2)若 求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，解得. 因为所以 解得. （2）解法一：由（1）可得. . 在中，解得. 解法二：延长交于点，如图， 则为等边三角形. 在中，，解得.    6．如图，在平面四边形中，，，，． (1)求； (2)若的面积为，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 即，解得， 又， 所以． （2）结合（1）可得， 则， 又，即，解得， 则由余弦定理得， 又，所以． 题型02多边形解三角形（需联立） 7．如图，在平面四边形ABCD中，，．    (1)若，，求的值； (2)若，，求四边形ABCD的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，，，则， ， 在中，由正弦定理得， . （2）在和中，由余弦定理得 ， ， 得，又，得， 则，， 四边形ABCD的面积 . 8．如图，在中，． (1)求的长； (2)已知点D在平面内，且，求四边形的周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，， 由余弦定理得，，即， 化简得，解得（舍），或， 故的长为； （2）已知点D在平面内，且， 则四点共圆，， 则， 在中，由余弦定理得，， 则， ，， 解得，当且仅当时等号成立. 即的最大值为， 又，故四边形周长的最大值为. 9．已知平面四边形ABCD，，，，的面积为． (1)求； (2)若，，求CD的长度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）的面积为，即， 解得． 因为，所以， 所以，由余弦定理得， ， 所以 ． 又，所以． （2）方法一： 设，设，则． 由，得，所以． 在中，由余弦定理得， ， 即 将代入得． 由得或2． 当时，，与不符， 故，所以． 在中，由余弦定理得． 方法二： 以B为坐标原点，为x轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系． 由题意知，，， 由得， 则点D到BC的距离为，设，． 因为， 所以， 解得，即，所以． 10．如图，在平面四边形中，，，平分. (1)若，，求； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵平分，∴，故， ∵，， ∴，， 在中，由余弦定理得. （2）设，则. 设，则，， 在中，由余弦定理得， ∵，∴， ∴，， ∴. 11．托勒密是古希腊天文学家､地理学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积.则图四边形为圆的内接凸四边形，，且为等边三角形，则圆的直径为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则，因为为等边三角形，所以, 在中，由余弦定理得到，，所以， 由题有，所以，解得，所以 由正弦定理知，，解得，    故选：D. 题型03角平分线问题 12．在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)设是边上一点，满足，且平分，若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中， ， 因为，所以， 化简得 由余弦定理得，又，所以. （2）由题意，，又，所以 则. 13．记的内角的对边分别为，已知，为边上一点，． (1)求； (2)若平分，求． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 则， 即， 因为，所以，所以，即． 又因为，所以． （2）因为平分，所以，即， 由面积相等得， 解得，所以． 由余弦定理得，所以． 14．在中，内角的对边分别为，． (1)求； (2)已知边上的点满足平分，，，求的周长． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）解法一： 因为， 所以由余弦定理得， 所以，所以，即， 因为，所以， 则，故， 又，所以． 解法二： 因为， 所以由正弦定理可得，， 则． 因为，所以，， 所以或或， 即或（舍去）或（舍去）， 又，所以． （2）由题意得， 即． 又，， 所以， 所以，即． 由余弦定理得． 所以，所以（舍去）． 所以的周长为． 15．已知的角，，的对边分别为，，，且，若平分交线段于点，且，，求的周长. 【答案】 【详解】 因为平分，所以， 由， 得，如图：作于， 则， 由，解得， 由余弦定理，得，所以， 故的周长为. 16．在中，角，，所对的边分别为，，，是上的点，平分，，且，则面积的最小值是（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【详解】，由正弦定理得， 因为，所以，故， 所以， 因为，所以， 平分，故， 由三角形面积公式得， ，， 因为，所以， 即， 由基本不等式得， 故，解得，当且仅当时，等号成立， 故. 故选：B 题型04中线问题 17．在中，角的对边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若为的中点，且，求的周长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 由余弦定理得， 又所以. （2）为线段的中点，故， ， 因为，故， 整理可得， 在中，由余弦定理得， 所以， 两式联立可得，, 所以， 从而的周长为. 18．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 (1)求B； (2)设D为边的中点，若，且的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意，， 即， 由正弦定理可得， 因为，， 所以， 故， 因为，所以， 所以，又因为，所以； （2）D为边的中点，故， 两边平方得， 即，故①， 由余弦定理可得，， 又，所以②， 联立①②得，， 因为的面积为，解得， 所以，解得， 因为， 所以，故，， 所以的周长为. 19．已知中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角的值； (2)若点为的中点，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，则，， 利用余弦定理可得， 又因为，所以． （2）设，则，， 因为点为的中点，所以， 两边平方可得， 即， 所以，可 得，所以． 20．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为线段AC的中点，A，C满足 (1)求B； (2)若的面积为，，求中线BD的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 又因为 所以，，得， 所以，由余弦定理得， 又B为三角形内角， 所以， （2）因为的面积为，，， 所以，，所以，又， 因为BD为的中线，所以，， 所以，， 所以 21．在中，内角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，点为边的中点，且，求边的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，所以， 由余弦定理得，所以， 由正弦定理得，又，所以，所以， 又，所以． （2）因为点为边的中点，所以， 所以， 解得或（舍）， 由余弦定理得， 所以． 题型05外接圆问题 22．在中，设内角、、的对边分别为，，，已知，，，为外接圆上一点（、、、按逆时针方向排列）. (1)求及圆的半径； (2)求四边形面积的最大值. 【答案】(1),1 (2) 【详解】（1）由余弦定理可得， , 所以， 设圆的半径为， 由正弦定理知，，即. （2）由（1）知，，即, 可得，， 在中， , 即，当且仅当时等号成立， 所以， 所以四边形的面积， 所以当，即为 中点时，四边形面积最大值. 23．如图，已知的内角所对的边分别是，，且的外接圆面积为.    (1)求边； (2)若，延长至，使得，求. 【答案】(1)7 (2)5 【详解】（1）设的外接圆半径为， 由题意，解得. 由和正弦定理，可得：， 又由余弦定理，可得， 因为，故 由正弦定理，； （2）由（1）已得， 则， 化简得：，解得，（舍去）. 由余弦定理，可得， 所以. 由，可得. 故 ， 在中，由正弦定理，, 即得. 24．在中，满足． (1)求； (2)若，边BC上的中线，设点为的外接圆圆心． ①求的周长和面积： ②求的值． 【答案】(1)； (2)①周长为，面积为；②13. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 而，则， 显然，因此，， 则，得，解得， 所以. （2）①由边BC上的中线，得，两边平方得， 则，即， 在中，由余弦定理，得，解得， 因此，所以的周长为，面积为. ②令边的中点分别为，由点为的外接圆圆心，得， ， ， 所以.    25．中，角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，且D为△ABC外接圆劣弧上一点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为，由余弦定理得， 整理得，可得， 又因为，可得. （2）解：由圆内接四边形性质，可得，设，则， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以， 因为，可得，可得， 所以的取值范围为. 26．已知圆为的外接圆，，则的最大值为 . 【答案】3 【详解】设圆的半径为，则，解得， 因为，所以， 取的中点，连接，则， 故， ， 当三点共线时，取得最大值，最大值为， 故的最大值为. 故答案为：3 题型06四边形中的最值问题 27．克罗狄斯托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家．托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理，定理内容如下：任意一凸四边形，两组对边乘积的和不小于两对角线的乘积，当且仅当四点共圆时，等号成立．已知在凸四边形中，，，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则， 在中，由余弦定理得， 由题知，，即， 所以，当且仅当四点共圆时取等号， 所以的最大值为. 故选：D    28．已知平面凸四边形ABCD的对角线分别为AC，BD，其中，，则 ；若，则四边形ABCD的面积的最大值为 ． 【答案】 12 【详解】，则有， ，得， 在中，由正、余弦定理可知，， 整理得，故； 因为，故；又，则，而， 故， 当且仅当时等号成立． 得四边形ABCD的面积的最大值为12. 故答案为：；12. 29．已知在平面四边形中，，. (1)求的值； (2)记与的面积分别为和，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 所以，即. （2）依题意，， 所以 ， 又，所以当时取最大值（此时，该四边形符合题意）， 即的最大值为. 30．如图，已知的半径是1，点在直径的延长线上，，点是上半圆上的动点，以为边作等边三角形，且点与圆心分别在的两侧. (1)若，试将四边形的面积表示成的函数. (2)求四边形的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知：， 在中，，由余弦定理知：， 所以，， ， 即； （2）由（1）知， 则，所以，当，即时取到最大值. 即四边形的面积的最大值为. 31．在平面四边形中，，，，，则 ；若点是的中点，则当取得最大值时，四边形的面积为 . 【答案】 10 52 【详解】在中，由余弦定理得， 即，整理得，而，解得， 取中点，连接，由点是的中点，得，， 在中，，， ，则，，当且仅当共线时取等号， 因此当取得最大值时，，，， 所以四边形的面积. 故答案为：10；52 【点睛】关键点点睛：取中点，由求出取最大值的条件是求解问题的关键. 1．如图，内接于，，，于点D，若的半径为2，则CD的长为 . 【答案】 【详解】对由正弦定理得：，解得，又，故. 故答案为： 2．三角形中，内角，，对应边分别为，，，是1和的等差中项，则角 ；如图，若为外一点，在四边形中，边长，，，则的最小值为 . 【答案】 【详解】由已知得，在中，由正弦定理得， 化简得.∵，∴. 又，∴.∵.∴. 在和中，由正弦定理可得，， 设，，则，，， 故两式相除可得， 即， 因此， 故当时，即时，此时取最大值1，故取最小值. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将转化为三角函数问题. 34．在四边形中，，，，为的面积，且. (1)求角； (2)若，求四边形的周长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由， 在中得， 即，可得， 因为，所以. （2）由，所以， 所以为等边三角形，， 所以， 由正弦定理知，得， 故四边形的周长为. 35．半径为的圆内接，，为锐角． (1)求的大小； (2)若的平分线交于点，，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理，又角为锐角，所以． （2）∵为的平分线，， 设点到和的距离为，则，即， ∴， 又∵， ∴，则有， ∴或（舍去），所以， ∴． 36．在中，角所对的边长分别为，已知. (1)求； (2)若是中点，求的长度. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）方法一： 因为，由正弦定理得：， 又，得， 中，，所以， 又因为在中，所以. 方法二： 因为，由余弦定理得：， 解得，所以， 又因为在中，所以. （2）方法一： 在中，是中点，所以， ， ，即的长为. 方法二： 由（1）方法二，知， 又是中点，， 在中由余弦定理有：， 在中由余弦定理有：， 因为， 所以， 即， 解得，即的长为. 37．如图，在四边形中，，且． (1)求的长； (2)求的长； (3)求． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以． （2）因为，所以， 所以． 又，所以． 由余弦定理得， 则． （3）在中，， 所以． 38．如图，在四边形中，已知点C关于直线BD的对称点在直线AD上，，．    (1)求的值； (2)设AC=3，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为C点关于直线BD的对称点在直线AD上， 所以DB平分，所以， 因为，所以，BC=CD， 所以‖， 所以， 因为，， 所以， 所以． （2）因为在中，由正弦定理得, 所以，， 所以，所以， 在中，由余弦定理得， ． 39．记的内角的对边分别是，且． (1)求； (2)点在上，平分，且，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 又因为，所以． （2）解法一： 如图，由题意可知， 因为， 所以， 又，所以， 在中，由余弦定理得， 解得， 解法二： 如图，由题意可知， 因为， 所以， 又，所以， 在中，由余弦定理得， 解得， 在中，由余弦定理得， 解得，所以，即. 40．在凸四边形中，已知 (1)若，求的值； (2)求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由余弦定理可得， ， 则. （2）由余弦定理可得，且 ， 当，即时，四边形的面积取最大值. 且为 41．在平面四边形中，，，. (1)若，，求的值； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，， 在中，由余弦定理得， 所以， 由得. 由正弦定理得, 所以, 所以, 所以 . （2）在中，由得    ①， 又    ②， 且， 所以, 在中 ， 将 ① ， ②代入上式得 . 且， 所以，当时，有最小值3. 所以取最小值. 综上，的最小值为. 42．已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若BD为AC边上的中线，且，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）因为， 所以， 即， 由正弦定理得， 即， 所以， 由，得，即. （2）因为，， 所以，． 因为BD为AC边上的中线，所以， 又因为，所以，即， 所以， 由基本不等式得， 解得，当且仅当时等号成立． 故， 所以面积的最大值为． 43．在中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，. (1)若，求面积的最大值； (2)若，在边AC的外侧取一点D（点D在外部），使得，，且四边形的面积为，求的大小. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）由 因为，可得， 又由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 因为，可得，所以， 在中，由余弦定理得， 即，当且仅当时取等号， 所以， 所以面积的最大值为. （2）设，则， 在中，由余弦定理得， 由（1）知，且，所以为正三角形， 所以， 可得， 故，因为，所以，可得. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） 培优03 多边形解三角形、中线、角平分线及外接圆问题 类型一、多边形解三角形 将多边形分割成多个三角形，若有一个三角形可用正余弦定理求解六要素，则要根据所求边或角所在的三角形合理求解边角；若没有一个三角形可求解六要素，则需要根据条件选择边角要素（要挑选有关系的边角或者两三角形的的公共边或公共角）进行假设，然后利用正余弦定理构造方程进行求解 类型二、角平分线与中线问题 1.角平分线 若是的角平分线，则有：①等面积法；② 2.中线 若是的中线，则 方法一：向量法； 方法二：（双余弦定理法）在中，由余弦定理得，① 在中，由余弦定理得，② 因为，所以，所以①+②式即可 类型三、外接球问题 利用正弦定理，其中为外接圆半径 题型01多边形解三角形 1．在平面四边形ABCD中，. (1)求AB； (2)求的面积. 2．平面凸四边形中，． (1)若，求； (2)若，求 3．如图， 平面四边形 中，,， 则的长为 . 4．在四边形中，. (1)求的大小； (2)求的值. 5．在平面四边形 中. (1)求 ； (2)若 求. 6．如图，在平面四边形中，，，，． (1)求； (2)若的面积为，求． 题型02多边形解三角形（需联立） 7．如图，在平面四边形ABCD中，，．    (1)若，，求的值； (2)若，，求四边形ABCD的面积． 8．如图，在中，． (1)求的长； (2)已知点D在平面内，且，求四边形的周长的最大值． 9．已知平面四边形ABCD，，，，的面积为． (1)求； (2)若，，求CD的长度． 10．如图，在平面四边形中，，，平分. (1)若，，求； (2)若，求. 11．托勒密是古希腊天文学家､地理学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积.则图四边形为圆的内接凸四边形，，且为等边三角形，则圆的直径为（    ）    A． B． C． D． 题型03角平分线问题 12．在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)设是边上一点，满足，且平分，若，求的面积. 13．记的内角的对边分别为，已知，为边上一点，． (1)求； (2)若平分，求． 14．在中，内角的对边分别为，． (1)求； (2)已知边上的点满足平分，，，求的周长． 15．已知的角，，的对边分别为，，，且，若平分交线段于点，且，，求的周长. 16．在中，角，，所对的边分别为，，，是上的点，平分，，且，则面积的最小值是（   ） A．4 B． C．8 D． 题型04中线问题 17．在中，角的对边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若为的中点，且，求的周长. 18．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 (1)求B； (2)设D为边的中点，若，且的面积为，求的周长. 19．已知中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角的值； (2)若点为的中点，求的值． 20．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为线段AC的中点，A，C满足 (1)求B； (2)若的面积为，，求中线BD的长． 21．在中，内角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，点为边的中点，且，求边的值． 题型05外接圆问题 22．在中，设内角、、的对边分别为，，，已知，，，为外接圆上一点（、、、按逆时针方向排列）. (1)求及圆的半径； (2)求四边形面积的最大值. 23．如图，已知的内角所对的边分别是，，且的外接圆面积为.    (1)求边； (2)若，延长至，使得，求. 24．在中，满足． (1)求； (2)若，边BC上的中线，设点为的外接圆圆心． ①求的周长和面积： ②求的值． 25．中，角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，且D为△ABC外接圆劣弧上一点，求的取值范围． 26．已知圆为的外接圆，，则的最大值为 . 题型06四边形中的最值问题 27．克罗狄斯托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家．托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理，定理内容如下：任意一凸四边形，两组对边乘积的和不小于两对角线的乘积，当且仅当四点共圆时，等号成立．已知在凸四边形中，，，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 28．已知平面凸四边形ABCD的对角线分别为AC，BD，其中，，则 ；若，则四边形ABCD的面积的最大值为 ． 29．已知在平面四边形中，，. (1)求的值； (2)记与的面积分别为和，求的最大值. 30．如图，已知的半径是1，点在直径的延长线上，，点是上半圆上的动点，以为边作等边三角形，且点与圆心分别在的两侧. (1)若，试将四边形的面积表示成的函数. (2)求四边形的面积的最大值. 31．在平面四边形中，，，，，则 ；若点是的中点，则当取得最大值时，四边形的面积为 . 1．如图，内接于，，，于点D，若的半径为2，则CD的长为 . 2．三角形中，内角，，对应边分别为，，，是1和的等差中项，则角 ；如图，若为外一点，在四边形中，边长，，，则的最小值为 . 34．在四边形中，，，，为的面积，且. (1)求角； (2)若，求四边形的周长. 35．半径为的圆内接，，为锐角． (1)求的大小； (2)若的平分线交于点，，，求的面积． 36．在中，角所对的边长分别为，已知. (1)求； (2)若是中点，求的长度. 37．如图，在四边形中，，且． (1)求的长； (2)求的长； (3)求． 38．如图，在四边形中，已知点C关于直线BD的对称点在直线AD上，，．    (1)求的值； (2)设AC=3，求． 39．记的内角的对边分别是，且． (1)求； (2)点在上，平分，且，求． 40．在凸四边形中，已知 (1)若，求的值； (2)求四边形面积的最大值. 41．在平面四边形中，，，. (1)若，，求的值； (2)若，求的最小值. 42．已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若BD为AC边上的中线，且，求面积的最大值. 43．在中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，. (1)若，求面积的最大值； (2)若，在边AC的外侧取一点D（点D在外部），使得，，且四边形的面积为，求的大小. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$