河南省开封市五县联考2024-2025学年高二下学期开学质量检测数学试题

2024~2025学年度高二年级开学质量检测·数学 参考答案、提示及评分细则 题号 2 7 8 答案 C B D D A B A B 题号 9 10 11 答案 AC ACD ACD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案C 【解析】令x=0,得y=√，所以直线在y轴的截距为.故选C. 2.【答案】B 【解析】设椭圆长轴长2a,焦距2c,则a=3×2,即e=后-言.故选B 3.【答案】D 【解折】由双确线的方程为号-苦=1.可得心=4，公=3，得角广=心+公=4十3=7→=万，所以双曲线的 焦距为2√7，故选D. 4.【答案D 【解析】由题意可得a:·a=a=16,解得a,=土4.故选D. 5.【答案】A 【得折设1与：所政角的大小为0测血=m=:一-号放 选A. 6.【答案】B 【解析】x+y一2x=0即(x一1)2+y=1表示圆心为M(1,0),半径为1的圆，又 片表示过点(，y)和点A(-1,0)的直线的斜率，如图所示，在R△ADM中. 1AM=2.DM=r=1,放w=an∠DAM-停，同理可得E=-号所以 x+1 ∈[-号，故选B 3·3 7.【答案】A 【解析】令双曲线C的半焦距为c,则F1(一c,0), 令直线I与双曲线C的渐近线x+ay=0垂直的垂足为D, Va+元=6.OD-o丽-FDT-V-F=a, 于是|FD1=c 过点F作FB⊥L于B,则F2B∥OD,而O为线段F,F2的中点， 所以|F1B|=2h,|F2B|=2a, 因为cos∠EAF=青，所以sin∠RAF,=号，AR=a,ABl= 30, 由双曲线定义得1AE-AF,=2a,即尽a+2弘-号。=2，解得合=言 a31 【高二数学参考答案第1页（共5页）】 25344B 所以该双曲线的离心率为=√+（台）=号故选A 8.【答案】B 【解析】直线l1:x-my十4m-1=0,即(x-1)一m(y-4)=0,可知直线l1过定点P(1,4): 直线l2:m.x+y-3m-2=0,即n(x-3)十(y-2)=0,可知直线l过定点Q(3,2): 且1×m十（一m)×1=0,则L1⊥2， 可知点P在以AB为直径的圆上（不含点(3,4）)，此时圆心为C(2,3),半径r=|AB=巨。 因为抛物线y=一4x的焦点为F(一1,0)，准线为x=1, 且点Q(x,y%)是抛物线y=一4.x上一动点，则|QF|=1一x,即一x= |QF|-1, 可得|PQ|-xo=IPQ|+QF|-1≥|QC|-r+|QF|-1=|QC|+ |QF|-(2+1), 当且仅当点P在线段QC上时，等号成立， 又因为QC|+|QF|≥CF|=32,当且仅当点Q在线段FC上时，等号成立， 即|PQ|-x≥|QC|+QF|-(W2+1)≥3V2-(√2+1)=22-1， 所以|PQ|一x。的最小值为2√2-1.故选B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.【答案】AC 【解析】设等比数列{a.}的公比为q,依题意，a1a1=a=4,a>0,所以a2=2,又a5=a2·(=16,所以g= 8,即q=2,所以a.=2”-1,a十4s=2十2=20，AC正确，B错误： 对于D,l0g士-1一，则数列{g士)为递诚数列，D错灵，故选AC 10.【答案】ACD 14-1=1-21 【解析】对于A选项，若曲线C表示圆，则 ,解得1=3，即曲线C可能是圆，A正确： 4-t>0 (4-t>0 对于B选项，若曲线C为椭圆，则21一1<0 ,解得1<，B错误： (4-1≠1-21 14-1>1-2 对于C选项，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则 11-21>0 ,解得-3<1<号C正确： 对于D选项，若曲线C为双曲线，则(4-)1-21)<0，解得<1<4，D正确，故选ACD 11.【答案】ACD 【解析】对于A,对于圆C:(x一1)十(y十2)=1，因为C2与C关于y=x对称，故C2圆心为（一2,1），半径 为1，故A正确： 对于B,(一1,1)在C:上，所以有且仅有一条切线，故B错误： 对于C,根据圆的图象可知MN|,=|CC|十1十1=3√2十2，故C正确： 对于D,不妨设EF中点为P,则CP1EF,圆C的半径为1，由垂径定理可知CP=√F-(吧丁 入√一哥=之，即CP=设点P的坐标为(，)又点C的坐标为（一21），所以P的轨迹方程 【高二数学参考答案第2页（共5页）】 25344B 为(x+2)+(-1)2=,故D正确.故选ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.【答案】-2 【解析】由题意得a2=4→a=士2，当a=2时，直线重合，合去，故a=一2. 13.【答案】y=4.x 【解析】两圆的公共弦方程为x+-4-(r+y+2红一2)=0口x=-1,所以-号=一1→p=2,所以抛 物线的标准方程为y=4x. 14.【答案】170 【解折】由题意.a,}与6.的公共项为1.13,25,37，，放，=12m-11,所以12m-11>2025,解得>502 3 所以1的最小值为170. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15.【答案】(1)详见解析(2)T,=2+1+m一1)n-2 2 【解析】(1)当n=1时，2a1一41=1，即a1=1,… 1分 12an-S.=n① 当n≥2时，联立 2a.-1-S。-1=n-1② ①-②.可得2a.-2a.-1-a.=1, 即以w=2g十1，……3分 所以1十1-2a十2 an+1a.+1 2,……5分 又a十1=2，所以{a,十1)是以2为首项，2为公比的等比数列： 7分 (2)由(1)可得a。十1=20,0则an=2"一1，b.=2"十n一1，……………9分 所以T.=b十b十b十…十b.-1十bn =2+0+22+1+2+2+…+2"-1十n-2+2"十n-1 =(21+22+23+…+2m-1+2")+(0+1+2+…+n-2十n-1) -21-2）+n-1)m 1-2 2 11分 =21+m-1)n-2. 2 13分 16.【答案】(1)(x-2)+y2=4(2)y=√3或3x-y=0 【解析】(1)因为圆C关于x轴对称，所以圆心在x轴上，设C(t,0), 1分 由于圆经过(3，√3)和(2，一2)，所以(1,0)到(3，√3)和(2，一2)的距离相等，…2分 所以√/(1-3)十3=√(t一2)十4，解得1=2，…………4分 此时半径r=√(2-3)十3=2，…6分 所以圆C的标准方程为(x一2)2十y2=4:…7分 (2)取AB中点D,连接CD,易知△BCD为直角三角形，…8分 因为AB=2.CB==2,所以CD1=√CB-(A)- …9分 即圆心到直线的距离为√5，……… 10分 当直线1斜率不存在时，直线1方程为x=1,C到其距离为1，不符合题意：…12分 当直线斜率存在时，设为k,直线方程为y一√3=k(x一1)，化成一般式：kx一y一k十√3=0， 【高二数学参考答案第3页（共5页）】 25344B 所以1CD1=2k-十5=5，解得=0或5，…14分 √R+1 故直线l的方程为y=√3或√3x一y=0. 0*0+0t4+*0tt00t+,tt4ntt4+t000448 15分 17.【答案1)详见解折(2)号 【解析】(1)因为AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD=2BC, 所以四边形ABCD为直角梯形， 取AB中点E,连接DE, 不难发现AD=BD=EBC-号AB-反， 所以AD⊥BD,…………………………3分 因为PD⊥平面ABCD,ADC平面ABCD, 所以AD⊥PD,… 5分 因为AD⊥BD(已证)，PD∩BD=D,PDC平面PBD,PBC平面PBD, 所以AD⊥平面PBD:……7分 (2)由(1)可知，PD,AD,BD两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系， A(2,0,0),B(02,0),P(0,0W2), Ai=(-区，2,0)，Ap=(-2,0wW2),…9分 设平面PAB的一个法向量m=(x,y,2), g m·A方=0 则 ,令x=1,y=x=1,故m=(1.1,1)，… 11分 由(1)可知AD⊥平面PBD,所以（√2,0,0）是平面PBD的一个法向量，记作n,…13分 记平面PAB与平面PBD的夹角为，则6osm:0,怎气 …15分 31 18.【答案11)a,=2n,6.=2(2)T.=(m-1D·21+2（3S.-2X4-2+20 3 【解析】(1)由题意，设{a,}公差为d,{b,}公比为g(g>0), 12+2d+q=8 1d=2 所以 ,解得 2分 2+d= g=2 所以a。=2n,bn=2-1；… 4分 (2)设dn=公w·bn=n…2",……… 5分 T.=d+d2+da+…十d.-1+d T.=1×2+2×22+3×23+…+(n-1)·2"-1+n·2①， 2T,=1×22+2×2+…+(n-2)·2-1+(n-1)·2"+n·20+1②，……………… 7分 ①-②可得，一T.=21+22+2+…十2"-1+2"-n·2+1 -20-22）-m·2* 1-2 =2+一2-…2+, …9分 所以T=(n1)…2叶1十2：………10分 12n,n为奇数 (3)由(1)可知，C.= …11分 2"-1,n为偶数 【高二数学参考答案第4页（共5页）】 25344B 不难发现，C,的奇数项是以2为首项，4为公差的等差数列，C,的偶数项是以2为首项，4为公比的等比数列， ……………………………………………………………………14分 所以S.=(2+4n-2)n+2×1-4) 2 1-4 =2X42+224444…17分 1.【答案1)千+y=1(2)四 12 (3)过定点，定点坐标为(-。，0) 【解析】(1)由题意2c=23,二=5】 1分 2 所以c2=3,a2=4,6=1, 所以椭圆C的标准方程为子十y=1:…………3分 (2)设P(y),则有号十=1， 之+ PM-(-)》广+=店-++1--是店- 16m∈[-2,2]，…4分 当=子时，PM最小值为铝 ………5分 所以PM最小值为巴 …7分 (3)连接AE,设直线AE斜率为k,D(x1y1),E(x·y). 1- ·牛2·2一4一-、 4 4 8分 因为k1=4k:,所以k1·k8=一1，………9分 设直线DE为y=kx十m, y=kx十m 联立+ ,可得x2十4(kx十m)2=4, 即(4k2+1)x2+8km.x+4m2-4=0. 、所以·生，十=一 k+工' 11分 因为6产2十2》 所以(k.x1十m)(k2十m)+(x1十2)(x2+2)=0, 即(k+1)·x1x+(km+2)(.x1+x2)十m2+4=0, 即(+1…探m+2+w+4=0, 化简得12k2一16km十5m2=0,…… 14分 解得k= 名m或k=之m(含去). 5 15分 5 所以直线DE的方程为y=6mx十m,… 16分 所以存在定点定点为（一号0）： ……17分 【高二数学参考答案第5页（共5页）】 25344B绝密★启用前 20242025学年度高二年级开学质量检测 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区城内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 器 答题区城均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答策的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡 上作答；字体工整，笔迹清楚。 4,考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 长 1.直线x-√3y+3=0在y轴的截距为 A.-3 B.-√3 C.5 D.3 2.已知椭圆的长半轴长等于焦距的3倍，则该椭圆的离心率为 A司 B吉 c号 n号 3.已知双曲线的方程为号-菁-1，则该双曲线的焦距为 43 数 A.1 B.2 C.7 D.2√7 4.已知数列{an}为等比数列，若a1,a,是方程x2一10x十16=0的两个不相等的实数根，则a,= A.5 B.±5 C.4 D.±4 5.已知直线l的一个方向向量为u=(1,一2,2)，平面a的一个法向量为n=(2,一1,2)，则l与 平面a所成角的正弦值为 A哥 B号 c是 D.号 6.已知实数x,y满足x2+y-2x=0,则z十的取值范围为 A.[-3,5] [-] c(-∞，-]U[9,+) D.(-∞，-3]U[5,+∞) 【高二数学第1页（共4页）】 253441 CS扫描全能王 门亿人都在用的归播APe 乙已知双曲线C爱-卡1(@>0，b>0)的左、右焦点分别为F,F,过F作斜率为正且与双 曲线C的某条渐近线垂直的直线1与双曲线C在第一象限交于点A,若cos∠FAF,=号，则 双曲线C的离心率为 A号 B号 C.√5 D. 8.在平面直角坐标系xOy中，已知直线4：x一my十4m一1=0与l2:mx十y一3m一2=0交于点 P,点Q(x0,yo)是抛物线y2=一4x上一个动点，则|PQ一x。的最小值为 A.V2-1 B.2√2-1 C.√5-1 D.2√3-1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知在正项等比数列{an)中，a1a3=4,a=16,则 A.{am)的公比为2 B.{an}的通项公式为an=2 C.a3+a5=20 D数列1o:士}为递增数列 10,若方程名，六=1所表示的曲线为C,则下列命题正确的是 A.曲线C可能是圆 B.若曲线C为椭圆，则t<4且t≠一3 C.若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则-3<1<号 D.若曲线C为双曲线，则号<<4 11.已知圆C:x2+y2一2x十4y十4=0，若圆C2与圆C1关于直线y=x对称，则下列说法正确的是 A.圆C2的标准方程为(x十2)2+(y一1)2-1 B.过点（一1,1）可作圆C2的切线有两条 C.若M,N分别为圆C1,圆C2上的点，则M,N两点间的最大距离为3√2+2 D.若E,F为圆C2上的两个动点，且|EF|=√3，则线段EF的中点的轨迹方程为(x十2) +y-102=号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知a∈R,设直线l1:x一ay-2=0,2:ax一4y一4=0，若1∥l2,则a= 13.已知抛物线C的准线是圆x2+y2一4=0与圆x2+y2十2x一2=0的公共弦所在的直线，则 抛物线C的标准方程为 14.将数列a.=3n一2与数列b.=4n一3的公共项从小到大排列得到数列{c.},则使得c.> 2025成立的n的最小值为 【高二数学第2页（共4页）】 25344B C③扫描全能王 门亿人都在用的归播APe 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.(本小题满分13分)》 已知数列{a.}的前n项和为Sm,且2a。一S,=n. (1)证明：数列{a.十1)}是等比数列； (2)设数列{b.}满足bn=am十n,求(bn}的前n项和T。 16.(本小题满分15分) 已知圆C关于x轴对称且经过点(3，√5)和(2，一2). (1)求圆C的标准方程； (2)过点P(1√3)的直线l与圆C交于A,B两点；若|AB|=2,求直线l的方程. 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD=2BC=2. (1)求证：AD⊥平面PBD: (2)若PD=√2，求平面PAB与平面PBD的夹角的余弦值. 【高二数学第3页（共4页）】 25344B C③扫描全能王 3亿人藤在用的归播AP哈 18.(本小题满分17分) 已知(an}是等差数列，{b,)是各项都为正数的等比数列.且a1=2,b,=1,a1十b=8,a2=b: (1)求{a.},(bn)的通项公式； (2)求数列{aa·bn}的前n项和Tm; 「an,n为奇数 (3)若cn= 求数列{cn}的前2n项和Sm… bn,n为偶数 19.(本小题满分17分)） 已知椭圆C+芳-10>6>0)的焦距为2v3,离心率为汽，左，右顶点分别为A,B 2 (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知点M(子，0），若点P是椭圆C上的-一点，求PM的最小值： (3)已知直线l的斜率存在，且与椭圆C交于D,E两点(D,E与A,B不重合)，直线AD斜 率为k1,直线BE斜率为k2,若k1=4k2,请问直线1是否过定点？若过定点，求出定点坐 标；若不过定点，请说明理由， 【高二数学第4页（共4页）】 25344B C③扫描全能王 3亿人都在用的目播AP时