精品解析：山东省枣庄市薛城区五校联考2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年九年级综合素养检测数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的根的情况是（ ） A. 有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无实数根 3. 反比例函数的图象经过下面哪一个点（ ） A. B. C. D. 4. 在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中黑球有（ ）个． A. 8 B. 9 C. 14 D. 15 5. 如图所示，河坝横断面迎水坡的坡比为，坝高，则坡面的长度是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，电灯P在桌面的正上方，在灯光下的影子为，，，，桌面与的距离是，则P到的距离是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，若关于x的方程的解为．关于x的方程的解为．则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，函数和函数（k是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，D为中边上一点，则添加下列条件不能判定的是（ ）     A. B. C. D. 10. 二次函数图象如图所示，它的对称轴为，下列结论中正确的有（ ） ①；②；③；④；⑤若和是这条抛物线上的两点，则当时，． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每题3分，满分18分） 11. 若，则的值为______． 12. 若是关于的一元二次方程的一个解，则常数的值为______． 13. 在中，和均为锐角，且，则______度． 14. 如图，在同一天测量某棵树在太阳光照射下的影长，A时测其影长为8米，B时测其影长为18米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为__________米． 15. 如图，已知反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，与两个反比例函数图象分别交于点A、B，若，则______． 16. 某长江大桥采用低塔斜拉桥桥型，平面图如图所示，假设你站在桥上测得拉索与水平桥面的夹角是，拉索与水平桥面的夹角是，两拉索底端距离米，则立柱的高为_____________ 三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：． （2）用配方法解方程：． 18. 如图，射线放置在的正方形虚线网格中，请在图中找出格点（即每个小正方形的顶点），使为直角三角形，并且分别满足下列要求． （1）在图1中使的值为； （2）在图2中使值为． 19. 无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为的处测得试验田右侧边界处俯角为，无人机垂直下降至处，又测得试验田左侧边界处俯角为，求的长．（参考数据：，结果保留整数） 20. 为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下表格和扇形统计图． 参加四个社团活动人数统计表 社团活动 舞蹈 篮球 围棋 足球 人数 50 30 80 参加四个社团活动人数扇形统计图 请根据以上信息，回答下列问题： （1）抽取的学生共有 人，其中参加围棋社的有 人； （2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生有多少人？ （3）某班有3男2女共5名学生参加足球社，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，请用树状图或列表法说明恰好抽到一男一女的概率． 21. 某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，设这种健身球每天的销售利润为w元． （1）如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个； （2）求w与x之间的函数关系式； （3）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 22. 已知两点A（，2），B（n，）是一次函数和反比例函数图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）求△AOB的面积． 23. 【基础巩固】（1）如图1，在中，是边上一点，是边上一点，．求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，点是边的中点，，若，，求线段的长． 【拓展提高】（3）在中，，以为直角顶点作等腰直角三角形（其中），点在上，点在上．若，求的长． 24. 如图，抛物线经过点，点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点P，使的面积是面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年九年级综合素养检测数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例的基本性质，掌握性质是解决问题的关键．根据两内项之积等于两外项之积，逐一验证各选项是否与原等式一致即可． 【详解】A、 由得，即，与原式不符，错误； B、 由得，即，与原式完全一致，正确； C、 由得，与原式矛盾，错误； D、 由得，即，同样与原式不符，错误． 故选：B． 2. 方程的根的情况是（ ） A. 有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无实数根 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 一元二次方程有两个相等的实数根． 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 3. 反比例函数的图象经过下面哪一个点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 将横坐标分别代入函数解析式求出纵坐标，进一步比较即可． 【详解】解：当时，，故A选项不符合题意； 当时，，故B选项符合题意； 当时，，故C选项不符合题意； 当时，，故D选项不符合题意； 故选：B． 4. 在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中黑球有（ ）个． A. 8 B. 9 C. 14 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用频率求总体，解题关键是明确频率的意义，求出总共有多少个球． 根据摸到白球的频率约为，用6除以30%得到总球数，再计算求解即可． 【详解】解：∵摸到白球的频率约为， ∴不透明的袋子中一共有球为：（个）， ∴黑球有（个）， 故选：C． 5. 如图所示，河坝横断面迎水坡的坡比为，坝高，则坡面的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查坡度比，勾股定理，根据坡度比是竖直高度与水平距离的比代入求解即可得到答案 【详解】解：∵迎水坡的坡比为，， ∴， ∴， 故选：D． 6. 如图，电灯P在桌面的正上方，在灯光下的影子为，，，，桌面与的距离是，则P到的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作于E，交于F，设为x米.先证，根据“相似三角形对应高的比等于相似比”列比例式求出x的值即可． 本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比.熟练掌握这个性质是解题的关键． 【详解】作于E，交于F，如图， ∵， ， ， 设，则 ， 得， ， 即P点到的距离是， 故选：B． 7. 已知，若关于x的方程的解为．关于x的方程的解为．则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把看做是直线与抛物线交点的横坐标，把看做是直线与抛物线交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设直线与抛物线交于A、B两点，直线与抛物线交于C、D两点， ∵，关于x的方程的解为，关于x的方程的解为， ∴分别是A、B、C、D的横坐标， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键． 8. 在同一平面直角坐标系中，函数和函数（k是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合判断．熟练掌握函数图象与系数的关系，是解决问题的关键．对于一次函数，当时，图象必过一、三象限；当时，图象必过二、四象限；当时，图象必过一、二象限；当时，图象必过三、四象限；对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下；当a，b同号时，对称轴位于y轴左侧；当a，b异号时，对称轴位于y轴右侧． 分别根据一次函数和二次函数的图象与系数的关系进行判断即可． 【详解】解：A、由一次函数的图象可知，； 由二次函数图象开口向下可知，， ∴，矛盾， ∴A不正确； B、由一次函数的图象可知，； 由二次函数图象开口向上可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵对称轴为直线，在y轴左侧， ∴B不正确； C、由一次函数的图象可知，； 由二次函数图象开口向上可知，， ∴，矛盾， ∴C不正确； D、由一次函数的图象可知，； 由二次函数图象开口向上可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵对称轴为直线，在y轴左侧， ∴D正确． 故选：D． 9. 如图，D为中边上一点，则添加下列条件不能判定的是（ ）     A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定条件是解此题的关键． 利用相似三角形的判定逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、，， ， ，故能判定，不符合题意； B、，但不一定等于， 不能判定，符合题意； C、， ，故能判定，不符合题意； D、， ，故能判定，不符合题意； 故选：B． 10. 二次函数图象如图所示，它的对称轴为，下列结论中正确的有（ ） ①；②；③；④；⑤若和是这条抛物线上的两点，则当时，． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据所给函数图象，可得出的正负，再结合抛物线的增减性和对称性即可解决问题． 【详解】解：由所给函数图象可知， ，，， 所以，故①错误． 因为抛物线与轴有两个不同的交点， 所以，故②错误． 因为抛物线的对称轴为直线，且与轴的一个交点横坐标比大， 所以， 所以抛物线与轴的另一个交点的横坐标比小， 则当时，函数值小于零， 所以，故③正确． 因为抛物线的对称轴为直线， 所以，即 又因为当时，函数值小于零， 所以， 所以，故④正确． 因为抛物线开口向上， 所以抛物线上的点离对称轴越近，其函数值越小， 又因为， 所以，故⑤错误． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每题3分，满分18分） 11. 若，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查比例的性质，掌握运算法则是解题关键． 根据比例设，，然后代入比例式进行计算即可得解． 【详解】∵， ∴设，， ∴． 故答案为：． 12. 若是关于的一元二次方程的一个解，则常数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的解、解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题关键．首先将代入方程，获得关于的一元二次方程并求解，再结合一元二次方程的定义易得，易得，即可获得答案． 【详解】解：将代入方程， 可得， 整理可得， 解得，， 又∵根据一元二次方程的定义，可得， ∴， ∴常数的值为． 故答案为：． 13. 在中，和均为锐角，且，则______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊三角函数值及绝对值的非负性，根据非负式子和为0它们分别等于0，求出两个角的三角函数值，从而得到角度，最后结合三角形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在同一天测量某棵树在太阳光照射下的影长，A时测其影长为8米，B时测其影长为18米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为__________米． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用；证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，，， 则， ， ， ， ， 即， （米）； 故答案为：12． 15. 如图，已知反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，与两个反比例函数图象分别交于点A、B，若，则______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查反比例函数比例系数的几何意义．根据图形中三角形面积关系构造方程是解题的关键．应用反比例函数比例系数的几何意义，表示、的面积，利用构造方程即可． 【详解】解：如图，设直线与轴交于点， 由反比例函数比例系数的几何意义可知， ，， ∵， ∴， 解：． 故答案为：． 16. 某长江大桥采用低塔斜拉桥桥型，平面图如图所示，假设你站在桥上测得拉索与水平桥面的夹角是，拉索与水平桥面的夹角是，两拉索底端距离米，则立柱的高为_____________ 【答案】米## 【解析】 【分析】先证得米，再根据直角三角形的性质可得米，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴米， ∴米， 即立柱的高为米． 故答案为：米 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形判定，熟练掌握直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形判定是解题的关键． 三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：． （2）用配方法解方程：． 【答案】（1）4；（2），． 【解析】 【分析】此题考查了化简二次根式，特殊角的三角函数值，零指数幂，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算零指数幂，特殊角的三角函数值，化简二次根式和绝对值，然后计算加减； （2）将常数项移到方程右边，然后将左边利用完全平方公式配方，然后开方求解即可． 【详解】（1） ； （2） 解得，． 18. 如图，射线放置在的正方形虚线网格中，请在图中找出格点（即每个小正方形的顶点），使为直角三角形，并且分别满足下列要求． （1）在图1中使的值为； （2）在图2中使值为． 【答案】（1） 如图1，点即为所作，， ； （2） 如图2，点即为所作，， ． 【解析】 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数关系． （1）以为直角边作等腰，则； （2）借助（1），取格点E，F，，则，得到，即． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为的处测得试验田右侧边界处俯角为，无人机垂直下降至处，又测得试验田左侧边界处俯角为，求的长．（参考数据：，结果保留整数） 【答案】的长为 【解析】 【分析】根据题意得出，在，中，分别求出，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示， ， ∴， 在中，， ∴（）， 在中，， ∴（）， ∴（）， 即的长为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 20. 为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下表格和扇形统计图． 参加四个社团活动人数统计表 社团活动 舞蹈 篮球 围棋 足球 人数 50 30 80 参加四个社团活动人数扇形统计图 请根据以上信息，回答下列问题： （1）抽取的学生共有 人，其中参加围棋社的有 人； （2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生有多少人？ （3）某班有3男2女共5名学生参加足球社，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，请用树状图或列表法说明恰好抽到一男一女的概率． 【答案】（1）200，40 （2）人 （3） 【解析】 【分析】（1）用足球的人数除以足球所占的百分比，即可求得样本容量，进而求出参加围棋社的人数． （2）先求出参加篮球社的学生所占百分比，再乘以3200，即可得出答案． （3）用树状图表示3男2女共5名学生，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，所有可能出现的结果情况，进而求出答案即可． 【小问1详解】 抽取的学生共有：（人）, 参加围棋社的有：（人）; 【小问2详解】 若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生共有 （人）, 【小问3详解】 设事件为：恰好抽到一男一女 所有等可能出现的结果总数为20个，事件所含的结果数为12个 恰好抽到一男一女概率为． 【点睛】本题主要考查了读统计表与扇形图的能力和利用图表获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察，分析，研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了利用树状图或列表法求概率． 21. 某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，设这种健身球每天的销售利润为w元． （1）如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个； （2）求w与x之间的函数关系式； （3）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2） （3）该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）在中，令，进行计算即可得； （2）根据总利润=每个建生球的利润×销售量即可列出w与x之间的函数关系式； （3）结合（2）的函数关系式，根据二次函数性质即可得． 【小问1详解】 解：在中，令得，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意得，， 即w与x之间的函数关系式为：； 【小问3详解】 解：， ∵， ∴当时，w取最大值，最大值为， 即该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式． 22. 已知两点A（，2），B（n，）是一次函数和反比例函数图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）求△AOB的面积． 【答案】（1）， （2）6 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求反比例函数解析式，再将点B（n，）代入反比例函数解析式，求出B点坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）先求出一次函数图象与x轴的交点坐标，再利用三角形的面积进行求解即可． 【小问1详解】 将点A（，2）代入反比例函数，得， 解得， 反比例函数解析式为； 把点B（n，）代入反比例函数，得， 解得，即， 把A、B坐标代入一次函数，得， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 当时，， ， ． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握知识点并运用数形结合的思想是解题的关键． 23. 【基础巩固】（1）如图1，在中，是边上一点，是边上一点，．求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，点是边的中点，，若，，求线段的长． 【拓展提高】（3）在中，，以为直角顶点作等腰直角三角形（其中），点在上，点在上．若，求的长． 【答案】 （1）证明：，， ， ， ∴， ， ， ， ； （2）5； （3）10 【解析】 【分析】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握一线三等角基本几何模型是解题的关键． （1）利用一线三等角模型，可说明，得； （2）如图2中，延长交的延长线于点．证明，推出，求出，，再利用勾股定理求解； （3）过点作与交于点，使，由（1）同理得，可知，再利用，可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图2中，延长交的延长线于点． ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ； （3）解：如图，过点作与交于点，使， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，（舍去） ． 24. 如图，抛物线经过点，点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点P，使的面积是面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，， 【解析】 【分析】（1）将点，点，代入抛物线得，求出的值，进而可得抛物线的解析式． （2）将解析式化成顶点式得，可得点坐标，将代入得，，可得点坐标，求出的值，根据可得，设，则，求出的值，进而可得点坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点，点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：存在． ∵， ∴， 将代入得，， ∴， 又∵B（2，-3）， ∴BC//x轴， ∴到线段的距离为1，， ∴， ∴， 设，由题意可知点P在直线BC上方， 则， 整理得，， 解得，或， ∴，， ∴存在点P，使的面积是面积的4倍，点P的坐标为，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数顶点式，二次函数与三角形面积综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $