精品解析：　湖北省武汉市新洲区阳逻街2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷　

2024-2025学年湖北省武汉市新洲区阳逻街九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 3，4 B. 3， C. 3，2 D. 3， 2. 下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 5. 两年前生产某药品的成本是5000元，现在生产这种药品的成本是3000元，设该药品成本的年平均下降率为，则下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若，，是抛物线上的三个点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 把抛物线的图像向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新的抛物线为(　　) A. B. C. D. 8. 抛物线y=ax²＋bx＋c(a>0)与直线y=bx＋c在同一坐标系中的大致图像可能为( ) A. B. C. D. 9. 如图，以AB为直径作半圆⊙O，C是半圆的中点，P是上一点，AB＝，PB＝1，则PC的长是（　　） A. B. C. D. 10. 关于x的一元二次方程在 范围内有且只有一个根，则m的取值范围为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 点关于原点的对称点的坐标为________． 12. 在平面直角坐标系中，已知点，将点A绕原点逆时针旋转90°得到点，则的长度为_____． 13. 若是方程的两个根，且，则m的值为______． 14. 如图，是 的直径，弦，若，则的度数为_____． 15. 如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论： ；；；．其中正确的序号有_____． 16. 如图，在菱形中，，分别为边上的点，，，．则 _______．（用含的代数式表示） 三、解答题 17. 解方程： ． 18. 如下图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是 中弦的中点，经过圆心O交圆O于点E，并且．求 的半径． 19. 在平面直角坐标系中，已知二次函数的解析式为． （1）完成表格，并直接写出二次函数的顶点坐标________； （2）若，则的取值范围是________； （3）若 ，则的取值范围是________． 20. 如图，是 的直径，弦于点 ，点为弧 的中点，连接 交于，连接． （1）求证：； （2）若 ，，直接写出的长． 21. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，正方形的四个顶点都是格点，点E也是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，按步骤完成下列问题． （1）将线段 绕B点逆时针旋转 ，点E的对应点为F，画出线段； （2）画线段的中点G； （3）连接 ，并延长交于点H，直接写出的长． 22. 要修建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直安装一根水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之上下平移，水柱落地点A与点O在同一水平面，安装师傅调试发现，喷头高时，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 处达到最高，高度为 ．以O为原点，所在的直线为x轴，水管所在的直线为y轴，建立如图的直角坐标系． （1）求水柱高度y与距离池中心的水平距离x的函数表达式； （2）求水柱落地点A到水池中心O的距离； （3）若水池半径为，则喷头最大高度为____m才能使喷出的水流不至于落在池外． 23. 问题背景 如图，与中，，， ，求证：； 尝试应用 如图，点是等边内一点，连接 ，点 在上， ，延长交于，若 ，求证：点是的中点； 拓展应用 如图，已知中，，， ，以为底边在外作等腰 ，且 ，连接，则的长为______． 24. 已知抛物线 与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． 图1 图2 （1）直接写出A，B，C三点的坐标； （2）如图1，点P为直线下方抛物线上一点， 于点D，求 的最大值； （3）如图2，M、N是抛物线上异于B、C的两个动点，若直线 与直线的交点始终在直线上．求证：直线必经过一个定点，并求该定点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年湖北省武汉市新洲区阳逻街九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 3，4 B. 3， C. 3，2 D. 3， 【答案】B 【解析】 【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可． 【详解】解：， ， 所以二次项系数和一次项系数分别是3，， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题关键． 2. 下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选： ． 3. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【详解】解：x2-2x=2， x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 4. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：抛物线中，a＞0，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意； 由解析式得，对称轴为直线，因此B选项正确，不符合题意； 由解析式得，当时，y取最小值，最小值为1，所以抛物线的顶点坐标为，因此C选项正确，不符合题意； 因为抛物线开口向上，对称轴为直线，因此当时，y随x的增大而减小，因此D选项错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为 ． 5. 两年前生产某药品的成本是5000元，现在生产这种药品的成本是3000元，设该药品成本的年平均下降率为，则下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找出题目的等量关系，把相关数值代入计算即可．两年前的成本=现在的成本×（1-下降率）2． 【详解】解：设这种药品成本的年平均下降率是，根据题意得： ， 故选：． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用；得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键． 6. 若，，是抛物线上的三个点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴是直线 ， ∴当 时，y随x的增大而增大， ∵，，是抛物线上的三个点， ∴点关于对称轴 的对称点是， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键． 7. 把抛物线的图像向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新的抛物线为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可． 【详解】解：把抛物线的图像向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新的抛物线为． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握左加右减，上加下减的平移规律是解题关键． 8. 抛物线y=ax²＋bx＋c(a>0)与直线y=bx＋c在同一坐标系中的大致图像可能为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据a、b、c的符号，根据二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，逐一讨论即可得答案． 【详解】A.∵a＞0， ∴二次函数的图象开口向上，故该选项错误， B.∵二次函数图象与y轴交于y轴正半轴，对称轴在y轴右侧， ∴c＞0，＞0， ∴b＜0， ∴对于一次函数y=bx＋c=0时，x=＞0， ∴一次函数与x轴交于x轴正半轴，故该选项正确， C.由B选项可知该选项错误， D.∵二次函数图象与y轴交于y轴负半轴，对称轴在y轴右侧， ∴c＜0，＞0， ∴b＜0， ∴对于一次函数y=bx＋c=0时，x=＜0， ∴一次函数与x轴交于x轴负半轴，故该选项错误， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一次函数与二次函数图象，关键是熟练掌握一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 9. 如图，以AB为直径作半圆⊙O，C是半圆的中点，P是上一点，AB＝，PB＝1，则PC的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，过点作交延长线于点，可得为等腰直角三角形，根据圆内接四边形的性质可得，为等腰直角三角形，设，在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，过点作交延长线于点，如下图 ∵C是半圆的中点 ∴ 又∵为直径 ∴， ∴ 又∵ ∴ ∵四边形 为圆的内接四边形 ∴ ∴为等腰直角三角形 设，则 在中，根据勾股定理得：，即 解得 ． 故选D 【点睛】此题考查了圆内角四边形的性质，弦与弧的关系，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解题的关键是根据题意构造出以 为边的直角三角形． 10. 关于x的一元二次方程在 范围内有且只有一个根，则m的取值范围为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和二次函数的关系，根的判别式的意义； 分两种情况：①方程有两个相等的实数根，且在 的范围内时，可得，求出和，再根据 确定m的范围，得到此时m的值；②方程有两个不相等的实数根，且在 的范围内时，根据一元二次方程的解和二次函数的关系得出不等式组，求解即可． 【详解】解：①当一元二次方程有两个相等的实数根，且在 的范围内时， 则， 解得：， 此时， ∴， 解得：， ∴； ②当一元二次方程有两个不相等的实数根，且在 的范围内时， ∴或， 解不等式组得该不等式组无解； 解不等式组得：， 综上，m的取值范围为：或， 故选：D． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 点关于原点的对称点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案． 【详解】点关于原点对称的点的坐标是 故答案为： 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）． 12. 在平面直角坐标系中，已知点，将点A绕原点逆时针旋转90°得到点，则的长度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中旋转的性质以及两点间距离公式知识点，解题的关键是理解旋转前后线段长度不变，利用两点间距离公式求出的长度，即的长度． 【解析过程简要分析】通过点坐标求长度，再根据旋转性质得到，进而得到长度． 【详解】作轴于点，如图， 由旋转的性质可知：， ∴的长度为， 故答案为：． 13. 若是方程的两个根，且，则m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据根与系数的关系结合 ，可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据方程有实数根即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，从而即可确定m的值，此题得解． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， 整理得： ∴ ∴， ， ∵方程有两个实数根， ∴， 解得： ， ∴ ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根与系数的关系结合，列出关于m的一元二次方程是解题的关键． 14. 如图，是的直径，弦，若，则的度数为_____． 【答案】 ##30度 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．先根据圆周角定理得出 ，再根据三角形内角和定理求出． 【详解】解：如图，记与交于点M， ∵，， ∴ ， ∵于点M， ∴， ∴， 故答案为： ． 15. 如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论： ；；；．其中正确的序号有_____． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由抛物线开口向下，结合图知，当时， 得即可判断①，由对称轴对称轴的取值范围，可得的正负，即可判断②；由抛物线的对称轴，，得，进而得，即可判断③，由，，可得 ，即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：①∵，， 当时， ， ∴，结论①正确； ②∵抛物线与轴交点的横坐标分别为、，其中，， ∴， ∵对称轴， ∴， ∴， ∴；故②正确； ③∵抛物线的对称轴， ∴抛物线的顶点纵坐标大于， ∴， ∵， ∴， ∴，故③错误； ④观察图形可知：， ∵， ∴ ． ∴，结论④正确． 故答案为：①②④． 16. 如图，在菱形中，，分别为边上的点，，，．则 _______．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握以上知识是解题的关键． 根据题意，如图所示，将绕点顺时针旋转，与重合，得，连接，过点作延长线于点，可证，再证明，可得，在中可用含的式子表示，在中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴ ， 如图所示，将绕点顺时针旋转，与重合，得，连接，过点作延长线于点， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴，则，， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 17. 解方程： ． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，先把9移到方程的右边，方程两边同时加上1，配成完全平方公式求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 所以，． 18. 如下图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是中弦的中点，经过圆心O交圆O于点E，并且．求的半径． 【答案】 【解析】 【分析】连接CO，利用垂径定理求解再令⊙O的半径为rm，利用勾股定理建立方程求解半径即可得到答案. 【详解】解：连接CO．∵M是弦CD的中点，且EM经过圆心O， ∴EM⊥CD，且CM＝CD＝×4＝2． 在Rt△OCM中，令⊙O的半径为rm， ∵OC2＝OM2＋CM2， ∴， 解得：r＝． 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理的应用，掌握利用垂径定理构建直角三角形是解题的关键. 19. 在平面直角坐标系中，已知二次函数的解析式为． （1）完成表格，并直接写出二次函数的顶点坐标________； （2）若，则 的取值范围是________； （3）若 ，则的取值范围是________． 【答案】（1） ，，； （2）； （3）或 ． 【解析】 【分析】（）用待定系数法求出函数表达式即可； （）函数的大致图象和二次函数的性质，观察函数图象即可求解； （）函数的大致图象和二次函数的性质，观察函数图象即可求解； 此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的特征，解题的关键是通过表格求出二次解析式，掌握二次函数的图象及其性质． 【小问1详解】 由表格可得，解得：， ∴二次函数的解析式为， 则顶点坐标为， 当时，， 当时，， 故答案为： ，，； 【小问2详解】 如图， ∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线， ∵时，有最小值，则 ；时，， ∴当， 的取值范围是， 故答案为：； 【小问3详解】 ∵图象经过点，对称轴为直线， 由（）可知图象开口向上， ∴若 ，则的取值范围是或 故答案为：或 ． 20. 如图，是的直径，弦于点，点为弧的中点，连接交于，连接． （1）求证：； （2）若 ，，直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了锐角三角函数，垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识，解答本题的关键是掌握垂径定理，难度适中． （1）先根据垂径定理得，，再由圆心角定理的推论得结果； （2）连接，由“直径所对的圆周角是直角”及勾股定理求出的长，再用三角函数求出的长，最后由勾股定理得出． 【小问1详解】 ∵直径于点， ∴，， ∵点为弧的中点， ∴， ∴， ∴ ， ∴． 【小问2详解】 连接， 是的直径， ， ，， ， ，即， 在 中，， 解得， ， 在 中，， ， ， ． 21. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，正方形的四个顶点都是格点，点E也是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，按步骤完成下列问题． （1）将线段绕B点逆时针旋转 ，点E的对应点为F，画出线段； （2）画线段的中点G； （3）连接，并延长交于点H，直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）的长为 【解析】 【分析】本题主要考查了作图－旋转变换，矩形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，证明得出FH的长是解题的关键． （1）根据旋转的性质，作出点的位置即可； （2）连接，根据矩形的性质可知对角线的交点即为点； （3）利用，可求得，即可解决问题． 【小问1详解】 如图所示，线段BF即为所求； 【小问2详解】 如图所示，连接EF，根据矩形的性质可知对角线的交点即为点G； 【小问3详解】 如图， 在中， ， ∵G是的中点， ∴， ∵， G是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 22. 要修建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直安装一根水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之上下平移，水柱落地点A与点O在同一水平面，安装师傅调试发现，喷头高时，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 处达到最高，高度为 ．以O为原点，所在的直线为x轴，水管所在的直线为y轴，建立如图的直角坐标系． （1）求水柱高度y与距离池中心的水平距离x的函数表达式； （2）求水柱落地点A到水池中心O的距离； （3）若水池半径为，则喷头最大高度为____m才能使喷出的水流不至于落在池外． 【答案】（1）； （2） ； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的运用． （1）根据题意设抛物线解析式为，把代入解析式求出a即可； （2）令，解方程即可； （3）根据题意在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，设柱高度y与距离池中心的水平距离x的函数表达式为，先代入解析式求出k的值，再令求出y即可． 【小问1详解】 根据题意知，抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 把代入解析式得，， 解得， ∴水柱高度y与距离池中心的水平距离x的函数表达式为； 【小问2详解】 令，则， 解得（舍去）， ∴， ∴ ， ∴水柱落地点A到水池中心O的距离为 ； 【小问3详解】 由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化， ∴水柱高度y与距离池中心的水平距离x的函数表达式为, 把代入解析式得：， 解得， ∴水柱高度y与距离池中心的水平距离x的函数表达式为， 当时，． ∴喷头最大高度为才能使喷出的水流不至于落在池外． 故答案为：． 23. 问题背景 如图，与中，，， ，求证：； 尝试应用 如图，点是等边内一点，连接 ，点在 上， ，延长交于，若 ，求证：点是的中点； 拓展应用 如图，已知中，，， ，以为底边在外作等腰 ，且 ，连接 ，则 的长为______． 【答案】 问题背景： 证明：∵ ， ∴ ， ∵，， ∴， ∴； 尝试应用： 证明：延长至，使 ，连接，， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ， ∴ ， 又∵， ∴， ∴ ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴点是的中点； 拓展应用： 【解析】 【分析】[问题背景]由“”可证 ，可得 ； [尝试应用]由“”可证 ，可证 ， ，由“”可证 ，可得 ，可得结论； [拓展应用]作 于，求出 的长度，进而求出的长度，过点作 于，由，得出 ，进而得出 ，作于， ，证明 ，求出 的长度.利用勾股定理求得，再得，最后由勾股定理求出 的长度． 【详解】[问题背景]略 [尝试应用]略 [拓展应用]解：如图，作 于， ∵，， ∴， ， ∴ ， ∴， 过点作 于， ∵， ， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴，， 作于，交于点， ∵ ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 设 ，则 ， 在 中，， ∴， ∴（负值已舍去）， 即， 在中，由勾股定理得： ，， 在 中， ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是解题的关键． 24. 已知抛物线 与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． 图1 图2 （1）直接写出A，B，C三点的坐标； （2）如图1，点P为直线下方抛物线上一点， 于点D，求 的最大值； （3）如图2，M、N是抛物线上异于B、C的两个动点，若直线 与直线的交点始终在直线上．求证：直线 必经过一个定点，并求该定点坐标． 【答案】（1），点，点； （2） 的最大值为； （3）直线 恒过定点． 【解析】 【分析】（1）令和，解方程可求解； （2）过点P作轴于E，交于点F，利用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，则，再证得，可得，得出，再运用二次函数的性质即可求得答案； （3）设点，直线，直线，直线，将点C、B的坐标代入可得：，联立直线 与抛物线的解析式可得出，，同理：，，进而可得：，，根据直线 与直线的交点始终在直线上，可得，，即直线，故直线 恒过定点． 【小问1详解】 对于，令，则， ∴， ∴点，点， 令，则， ∴点； 【小问2详解】 过点P作轴于E，交于点F，如图1： 设直线的解析式为 ， 将点代入 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时， 最大为； 【小问3详解】 证明：如图2，设点， 直线，直线，直线， 整理得：， 则，， 同理：，， ∵， ∴， ∴， ， 联立直线与直线 的解析式得：， 解得：， ∵直线 与直线的交点始终在直线上， ∴， 化简得：， ∴， ∴直线， ∴不论为何值，均有时，， 即：直线 恒过定点． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，函数的最值，相似三角形的判定与性质等知识，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $