精品解析：河南省安阳市林州市2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级上学期第三次阶段自评（A） 数学2024.12 （考试范围：至下册22页满分：120分） 注意事项：1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．考生应把答案直接涂写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 2．答题前，考生务必将答题卡上本人姓名、考场、考号等信息填写完整或把条形码粘贴在指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 四边形的内角和为 B. 太阳从西边落下 C. 车辆随机到达一个路口，遇到绿灯 D. 一个数的绝对值为负数 2. 下列函数中，是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个扇形的半径为5，弧长为5，则这个扇形的面积为（ ） A. 25 B. C. D. 4. 如图，A，B，C，D为·一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 5. 如图，若随机用合开关中的两个，则能让两灯泡同时发光的概率（ ） A. B. C. D. 6. 若点，，在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的内接三角形，，过点的圆的切线交的延长线于点P，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的图象如图，则和的图象为（ ） A. B. C. D. 9. 某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为，母线长为30，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（ ） v A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，；其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个过点，且与x轴无交点的函数解析式：______． 12. 底面半径为，母线长为的圆锥的侧面积为_______． 13. 一个不透明的盒子中装有若干个红球和7个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为______． 14. 已知反比例函数，当时，y的取值范围为______． 15. 如图，点是双曲线：（）上的一点，过点作轴的垂线交直线：于点，连结，.当点在曲线上运动,且点在的上方时，△面积的最大值是______. 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 选择适当的方法解下列方程： （1） （2） 17. 定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程是否为黄金方程，并说明理由． （2）已知是关于x的黄金方程，若a是此黄金方程的一个根，求a的值． 18. 已知一艘轮船上装有150吨货物，轮船到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为v（单位：吨/小时），卸完这批货物所需的时间为t（单位：小时）． （1）求v关于t的函数表达式； （2）若要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？ 19. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在小正方形的格点上． （1）将绕点顺时针旋转得到，画出； （2）在（1）的运动过程中请计算出扫过的面积． 20. 二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“A．惊蛰”“B．夏至”“C．白露”“D．霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗． （1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是________． （2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人都没有抽到“B．夏至”的概率． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为. （1）根据图象，直接写出满足的的取值范围； （2）求这两个函数的表达式； （3）点在线段上，且，求点的坐标. 22. 如图，在中，，点在上，以为圆心，为半径的半圆分别交，于点，且点是弧的中点． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 23. 如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形中，，过点作射线，垂足为，点在上． （1）【动手操作】 如图②，若点在线段上，画出射线，并将射线绕点逆时针旋转与交于点，根据题意在图中画出图形，图中的度数为_______度； （2）【问题探究】 根据（1）所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】 如图③，若点在射线上移动，将射线绕点逆时针旋转与交于点，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期第三次阶段自评（A） 数学2024.12 （考试范围：至下册22页满分：120分） 注意事项：1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．考生应把答案直接涂写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 2．答题前，考生务必将答题卡上本人姓名、考场、考号等信息填写完整或把条形码粘贴在指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 四边形的内角和为 B. 太阳从西边落下 C. 车辆随机到达一个路口，遇到绿灯 D. 一个数的绝对值为负数 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了随机事件“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件”、必然事件“必然事件发生的可能性为1”、不可能事件“不可能事件的发生的可能性为0”，熟记定义是解题关键．根据四边形的内角和、绝对值的性质、随机事件的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、四边形的内角和为，是必然事件，则此项不符合题意； B、太阳从西边落下，是必然事件，则此项不符合题意； C、车辆随机到达一个路口，遇到绿灯，是随机事件，则此项符合题意； D、一个数的绝对值为负数，是不可能事件，则此项不符合题意； 故选：C． 2. 下列函数中，是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的定义：形如的函数叫做反比例函数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、函数不是反比例函数，此选项不符合题意； B、函数即不是反比例函数，此选项不符合题意； C、函数不是反比例函数，此选项不符合题意； D、函数是反比例函数，此选项符合题意； 故选：D． 3. 已知一个扇形的半径为5，弧长为5，则这个扇形的面积为（ ） A. 25 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积公式，根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：∵一个扇形的半径为5，弧长为5， ∴这个扇形的面积为， 故选：D． 4. 如图，A，B，C，D为·一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形与圆、圆周角定理等知识点，掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理可得正多边形的边所对的圆心角，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系即可解答． 【详解】解：如图，连接，，作出外接圆， ∵，， ， ∵， ∴这个正多边形为正十二边形． 故选A． 5. 如图，若随机用合开关中的两个，则能让两灯泡同时发光的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单的概率计算，利用列举法得到所有的等可能性，再找出能让两灯泡同时发光的的结果数，进而利用概率公式求解即可． 【详解】解：由题意，随机用合开关中的两个，所有的等可能的结果有：和、和、和，共3种，其中能让两灯泡同时发光的有和， ∴能让两灯泡同时发光的的概率为， 故选：B． 6. 若点，，在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点A、B、C分别在反比例函数上，可解得、、的值，然后通过比较大小即可解答. 【详解】解：将A、B、C的横坐标代入反比函数上， 得：y1＝－6，y2＝3，y3＝2， 所以，； 故选C. 【点睛】本题考查了反比例函数的计算，熟练掌握是解题的关键. 7. 如图，是的内接三角形，，过点的圆的切线交的延长线于点P，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先连接、，根据圆内接四边形定理可得，根据等腰三角形的性质可得，根据切线的性质可知，从而可得，再利用三角形外角定理可求的度数． 【详解】解：如下图所示，连接、， 则有， ， ， 又， ， 是的切线， ， ， 又， ．   故选：B ． 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、圆内接四边形定理、三角形外角的性质．解决本题的关键是根据图形的性质找到角之间的关系． 8. 已知的图象如图，则和的图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可以得到a＜0，b＞0，c＜0，由此可以判定y=ax+b经过一、二、四象限，双曲线在二、四象限． 【详解】根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象， 可得a＜0，b＞0，c＜0， ∴y=ax+b过一、二、四象限， 双曲线在二、四象限， ∴C是正确的． 故选C． 【点睛】此题考查一次函数，二次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系． 9. 某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为，母线长为30，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（ ） v A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的底面圆周长求得半径为，根据母线长求得展开后的扇形的圆心角为，进而即可求解． 【详解】解：∵这个圆锥的底面圆周长为， ∴ 解得： ∵ 解得： ∴侧面展开图的圆心角为 如图所示，即为所求，过点作， ∵，，则 ∵，则 ∴，， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理解直角三角形，求得侧面展开图的圆心角为解题的关键． 10. 如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，；其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数开口向上，与y轴交于y轴负半轴，，根据对称轴为直线可得，由此即可判断①；求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为，进而得到当时，，由此即可判断②；根据时，，即可判断③；利用图象法即可判断④． 【详解】解：∵二次函数开口向上，与y轴交于y轴负半轴， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为， ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为， ∴当时，， ∴，故②正确； ∵时，， ∴， ∴，即，故③正确； 由函数图象可知，当时，，故④正确； 综上所述，其中正确的结论有①②③④共4个， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式的关系，二次函数的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个过点，且与x轴无交点的函数解析式：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了利用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的图象与坐标轴没有交点，设这个函数的解析式为，把点的坐标代入，求出值即可． 【详解】解：依题意，设这个函数的解析式为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 这个函数的解析式为， 故答案为：． 12. 底面半径为，母线长为的圆锥的侧面积为_______． 【答案】24π 【解析】 【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：由题意得：圆锥的侧面积＝2π×4×6÷2＝24πcm2. 故答案为：24π． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长． 13. 一个不透明的盒子中装有若干个红球和7个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为______． 【答案】21 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，分式方程的运用，掌握概率公式，分式的计算是解题的关键． 根据题意，设红球有个，则共有个球，根据概率公式，列分式方程求解即可． 【详解】解：设红球有个，则共有个球， ∵摸到黑球的频率稳定在左右， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴红球有个， 故答案为：． 14. 已知反比例函数，当时，y的取值范围为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．由可知图像分布在第一，三象限，当时，有部分图象在第一象限，有部分图象在第三象限，分别表示出的取值范围，从而得到答案． 【详解】解：反比例函数中，， 此函数图象的两个分支位于一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小， 当时，， 当时，第三象限中；第一象限图象中，； 故答案为：或． 15. 如图，点是双曲线：（）上的一点，过点作轴的垂线交直线：于点，连结，.当点在曲线上运动,且点在的上方时，△面积的最大值是______. 【答案】3 【解析】 【分析】令PQ与x轴的交点为E，根据双曲线的解析式可求得点A、B的坐标，由于点P在双曲线上，由双曲线解析式中k的几何意义可知△OPE的面积恒为2，故当△OEQ面积最大时△的面积最大.设Q（a，）则S△OEQ= ×a×（）==，可知当a=2时S△OEQ最大为1，即当Q为AB中点时△OEQ为1，则求得△面积的最大值是是3. 【详解】 ∵交x轴为B点，交y轴于点A, ∴A（0，-2），B（4，0） 即OB=4，OA=2 令PQ与x轴的交点为E ∵P在曲线C上 ∴△OPE的面积恒为2 ∴当△OEQ面积最大时△的面积最大 设Q（a, ） 则S△OEQ= ×a×（）== 当a=2时S△OEQ最大为1 即当Q为AB中点时△OEQ为1 故△面积的最大值是是3. 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数几何图形面积问题，二次函数求最大值，解本题的关键是掌握反比例函数中k的几何意义，并且建立二次函数模型求最大值. 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 选择适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法进行解方程，即可作答． （2）先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：可化为． 得， ． 【小问2详解】 解：变形得， 分解因式得， 即或， 解得． 17. 定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程是否为黄金方程，并说明理由． （2）已知是关于x的黄金方程，若a是此黄金方程的一个根，求a的值． 【答案】（1）一元二次方程是黄金方程，理由见解析 （2）或 【解析】 【分析】 （1）根据黄金方程的定义进行求解即可； （2）根据黄金方程的定义得到，则原方程为，再由a是此黄金方程的一个根，得到，解方程即可． 【小问1详解】 解：一元二次方程是黄金方程，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴一元二次方程是黄金方程； 【小问2详解】 解：∵是关于x的黄金方程， ∴， ∴， ∴原方程为， ∵a是此黄金方程的一个根， ∴，即， ∴， 解得或． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，正确理解题意是解题的关键． 18. 已知一艘轮船上装有150吨货物，轮船到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为v（单位：吨/小时），卸完这批货物所需的时间为t（单位：小时）． （1）求v关于t的函数表达式； （2）若要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？ 【答案】（1） （2）平均每小时至少要卸货30吨 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用． （1）直接利用进而得出答案； （2）直接利用要求不超过5小时卸完船上的这批货物，进而得出答案． 【小问1详解】 解：由题意可得：， 则； 【小问2详解】 解：要求不超过5小时卸完船上的这批货物， ， 则， 答：平均每小时至少要卸货30吨． 19. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在小正方形的格点上． （1）将绕点顺时针旋转得到，画出； （2）在（1）的运动过程中请计算出扫过的面积． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转作图，勾股定理逆定理，勾股定理以及扇形面积计算． （1）先作出点A、B绕点顺时针旋转90度的对应点，，然后顺次连接即可； （2）先根据小正方形的特点用勾股定理求出各个边长，根据各个边长用勾股逆定理证明为等腰直角三角形，进而求出的面积，再用旋转的性质知道，再求出扇形的面积，最后的面积加上扇形的面积即为所求． 【小问1详解】 解：作出点A、B绕点C顺时针旋转的对应点，，顺次连接，则即为所求，如图所示： 【小问2详解】 根据题意，在（1）的运动过程中请计算出扫过的面积如下： ∵，，， ∴， ∵， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴， 根据旋转可知，， ∴， ∴在旋转过程中扫过的面积为∶． 20. 二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“A．惊蛰”“B．夏至”“C．白露”“D．霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗． （1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是________． （2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人都没有抽到“B．夏至”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．惊蛰”的只有1种，由概率的定义可得答案； （2）用树状图列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 【小问1详解】 解：共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．惊蛰”的只有1种， 所以小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下： 共有12种等可能出现的结果，其中两人都没有抽到“B．夏至”的有6种， 所以两人都没有抽到“B．夏至”的概率为． 【点睛】本题考查列表法或树状图法，用树状图表示所有等可能的出现的结果是正确解答的关键． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为. （1）根据图象，直接写出满足的的取值范围； （2）求这两个函数的表达式； （3）点在线段上，且，求点的坐标. 【答案】（1）或；（2），；（3） 【解析】 【分析】(1) 观察图象得到当或时，直线y=k1x+b都在反比例函数的图象上方，由此即可得； (2)先把A(-1，4)代入y=可求得k2，再把B(4，n)代入y=可得n=-1，即B点坐标为(4，-1)，然后把点A、B的坐标分别代入y=k1x+b得到关于k1、b的方程组，解方程组即可求得答案； (3)设与轴交于点，先求出点C坐标，继而求出，根据分别求出，，再根据确定出点在第一象限，求出，继而求出P点的横坐标，由点P在直线上继而可求出点P的纵坐标，即可求得答案. 【详解】(1)观察图象可知当或，k1x+b>； (2)把代入，得， ∴， ∵点在上，∴， ∴， 把，代入得 ，解得， ∴； (3)设与轴交于点， ∵点在直线上，∴， ， 又， ∴，， 又，∴点在第一象限， ∴， 又，∴，解得， 把代入，得， ∴. 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合题，涉及了待定系数法，函数与不等式，三角形的面积等，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的应用. 22. 如图，在中，，点在上，以为圆心，为半径的半圆分别交，于点，且点是弧的中点． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】（1） 连接、， ， ， ， ， ， 点是弧的中点， ， ， ， 为半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接、，证出，即可得出结论； （2）根据，分别求出和即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 为等腰直角三角形， 设，则， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定定理、扇形的面积、等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握切线的判定定理． 23. 如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形中，，过点作射线，垂足为，点在上． （1）【动手操作】 如图②，若点在线段上，画出射线，并将射线绕点逆时针旋转与交于点，根据题意在图中画出图形，图中的度数为_______度； （2）【问题探究】 根据（1）所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】 如图③，若点在射线上移动，将射线绕点逆时针旋转与交于点，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）作图见解析；135 （2）解：；理由如下： 连接，如图所示： 根据旋转可知，， ∵， ∴、P、B、E四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：或；理由如下： 当点P在线段上时，连接，延长，作于点F，如图所示： 根据解析（2）可知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， 即； 当点P在线段延长线上时，连接，作于点F，如图所示： 根据旋转可知，， ∵， ∴、B、P、E四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 即； 综上分析可知，或． 【解析】 【分析】（1）根据题意画图即可；先求出，根据，求出； （2）根据，，证明、P、B、E四点共圆，得出，求出，根据等腰三角形的判定即可得出结论； （3）分两种情况，当点P在线段上时，当点P在线段延长线上时，分别画出图形，求出之间的数量关系即可． 【小问1详解】 解：如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：135． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，四点共圆，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出图形和相关的辅助线，数形结合，并注意分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $