精品解析： 山东省济南市槐荫区2024-2025学年九年级上学期12月 月考数学试题

2024～2025学年度第一学期阶段性质量检测 九年级数学 本试题分试卷和答题卡两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置，考试结束后，将试卷、答题卡一并交回，本考试不允许使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 注意事项： 第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如果，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知，，，则 的长为（ ） A. 96 B. 60 C. 48 D. 120 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 轴 D. 轴 4. 中，，，，的值为（ ） A. B. C. D. 2 5. 如图， 、 、 是上的三个点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知在中， 是直径，，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. 到 、 的距离相等 D. 7. 设，，是抛物线（m为常数）上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知在 中，，，，若以 为圆心，长为半径的圆 与边 有交点，那么的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 9. 如图，在矩形 中，，，以 为直径在矩形内作半圆，过点 作半圆的切线 ，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为D，以 为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接，点Q为 的中点．下列四种说法： ①点C在上； ②； ③当点P沿半圆从点B运动至点A时，点Q运动的路径长为 ； ④线段 的长可以是． 其中正确说法的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 所有答案必须用0．5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等． 不按以上要求作答，答案无效． 二、填空题（本大题共5个小题．每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 抛物线与 轴的交点坐标是___________． 12. 若一条弦把圆分成两部分，则劣弧所对的圆心角为______． 13. 一扇形的圆心角为 ，弧长为，则该扇形的半径为____________． 14. 如图，花园边墙上有一边长为的正六边形门，现准备打掉部分墙体，使其变成以 为直径的圆弧形门，那么要打掉墙体的总面积是_____________（用表示） 15. 如图，在正方形ABCD中，是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点 、 ，连接BD、DP，BD与CF相交于点 ．给出下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的是_____． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算： 17. 如图，在 中，点 、 分别在边 、 上，且．若 ，，． （1）证明：； （2）求线段 的长． 18. 玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆形器物．据《尔雅·释器》记载“肉好若一，谓之环”，其中“肉”指玉质部分（边），“好”指中央的孔．结合图1“肉好若一”的含义可以表示为：中孔直径，图2是一枚破损的汉代玉环，为器物原貌，需推算出该玉环的孔径尺寸．如图3，文物修复专家将破损玉环的外围边缘表示为弧 ，设弧 所在圆的圆心为 ，测得弧所对的弦长，半径于点 ，测得，连接，求该玉环中孔半径的长． 19. 如图，抛物线与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，其顶点 的坐标为． （1）直接写出点 、 、 的坐标； （2）若点 在抛物线上，的面积是24，求点 的坐标． 20. 嘉嘉使用桌上书架如图所示，使用时可以通过调整书架和桌面的夹角大小使阅读时的感受更加舒适．嘉嘉发现，当书架与桌面的夹角时，舒适度较为理想，如图2，在理想舒适度下，书上有一点 ，如果嘉嘉的眼睛在 处，旋转点 到点 的距离为． （1）求此时点 到桌面的距离；（结果保留根号） （2）如果嘉嘉看点 的俯角为，眼睛到桌面高度为 ，点 到点 的距离为，求此时眼睛到 点的距离，即 的长度．（结果精确到；参考数据：，，） 21. 如图， 是的直径， 为的弦，与 的延长线交于点点 在 上，且． （1）求证：直线 是 的切线； （2）若，求的长． 22. 【综合与实践】 矩形种植园最大面积探究 情境 劳动实践基地有一长为12米的墙 ，研究小组想利用墙 和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边，矩形种植园的面积为S． 分析 要探究面积S的最大值，首先应将另一边 用含x的代数式表示，从而得到S关于x的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值． 探究 方案一：将墙 的一部分用来替代篱笆 按图1的方案围成矩形种植园（边 为墙 的一部分）． 方案二：将墙 的全部用来替代篱笆 按图2的方案围成矩形种植园（墙 为边 的一部分）． 【解决问题】 根据分析，分别求出两种方案中S的最大值；比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少？ 23. 如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝6，OB＝3，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C． （1）求点C的坐标和反比例函数的表达式； （2）如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移m个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，点P为x轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 24. 【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】 （2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长． 25. 如图，抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式； （2）若点为第二象限内抛物线上一点，连接 ，点P为线段 下方抛物线上一点，过点P作交y轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，连接 、 ，将原抛物线沿射线 方向平移个单位长度，若点M为平移后新抛物线上一点，过点M作轴于点N，直接写出所有使得相似于 的点M的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第一学期阶段性质量检测 九年级数学 本试题分试卷和答题卡两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置，考试结束后，将试卷、答题卡一并交回，本考试不允许使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 注意事项： 第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如果，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质，直接进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选C． 2. 如图，已知，，，则 的长为（ ） A. 96 B. 60 C. 48 D. 120 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理等知识．由，推出，进一步计算可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 轴 D. 轴 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线的的性质，根据抛物线的对称轴为即可得出答案 【详解】解：抛物线的对称轴是，即为 轴， 故选：D 4. 中，，，，的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握正切的定义是解题的关键． 在直角三角形中，正切值定义为对边与邻边的比值，根据题意，确定角A的对边和邻边，代入计算即可． 【详解】解：在 中，，， ∴ 故选：D． 5. 如图， 、 、 是 上的三个点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解决此题的关键．直接利用圆周角定理求解即可求得答案． 【详解】解：∵所对的圆周角是，圆心角是， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6. 如图，已知在 中， 是直径，，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. 到 、 的距离相等 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．根据圆心角、弧、弦的关系判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴O到 、 的距离相等， 所以A、C、D选项正确， 不能证明是等边三角形，不一定成立， 故选：B． 7. 设，，是抛物线（m为常数）上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．由二次函数解析式可知抛物线开口向上，且对称轴为．根据二次函数的性质来判断纵坐标的大小． 【详解】解：∵二次函数线， ∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：． ∴在对称轴右侧，y随x增大而增大， ∴点关于直线的对称点坐标为， ∵， ∴， 故选：A． 8. 已知在 中，，，，若以 为圆心，长为半径的圆 与边有交点，那么的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、圆的基本性质．首先根据勾股定理可求，利用三角形的面积公式可求，当圆 的半径为时，开始与边有交点，当时，圆 与边有交点，当时，圆 与边没有交点，从而确定的取值范围． 【详解】解：如下图所示，过点 作， 中，，，， ， ， ， 解得：， 当以点 为圆心的圆的半径时，圆经过点 ， 当时，圆 与边没有交点， ． 故选：D ． 9. 如图，在矩形 中，，，以 为直径在矩形内作半圆，过点 作半圆的切线 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查切线长定理以及三角形的相似，求角的三角函数值的问题转化为求线段的比例问题．取 的中点，则为圆心，连接与的交点是，则易证，，求得的长即可求解． 【详解】解：取 的中点，则为圆心， 连接， 与 的交点是 , ∵都为圆的切线， ∴, ∴， ∴, ∴， ∴, 在中，, ∴， ∴, 易证明， ∴, ∴， ∴, ． 故选：C． 10. 如图，抛物线的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为D，以 为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接，点Q为 的中点．下列四种说法： ①点C在上； ②； ③当点P沿半圆从点B运动至点A时，点Q运动的路径长为 ； ④线段 的长可以是． 其中正确说法的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线得，可得，顶点，①根据勾股定理求出，即可求解；②根据垂径定理即可求解；③点P的运动轨迹为以I为圆心的半圆，则点Q的运动轨迹为以R为圆心的半圆，即可求解；④根据勾股定理即可求解． 【详解】解：抛物线的图象与坐标轴交于点A，B，C， ∴， ∴点，的半径为2， ∵， ∴顶点D的坐标为：， ∴， ∴点D在上． ①，故点C不在上，故①不正确； ②∵圆心为I，P是半圆上一动点，点D在上，点Q为 的中点． ∴或者I，Q两点重合，故②错误； ③图中实点G、Q、I、F是点N运动中所处的位置， 则GF是等腰直角三角形的中位线， 交于点R，则四边形为正方形， 当点P在半圆任意位置时，中点为Q，连接IQ，则，连接， 则，则点Q的运动轨迹为以R为圆心的半圆， 则Q运动的路径长，故③正确； ④由③得，当点Q运动到点G的位置时， 的长最大， 最大值为， ∴线段 的长不可以是，故④不正确． 故正确说法有：③． 故选：A． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的性质，垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的中位线，点的运动轨迹，点和圆的位置关系等，本题综合性较强，关键在于确定点Q运动的路径，本题综合性强，难度较大． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 所有答案必须用0．5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等． 不按以上要求作答，答案无效． 二、填空题（本大题共5个小题．每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 抛物线与 轴的交点坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】令 得出y的值，从而得出与 轴的交点坐标． 【详解】令 ， 得， 抛物线与 轴的交点坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数与y轴交点的求法是解题的关键． 12. 若一条弦把圆分成两部分，则劣弧所对的圆心角为______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】先根据圆心角、弧、弦的关系求出劣弧所对圆心角的度数即可． 【详解】解：∵一条弦把圆周分成的两段弧， ∴劣弧所对圆心角的度数， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在解答此类问题时要注意是在“同圆或等圆中”才适用，这是此类问题的易错点． 13. 一扇形的圆心角为 ，弧长为，则该扇形的半径为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查弧长公式，根据计算即可，其中R为扇形的半径，n为圆心角． 【详解】 故答案为： 14. 如图，花园边墙上有一边长为的正六边形门，现准备打掉部分墙体，使其变成以 为直径的圆弧形门，那么要打掉墙体的总面积是_____________（用表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积计算，正六边形的性质以及解直角三角形的应用，设正六边形的中心为点O，连接， ，过点O作，先求出一块墙体的面积，再乘以5即可． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为点O，连接， ，过点O作， ∵该多边形是正六边形， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴打掉的墙体面积为， 故答案为： 15. 如图，在正方形ABCD中，是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点 、 ，连接BD、DP，BD与CF相交于点 ．给出下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的是_____． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查的正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角函数定义，等积变换，解答此题的关键是作出辅助线，利用锐角三角函数的定义求出 及 的长． 由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 在正方形 中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴；故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ，故②错误； ∵， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴，故③正确； 如图，过P作，， 设正方形 的边长是4，为正三角形， ∴，， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①③④． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算： 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂以及二次根式的化简计算即可． 【详解】解： ． 17. 如图，在 中，点 、 分别在边 、 上，且．若 ，，． （1）证明：； （2）求线段 的长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质； （1）根据，即可证得结论； （2）由可得，再代入数值计算即可； 【小问1详解】 证明：，， ； 【小问2详解】 解：， ， ，，， ， ． 18. 玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆形器物．据《尔雅·释器》记载“肉好若一，谓之环”，其中“肉”指玉质部分（边），“好”指中央的孔．结合图1“肉好若一”的含义可以表示为：中孔直径，图2是一枚破损的汉代玉环，为器物原貌，需推算出该玉环的孔径尺寸．如图3，文物修复专家将破损玉环的外围边缘表示为弧 ，设弧 所在圆的圆心为 ，测得弧所对的弦长，半径于点 ，测得，连接 ，求该玉环中孔半径的长． 【答案】该玉环中孔半径的长 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，由垂径定理得出，设，则，由勾股定理得出，求解即可得出答案． 【详解】解： 半径于点 ，， ， 设，则， ， ， 解得：， 中孔直径， 中孔半径为： 该玉环中孔半径的长． 19. 如图，抛物线与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，其顶点 的坐标为． （1）直接写出点 、 、 的坐标； （2）若点 在抛物线上，的面积是24，求点 的坐标． 【答案】（1），， （2）点 的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键： （1）根据顶点坐标求出函数解析式，再分别令 和，求出 、 、 的坐标即可； （2）设，根据三角形的面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 解： 抛物线顶点 的坐标为 抛物线解析式为， ∴当 时，，当时，，解得：， ∴，，； 【小问2详解】 解：设 ∵，， ∴ ， ， ，即， 当时，解得：，， 点 的坐标为或． 当时， ∴方程无实数根．（舍去） 综上所述：点 的坐标为或． 20. 嘉嘉使用桌上书架如图所示，使用时可以通过调整书架和桌面的夹角大小使阅读时的感受更加舒适．嘉嘉发现，当书架与桌面的夹角时，舒适度较为理想，如图2，在理想舒适度下，书上有一点 ，如果嘉嘉的眼睛在 处，旋转点 到点 的距离为． （1）求此时点 到桌面 的距离；（结果保留根号） （2）如果嘉嘉看点 的俯角为，眼睛到桌面高度为 ，点 到点 的距离为，求此时眼睛到 点的距离，即 的长度．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点 作，根据三角形函数，得出即可； （2）过点 作于 ，解直角三角形得出，求出，根据三角形函数得出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，过点 作， ， ， 在中，， ， 点到桌面的距离为． 【小问2详解】 解：如图，过点 作于 ， 则四边形为矩形，， ，，， 在中，， ， ， 在中，，， 则， 答：眼睛到 点的距离约为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，解题的关键是数形结合，作出辅助线，熟练掌握三角函数的定义． 21. 如图， 是 的直径， 为 的弦，与 的延长线交于点点 在 上，且． （1）求证：直线 是 的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接 ． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点B在 上， ∴直线 是 的切线； （2）14 【解析】 【分析】（1）由题意连接 ．由等腰三角形的性质得到，，由于，得到，于是得到，求得结论可得； （2）根据题意连接．由 是 的直径，得到，推出，得到比例式，进而计算即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接． ∵ 是 的直径，， ∴，， ∴， ∴，即 ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定和相似三角形的判定和性质以及直径所对的圆周角是直角，熟练掌握相关定理并正确的作出辅助线是解题的关键． 22. 【综合与实践】 矩形种植园最大面积探究 情境 劳动实践基地有一长为12米的墙 ，研究小组想利用墙 和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边，矩形种植园的面积为S． 分析 要探究面积S的最大值，首先应将另一边 用含x的代数式表示，从而得到S关于x的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值． 探究 方案一：将墙 的一部分用来替代篱笆 按图1的方案围成矩形种植园（边 为墙 的一部分）． 方案二：将墙 的全部用来替代篱笆 按图2的方案围成矩形种植园（墙 为边 的一部分）． 【解决问题】 根据分析，分别求出两种方案中S的最大值；比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少？ 【答案】方案1，；方案2，；矩形种植园面积最大为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，求出二次函数解析式． （1）设，则，根据矩形面积公式得出，根据，求出最大值即可； （2）设，得出，根据矩形面积公式得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：方案1：∵，则， ∴， ∵， ∴当时，． 方案2：设， 则， ∴． ∵，当时，． ∵， ∴矩形种植园面积最大为． 23. 如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝6，OB＝3，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C． （1）求点C的坐标和反比例函数的表达式； （2）如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移m个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，点P为x轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）C（9，3）， （2） （3）存在，（－3，6）或（12，6）或或 【解析】 【分析】（1）过点C作CH⊥x轴，交于点H，根据正方形的性质及各角之间的关系得出∠OAB=∠CBH，利用全等三角形的判定和性质得出BH=OA=6，CH=OB=3，即可确定点的坐标； （2）利用（1）中方法确定D(6,9)，由点A’恰好落在反比例函数图象上，确定函数图象的平移方式即可得出点D’的坐标； （3）根据题意进行分类讨论：当OA’=OP时；当A’O=A’P时；当PO=PA’时；分别利用菱形的性质及等腰三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：过点C作CH⊥x轴，交于点H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABC=90°， ∴∠ABO+∠CBH=90°， ∵∠ABO+∠OAB=90°， ∴∠OAB=∠CBH， ∴∆AOB≅∆BHC， ∴BH=OA=6，CH=OB=3， ∴OH=9， ∴C(9，3) ∵反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C， ∴k=9×3=27， ∴； 【小问2详解】 如图所示，过点D作轴，，, 同（1）方法可得：， ∵， ∴四边形OGEA为矩形， ∴AO=EG=6，DE=OB=3，AE=AO=6， ∴D(6，9)， ∵点A’恰好落在反比例函数图象上， ∴当y=6时，x=， ∴m=， ∴D’(6+，9)即D’(，9)； 【小问3详解】 当OA’=OP时，如图所示： ∵A’(，6)， OA’=， 四边形OPQA’是菱形， A’Q∥OP，A’Q=OP， Q(12,6)， 当点Q’在第二象限时，Q’(-3,6)； 当A’O=A’P时，如图所示： 点A’与点Q关于x轴对称， Q(，-6)； 当PO=PA’时，如图设P（m,0）， 则PO=PA’， ∴， 解得：， ∴OP=A’Q=， ∴Q(，6)， 综上可得：Q(，6)或(，-6)或(12,6)或(-3,6) ． 【点睛】题目主要考查反比例函数的性质，正方形的性质，平移的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的性质等，理解题意，（3）中根据等腰三角形进行分类讨论是解题关键． 24. 【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】 （2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长． 【答案】（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ADC∽△ACB， ∴， ∴AC2＝AD•AB； （2）AD＝； （3）5﹣2 【解析】 【分析】（1）根据题意证明△ADC∽△ACB，即可得到结论； （2）根据现有条件推出△BFE∽△BCF，再根据相似三角形的性质推断，即可得到答案； （3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，先证明四边形AEGC为平行四边形，再证△EDF∽△EGD，可得，根据EG＝AC＝2EF，可得DE＝EF，再根据，可推出DG＝DF=5，即可求出答案． 【详解】解：（1）略 （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠A＝∠C， 又∵∠BFE＝∠A， ∴∠BFE＝∠C， 又∵∠FBE＝∠CBF， ∴△BFE∽△BCF， ∴， ∴BF2＝BE•BC， ∴BC＝＝=， ∴AD＝； （3）如图，分别延长EF，DC相交于点G， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD， ∵AC∥EF， ∴四边形AEGC为平行四边形， ∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G， ∵∠EDF＝∠BAD， ∴∠EDF＝∠BAC， ∴∠EDF＝∠G， 又∵∠DEF＝∠GED， ∴△EDF∽△EGD， ∴， ∴DE2＝EF•EG， 又∵EG＝AC＝2EF， ∴DE2＝2EF2， ∴DE＝EF， 又∵， ∴DG＝DF=5， ∴DC＝DG﹣CG＝5﹣2． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，菱形的性质，平行四边形的性质和证明，证明三角形相似是解题关键． 25. 如图，抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式； （2）若点为第二象限内抛物线上一点，连接 ，点P为线段 下方抛物线上一点，过点P作交y轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，连接 、 ，将原抛物线沿射线 方向平移个单位长度，若点M为平移后新抛物线上一点，过点M作轴于点N，直接写出所有使得相似于 的点M的横坐标． 【答案】（1） （2），最大值为 ； （3） 的横坐标为：或或6或 ． 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）先求解，可得 为，如图，过 作轴于 ，证明，，可得，设，可得，再利用二次函数的性质解答即可； （3）先求解，可得直线 为，可得新的抛物线为：，证明，，设，如图，当 在 轴的左侧时，，如图，当 在 轴的右侧时，，再利用相似三角形的判定方法建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点和． ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 ∵点为第二象限内抛物线上一点， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∵， 设 为， ∴，解得：， ∴ 为， 如图，过 作轴于 ， ∵， ∴，， ∴， 设， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴当时，最大值为， 此时； 【小问3详解】 ∵， ∴，而， 同理可得直线 为， ∴将原抛物线沿射线 方向平移个单位长度，相当于将原抛物线往右，往上都平移2个单位； ∴新的抛物线为：， ∵，，， ∴， ， ， ∴，， 设， 如图，， ∴当时，相似于 ， ∴， 整理得：或， 解得：或 （不符合题意，舍去）， 当时，相似于 ，如图所示： ∴， 整理得：或， 解得：或 （不符合题意舍去）， 综上： 的横坐标为：或或6或 ． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，二次函数图象的平移，相似三角形的判定与性质，勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，作出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $