精品解析：广东省惠州市惠城区第二中学2024-2025学年下学期九年级数学开学考试卷

命学科网命组卷网 2024-2025学年第二学期第二中学开学考试卷 九年级数学试卷 (考试时间：120分钟，满分120分) 一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1.下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是() B D 2若方程x2+x-2=0的一个根是-2，则k的值是() A.-1 B.1 C.0 D.-2 3.如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E,若CD=6,则DE=() A.3 B.4 c.5 D.6 4.如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O,则该正六边形的半径为() E D 0. A B A.1 B.2 c D.3 5.2025年春节期间惠州西湖景区共接待游客约150万人次.将数150万用科学记数法表示为() A1.5x10 B.1.5×10 C.1.5×10 D.1.5×103 6.对抛物线y■x2+4x-3而言，下列结论正确的是( ) A开口向上 B.与y轴的交点坐标是(0,3) C.与两坐标轴有两个交点 D.顶点坐标是(2,1) 第1页/共6页 学科网函组卷网 7.如图，已知点A为反比例函数y=一(Cx<0)的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B,若△OAB X 的面积为3，则k的值为() A.3 B.-3 C.6 D-6 8.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，OC∥BD,连接AD、CD,若∠C=28°，则若∠A的大小 为() B D A.30° B.28 C.24 D.34 9.已知关于x的一元二次方程x2+bx-1=0,则下列关于该方程根的判断，正确的是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.实数根的个数与实数b的取值有关 10.如图，二次函数y=x2+bx+c(a时0)图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x=1, 点B坐标为(-1,0).则下面的四个结论：①2a+b=0:②4a-2b+c<0:③b2-4ac>0:④当y<0时，x <-1或x>2.其中正确的有() y个：x= A4个 B.3个 C.2个 D.1个 第2页/共6页 可学科网函组卷网 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11.把抛物线y=x2+6向下平移3个单位，得到抛物线 12.“立身以立学为先，立学以读书为本”，为鼓励师生阅读，某校图书馆开展阅读活动，自活动开展以来， 进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆180人次，前三个月累计进馆1260人次，若进馆人次的月增长率相 同，设为x,依题意可列方程 13.若点4（2，，布（-2，四都在反比例函数y=2的图象上，则)为（填>、<成=） 14.将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式折叠放在一起，若∠1=25°，则∠2的度数为 15,如图，已知A,A2,A,…An是x轴上的点，且OA=AA=AA=.=An-1An=1,分别过点 A,A,4,…An作x轴的垂线交反比例函数y=(K>0)的图象于点B,B,B,…B。,过点B,作 B2P⊥AB于点P,过点B作B,P,⊥A,B,于点P,记△BPB,的面积为S,△B,P,B,的面积为 S2,△BPB1的面积为S。,则S,+S2+S3+.+Sn= B B B3 PP… OA A2 A3 三、解答题（一）（本大题共3个小题，每小题7分，共21分） 16.解方程： (1)x2-9=0 (2)x2-2x-8=0 17,已知关于x的方程：(k一2)x2-kx+2=0. 第3页/共6页 学科网品组卷网 (1)若该方程有一个根是2，求该方程的另一个根： (2)证明：无论k取何值，该方程总有实数根。 18.如图，在平面直角坐标系中，己知ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3,5),B(-2,1),C(-l1,3)将 ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A,B,C1,请画出△A,B,C1并写出△A,B,C,的各顶点的坐标. 四、解答题（二）（本大题共3个小题，每小题9分，共27分） 19.如图，一次函数kx+b的图象与反比性函数y2=m的图象交于A2,1)、B(1,n)两点. (1)利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式： (2)根据图象直接写出使y1<y2的自变量x取值范围. 20.在一个不透明袋子中，放有四张质地完全相同的卡片，分别标有数字“-3，-2,1,6”， (1)随机抽出一张卡片是负数的概率是 (2)第一次从袋中随机地抽出一张卡片，把所抽到的数字记为横坐标m,不放回袋中，再随机地从中抽出 第4页/共6页 学科网函组卷网 一张，把所抽到的数字记为纵坐标”.请用数状图或列表法求所得的点(m,m)在反比例函数y=5上的概 率 21.如图，点O等边ABC内一点，将CO绕点C顺时针旋转60°得到CD,连结OD,AO,AD (1)求证：△BCO≌△ACD. (2)若∠BOC=150°，OB=8,OC=6,求△AOD面积. D C 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分.） 22.如图，四边形ACBD是⊙O的内接四边形，AB为直径，弧CD=弧AD,DE⊥BC,垂足为点E (1)求证：BD平分∠ABE: (2)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由： (3)若∠DBE=60°，AB=8,求阴影部分面积 y D B E 23.已知：如图，抛物线y=ar2+br+3的图象与x轴相交于点A和点B(1,0),与y轴交于点C连接AC ,有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E,交x轴于点F,AB=4,设 点D的横坐标为m. B实 B (1)求抛物线的解析式. 第5页/共6页 学科网品组卷网 (2)连接AE、CE,当△ACE的面积最大时，求点D的坐标， (3)当1为何值时，△CDE是等腰三角形. 第6页/共6页 2024-2025学年第二学期第二中学开学考试卷 九年级数学试卷 （考试时间：120分钟，满分120分） 一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意； C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 2. 若方程x2+kx﹣2＝0的一个根是﹣2，则k的值是（　　） A. ﹣1 B. 1 C. 0 D. ﹣2 【答案】B 【解析】 【分析】直接把x＝﹣2代入方程x2+kx﹣2＝0求解即可． 【详解】把x＝﹣2代入方程x2+kx﹣2＝0得（﹣2）2﹣2k﹣2＝0， 解得k＝1． 故选：B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的根，正确理解一元二次方程根的概念是解题的关键． 3 如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若CD＝6，则DE＝（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据垂径定理进行解答即可． 【详解】∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，CD＝6， ∴ 故选A． 【点睛】本题考查的是垂径定理，即垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 4. 如图，边长为2的正六边形内接于，则该正六边形的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆与正多边形，涉及中心角，等边三角形的判定与性质，正多边形的半径，熟练掌握知识点是解题的关键． 先求出正多边形的中心角为，即可证明为等边三角形，继而可求解． 【详解】解：连接， 由题意得：， 而， ∴为等边三角形， ∴， ∴正六边形的半径为2， 故选：B． 5. 2025年春节期间惠州西湖景区共接待游客约150万人次．将数150万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：150万． 故选B． 6. 对抛物线y=-x2+4x-3而言，下列结论正确的是( ) A. 开口向上 B. 与y轴的交点坐标是(0，3) C. 与两坐标轴有两个交点 D. 顶点坐标是（2，1） 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，逐一分析四个选项的正误即可得出结论． 【详解】A、 因为a=-1＜0，故抛物线开口向下，故本选项不符合题意； B、当x=0时，y=-3，抛物线与y轴的交点坐标是(0，-3)，故本选项不符合题意； C、 ，抛物线与x轴有两个交点，所以与两坐标轴有三个交点，故本选项不符合题意； D、对抛物线 ，顶点坐标是（2，1），故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象与系数之间的关系是解题的关键． 7. 如图，已知点为反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为，若的面积为3，则的值为（ ） A. 3 B. -3 C. 6 D. -6 【答案】D 【解析】 【分析】根据的面积为3， 的面积为，即可列得等式求出k的值. 【详解】由题意得=3，解得k=6或k=-6， ∵图象在第二象限， ∴k， ∴k=-6， 故选：D. 【点睛】此题考查反比例函数解析式中的比例系数k的几何意义，由反比例函数图象上的一点向坐标轴作垂线，构成的矩形面积等于，连接该点与原点，将矩形分为两个三角形，面积等于. 8. 如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，OC∥BD，连接AD、CD，若∠C＝28°，则若∠A的大小为（　　） A. 30° B. 28° C. 24° D. 34° 【答案】D 【解析】 【分析】证明∠COB＝∠OBD＝56°，再证明∠ADB＝90°，即可求出∠DAB． 【详解】解：∵OC∥BD， ∴∠C＝∠CDB＝28°， ∴∠COB＝2∠CDB＝56°， ∴∠COB＝∠B＝56°， ∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠DAB＝90°﹣56°＝34°， 故选：D． 【点睛】本题考查圆周角定理，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 9. 已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 实数根的个数与实数b的取值有关 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断． 【详解】解：∵△＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 10. 如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b＝0；②4a﹣2b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④当y＜0时，x＜﹣1或x＞2．其中正确的有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1， ∴﹣＝1，得2a+b＝0，故①正确； 当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，故②正确； 该函数图象与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故③正确； ∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0）， ∴点A（3，0）， ∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3，故④错误； 故选B． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 把抛物线向下平移3个单位，得到抛物线_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向下平移3个单位所得直线解析式为：-3； 即：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，掌握函数图象平移的法则是解题的关键． 12. “立身以立学为先，立学以读书为本”，为鼓励师生阅读，某校图书馆开展阅读活动，自活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆180人次，前三个月累计进馆1260人次，若进馆人次的月增长率相同，设为，依题意可列方程________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设进馆人次的月增长率为，根据前三个月累计进馆1260人次列方程即可． 【详解】解：设进馆人次的月增长率为， 由题意得，， 故答案为：． 13. 若点A1（2，y1），A2（﹣2，y2）都在反比例函数的图象上，则y1_____y2（填＞、＜或＝） 【答案】＞ 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质即可得结论． 【详解】解：因为点A1（2，y1），A2（﹣2，y2）都在反比例函数的图象上， 由2＞0，可知：反比例函数图象过一，三象限， 则y1＞y2． 故答案为：＞． 【点睛】本题主要考查反比例图像与性质，准确记住它们是解题关键． 14. 将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式折叠放在一起，若∠1＝25°，则∠2的度数为___________． 【答案】20° 【解析】 【分析】根据平行线的性质，即可得出∠1＝∠ADC＝25°，再根据等腰直角三角形ADE中，∠ADE＝45°，即可得到∠1＝45°﹣25°＝20°． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠1＝∠ADC＝25°， 又∵等腰直角三角形ADE中，∠ADE＝45°， ∴∠1＝45°﹣25°＝20°， 故答案为：20°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，结合等腰三角形的性质是解题的关键． 15. 如图，已知是x轴上的点，且，分别过点作x轴的垂线交反比例函数的图象于点，过点作于点，过点作于点……，记的面积为，的面积为……，的面积为，则 ________．  【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象找规律的问题，熟练掌握反比例函数的基础知识，用数学归纳法由个例总结出一般规律是解决本题的关键．由可得，，，…，的坐标，根据三角形的面积计算公式底×高÷2，计算出每一个三角形的底和高之后，分别列出每一个三角形的面积计算式，观察规律即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴设，，，…，， ∵，，，…，在反比例函数的图象上， ∴，，，…，， ∴； ∴； ； ； … ； ∴． 故答案：． 三、解答题（一）（本大题共3个小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤． （1）先移项，再用直接开平方法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 解答：； 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得：． 17. 已知关于x的方程：（k－2）x2－kx＋2＝0． （1）若该方程有一个根是2，求该方程的另一个根； （2）证明：无论k取何值，该方程总有实数根． 【答案】（1）1；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）把x=2代入方程中得到关于k的一元一次方程，解方程求出k的值，再把k的值代入原方程求出原方程的解即可； （2）根据根的判别式进行判断即可． 【详解】解：∵方程有一个根是2， ∴4（k-2）-2k+2=0 解得：k=3． ∴原方程为：x2－3x＋2＝0． 解得：x1=2或x2=1． ∴该方程的另一个根为1； （2）∵== = = ≥0 ∴无论k取何值，该方程总有实数根． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的概念，根的判别式及一元二次方程的解法，掌握相关知识是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为将绕着点O按顺时针方向旋转得到，请画出并写出的各顶点的坐标． 【答案】作图见解析，、． 【解析】 【分析】根据图形旋转的性质画出即可，进而根据各点在坐标系中的位置写出点、、的坐标即可． 【详解】解：如图，为所求作的三角形， 写出坐标、． 【点睛】本题考查的是作图—旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键． 四、解答题（二）（本大题共3个小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比性函数y2=的图象交于A(2，1)、B（-1，n）两点． （1）利用图中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出使y1y2的自变量x取值范围． 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】（1）由A的坐标易求反比例函数解析式，从而求B点坐标，进而运用待定系数法求一次函数的解析式； （2）观察图象，找出一次函数的图象在反比例函数的图象下方时，x的取值即可． 【详解】（1）由题意得：，，， ∴反比例函数解析式为：，， 再由题意得：；解得： ∴一次函数的解析式为：； （2）由图像可知：当时，自变量x取值范围是：或． 【点睛】本题考查的是反比例函数和一次函数的综合题，掌握利用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式和根据图象求自变量的取值范围是解决此题的关键． 20. 在一个不透明的袋子中，放有四张质地完全相同的卡片，分别标有数字“”． （1）随机抽出一张卡片是负数的概率是_________； （2）第一次从袋中随机地抽出一张卡片，把所抽到的数字记为横坐标，不放回袋中，再随机地从中抽出一张，把所抽到的数字记为纵坐标．请用数状图或列表法求所得的点在反比例函数上的概率． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）用负数的个数除以总个数即可求解； （2）法一：画出树状图，用符合条件的情况数除以所有可能发生的总数即可；法二：列出表格，用符合条件的情况数除以所有可能发生的总数即可． 【详解】解：（1）P=， 故答案为：； （2）法 1： 法 2： 符合情况的坐标有：，，，， ． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征． 21. 如图，点O是等边内一点，将CO绕点C顺时针旋转得到CD，连结OD，AO，AD． （1）求证：． （2）若，，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）24 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质就可以证明△BCO≌△ACD； （2）首先证明是等边三角形，得OD=6，再证明即可求出的面积． 【详解】证明：（1）∵是等边三角形， ∴，． 由旋转得：，． ∴． ∵，， ∴， ∴． （2）∵，，， ∴，，． ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴，． ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质的运用，旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．） 22. 如图，四边形ACBD是⊙O的内接四边形，AB为直径，弧CD=弧AD，DE⊥BC，垂足为点E （1）求证：BD平分∠ABE； （2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （3）若∠DBE=60°，AB=8，求阴影部分的面积 【答案】（1）见解析；（2）直线DE与圆O相切，理由见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理，由，得到∠CAD=∠ABD，再根据圆内接四边形的性质得∠DBE=∠CAD，所以∠ABD=∠DBE； （2）连结OD，如图1，利用内错角相等证明OD∥CE，而DE⊥BC，则OD⊥DE，于是根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线； （3）利用扇形的面积公式、三角形的面积公式解答即可． 【详解】证明：（1）∵， ∴∠CAD=∠ABD， ∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形， ∴∠DBE=∠CAD， ∴∠ABD=∠DBE． ∴BD平分∠ABE； （2）解：直线DE与圆O相切，理由如下： 连结OD，OC，如图1， ∵OB=OD， ∴∠OBD=∠ODB， 而∠OBD=∠DBE， ∴∠ODB=∠DBE， ∴OD∥CE， ∵DE⊥BC， ∴OD⊥DE， ∴DE为⊙O的切线； （3）如图2，作OH⊥BC于H，则四边形ODEH为矩形， ∴OD=EH， ∵∠DBE=60°， ∴∠ABD=∠DBE=60°， ∴∠ABC=60°， ∴∠BOD=60°， ∵AB=8， ∴OB=OD=BD=4， 在Rt△DBE中，∠BDE=30°， ∴DE=OH=， ∴阴影部分的面积=S扇形BOD-S△OBD =． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，扇形的面积公式等知识，熟练掌握切线的判定是解题的关键． 23. 已知：如图，抛物线的图象与轴相交于点和点，与轴交于点连接，有一动点在线段上运动，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，，设点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式． （2）连接、，当的面积最大时，求点的坐标． （3）当为何值时，是等腰三角形． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合，涉及等腰直角三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． （1）根据题意解得点、，设抛物线的交点式解析式，代入点利用待定系数法解题即可； （2）先解得抛物线与轴的交点，再利用待定系数法求解直线的解析式，设直线上的，抛物线上的点，解得，用配方法解得最值即可解题； （3）分三种情况讨论：① 当点E为顶点时，②当点C为顶点时，③当点D为顶点时，根据等腰三角形的性质解题． 【小问1详解】 解：∵， ∴ 设抛物线关系式为，代入 得：， ， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 令，解得抛物线与轴的交点， 设直线为，把， 代入得， 解得， ∴， 设 ∴当时，S取得最大值 此时； 小问3详解】 ∵点，，即， ∴， ∵轴， ∴， ① 当点为等腰三角形的顶点时，如解图1， ，则， ∴轴， 又∵， ∴； ② 当点为等腰三角形的顶点时，，如解图2，则，过点作，垂足为， ∴，， ∵， ∴，代入解析式得， （不合题意舍去）； ③当点为等腰三角形的顶点时，，如解图3， 如图，∵， ∴，， ∴， ∴， 解得，（不合题意舍去）； 综上：或或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$