2025届全国II卷（辽吉黑）高考数学预测卷（九）

2025届高考预测卷（九） 数学 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､班级､考场号/座位号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名､准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号：非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．设复数z满足，则z=（　　） A． B． C． D． 3．万有引力定律是英国伟大的物理学家、数学家、天文学家牛顿提出来的，即任意两个质点通过连心线方向上的力相互吸引，其数学表达式为，其中表示两个物体间的引力大小，为引力常数，分别表示两个物体的质量，表示两个物体间的距离.若地球与月球的近地点间的距离为，与月球的远地点间的距离为，地球与月球近地点间的引力大小为，与月球远地点间的引力大小为，则（    ） A． B． C． D． 4．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的正半轴重合，点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D． 5．已知等差数列的前项和为，，，则满足的值为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 6．已知函数恰有一个零点，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知正方体的棱长为1，为的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，过且斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知一组样本数据为1，1，4，5，1，4，现往这组数据中加入一个新数据，则新数据与原数据相比，可能（    ） A．方差变小 B．众数变多 C．极差变小 D．第80百分位数变大 10．已知分别为椭圆的长、短轴的一个端点，且直线的斜率为，则（    ） A．的离心率为 B． C．直线与有两个不同的交点 D．直线与有一个公共点 11．已知四棱锥中，四边形是正方形，平面，则（    ） A．若平面平面，且平面平分四棱锥的体积，平面，则 B．若平面平面，且平面将四棱锥的体积分为的两部分，平面，则 C．若平面平面，且平面，则平面将四棱锥的体积分为的两部分 D．若平面平面，且平面，则平面将四棱锥的体积分为的两部分 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若二项式的展开式的所有项的二项式系数之和为32，所有项的系数之和为，则展开式中的系数为 . 13．已知向量，且，则 . 14．已知函数的部分图像如图所示.若函数的图像在区间上有两条对称轴，且，则的取值范围是 .    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．如图，已知，，，，，，，. (1)求； (2)求. 16．某校为高三学生举办了一场以“学宪法，做有为青年”为主题的成人礼仪式.仪式结束后学校为了了解学生对宪法的学习情况，对全体高三学生进行了一次线上测试：每位同学随机抽取3道题（均为选择题）作答.若答对2道或3道，则测试合格，否则测试不合格.若测试不合格，则需要再做20道习题进行巩固训练，已知线上测试时，小明答对每道题的概率均为，小强答对每道题的概率均为，且每道题是否答对相互独立. (1)分别求小明和小强测试合格的概率； (2)记小明、小强两位同学需要做的巩固训练的习题数之和为X，求X的分布列与数学期望. 17．设数列的前项和为，数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，若数列是递增数列，求实数的取值范围. 18．若对任意实数都有函数的图像与直线相切，则称函数为“恒切函数”，设函数，其中. (1)讨论函数的单调性； (2)已知函数为“恒切函数”， ①求实数的取值范围； ②当取最大值时，若函数也为“恒切函数”，求证：. 19．已知长为的线段的中点为原点，圆经过两点且与直线相切，圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点且互相垂直的直线分别与曲线交于点和点，且，四边形的面积为，求实数的值. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高考预测卷（九） 数学 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､班级､考场号/座位号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名､准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号：非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解不等式和求函数的值域得到集合的范围，再根据交并补和集合间的关系的定义分别判断各选项即得. 【详解】，， 因故A项错误； 由，知B项错误； 由知C项错误； 因，故D项正确. 故选：D. 2．设复数z满足，则z=（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】解：由，得1+2z＝i﹣iz， ∴z． 故选C． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本运算，是基础题． 3．万有引力定律是英国伟大的物理学家、数学家、天文学家牛顿提出来的，即任意两个质点通过连心线方向上的力相互吸引，其数学表达式为，其中表示两个物体间的引力大小，为引力常数，分别表示两个物体的质量，表示两个物体间的距离.若地球与月球的近地点间的距离为，与月球的远地点间的距离为，地球与月球近地点间的引力大小为，与月球远地点间的引力大小为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由对数的运算代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意知，，两边同时取对数得，，即. 故选：A. 4．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的正半轴重合，点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式化简，可求出P点坐标，根据三角函数定义即可求得，利用二倍角公式化简求值，即可得答案. 【详解】由于， ， 所以， 由于点在角的终边上，所以， 故， 故选：C. 5．已知等差数列的前项和为，，，则满足的值为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】根据题意列式求，进而可得，分析其符号即可得结果. 【详解】设等差数列的公差为d， 因为，则，解得， 可得， 且，当时，；当时，； 可知：当或时，；当时，； 若，所以. 故选：B. 6．已知函数恰有一个零点，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，然后利用导数的几何意义及建立关于的不等式，即可得解. 【详解】由可得，要使恰有一个零点，只需函数的图象与直线相切. 设切点坐标为.由，可得，则切线方程为，即， 故需使. 由可得，解得. 故选：A 7．已知正方体的棱长为1，为的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：由条件可得外接球的半径，再由球的表面积公式即可得到结果；方法二：建立空间直角坐标系，结合空间中两点距离公式即可得到球的半径，从而得到结果. 【详解】方法一：由题意知平面，又平面，所以， 又平面，所以平面， 所以在三棱锥中，平面. 在中，，所以， 则，设的外接圆半径为， 则. 三棱锥的外接球即三棱锥的外接球， 易知，设三棱锥的外接球半径为，则 ， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 方法二：如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，. 设三棱锥的外接球的球心为，连接， 则， 得 ，解得， 所以， 故三棱锥的外接球的表面积为. 故选：B. 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，过且斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线的方程，联立双曲线方程，设，可得根与系数的关系式，结合，推出，结合根与系数的关系式，化简求值，即可求得答案. 【详解】由题意知直线分别与双曲线的左、右两支交于点， 不妨设的斜率大于0，图形如图所示，    设直线的方程为，联立方程可得， 得，则需满足， 得.设，则，， ，O为的中点，是的中点，， ，， 化简得， 由对称性可知直线的斜率为， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是利用推出，进而结合根与系数的关系化简求值. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知一组样本数据为1，1，4，5，1，4，现往这组数据中加入一个新数据，则新数据与原数据相比，可能（    ） A．方差变小 B．众数变多 C．极差变小 D．第80百分位数变大 【答案】ABD 【分析】结合各选项对新加入数据讨论，结合方差、众数、极差、百分位数的定义判断即可. 【详解】选项A：若加入的新数据为原数据的平均数，则新数据的方差变小，故A正确. 选项B：原数据的众数为1，若加入新数据，则众数变为了1与4，众数变多，故B正确. 选项C：极差为最大值与最小值之差，显然极差只可能不变或增大，不可能变小，故C错误. 选项D：将原数据按从小到大的顺序排列，为1，1，1，4，4，5，而， 故原数据的第百分位数为4. 当新数据时，第百分位数为从小到大排列的第个数，也将大于，故D正确. 故选：ABD 10．已知分别为椭圆的长、短轴的一个端点，且直线的斜率为，则（    ） A．的离心率为 B． C．直线与有两个不同的交点 D．直线与有一个公共点 【答案】ACD 【分析】对于A，根据直线的斜率得到的关系，进而可得椭圆的离心率；对于B，根据勾股定理求解；对于C，先判断直线过定点，再判断该定点在椭圆内，即可得到直线与椭圆有两个不同的交点；对于D，得点既在直线上又在椭圆上，然后求出椭圆在该点处的切线方程，即可判断选项D. 【详解】选项A：，故A正确. 选项B：，故B错误. 选项C：直线恒过点点在椭圆的内部， 直线与椭圆有两个不同的交点，故C正确. 选项D：易知点在椭圆上，过该点的椭圆的切线方程为， 化简得，即 ∴直线与椭圆有一个公共点.故D正确. 故选：ACD. 【点睛】求圆锥曲线在点（在轴上方）处的切线方程时，将圆锥曲线在轴上方的部分看成关于的某个函数图象，然后对自变量求导，利用导数的几何意义可得切线方程，得抛物线在点处的切线方程为；椭圆在点处的切线方程为；双曲线在点处的切线方程为.当在轴下方时，同理可得切线方程. 11．已知四棱锥中，四边形是正方形，平面，则（    ） A．若平面平面，且平面平分四棱锥的体积，平面，则 B．若平面平面，且平面将四棱锥的体积分为的两部分，平面，则 C．若平面平面，且平面，则平面将四棱锥的体积分为的两部分 D．若平面平面，且平面，则平面将四棱锥的体积分为的两部分 【答案】AC 【分析】对于A项，利用多面体的相似，体积之比等于相似比的三次方即可求得；对于B项判断原理与A项相似，同时还用到底面面积相等且高相同的三棱锥体积相等的结论；对于C项，原理仍相同，不同之处即是由相似比求体积之比；对于D项，因分割成的两部分几何体是组合体，故不能应用前面方法，在求小部分体积时，需要对其进行合理分割后再求它们体积的和，最后求体积的比值. 【详解】对于选项A，如图，设平面平面平面，    则四棱锥与四棱锥相似， 则两个四棱锥的体积之比为高之比的三次方， 所以，则，故A正确； 对于选项B，如图，设平面平面，    则三棱锥与三棱锥相似， 则两个三棱锥的体积之比为棱长之比的三次方， 易知三棱锥的体积为四棱锥体积的， 由题意知三棱锥的体积为四棱锥体积的， 故三棱锥的体积为三棱锥体积的， 所以，则， 所以，所以，故B错误； 对于选项C，如图，设平面平面，    则三棱锥与三棱锥相似， 则两个三棱锥的体积之比为棱长之比的三次方， 由得，即， 则三棱锥与三棱锥的体积之比为， 易知三棱锥的体积为四棱锥体积的， 故三棱锥与四棱锥的体积之比为， 故平面将四棱锥的体积分为的两部分，故C正确； 对于选项D，由知为的中点，如图， 在平面内过点作交于点， 过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点， 连接，则平面即平面. 取的中点，取的中点，连接， 则平面将四棱锥的体积分为一大一小两部分， 其中较小的部分又可分为三棱柱和四棱锥.    设，则， 则三棱柱的体积为， 四棱锥的体积为， 即平面将四棱锥的体积分成的较小部分的体积为， 而四棱锥的体积为， 故平面将四棱锥分成的两部分的体积之比为，故D错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：解决用平行平面截四棱锥产生的同类锥体的体积比或者对应线段之比的问题时，一般可通过体积比等于对应线段比的三次方来计算；在求不规则几何体的体积时，可以利用割补法，转化为几个规则几何体的体积的和（差）进行求解. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若二项式的展开式的所有项的二项式系数之和为32，所有项的系数之和为，则展开式中的系数为 . 【答案】40 【分析】由二项式系数和求出n的值，根据所有项的系数之和求出a，利用二项展开式的通项公式，即可求得答案. 【详解】依题意知，得. 令，得，得， 的展开式的通项为， 令，得，故其展开式中的系数为， 故答案为：40 13．已知向量，且，则 . 【答案】 【分析】由向量坐标运算法则求，结合向量平行的坐标表示求，再求的坐标，再由模的坐标表示求结论. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 14．已知函数的部分图像如图所示.若函数的图像在区间上有两条对称轴，且，则的取值范围是 .    【答案】 【分析】根据题意，由函数图像可得其解析式为，再由其对称性，代入计算，即可得到结果. 【详解】设函数的最小正周期为. 由题意得，即，所以， 所以，又的图像过点， 所以，所以， 故，又，所以， 所以. 因为，且的图像在区间上有两条对称轴， 所以， 即，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．如图，已知，，，，，，，. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，利用余弦定理即可求解； （2）在直角三角形中，分别求出，再利用余弦定理求解即可. 【详解】（1）依题意，在中，由余弦定理得，，即， 由， 解得. （2）由（1）及题知，又，，则， 则， ， 过作的垂线交于点，则. ， ， . 16．某校为高三学生举办了一场以“学宪法，做有为青年”为主题的成人礼仪式.仪式结束后学校为了了解学生对宪法的学习情况，对全体高三学生进行了一次线上测试：每位同学随机抽取3道题（均为选择题）作答.若答对2道或3道，则测试合格，否则测试不合格.若测试不合格，则需要再做20道习题进行巩固训练，已知线上测试时，小明答对每道题的概率均为，小强答对每道题的概率均为，且每道题是否答对相互独立. (1)分别求小明和小强测试合格的概率； (2)记小明、小强两位同学需要做的巩固训练的习题数之和为X，求X的分布列与数学期望. 【答案】(1)， (2)分布列见解析， 【分析】（1）由独立事件的概率公式结合题意可得； （2）列出随机变量的取值，列出分布列，计算期望即可. 【详解】（1）小明测试合格的概率为， 小强测试合格的概率为. （2）由题意可知，随机变量的所有可能取值为，（由[1]可得） ， ， 所以的分布列为 0 20 40 故. 17．设数列的前项和为，数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，若数列是递增数列，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由前项和与通项的关系可求通项，要注意讨论的情况； （2）先求出的通项公式，代入求得，根据递增数列的定义写出不等式关系，再将不等式恒成立问题转化为最值问题进行求解. 【详解】（1）因为，所以当时，， 当时，，所以，即. （易错：利用公式时，容易忽略的情况） 当时，得；当时，得. 当时，， 所以通项公式为. （2），， . 数列是递增数列， ，即，化简得， 对任意的恒成立，由函数性质知是递增数列，最小项是， ，（关键：将不等式恒成立问题转化为最值问题进行求解） 的取值范围是. 18．若对任意实数都有函数的图像与直线相切，则称函数为“恒切函数”，设函数，其中. (1)讨论函数的单调性； (2)已知函数为“恒切函数”， ①求实数的取值范围； ②当取最大值时，若函数也为“恒切函数”，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）依题意求得，分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系，可得函数的单调性； （2）①由“恒切函数”的定义得到，，从而得到，构造函数，利用导数求得的单调性，从而求得实数的取值范围； ②由题意得，，则，由于也为“恒切函数”，故有，，从而得到，，构造函数，利用导数求得的取值范围，从而再构造二次函数证得结果. 【详解】（1）依题意，得， 当时，恒成立，函数在上单调递减； 当时，得， 令，得；令得； 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）①若函数为“恒切函数”，则函数的图像与直线相切，且， 设切点为，则且，即，； 因为函数为“恒切函数”， ，所以存在，使得，， 即，得，， 令，则， 令，得；令，得； 故在上单调递增，在上单调递减，所以， 所以，即； ②当取最大值时，即，此时，故， 所以，则， 因为函数也为“恒切函数”，故存在，使得，， 由得，则， 设，则， 令，得；令，得， 故在上单调递减，在上单调递增， 1.在单调递增区间上，，故， 则，即，得； 2.在单调递减区间上，， 因为，所以，故，即，则，所以，故，因此， 又的图像在上不间断，故在区间上存在唯一的，使得，故， 此时由，得， 令，则开口向下，对称轴为， 所以在上递增，又，，即，故； 综上：，即. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 19．已知长为的线段的中点为原点，圆经过两点且与直线相切，圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点且互相垂直的直线分别与曲线交于点和点，且，四边形的面积为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接写出圆心符合的等量关系式，进而得到曲线的方程； （2）先用点差法求出方程，再联立曲线，用弦长公式求，根据垂直，同理可求，再表示面积即可求出实数的值. 【详解】（1）由题意知圆心在线段的垂直平分线上，则,设，圆的半径为， 则， 又圆与直线相切，故， 于是，化简得， 所以曲线的方程为. （2）设，根据可得为的中点， 则，得， 即，所以直线. 联立方程，得，得， 由，得， 所以， 所以. 设，因为互相垂直，易知直线， 联立方程，得， 得， 由，得， 所以， 所以. 则四边形的面积为. 令， 化简得， 解得（舍）或，符合，所以. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$