2025届全国II卷（辽吉黑）高考数学预测卷（八）

2025届高考预测卷（八） 数学 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､班级､考场号/座位号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名､准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号：非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．的展开式中常数项为（    ） A． B．15 C．20 D． 3．已知某种零件的尺寸（单位：）在内的为合格品．某企业生产的该种零件的尺寸服从正态分布，且，则估计该企业生产的2000个该种零件中合格品的个数为（    ） A．1600 B．1400 C．800 D．20 4．若直线和圆的方程分别为，则“”是“直线和圆没有公共点”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 5．已知圆锥的底面圆周在球的表面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的半径为（    ） A． B． C．2 D． 6．已知函数的图象经过点，若函数在区间上有3个极值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知过抛物线的焦点的直线与交于两点，线段的中点为，且，若点在抛物线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知数列满足，若数列的前项和为，不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则下列命题一定成立的有（    ） A．若，则 B．若，则 C． D． 10．如图，在直三棱柱中，分别是棱上的动点，，，则下列说法正确的是（    ）    A．直三棱柱的体积为 B．直三棱柱外接球的表面积为 C．若分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 D．取得最小值时， 11．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量的夹角为，且，，则 ． 13．已知为第二象限角，则 ． 14．如图，分别为双曲线的左、右焦点，过坐标原点的直线与双曲线交于两点，，直线与双曲线的另一个交点为，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．2023年11月10日，第六届中国国际进口博览会圆满落下帷幕.在各方共同努力和大力支持下，本届进博会办成了一届高标准、高质量、高水平的全球经贸盛会，为世界经济复苏和全球发展繁荣做出积极贡献.本届进博会优化了志愿者服务，为参展商提供了更加准确、细致的服务.为了解参展商对志愿者服务的满意度，组委会组织了所有的参展商对志愿者服务进行评分（满分100分），并从评分结果中随机抽取100份进行统计，按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求出的值和参展商对志愿者服务评分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. (2)以频率估计概率，样本估计总体，从所有参展商的评分结果中随机抽取3份，将记为评分不低于90分的份数，求的分布列和数学期望. 16．已知数列的前项和为，满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)设的前项和为，求． 17．如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是边长为2的正方形，四棱锥的体积为．    (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求二面角的余弦值． 18．已知函数． (1)求函数的最小值； (2)若，求函数的零点个数． 19．我们将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”．已知椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为． (1)若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，求常数的值； (2)设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，求当为何值时，取得最小值，并求其最小值； (3)若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，椭圆上的任意一点记为求证：的垂心必在椭圆上． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高考预测卷（八） 数学 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､班级､考场号/座位号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名､准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号：非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解一元二次不等式化简集合M，再根据交集运算求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 2．的展开式中常数项为（    ） A． B．15 C．20 D． 【答案】B 【分析】根据二项式定理展开式的通项公式，进行赋值求解即可. 【详解】的展开式的通项公式为： ， 令，得， 故展开式中常数项为． 故选：B. 3．已知某种零件的尺寸（单位：）在内的为合格品．某企业生产的该种零件的尺寸服从正态分布，且，则估计该企业生产的2000个该种零件中合格品的个数为（    ） A．1600 B．1400 C．800 D．20 【答案】A 【分析】根据条件，利用正态分布的对称性，求出合格品的概率，即可求出结果. 【详解】解法一  因为服从正态分布，且，所以该企业生产的该种零件合格的概率， 所以估计该企业生产的2000个该种零件中合格品的个数为， 故选：A． 解法二  因为服从正态分布，且，所以，所以该企业生产的该种零件不合格的概率为， 所以估计该企业生产的2000个该种零件中合格品的个数为， 故选：A． 4．若直线和圆的方程分别为，则“”是“直线和圆没有公共点”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】C 【分析】由圆的方程可得，再根据圆心到直线的距离大于半径求解可得或，进而根据充分与必要条件的性质判断即可. 【详解】因为表示圆，所以，即． 若圆与直线没有公共点，则圆心到直线的距离大于半径， 即，解得或． 所以“”是“直线和圆没有公共点”的充分不必要条件． 故选：C 5．已知圆锥的底面圆周在球的表面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的半径为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，由圆锥的侧面展开图是一个半圆可得，再根据勾股定理可得，进而可得球的半径. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 由圆锥的侧面展开图是一个半圆，可得，得． 由圆锥的高为3，可得，即，故， 则球的半径．（根据圆锥的底面圆周在球的表面上，顶点为球心，可知圆锥的母线长等于球的半径） 故选：B 6．已知函数的图象经过点，若函数在区间上有3个极值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合三角函数的图象和性质以及函数的极值点定义，列出不等式直接求解即可. 【详解】因为函数的图象经过点，所以， 又，所以，则． 当时，，因为函数在区间上有3个极值点， 所以，解得. 故选：C． 7．已知过抛物线的焦点的直线与交于两点，线段的中点为，且，若点在抛物线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，从而得到，利用抛物线的定义得到，解得，根据题意可知点在直线上，故将的最小值转化为求与平行的切线与直线之间的距离. 【详解】设，由的中点为，得， 由抛物线的定义可得， 又，所以，故抛物线的方程为． 易知点在直线上， 设与平行且与抛物线相切的直线方程为， 由，可得， 则，得， 则切线与直线之间的距离即的最小值，故的最小值为． 故选：A 8．已知数列满足，若数列的前项和为，不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出数列的通项，再分奇偶求出半探讨其范围，并建立关于的不等式求解即得. 【详解】由，得数列是首项为3，公差为2的等差数列，则， 于是， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 当为偶数时，；当为奇数时，，因此， 由不等式恒成立，得，即，解得， 所以的取值范围为. 故选：D. 【点睛】易错点睛：利用裂项相消法求和时，应注意：（1）抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；（2）将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原项相等． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则下列命题一定成立的有（    ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】AC 【分析】根据共轭复数的概念和复数的四则运算，结合复数模的计算及性质，逐项判断即可. 【详解】设，则. 对于A：， 若，则， 所以，即，故A一定成立； 对于B：，若，则①， ，同理， 若，则需满足且，与①式不同，故B不一定成立； 选项C：， ， 所以，故C一定成立； 选项D：②， ，与②式不同，故D不一定成立. 故选：AC 10．如图，在直三棱柱中，分别是棱上的动点，，，则下列说法正确的是（    ）    A．直三棱柱的体积为 B．直三棱柱外接球的表面积为 C．若分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 D．取得最小值时， 【答案】ACD 【分析】根据三棱柱的体积公式即可判断A选项；通过确定球心的位置，求出直三棱柱外接球的半径，即可判断B选项；通过平移找到异面直线所成角，然后在三角形中利用余弦定理可判断C选项；通过三棱柱的侧面展开图可判断D选项． 【详解】选项A：因为，， 所以三棱柱的上、下底面均为正三角形， 所以，故A正确． 选项B：如图1，记和外接圆的圆心分别为和， 连接，，记的中点为，连接， 则， ， 易知为直三棱柱的外接球半径， 且， 所以直三棱柱外接球的表面积为，故B错误．    选项C：如图2，取的中点，连接， 易知，，且， 故即异面直线与所成角或其补角，连接， 则， 故， 故异面直线与所成角的余弦值为，故C正确． 选项D：将直三棱柱的侧面展开得到平面展开图， 如图3所示．连接，分别交，于点， 易知的最小值为． 在侧面展开图中易知点分别为的三等分点， 过点作交于点， 由勾股定理得， 因为，所以，故D正确．   . 11．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】化简条件，根据可得，再构造函数证明.对A，根据，代入判断即可；对B，由题意即可判断；对C，代入可转证，进而得到即可判断；对D，化简可得，令，再构造函数，进而求导分析单调性判断即可. 【详解】由，可得，． 令，则， 当时，单调递增，当时，单调递减， ，即（当且仅当时取等号）． 对A，由可得， 可得（当且仅当时取等号）， 又，，故A正确． 对B，由知， ，故，故B正确． 对C，当时，，则， 又，即证，可得， ，故，故C错误． 对D，， 令，则， 由（当且仅当时取等号）可知当时，， 即， 令，则， 在上单调递增，， ，即，故D正确． 故选：ABD 【点睛】结论点睛：常用的不等式： ，， ，，，． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量的夹角为，且，，则 ． 【答案】 【分析】借助向量模长与数量积的关系以及向量的数量积公式计算即可得. 【详解】 . 故答案为：. 13．已知为第二象限角，则 ． 【答案】 【分析】由及同角三角函数的基本关系可求得，再根据并结合两角和的正弦公式即可得解． 【详解】， ， ， 为第二象限角，，， ． 故答案为： 14．如图，分别为双曲线的左、右焦点，过坐标原点的直线与双曲线交于两点，，直线与双曲线的另一个交点为，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】设，则由双曲线的定义及勾股定理得，由是以为底边的等腰三角形得，连接，利用双曲线定义得，从而利用勾股定理列方程得，即可求解离心率. 【详解】连接，易知点在双曲线的右支上，且四边形为矩形， 故，不妨设， 则，由，得，所以， 则， 且. 因为是以为底边的等腰三角形，所以， 连接，则，所以, 在Rt中，由，得， 化简得，即，所以. 所以，化简得, 所以双曲线的离心率. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．2023年11月10日，第六届中国国际进口博览会圆满落下帷幕.在各方共同努力和大力支持下，本届进博会办成了一届高标准、高质量、高水平的全球经贸盛会，为世界经济复苏和全球发展繁荣做出积极贡献.本届进博会优化了志愿者服务，为参展商提供了更加准确、细致的服务.为了解参展商对志愿者服务的满意度，组委会组织了所有的参展商对志愿者服务进行评分（满分100分），并从评分结果中随机抽取100份进行统计，按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求出的值和参展商对志愿者服务评分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. (2)以频率估计概率，样本估计总体，从所有参展商的评分结果中随机抽取3份，将记为评分不低于90分的份数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1)， (2)分布列见解析；期望为 【分析】（1）利用频率分布直方图中各组频率之和为1求出的值，再利用平均数求解公式求解平均数即可； （2）根据二项分布求出对应的概率，列表得分布列，然后利用期望公式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以评分结果在的频率为0.2，所以， 所以参展商对志愿者服务评分的平均数为 ； （2）由题意，评分不低于90分的概率为0.3，故， 则，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 0.343 0.441 0.189 0.027 所以.（或者） 16．已知数列的前项和为，满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)设的前项和为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据与之间的关系将消去可得，再构造证明即可； （2）由（1）可得，进而可得，再根据分组与错位相减求解即可. 【详解】（1）当时，由，得，解得， 由递推得， 两式相减得， 化简得． 从而， 又，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列． （2）由（1）知，所以， 所以． 所以． 令， 所以， 两式相减，得 ， 则， 所以． 【点睛】根据与的关系求的常用思路：一是利用将已知关系式转化为的递推关系，再求；二是将已知关系式转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求． 17．如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是边长为2的正方形，四棱锥的体积为．    (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理及棱锥的体积公式，结合勾股定理及等腰三角形的判定定理即可求解； （2）根据（1）的结论及已知条件，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别求平面、平面的法向量，利用向量的夹角公式，结合向量的夹角与二面角的关系即可求解. 【详解】（1）过点作交于点，如图所示      因为平面平面，平面平面，面， 所以平面． 因为四棱锥的体积为，所以，故． 设，则， 因为，所以均为直角三角形， 所以， 所以，解得， 所以，所以．故为等腰三角形． （2）由（1）知平面，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 所以． 设平面的法向量为，则 ,即， 令，则，所以． 设平面的法向量为，则 ,即， 令，则，所以， 故， 易知二面角是锐二面角， 所以二面角的余弦值为． 18．已知函数． (1)求函数的最小值； (2)若，求函数的零点个数． 【答案】(1)2 (2)有且只有一个零点 【分析】（1）对函数求导，令，研究的正负，得到函数的单调性，从而求得函数的最小值； （2）根据题意可得，求出，令，根据零点存在定理可知存在唯一的，使得，从而得到的单调性及极大值，数形结合可得函数的零点个数. 【详解】（1）解法一：由题，， 所以． 记，则， ①当时，，可得，故函数在区间上单调递减． ②当时，，可知函数单调递增， 又，所以当时，；当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增． 由①②知函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 故． 解法二：由题，， 所以． 令，则， 令，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 故， 所以，故在定义域上单调递增． 易知，故当时，单调递减， 当时，单调递增， 故． （2）由题意知，定义域为， 所以， 设， 所以，所以在区间上是增函数， 因为， 所以存在唯一的，使得，即， 当时，； 当时，； 当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，取得极大值，且极大值为 ． 设，则， 所以在区间上单调递减． 所以， 所以在内无零点． 因为， 所以在内有且只有一个零点． 综上所述，有且只有一个零点． 【点睛】利用导数确定函数零点或方程根个数的方法 （1）构造函数（要求易求，可解），转化确定的零点个数问题，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号（或变化趋势）等，画出的图象，数形结合求解． （2）利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而利用零点存在定理、数形结合判断函数在该区间上的零点个数． 19．我们将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”．已知椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为． (1)若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，求常数的值； (2)设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，求当为何值时，取得最小值，并求其最小值； (3)若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，椭圆上的任意一点记为求证：的垂心必在椭圆上． 【答案】(1)或1 (2)当时，取得最小值 (3)证明见解析 【分析】（1）计算椭圆离心率的等量关系，求解即可. （2）联立直线与椭圆方程，可得出与的关系，结合不等式可求出最小值； （3）先由“一簇椭圆系”定义计算椭圆的方程，再根据垂心的性质计算垂心与点坐标的关系，代入点满足的椭圆方程，即可证明. 【详解】（1）因为椭圆的离心率，故由条件得， 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，或1． （2）易得， 所以直线的方程分别为， 由，得， 又直线与椭圆相切，则， 又，即． 由，得， 又直线与椭圆相切，则， 又，即， 故， ，当且仅当时取等号，此时． 所以当时，取得最小值．    （3）显然椭圆． 因为椭圆上的任意一点记为， 所以．① 设的垂心的坐标为， 连接，因为， 故由得． 又，所以，（*） 将代入（*），得，② 由①②得． 将，代入①得， 即的垂心在椭圆上．    【点睛】知识点点睛：垂心是三角形三条高线的交点，通常有两种方法进行求解，其一是向量法，即两个互相垂直的向量的数量积为零；其二是利用直线的斜率公式，即两条互相垂直的直线的斜率之积为． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$