精品解析：河南省周口市鹿邑县2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024—2025学年度第一学期第三次学情分析 九年级数学（人教版） 一、选择题．（每小题3分，共30分） 1. 搭载神舟十六号载人飞船的长征二号遥十六运载火箭于年月日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 打开电视机正在播放广告 B. 投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次 C. 任意一个一元二次方程都有实数根 D. 在平面上任意画一个三角形都有一外接圆，也有一个内切圆 3. 抛物线的顶点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 如图，正八边形的边长为4，以点B为圆心，为半径画圆，则阴影部分的弧长是（ ） A. B. C. D. 5. 移动支付由于快捷便利已成为大家平时生活中非常普遍的支付方式，一次购物中，小李与小张都随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”、“云闪付”四种支付方式中，选一种方式进行支付，则他们俩恰好都用“微信”支付的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的侧面展开图的弧长为，圆心角为，则此圆锥的母线长为_______cm．（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 7. 做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下所示，下面有3个推断，其中所有合理推断的序号是（ ） 抛掷次数m 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 265 514 791 1034 1306 1558 2083 2599 “正面向上”的频率 0.530 0.514 0.527 0.517 0.522 0.519 0.521 0.520 ①当抛掷次数是时，“正面向上”的频率是，所以“正面向上”的概率是； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是； ③若再次做随机抛掷该纪念币的实验，则当抛掷次数为时，出现“正面向上”的次数不一定是次． A. ①③ B. ② C. ②③ D. ①②③ 8. 如图，在中，，，．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P在上以的速度向B点移动，点Q在上以的速度向C点移动．当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动．下列时刻中，能使的面积为的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数及一次函数，将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到新函数的图象（如图），当直线与新图象有4个交点时，的取范围是（ ） A. B. 或 C. D. 二、填空题．（每小题3分，共15分） 10. 一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到红球．请你估计这个口袋中红球的数量是_____． 11. 如图，、是的切线，A、B为切点，是圆O的直径，若，则的度数为_______． 12. 为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了个智能充电桩，第三个月新建了个智能充电桩．设该城市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，请列方程为_______． 13. 如图，扇形中，，点为上一个动点，将沿折叠，当点的对应点落在上时，图中阴影部分的面积为______． 14. 如图①，点A、B是上两定点，圆上一动点P从定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是，线段AP的长度是．图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是_______． 三、解答题．（共75分） 15. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）画出关于原点的中心对称图，写出的坐标； （2）将绕点O逆时针旋转得到，画出并写出的坐标； （3）在（2）中求绕点O旋转扫过区域的面积． 16. 一个不透明的口袋里有5个除颜色外都相同的球，其中有2个红球，3个黄球． （1）若从中随意摸出一个球，求摸出红球的可能性； （2）若要使从中随意摸出一个球是红球的可能性为，求袋子中需再加入几个红球？ 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）是一元二次方程一个实数根，求m的值及方程的另一根． 18. 如图，抛物线与x轴交于和B两点，与y轴交于点，过点B，C的线． （1）求抛物线的解析式； （2）求的面积． （3）结合图象直接写出不等式的解集． 19. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，小明随机从口袋中摸取一个小球，记录摸到小球的标号后放回，摇匀后再从中摸取一个小球，又放回．小明摸取了60次，结果统计如下： 标号 1 2 3 4 次数 16 14 18 12 （1）上述试验中，小明摸取到“2”号小球的频率是_______；小明下一次在袋中摸取小球，摸到“2”号小球的概率是_______； （2）若小明随机从口袋中摸取一个小球，记录摸到小球的标号后放回，摇匀后再从中摸取一个小球，请用列举法求小明两次摸取到小球的标号相同的概率． （3）若小明一次在袋中摸出两个小球，求小明摸出两个小球标号的和为5的概率． 20. 如图，是外接圆，，平分交于点D，交的延长线于E，连接、、、． （1）求证：四边形是菱形； （2）求证：是的切线； （3）若，求圆弧的长． 21. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）设每件童装降价元时，每天可销售___________件，每件盈利___________元；（用的代数式表示） （2）为了扩大销售量，尽快减少库存，每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元； （3）定价为多少时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 22. 综合与实践 问题情境： 如图，已知为的直径，点C为上异于A，B的一点，过点C作的切线，过点A作于点D，连接． 探究发现： （1）证明：无论点C在何处，平分； 探究引申： （2）如图2，勤奋小组继续探究发现，若等腰三角形的对称轴经过点D，此时，与存在数量关系，请写出结论并证明； 探究规律： （3）如图3，智慧小组在勤奋小组的启发下发现当为等边三角形时，与存在的数量关系是：_______（直接写出，无需证明）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期第三次学情分析 九年级数学（人教版） 一、选择题．（每小题3分，共30分） 1. 搭载神舟十六号载人飞船的长征二号遥十六运载火箭于年月日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除； 、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除； 、是中心对称图形，此选项符合题意； 、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除； 故答案为：． 【点睛】此题考查了中心对称图形的概念，解题的关键是如何判断中心对称图形，旋转度后与原图重合． 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 打开电视机正在播放广告 B. 投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次 C. 任意一个一元二次方程都有实数根 D. 在平面上任意画一个三角形都有一外接圆，也有一个内切圆 【答案】D 【解析】 【分析】 本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解决此题的关键．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可． 【详解】解：A、打开电视机正在播放广告是随机事件，A不正确，不符合题意； B、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次是随机事件，B不正确，不符合题意； C、任意一个一元二次方程都有实数根是随机事件，C不正确，不符合题意； D、在平面上任意画一个三角形都有一外接圆，也有一个内切圆是必然事件，D正确，符合题意； 故选：D． 3. 抛物线的顶点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，熟练掌握抛物线的图象性质． 由抛物线的顶点式直接写出顶点坐标，即可求解． 【详解】解：∵抛物线 ∴抛物线的顶点为， ∴抛物线的顶点在第二象限， 故选：B． 4. 如图，正八边形的边长为4，以点B为圆心，为半径画圆，则阴影部分的弧长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，扇形的面积等知识．先利用正八边形求出圆心角的度数，再利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意，， ， ∴， 故选：D． 5. 移动支付由于快捷便利已成为大家平时生活中非常普遍的支付方式，一次购物中，小李与小张都随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”、“云闪付”四种支付方式中，选一种方式进行支付，则他们俩恰好都用“微信”支付的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了随机事件概率的求法，列表法求概率等知识点，熟练掌握列表法求概率是解决此题的关键．列表得出共有16种等可能的结果，他们俩恰好都用“微信”支付的有1种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把“微信”“支付宝”“云闪付”“银行卡”四种支付方式分别记为A、B、C、D， 列表如下： A B C D A B C D 共有16种等可能的结果，他们俩恰好都用“微信”支付的有1种， ∴P（他们俩恰好都用“微信”支付） ，   故选：D ． 6. 已知圆锥的侧面展开图的弧长为，圆心角为，则此圆锥的母线长为_______cm．（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，熟练掌握其性质并能灵活运用扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程是解决此题的关键．根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 根据题意得：， 解得：，   故选：A ． 7. 做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下所示，下面有3个推断，其中所有合理推断的序号是（ ） 抛掷次数m 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 265 514 791 1034 1306 1558 2083 2599 “正面向上”的频率 0.530 0.514 0.527 0.517 0.522 0.519 0.521 0.520 ①当抛掷次数是时，“正面向上”的频率是，所以“正面向上”的概率是； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是； ③若再次做随机抛掷该纪念币的实验，则当抛掷次数为时，出现“正面向上”的次数不一定是次． A. ①③ B. ② C. ②③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 根据用频率估计概率以及频率和概率的概念来判断即可得到答案． 【详解】解：当抛掷次数是时，“正面向上”的频率是，但“正面向上”的概率不一定是，故①错误； 随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是，故②正确； 若再次做随机抛掷该纪念币的实验，则当抛掷次数为时，出现“正面向上”的次数不一定是次，故③正确． 故选：C． 8. 如图，在中，，，．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P在上以的速度向B点移动，点Q在上以的速度向C点移动．当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动．下列时刻中，能使的面积为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设当运动时间为秒时，的面积为，由题意得出，，则，由三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】解：设当运动时间为秒时，的面积为， 由题意得：，， ∴， ∴， 整理得：， 解得：或， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 9. 已知二次函数及一次函数，将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到新函数的图象（如图），当直线与新图象有4个交点时，的取范围是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数交点问题，解题的关键是掌握根据图象求一元二次方程解的方法． 求出二次函数与轴相交于，，先求出当经过点时的值，再求出与只有一个交点时的值，即可解答． 【详解】解：如图：当时， ， 解得，， 则，， 当直线经过点时，，解得； 当直线与抛物线有唯一公共点时，方程有相等的实数解， 整理得： ， 则，解得：， ∴所以当直线与新图象有4个交点时，的取值范围为． 故选：C． 二、填空题．（每小题3分，共15分） 10. 一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到红球．请你估计这个口袋中红球的数量是_____． 【答案】7． 【解析】 【分析】先求出摸到红球的频率，再乘以口袋中总球的个数，即可得出口袋中红球的数量． 【详解】解：由题意可得， 红球的概率为， 则这个口袋中红球的个数：（个， 故答案是：7． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，熟悉相关性质是解题的关键． 11. 如图，、是的切线，A、B为切点，是圆O的直径，若，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查切线的判定定理、切线长定理等知识，求得是解题的关键． 由、是的切线，A、B为切点，得，由切线的性质得，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵、是的切线，A、B为切点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了个智能充电桩，第三个月新建了个智能充电桩．设该城市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，请列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该城市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设该城市新建智能充电桩个数的月平均增长率为， 由题意得，， 故答案为：． 13. 如图，扇形中，，点为上一个动点，将沿折叠，当点的对应点落在上时，图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据折叠结合题意得出是等边三角形，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵将沿折叠，点的对应点落在上 ∴， 又∵ ∴是等边三角形， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角的性质与判定，求扇形面积，得出是等边三角形是解题的关键． 14. 如图①，点A、B是上两定点，圆上一动点P从定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是，线段AP的长度是．图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】从图2看，当时，，即此时、、三点共线，则圆的半径为，当时，由勾股定理逆定理可知，，则点从点走到、、三点共线的位置时，此时，走过的角度为，可求出点运动的速度，当时，，即△是等边三角形，进而求解． 【详解】解：从图②看，当时，， 此时、、三点共线，即此时为直径， 则圆的半径为， ∴当时，， 是直角三角形，且， 则点从点走到、、三点共线的位置时，如图所示， 此时，走过的角度为，则走过的弧长为π， 点的运动速度是， 当时，由图②知：， ∴， ∴是等边三角形， ， ， ∴点P相对圆心转动的角度为， 此时点走过的弧长为：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，求弧长，勾股定理逆定理，等边三角形的判定与性质，圆的基本知识，解决此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系． 三、解答题．（共75分） 15. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）画出关于原点的中心对称图，写出的坐标； （2）将绕点O逆时针旋转得到，画出并写出的坐标； （3）在（2）中求绕点O旋转扫过区域的面积． 【答案】（1） 如图所示即为所求， （2） 画图如下， （3） 【解析】 【分析】（1）根据关于原点对称的点横纵坐标互为相反的规律画出图形并写出坐标即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点，并写出坐标即可； （3）先证出为直角三角形，再根据绕点O旋转扫过区域的面积为求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题得：， ， ， ， 是直角三角形， 旋转扫过区域的面积为： ． 【点睛】本题主要考查了作图−旋转变换，平移变换，勾股定理，勾股定理的逆定理，扇形的面积等知识，熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键． 16. 一个不透明的口袋里有5个除颜色外都相同的球，其中有2个红球，3个黄球． （1）若从中随意摸出一个球，求摸出红球的可能性； （2）若要使从中随意摸出一个球是红球的可能性为，求袋子中需再加入几个红球？ 【答案】（1）；（2）4 【解析】 【分析】（1）求出摸到红球的概率即可； （2）设需再加入个红球，根据摸出红球的概率为列出方程求解即可． 【详解】解：（1）∵从中随意摸出一个球的所有可能的结果个数是5，随意摸出一个球是红球的结果个数是2， ∴从中随意摸出一个球，摸出红球的可能性是． （2）设需再加入个红球， 依题意可列：， 解得， ∴要使从中随意摸出一个球是红球的可能性为，袋子中需再加入4个红球． 【点睛】考查了可能性的大小，对于这类题目，可算出求的总个数，要求某种球被摸到的可能性，就看这种球占总数的几分之几就可以了． 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）是一元二次方程一个实数根，求m的值及方程的另一根． 【答案】（1） 证明：∵一元二次方程：， ， ∴该方程总有两个实数根； （2），方程的另一根为 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式，解一元二次方程等知识点，熟练掌握根的判别式的内容是解决此题的关键． （1）先计算根的判别式得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）把代入原方程得出m的值，再将代入原方程，然后解方程即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：把代入原方程得：， ∴， ∴代入原方程得：， 解得：， ∴m的值为4，方程的另一根为． 18. 如图，抛物线与x轴交于和B两点，与y轴交于点，过点B，C的线． （1）求抛物线的解析式； （2）求的面积． （3）结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，函数图象与不等式的关系等知识点，熟练掌握次函数的图象与性质是解决此题的关键． (1)用待定系数法求解即可； (2)先求出点B的坐标，再根据三角形面积公式计算； (3)观察图象，找出抛物线在直线上方部分对应的的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于和B两点，与y轴交于点， ∴，解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：解方程得，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵不等式的解集为抛物线在直线上方部分对应的的取值范围， ∴由图象可知，当时，抛物线在直线上方， ∴ 不等式的解集为． 19. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，小明随机从口袋中摸取一个小球，记录摸到小球的标号后放回，摇匀后再从中摸取一个小球，又放回．小明摸取了60次，结果统计如下： 标号 1 2 3 4 次数 16 14 18 12 （1）上述试验中，小明摸取到“2”号小球的频率是_______；小明下一次在袋中摸取小球，摸到“2”号小球的概率是_______； （2）若小明随机从口袋中摸取一个小球，记录摸到小球的标号后放回，摇匀后再从中摸取一个小球，请用列举法求小明两次摸取到小球的标号相同的概率． （3）若小明一次在袋中摸出两个小球，求小明摸出两个小球标号的和为5的概率． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查求概率，掌握用列表法或树状图求概率是关键，一般两步完成的事件列表法、树状图都可以用，三步或三步以上完成的事件适合用树状图． （1）直接由频率和概率公式求解即可； （2）画树状图，共有16种等可能结果，满足条件的有4种，由概率公式求解； （3）画树状图，共有12种等可能结果，满足条件的有4种，由概率公式求解． 【小问1详解】 解：上述试验中，小明摸取到“2”号小球的频率是； ∵口袋中有四个完全相同的小球， ∴小明下一次在袋中摸取小球，摸到“2”号小球的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可得共有16种可能的结果，其中小明两次摸取到小球的标号相同的结果有4种， ∴小明两次摸取到小球的标号相同的概率为； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由树状图可得共有12种可能的结果，小明摸出两个小球标号的和为5的结果有4种， ∴小明摸出两个小球标号的和为5的概率为． 20. 如图，是外接圆，，平分交于点D，交的延长线于E，连接、、、． （1）求证：四边形是菱形； （2）求证：是的切线； （3）若，求圆弧的长． 【答案】（1） 证明：连接， ，平分， ， ， ， 是等边三角形， ， ∴四边形是菱形． （2） 证明：由（1）知：四边形是菱形， ， 是的半径， 是的切线． （3） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，切线的判定，求弧长．解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线． （1）连接，易得，则，通过证明是等边三角形，即可求证四边形是菱形． （2）根据菱形的性质得出，则 即可求证是的切线； （3）根据等边三角形的性质得出，进而得出，最后根据弧长公式，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（1）知：是等边三角形， ， ， 圆弧BD的长为． 21. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）设每件童装降价元时，每天可销售___________件，每件盈利___________元；（用的代数式表示） （2）为了扩大销售量，尽快减少库存，每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元； （3）定价为多少时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）， （2）每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元 （3）当定价为105元时，每天的利润最大，最大利润是1250元 【解析】 【分析】本题考查列代数式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用： （1）根据“如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件”即可得出降价后每天销售件数；根据每件盈利=每件售价每件成本，即可解得； （2）根据总利润单件利润数量，列出方程求解即可； （3）设每天的利润为w元，根据总利润单件利润数量，列出w关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得：如果每件童装降价x元时，每天可销售件，每件盈利元， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据题意可得：， 整理得， 解得：， ∵为了扩大销售量，尽快减少库存， ∴， 答：每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元． 【小问3详解】 解：设每天的利润为w元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，w最大，最大值为1250， ∴此时， ∴当定价为105元时，每天的利润最大，最大利润是1250元． 22. 综合与实践 问题情境： 如图，已知为的直径，点C为上异于A，B的一点，过点C作的切线，过点A作于点D，连接． 探究发现： （1）证明：无论点C在何处，平分； 探究引申： （2）如图2，勤奋小组继续探究发现，若等腰三角形的对称轴经过点D，此时，与存在数量关系，请写出结论并证明； 探究规律： （3）如图3，智慧小组在勤奋小组的启发下发现当为等边三角形时，与存在的数量关系是：_______（直接写出，无需证明）． 【答案】 （1）证明：为的切线， ， ， ， ， ， ， ， ∴平分； （2）， 证明：是等腰三角形且对称轴经过点， ， ， 为的切线， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）先根据切线的性质得到，再证明得到，加上，所以，即可得证； （2）由于是等腰三角形且对称轴经过点，则根据折叠的性质得到，再证明，接着根据切线的性质得到，则可计算出，然后证明四边形为矩形，则，从而得到； （3）先根据正三角形的性质得到，，再计算，则利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，，则，从而得到． 【详解】（1）略 （2）略 （3）为正三角形， ，， ， ， ，， ， ， 而， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质和折叠的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $