精品解析：江苏省盐城市盐都区第一共同体2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024年秋学期12月份课堂练习 九年级数学试题 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1. 已知的半径为，，则点P与的位置关系是（　　） A. 点P在圆外 B. 点P在圆上 C. 点P在圆内 D. 无法确定 2. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. D. 3. 随机抛掷一枚质地均匀的骰子次，下列事件中概率最大的是（ ） A. 点数为 B. 点数为 C. 点数小于 D. 点数为奇数 4. 下列四条线段中，能成为成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 5. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ）． A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线经过点 C. 抛物线最低点的纵坐标是－3 D. 抛物线关于直线对称 6. 如图，是的直径，是的切线，切点分别是A，B，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一圆与y轴相交于点B（0，1），C两点，与x轴相切于点A（3，0），则点C的坐标是（ ） A. （0，5） B. （0，） C. （0，9） D. （0，） 8. 已知二次函数的图象经过点，则代数式有（　　） A. 最小值 B. 最小值8 C. 最大值 D. 最大值8 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 9. 二次函数的图象的顶点坐标是______． 10. 设是方程的两个根，则___________； 11. 盐城 ，一个让人打开心扉的地方，2024年盐城的空气质量指数优良率持续保持在全国前列．下列数据是2024年某一周盐城的空气质量指数：53，41，27，28，32，28，40，则这组数据的中位数是______． 12. 若二次函数的图象与x轴仅有一个交点，则 _____． 13. 已知点是线段的黄金分割点，，则线段的长为________． 14. 扇形的半径为．圆心角为，用它做成圆锥的侧面，圆锥的底面圆的半径是______． 15. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 4 … y … 10 5 2 1 2 5 … 若两点都在该函数的图象上，当______时，． 16. 一次函数与y轴交于点A，与直线交于点D，将此函数图象向下平移个单位，得到一个新函数的图象，与y轴交于点B，与直线交于点C，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形与二次函数的图象有交点，则实数b的取值范围是____． 三、解答题（本大题共11小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，，，求的度数． 19. 如图，将边长为的正方形扩大成面积为的矩形，若其一边增加的长度是另一边增加的长度的一半，求矩形的长和宽． 20. 临近考试，某学校为考生提供下列减压方式： A．交流谈心； B．有氧运动； C．欣赏音乐； D．安静休息． 考生可从中选择一种方式进行减压． （1）随机抽查一名考生，其选择“欣赏音乐”的概率是　　； （2）随机抽查两名考生，其中至少有一人选择“有氧运动”的概率为多少？请用画树状图或列表的方法加以说明． 21. 中考体育测试前，金川区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽测了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图： 请你根据图中的信息，解答下列问题： （1）扇形统计图中a＝ %，并补全条形统计图． （2）在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是 个、 个． （3）该区体育中考选报引体向上的男生共有1800人，如果体育中考引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？ 22. 已知二次函数的图像顶点为，且经过点． （1）二次函数的图像与x轴的另一个交点坐标为 ． （2）求这个二次函数的表达式； （3）请结合图像，直接写出：当函数值时，x的取值范围． 23. 已知二次函数（m为常数）． （1）求证：该二次函数的图像与x 轴总有两个公共点； （2）设该函数图像的顶点为C，与x 轴交于A、B两点，与y 轴交于点D，当的面积与的面积相等时，求m 的值． 24. 如图，是圆的弦，是圆外一点，，交于点，交圆于点，且． （1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 25. 某商场以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为60元时，月销量达到40件，现决定降价促销，提高利润，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加2件． （1）求出月销售量y（件）与售价x（元）之间的关系式． （2）当售价定为何值时，该商品月销售利润最大，求最大利润． 26. 已知抛物线与x轴的两个交点和与y轴交点为点C （1）求出抛物线的解析式； （2）如图1，若在线段下方的抛物线上有一点P，若P到距离最大，求出点P的坐标； （3）如图2，若在线段下方的抛物线上有两点P和Q且，连接射线和相交于点M，请猜想点M运动轨迹 （填一条线段、一段抛物线、一段圆弧）并证明你的猜想． 27. 定义：在平面直角坐标系中，对于点 P，点 Q，若，，其中t为常数，则称点Q是点P的“t级变换点 ”．例如：点是点的 “级变换点 ”．若图形A与图形B上存在“t级变换点 ”，则称这两个图形是“t级变换图形 ”． （1）下列属于“ 1 级变换点 ”的是 ．（填写序号） 与，与，与 （2）已知矩形的顶点A，B，C，D． 若在图像上存在点M与矩形中顶点C是“0级变换点 ”，求k的值． 若直线与矩形是“t级变换图形 ”，求t的取值范围． 若抛物线与矩形是“t级变换图形 ”，且恰存在4对“t级变换点 ”，求t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋学期12月份课堂练习 九年级数学试题 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1. 已知的半径为，，则点P与的位置关系是（　　） A. 点P在圆外 B. 点P在圆上 C. 点P在圆内 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离与圆的半径大小比较即可求解，掌握点和圆的位置关系的判断方法是解题的关键．根据时，点在圆内可得答案． 【详解】解：∵的半径为，， ∴， ∴点在圆内， 故选：C． 2. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ∴， 解得，， 故选：A． 3. 随机抛掷一枚质地均匀的骰子次，下列事件中概率最大的是（ ） A. 点数为 B. 点数为 C. 点数小于 D. 点数为奇数 【答案】D 【解析】 【分析】利用概率公式分别计算即可． 【详解】A、朝上一面的点数为的概率为 B、朝上一面的点数为的概率为 C、朝上一面的点数小于的概率为 D、朝上一面的点数为奇数的概率为 故选：D． 【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 4. 下列四条线段中，能成为成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】B 【解析】 【分析】能组成比例线段是指或，由此即可求解． 【详解】解：根据能成比例线段的定义得， 选项，或，不能组成比例线段，不符合题意； 选项，或，能组成比例线段，符合题意； 选项，或，不能组成比例线段，不符合题意； 选项，或，不能组成比例线段，不符合题意． 故选：． 【点睛】本题主要考查组成比例线段的定义，掌握成比例线段的定义，即两条线段的比值相等则组成比例线段是解题的关键． 5. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ）． A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线经过点 C. 抛物线最低点的纵坐标是－3 D. 抛物线关于直线对称 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否正确，本题得以解决． 【详解】解：A、由题意得，所以抛物线的开口向上，故错误，不符合题意； B、当时，，所以图象经过，不经过，故错误，不符合题意； C、由题意得，所以抛物线最低点的纵坐标是，故错误，不符合题意； D、由题意得，所以抛物线的对称轴是直线，故正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 6. 如图，是的直径，是的切线，切点分别是A，B，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，等边对等角，四边形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键． 连接，根据切线的性质可得，从而得到，即可利用四边形内角和定理求出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C 7. 如图，一圆与y轴相交于点B（0，1），C两点，与x轴相切于点A（3，0），则点C的坐标是（ ） A. （0，5） B. （0，） C. （0，9） D. （0，） 【答案】C 【解析】 【分析】设圆心为M，连接CM，由圆M与x轴相切，得到M的纵坐标等于半径也等于ON，在中，设BC=x利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解，即可得到结果． 【详解】解：过点M作MN⊥y轴，连接CM，∵圆M与x轴相切于点A（3，0），BC=x， ∴MN=3，ON=1+，MC=ON 在中， 由勾股定理得： x=8 又∵B（0，1），∴点C的坐标是（0，9） 故答案为：C． 【点睛】本题考查了切线的性质、坐标与图形的性质、以及垂径定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 8. 已知二次函数的图象经过点，则代数式有（　　） A. 最小值 B. 最小值8 C. 最大值 D. 最大值8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的特征．根据二次函数性质确定的数量关系是解答关键．把代入确定之间的数量关系，即可得到，根据二次函数的性质即可得到代数式的最小值． 【详解】解：把代入得， ， ， ， ， 所以当时，有最小值， 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 9. 二次函数的图象的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，关键是二次函数顶点坐标式的应用．直接利用顶点式解答即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是：． 故答案为：． 10. 设是方程的两个根，则___________； 【答案】 【解析】 【分析】直接利用根与系数的关系求解． 【详解】解：、，是方程的两个根， ． 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 11. 盐城 ，一个让人打开心扉的地方，2024年盐城的空气质量指数优良率持续保持在全国前列．下列数据是2024年某一周盐城的空气质量指数：53，41，27，28，32，28，40，则这组数据的中位数是______． 【答案】32 【解析】 【分析】本题考查了中位数，根据中位数的定义求解即可，熟练掌握中位数的定义是解此题的关键． 【详解】解：将这组数据从小到大排列为：27，28，28，32，40，41，53， 故这组数据的中位数是32， 故答案为：32． 12. 若二次函数的图象与x轴仅有一个交点，则 _____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数图象与一元二次方程根的关系，根据二次函数图象与一元二次方程的关系“二次函数图象与x轴的交点个数等于对应的一元二次方程根的个数，与x轴横坐标等于对应一元二次方程的解”，即可解答． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴只有一个公共点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 已知点是线段的黄金分割点，，则线段的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，， ， ， 故答案为：． 14. 扇形的半径为．圆心角为，用它做成圆锥的侧面，圆锥的底面圆的半径是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得答案． 【详解】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得 ， 解得． 故答案为：2． 15. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 4 … y … 10 5 2 1 2 5 … 若两点都在该函数的图象上，当______时，． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数对称的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．根据表中的对应值得到和时函数值相等，则得到抛物线的解析式为直线，由于，所以是抛物线上的对称点，则，然后解方程即可． 【详解】解：时，时，， 抛物线的对称轴为直线， ，且，两点都在该函数的图象上， 解得． 故答案为： 16. 一次函数与y轴交于点A，与直线交于点D，将此函数图象向下平移个单位，得到一个新函数的图象，与y轴交于点B，与直线交于点C，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形与二次函数的图象有交点，则实数b的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的平移、二次函数与一次函数的交点问题，将二次函数解析式化为顶点式可得二次函数的顶点坐标为，求出，，由一次函数平移的性质可得新函数的解析式为，再求出，，再结合当二次函数经过点时，刚好与四边形有个交点；当抛物线与直线只有一个公共点时，刚好与四边形有个交点，分别求解即可得解． 【详解】解：， ∴二次函数的顶点坐标为， 在中，当时，，即， 当时，，即； ∵将此函数图象向下平移个单位，得到一个新函数的图象， ∴新函数的解析式为， 当时，，即， 当时，，即； ∵以A，B，C，D四点为顶点的四边形与二次函数的图象有交点， ∴当二次函数经过点时，刚好与四边形有个交点， 把代入得：， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当抛物线与直线只有一个公共点时，刚好与四边形有个交点， 由可得：， ∴， 解得：， ∴实数b的取值范围是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）利用十字相乘法进行因式分解，求解即可； （2）将看作一个整体，利用十字相乘法进行因式分解，求解即可． 【小问1详解】 解： 或， ∴； 【小问2详解】 或， ∴． 18. 如图，，，求的度数． 【答案】28° 【解析】 【分析】利用等腰三角形底角相等求出，利用三角形外角性质求出，由半径相等求出，利用三角形内角和求即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形内角和，掌握等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形内角和，关键是分析图形从中找出等腰三角形． 19. 如图，将边长为的正方形扩大成面积为的矩形，若其一边增加的长度是另一边增加的长度的一半，求矩形的长和宽． 【答案】矩形的长与宽分别是， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 设一边增加的长度为，则另一边增加的长度为，依题意得．计算求出满足要求的解，然后作答即可． 【详解】解：设一边增加的长度为，则另一边增加的长度为， 依题意得． 解得，（不合题意，舍去）． ∴，． 答：矩形的长与宽分别是，． 20. 临近考试，某学校为考生提供下列减压方式： A．交流谈心； B．有氧运动； C．欣赏音乐； D．安静休息． 考生可从中选择一种方式进行减压． （1）随机抽查一名考生，其选择“欣赏音乐”的概率是　　； （2）随机抽查两名考生，其中至少有一人选择“有氧运动”的概率为多少？请用画树状图或列表的方法加以说明． 【答案】（1） （2）至少有一人选择“有氧运动”的概率是， 画树状图如下：     共有16种等可能的结果，至少有一人选择“有氧运动”的结果有7种， 则至少有一人选择“有氧运动”的概率是． 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）先画树状图得到所有的等可能性的结果数，然后找到至少有1人选择“有氧运动”的结果数，即可利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：随机抽查一名考生，其选择“欣赏音乐”的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了列表法或树状图法求解概率，简单的概率计算，熟知概率公式是解题的关键． 21. 中考体育测试前，金川区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽测了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图： 请你根据图中的信息，解答下列问题： （1）扇形统计图中a＝ %，并补全条形统计图． （2）在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是 个、 个． （3）该区体育中考选报引体向上的男生共有1800人，如果体育中考引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？ 【答案】（1）25， 条形统计图补充如下： （2）5，5 （3）810名 【解析】 【分析】（1）用1减去其他天数所占的百分比即可得到a的值，用360°乘以它所占的百分比，即可求出该扇形所对圆心角的度数； （2）根据众数与中位数的定义求解即可； （3）先求出样本中得满分的学生所占的百分比，再乘以1800即可． 【小问1详解】 解：扇形统计图中a=1-30%-15%-10%-20%=25%， 设引体向上6个的学生有x人，由题意得 ，解得x=50． 故答案为：5； 【小问2详解】 解：由条形图可知，引体向上5个的学生有60人，人数最多，所以众数是5； 共200名同学，排序后第100名与第101名同学的成绩都是5个，故中位数为（5+5）÷2=5． 故答案为：5，5． 【小问3详解】 解：（名）． 答：估计该区体育中考选报引体向上的男生能获得满分的同学有810名． 【点睛】本题考查了众数与中位数的意义．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数．也考查了条形统计图、扇形统计图与用样本估计总体． 22. 已知二次函数的图像顶点为，且经过点． （1）二次函数的图像与x轴的另一个交点坐标为 ． （2）求这个二次函数的表达式； （3）请结合图像，直接写出：当函数值时，x的取值范围． 【答案】（1） （2）（或） （3） 【解析】 【分析】考查了待定系数法确定二次函数的解析式及抛物线与x轴的交点问题． （1）根据对称轴及与x轴的一个交点求得另一个交点坐标； （2）设出二次函数的顶点式，然后代入顶点坐标及经过的一点即可求得解析式； （3）结合图形确定自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：观察图象知：对称轴为，与x轴交于一点， 所以图象与x轴另一交点为； 【小问2详解】 解：设二次函数的解析式为， ∵图象顶点为， ∴， ∵经过点， ∴， 解得：， ∴解析式为； 【小问3详解】 解：结合图象知：当函数值时，x的取值范围． 23. 已知二次函数（m为常数）． （1）求证：该二次函数的图像与x 轴总有两个公共点； （2）设该函数图像的顶点为C，与x 轴交于A、B两点，与y 轴交于点D，当的面积与的面积相等时，求m 的值． 【答案】（1） 证明：令，则， ∴， ∴该二次函数的图像与x 轴总有两个公共点； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像与性质．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像与性质是解题的关键． （1）令，则，根据，作答即可； （2）令，则，即，由，可得，由的面积与的面积相等，可得，即或，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：令，则，即， ∵， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴，即或， 解得或， ∴或． 24. 如图，是圆的弦，是圆外一点，，交于点，交圆于点，且． （1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】 （1）直线BC与圆O相切，理由为： 连接OB， ∵OA=OB， ∴∠A=∠OBA， ∵CP=CB， ∴∠CPB=∠CBP，又∠APO=∠CPB ∴∠CBP=∠APO， ∵OA⊥OC， ∴∠A+∠APO=90º， ∴∠OBA+∠CBP=90º即∠OBC=90º， ∴OB⊥BC， ∴直线BC与圆O相切； （2） 【解析】 【分析】（1）连接OB，由等腰三角形的性质分别证出∠A=∠OBA，∠CPB=∠CBP，再利用直角三角形性质和对顶角可证得∠OBC=90º，即OB⊥BC,可判断直线BC与圆O相切； （2）易证得△CPD为等边三角形，则有∠OCB=60º,∠BOC=30º,用含30º角的直角三角形求得OA、BC的长，然后用公式求得△OBC的面积和扇形OBD的面积，相加即可解得阴影面积． 【详解】（1）略 （2）∵OA⊥OC，∠A=30º，OP=1 ∴OA=，∠APO=60º即∠CPB=60º， ∵CP=CB， ∴△PCB为等边三角形， ∴∠PCB=60º， ∵∠OBC=90º， ∴∠BOD=30º， ∴BC=OB·tan30º=1， ∴==， 答:图中阴影部分的面积为． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、切线的判定定理、等边三角形的判定与性质、扇形的面积等知识，解答的关键是认真审题，结合图形，找到各知识点之间的联系，进而推理、探究、发现和计算． 25. 某商场以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为60元时，月销量达到40件，现决定降价促销，提高利润，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加2件． （1）求出月销售量y（件）与售价x（元）之间的关系式． （2）当售价定为何值时，该商品月销售利润最大，求最大利润． 【答案】（1） （2）当售价定为55元时，利润最大，最大利润为1250元 【解析】 【分析】（1）设与之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式； （2）根据利润单件利润销售量列出函数解析式，然后二次函数的性质求出函数最大值． 本题考查二次函数的应用，关键是根据利润单件利润销售量列出函数解析式． 【小问1详解】 解：∵该商品每降1元，销售量增加2件 ∴设与之间的函数关系式为， ∵当商品售价为60元时，月销量达到40件， ∴， ∴， ∴月销售量y（件）与售价x（元）之间的关系式为； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∵某商场以每件30元的进价购进一批商品， ∴， ∴设该商品月销售利润为， ∵ ∴开口向下， 在时，有最大值， 把代入 当售价定为55元时，利润最大，最大利润为1250元． 26. 已知抛物线与x轴的两个交点和与y轴交点为点C （1）求出抛物线的解析式； （2）如图1，若在线段下方的抛物线上有一点P，若P到距离最大，求出点P的坐标； （3）如图2，若在线段下方的抛物线上有两点P和Q且，连接射线和相交于点M，请猜想点M运动轨迹 （填一条线段、一段抛物线、一段圆弧）并证明你的猜想． 【答案】（1） （2） （3） 一条线段，证明如下： 设，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立， 解得：， ∵， ∴， ∴， 由①和②可得：， ∴点运动轨迹是直线上的一条线段． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式为，过点作作，则直线的解析式为，直线与抛物线只有一个公共点时，P到距离最大，联立，求解即可； （3）待定系数法求出直线的解析式为，同理可得直线的解析式为，联立，可得，结合，得出，进而可得，即可得解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴的两个交点和， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：在中，当时，，即， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点作作， 则直线的解析式为， ∵P到距离最大， ∴直线与抛物线只有一个公共点时，P到距离最大， 联立可得：， ∴， 解得：， 代入可得，此时， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式；二次函数与一次函数的交点等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 27. 定义：在平面直角坐标系中，对于点 P，点 Q，若，，其中t为常数，则称点Q是点P的“t级变换点 ”．例如：点是点的 “级变换点 ”．若图形A与图形B上存在“t级变换点 ”，则称这两个图形是“t级变换图形 ”． （1）下列属于“ 1 级变换点 ”的是 ．（填写序号） 与，与，与 （2）已知矩形的顶点A，B，C，D． 若在图像上存在点M与矩形中顶点C是“0级变换点 ”，求k的值． 若直线与矩形是“t级变换图形 ”，求t的取值范围． 若抛物线与矩形是“t级变换图形 ”，且恰存在4对“t级变换点 ”，求t的取值范围． 【答案】（1）①② （2）① ② ③ 【解析】 【分析】（1）根据“t级变换点 ”定义，分别求出的值，即可求解； （2）①根据“0级变换点 ”定义，求出M坐标，即可求解；②根据“t级变换点 ”定义，分别求出的“t级变换点 ”，即可求解；③根据“t级变换点 ”定义，分别求出的“t级变换点 ”，再利用图像平移变换特征即可求解． 【小问1详解】 解：与， ∵， ∴与是“ 1 级变换点 ”， 与， ∵， ∴与是“ 1 级变换点 ”， 与， ∵，， ∴与不是“ 1 级变换点 ”， 故答案为：①②； 【小问2详解】 解：①由题意得： ∵C的“0级变换点 ”是点M， ∴， ∵在图像上存在点M， ∴； ②∵矩形的顶点A，B，C，D， ∵直线与矩形是“t级变换图形 ”， ∴A的“t级变换点 ”是，B的“t级变换点 ”是， C的“t级变换点 ”是，D的“t级变换点 ”是， ∴当在上，得：，解得：， 当在上，得：，解得：， 当在上，得：，解得：， 当在上，得：，解得：， ∴； ③∵抛物线与矩形是“t级变换图形 ”， ∵A的“t级变换点 ”是，B的“t级变换点 ”是， C的“t级变换点 ”是，D的“t级变换点 ”是， 又∵恰存在4对“t级变换点 ”， ∴当抛物线右端在点C的“t级变换点 ”左边，在D的“t级变换点 ”右边即可， 当过点，即：（舍）或， 当过点，即：（舍）或， ∴综上所述：t的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $