6.3三元一次方程组及其解法课件2024-2025学年华东师大版数学七年级下册

第6章 一次方程组 6.3 三元一次方程组及其解法 学习目标： 1.了解三元一次方程(组)的概念.【重点】 2.会用“代入”、“加减”把三元一次方程组化为“二元”，进而化为“一元”方程来解决.【重点】 3、能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法。【重点】 4、体会解方程过程中的消元思想和化归思想。 复习回顾 1. 解二元一次方程组有哪几种方法？ 2. 解二元一次方程组的基本思路是什么？ 代入消元 加减消元 消元法 代入消元法 加减消元法 二元一次方程组 一元一次方程 新知探究 在第6.1节中，我们应用二元一次方程组，求出了勇士队在“我们的小世界杯”足球赛第一轮比赛中胜与平的场数. 在第二轮比赛中，勇士队参加了 10 场比赛，按同样的计分规则，共得 18 分. 已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数各是多少？ 胜了 10 ÷ 2 = 5（场） 平了 18 － 5×3 = 3（场） 负了 10－5－3 = 2（场） 共比赛10 场，共得18分。 比赛规定： 胜一场得 3 分， 平一场得 1 分， 负一场得 0 分. 方法一： 胜的场数正好等于平与负的场数之和 共得18分，负场不得分 共比赛10 场 方法二： 设胜了 x 场，平了 y 场，则负了（x － y）场. 依题意，得 x + y +（x － y）= 10， 3x + y = 18. 解得 x = 5， y = 3. 所以胜了 5 场，平了 3 场，负了 2 场. 共比赛10 场，共得18分。 比赛规定： 胜一场得 3 分， 平一场得 1 分， 负一场得 0 分. 如果设勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数分别为 x、y、z，又将怎样呢？ 共比赛10 场 x + y + z = 10 共得18分，负场不得分 3x + y = 18 胜的场数正好等于平与负的场数之和 x = y + z. 将它们写成方程组的形式，得 x + y + z = 10， ① 3x + y = 18. ② x = y + z. ③ 共比赛10 场，共得18分。 比赛规定： 胜一场得 3 分， 平一场得 1 分， 负一场得 0 分. 思考：请同学们通过观察对比，说说看这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？尝试自己归纳总结三元一次方程和方程组的概念. x + y + z = 10， ① 3x + y = 18. ② x = y + z. ③ 三元一次方程组： ①方程组共含有三个未知数； ②含有未知数的项的次数都是 1； ③都是整式方程； 怎样解三元一次方程组呢？ 三元一次方程组的解： 三元一次方程组中各个方程的公共解 思考： 怎样解三元一次方程组呢？ 大家可以回顾一下，解二元一次方程组的思想和方法。 分析： 方程③中，x是用含y和z的代数式来表示的，把它分别代入方程①②，就可消去x. x + y + z = 10 ① 3x + y = 18 ② x = y + z ③ 思想：消元 方法： 代入消元法和加减消元法 方法三： x + y + z = 10， ① 3x + y = 18. ② x = y + z. ③ 解：设勇士队在比赛中胜、平、负的场数分别为 x、y、z， 由题意得 将③代入①和②，得 2y + 2z = 10， ④ 4y + 3z = 18. ⑤ 解得 y = 3， z = 2. 将 y = 3，z = 2 代入方程③，得 x = 5. x = 5， y = 3， z = 2 . 所以原方程组的解是 答：勇士队在比赛中胜、平、负的场数分别为5场、3场、2场. 解三元一次方程组的思想和方法是什么？ 归纳总结 通过“代入”或“加减”进行消元，先消去一个（或两个）未知数，转化为二元一次方程组（或一元一次方程）求解。 思想：消元 方法：代入消元法和加减消元法 例 1 解方程组： 2x－3y + 4z = 3， ① 3x－2y + z = 7， ② x + 2y－3z = 1. ③ 对于这个方程组，用哪一种方法消元呢？ 方程②中，z 的系数为 1，因此可以由②得， z = 7－3x + 2y . ④ 将④分别代入①和③，可以消去 z. 代入法 例 1 解方程组： 2x－3y + 4z = 3， ① 3x－2y + z = 7， ② x + 2y－3z = 1. ③ 方程②中，z 的系数为 1，因此可以由②得， 将④分别代入①和③，可以消去 z. 代入法 方法一： 方法二： 方程③中，x的系数为 1，因此可以由③得， ④ 将④分别代入①和②，可以消去 x. ④ 例 1 解方程组： 2x－3y + 4z = 3， ① 3x－2y + z = 7， ② x + 2y－3z = 1. ③ 代入法:消z 解方程组，得 x = 1， y = －3. 代入④，得 z = 7－3－6 =－2 . ∴原方程组的解是 x = 1， y = －3， z = －2 . 解:由方程②，得 z = 7－3x + 2y . ④ 将④分别代入方程①和③，得 2x 3y + 4(73x + 2y) = 3， x + 2y3(73x + 2y) = 1. 整理，得 －2x + y = – 5， 5x－2y = 11. 例 1 解方程组： 2x－3y + 4z = 3， ① 3x－2y + z = 7， ② x + 2y－3z = 1. ③ 代入法:消x 解方程组，得 z =－2， y = －3. 代入④，得 x = 1+6－6 =1 ∴原方程组的解是 x = 1， y = －3， z = －2 . 解:由方程③，得 ④ 将④分别代入方程①和②，得 2 3y + 4z = 3， 3 2y + z=7 整理，得 －7y + 10z =1 －8y+10z = 4 同学们可以自己尝试用代入法:消y，并比较一下哪一种方法更简便。 练习： 解下列方程组：(1) x + y + z = 6， 3x－y + 2z = 12， x － y－3z = －4. x = 3， y = 1， z = 2 . 3x － 2y = 5， y － 5z = －11， 3z －4x = 2. (2) x = 1， y = – 1， z = 2 . 例 1 解方程组： 2x－3y + 4z = 3， ① 3x－2y + z = 7， ② x + 2y－3z = 1. ③ 加减法： 方程③中，y的系数与方程①和②中y的系数符号相反，因此可以用①和②+③消y得二元一次方程组： 7x －z =9 4x－2z = 8 例 2 解方程组： 3x + 4y－3z = 3， ① 2x －3y －2z = 2， ② 5x －3y + 4z = －22. ③ 分析：三个方程中未知数的系数都不是1或-1，用代入消元法比较麻烦，可以考虑用加减消元法求解。 解：③－②，得 3x + 6z = －24 x + 2z = －8 ①×3 + ②×4，得 17x－17z = 17 x－z = 1 x + 2z = －8， x－z = 1. 得方程组 解得 x = －2 ， z = －3 . 把 x = －2，z = －3 代入方程②，得 y = 0 . ∴原方程组的解是 x = －2， y = 0， z = －3 . 能否先消去 x（或 y）？怎么做？比较一下，哪个更简便？ 小结： 三元一次方程组及其解法 定 义 解 法 消元思想 代入法和加减法 组内含有三个未知数 含未知数的项的次数为 1 整式方程 练习： 解下列方程组：（1） x + y － z = 2， ① 4x－2y + 3z + 8 = 0， ② x + 3y－2z －6 = 0. ③ （2） x 3 y 2 = y 4 z 5 = x + y + z = 60 ③ ② ① x = － ， y = ， z = －1 . 1 2 3 2 （1） x = 24， y = 16， z = 20 . （2） 2. 已知 y = ax2 + bx + c. 当 x =－2 时，y = 9；当 x = 0 时， y = 3；当 x = 2 时，y = 5. 求 a、b、c 的值. 解：当 x = －2 时，4a－2b + c = 9 当 x = 0 时，c = 3 当 x = 2 时，4a + 2b + c = 5 4a－2b = 6 4a + 2b = 2 a = 1 b = －1 解得 所以 a = 1，b = －1，c = 3. $$