1.5.1 数量积的定义及计算（2）课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

湘教版数学必修第二册 第1章 平面向量及其应用 1.5.1 数量积的定义及计算（2） 首页外框字体为：方正呐喊体 另外使用：方正静蕾简体 1 复习回顾 向量垂直的判断 向量的数量积 数量积的正负如何反应向量的夹角？ 向量夹角的判断 复习回顾 向量数量积的运算律 对于向量 a ， b ， c 和实数λ，有 （1） a · b ＝ b · a ； （2）（λ a ）· b ＝ ＝ ⁠； （3）（ a ＋ b ）· c ＝ ⁠. λ（ a · b ）　 a ·（λ b ）　 a · c ＋ b · c 　 特别注意： （1）向量的数量积不满足消去律：若 a ， b ， c 均为非零向量，且 a · c ＝ b · c ，但 得不到 a ＝ b . （2）向量的数量积不满足结合律，即（ a · b ） c ≠ a （ b · c ），因为 a · b ， b · c 是数量积，是实数，不是向量，所以（ a · b ） c 与向量 c 共线， a （ b · c ）与向量 a 共线，因此，（ a · b ） c ＝ a （ b · c ）在一般情况下不成立. 典例回顾 [典例]　已知｜ a ｜＝3，｜ b ｜＝4，当 a ， b 满足： （1） a ∥ b ；（2） a ⊥ b ；（3） a 与 b 的夹角为120°时，计算 a · b 的值. [解]　（1）当 a 与 b 同向时， a · b ＝｜ a ｜｜ b ｜ cos 0°＝12；当 a 与 b 反向时， a · b ＝｜ a ｜｜ b ｜ cos 180°＝－12. （2）当 a ⊥ b 时，夹角为90°，此时 a · b ＝｜ a ｜｜ b ｜ cos 90°＝0. （3）当 a 与 b 的夹角为120°时， a · b ＝｜ a ｜｜ b ｜ cos 120°＝3×4×（－ ）＝－6. 新知学习 投影向量 投影 如图，作向量 ＝ a ， ＝ b ，两个向量的夹角为α，过点 B 作 BB 1⊥ OA 于点 B 1，则 ＝ ＋ ，其中 与 共线. 我们把 称为 在 方向上的 ，投影向量的长度｜ ｜＝ ｜ ｜｜ cos α｜称为 ⁠. ｜ ｜ cos α刻画了投影向量的大小和方向，称为 在 方向上的 ⁠. 投影向量　 投影长　 投影　 新知学习 数量积的几何意义 投影的计算公式 例. 已知｜ a ｜＝1，｜ b ｜＝2， a 与 b 的夹角为 ，则 b 在 a 方向上的投影向量 为 ⁠. 解析： b 在 a 方向上的投影向量为｜ b ｜ cos ＝2× a ＝ a . a 　 新知学习--重点理解 关于投影向量 （1）向量 a 在 b 方向上的投影向量为｜ a ｜ cos θ e （其中 e 为与 b 同向的单位向量），它是一个向量，且与 b 共线，其方向由向量 a 和 b 夹角θ的余弦值决定. （2）向量 a 在 b 方向上的投影向量可表示为 · . （3）注意： a 在 b 方向上的投影向量与 b 在 a 方向上的投影向量不同，即向量 b 在 a 上的投影向量可表示为｜ b ｜ cos θ ＝ · . 典例精析 1.已知 a · b ＝16，若 a 在 b 上的投影向量的模为4，则｜ b ｜＝ ⁠. 解析：设 a 与 b 的夹角为θ，∵ a · b ＝16，∴｜ a ｜·｜ b ｜· cos θ＝16，又∵ a 在 b 上的投影向量的模为4，∴｜ a ｜· cos θ＝4，∴｜ b ｜＝4. 4　 2. 在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝4，则 · ＝（　D　） 解析： 在 上的投影为｜ ｜· cos A ＝｜ ｜，故 · ＝｜ ｜· ｜ ｜· cos A ＝ AC 2＝16，故选D. D 练习巩固 C 练习巩固 已知｜ a ｜＝5，｜ b ｜＝4， a 与 b 的夹角为60°，试问：当 k 为何值时，向量 ka － b 与 a ＋2 b 垂直？ 解：∵（ ka － b ）⊥（ a ＋2 b ）， ∴（ ka － b ）·（ a ＋2 b ）＝0， 即 ka 2＋（2 k －1） a · b －2 b 2＝0， 即 k ×52＋（2 k －1）×5×4× cos 60°－2×42＝0， ∴ k ＝ ，∴当 k ＝ 时，向量 ka － b 与 a ＋2 b 垂直. 练习巩固 （多选）已知正三角形 ABC 的边长为2，设 ＝2 a ， ＝ b ，则下列结论正确的 是（　CD　） A. ｜a＋b｜＝1 B. a⊥b C. （4a＋b）⊥b D. a·b＝－1 解析：由题意知｜ a ｜＝1，｜ b ｜＝2， a 与 b 的夹角是120°，故B结论错误；（ a ＋ b ）2＝｜ a ｜2＋2 a · b ＋｜ b ｜2＝3，∴｜ a ＋ b ｜＝ ，故A结论错误；（4 a ＋ b ）· b ＝4 a · b ＋ b 2＝4×1×2× cos 120°＋4＝0，∴（4 a ＋ b ）⊥ b ，故C结论 正确； a · b ＝1×2× cos 120°＝－1，故D结论正确. CD 课堂小结 布置作业 练习册对应章节 $$