1.5.1 数量积的定义及计算(1) （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

1.5.1 数量积的定义及计算(一) 第1章　§1.5　向量的数量积 学习目标 1.理解向量数量积的含义及其物理意义. 2.能正确熟练地应用数量积的定义进行运算. 前面我们学习了向量的线性运算，类比数的运算，向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？让我们带着这些问题共同开启今天的探索之旅吧！ 导语 内容索引 一、数量积的定义 二、求向量的数量积 课时对点练 三、数量积的应用 随堂演练 数量积的定义 一 问题　如图所示，一物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝|F||s|cos α. (1)这个公式有什么特点？请完成下列填空： ①W(功)是______量；②F(力)是______量；③s(位移)是______量；④α是______量. 数 向 向 数 (2)你能用文字语言表述功的计算公式吗？ 提示　功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积. 1.数量积的定义 设a，b是任意两个向量，〈a，b〉是它们的夹角，则定义a·b＝ ________________为a与b的数量积. 2.数量积的性质 a·b＝0⇔|a|＝0或|b|＝0或cos α＝0. (1)当a，b均不为0时，a·b＝0⇔cos α＝0⇔α＝ ⇔ . (2)当a＝0或b＝0时，由于零向量与任意向量垂直，因而仍有a⊥b. 因此，a·b＝0⇔ 对所有情形均成立. |a||b|cos〈a，b〉 a⊥b a⊥b 知识梳理 8 注意点： (1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”. (2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0. (3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量. 知识梳理 9 例1　(多选)下列说法中，错误的是 A.a，b共线⇔a·b＝|a||b| B.|a||b|<a·b C.a2＋b2≥2a·b D.非零向量a，b满足a·b>0，则a与b的夹角为锐角. √ √ √ 10 a，b共线⇔a·b＝±|a||b|，故A错误； |a||b|≥a·b，故B错误； a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故C正确； 当a与b的夹角为0°时，也有a·b>0，故D错误. 11 对于概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解.特别是易与实数运算相混淆的运算律，当然还有数量积中有关角的概念以及数量积的性质等. 反思感悟 12 跟踪训练1　(多选)已知a，b，c是三个非零向量，则下列结论中正确的是 A.a·b＝±|a||b|⇔a∥b B.a，b反向⇔a·b＝－|a||b| C.a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b| D.|a|＝|b|⇔|a·c|＝|b·c| √ √ √ 13 ∵a·b＝|a||b|cos θ，∴由a·b＝±|a|·|b|及a，b为非零向量可得cos θ＝±1，∴θ＝0或π.∴a∥b，且以上各步均可逆，故A正确； 若a，b反向，则a，b的夹角为π，∴a·b＝|a|·|b|·cos π＝－|a||b|，且以上各步均可逆，故B正确； 当a⊥b时，将向量a，b的起点确定在同一点，以向量a，b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长度相等，即有|a＋b|＝|a－b|.反过来，若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边的四边形为矩形，∴a⊥b，故C正确； 14 当|a|＝|b|，但a与c的夹角和b与c的夹角不相等时，就有|a·c|≠|b·c|，反过来由|a·c|＝|b·c|也推不出|a|＝|b|.故D错误. 15 二 求向量的数量积 例2　已知等边△ABC的边长为1，求： 17 18 求平面向量数量积的步骤 (1)求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]. (2)分别求|a|和|b|. (3)求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去. 反思感悟 19 跟踪训练2　(1)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为60°，则a·b＝_____. 10 20 0 －16 －16 21 三 数量积的应用 例3　(1)已知|a|＝9，|b|＝6　 ，a·b＝－54，则a与b的夹角θ为 A.45°　　 　B.135°　　 　 C.120°　　　 D.150° √ ∵a·b＝|a||b|cos θ＝－54， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°. 23 所以|a||b|cos〈a，b〉≥0，即cos〈a，b〉≥0， 所以△ABC是直角三角形或钝角三角形. 24 延伸探究　若本例中，“a·b＜0”，能否判断△ABC的形状？ ∴∠B是锐角， 又∠B未必是△ABC的最大内角，故无法判断△ABC的形状. 25 数量积的符号与向量夹角的关系 设a，b的夹角为θ，则 反思感悟 26 跟踪训练3　已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是 √ 27 ∵Δ＝|a|2－4|a||b|cos θ(θ为向量a与b的夹角)， 若方程有实根，则有Δ≥0， 即|a|2－4|a||b|cos θ≥0， 又|a|＝2|b|，∴4|b|2－8|b|2cos θ≥0， 28 1.知识清单： (1)数量积的定义. (2)数量积的性质. (3)数量积的应用. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：计算数量积时，常因不清楚两向量的夹角导致计算失误. 课堂小结 随堂演练 四 1.若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角θ为45°，则m·n等于 1 2 3 4 √ 2.(多选)对于任意向量a，b，c，下列命题中不正确的是 A.若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0 B.向量a与向量b夹角的范围是[0，π) C.若a⊥b，则a·b＝0 D.|a|＝ 1 2 3 4 √ √ 1 2 3 4 a·b＝0⇒a⊥b或a＝0或b＝0，所以A错误； 向量夹角的范围是[0，π]，所以B错误； 由数量积的性质知，C正确； 因为a·a＝|a||a|cos 0＝|a|2， 1 2 3 4 √ ∵AB＝5，BC＝2，∠B＝60°， 1 2 3 4 4.已知a，b的夹角为θ，|a|＝2，|b|＝3. (1)若θ＝135°，则a·b＝________； (2)若a∥b，则a·b＝_____； (3)若a⊥b，则a·b＝____. ±6 0 课时对点练 五 1.已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为 ，则a·b等于 A.1 B.2 C.3 D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 2.已知向量|a|＝10，|b|＝12，且a·b＝－60，则向量a与b的夹角为 A.60° B.120° C.135° D.150° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 设a与b的夹角为θ， 又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成60°角.则当小车向前运动10 m时，力F做的功为 A.100 J B.50 J C.50 　 J D.200 J √ 由题意，根据向量的数量积的定义，可得力F做的功W＝F·s＝10×10 ×cos 60°＝50(J). 5.在同一平面内，线段AB为圆C的直径，动点P满足　　　＞0，则点P与圆C的位置关系是 A.点P在圆C外部 B.点P在圆C上 C.点P在圆C内部 D.不确定 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示， 因为BD⊥AC， 则|BC|cos∠CBD＝|BD|， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|＝ _____. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以∠OBA＝90°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.命题p：“向量a与向量b的夹角θ为锐角”是命题q：“a·b＞0”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 若向量a与向量b的夹角θ为锐角，则a·b＝|a||b|cos θ＞0，当a·b＞0时，向量a与向量b的夹角θ可能为0°， 所以命题p是命题q的充分而不必要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设正六边形的边长是a， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 等边三 角形 －8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即8＝4×4×cos∠BAC， 因为0°<∠BAC<180°， 所以∠BAC＝60°. 又AB＝AC，故△ABC是等边三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 那么只需求MC的最大值与最小值即可. 当MC与MO或MA重合时，MC最大，此时MC＝1， (1)·； ∵与的夹角为60°， ∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝. (3)·. ∵与的夹角为60°， ∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝. (2)·； ∵与的夹角为120°， ∴·＝||||cos 120°＝1×1×＝－. a·b＝|a||b|cos 60°＝5×4×＝10. 所以·＝4×4×cos 90°＝0，·＝4×4×cos 135°＝－16，·＝4×4×cos 135°＝－16. 由题意，得||＝4，||＝4，||＝4， (2)在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝4，则·＝______，·＝______，·＝________. ∴cos θ＝＝＝－， (2)在△ABC中，＝a，＝b，当a·b≥0时，判断△ABC的形状. 因为在△ABC中，＝a，＝b，a·b≥0， 又〈a，b〉∈(0，π)，所以0＜〈a，b〉≤，即0＜π－∠ABC≤，所以∠ABC＝或＜∠ABC＜π， 由a·b＜0可知·＜0，∴·＞0， ∴||||cos B＞0，又∠B∈(0，π)， (1)a·b＞0，则θ∈； (2)a·b＜0，则θ∈. A. B. C. D. ∴cos θ≤，又0≤θ≤π， ∴≤θ≤π. A.12 B.12 C.－12 D.－12 由平面向量数量积的定义可得m·n＝|m|·|n|cos 45°＝4×6×＝12. 所以|a|＝，所以D正确. ∴·＝5×2×cos(180°－60°)＝10×＝－5. 3.在△ABC中，AB＝5，BC＝2，∠B＝60°，则·的值为 A.5 B.5 C.－5 D.－5 －3 a·b＝|a||b|cos ＝1×2×＝1. 则cos θ＝＝＝－， 3.在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝，则·的值等于 A.－2 B.2 C.－2 D.2 ·＝||||cos ∠ABC＝2××cos 45°＝2.  · 在同一平面内，线段AB为圆C的直径，动点P满足·＞0，所以∠APB为锐角，所以点P在圆C外部. 6.已知非零向量a，b满足|b|＝2，且a·b＝|a|，则向量a，b的夹角θ的大小为 A. B. C. D. 因为a·b＝|a|，所以|a||b|cos θ＝|a|，所以cos θ＝＝， 又θ∈[0，π]，所以θ＝. 7.在△ABC中，∠ABC＝90°，若BD⊥AC，且BD交AC于点D，||＝，则·＝_______. 则·＝－· ＝－||||cos∠CBD ＝－||2＝－3. cos θ＝＝＝－， ∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝. ∴|a×b|＝2×5×＝8. 9.如图，在▱ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°.求： (1)·； 因为∥，且方向相同， 所以与的夹角是0°. 所以·＝||||cos 0°＝3×3×1＝9. (2)·； 因为∥，且方向相反， 所以与的夹角是180°. 所以·＝||||cos 180°＝4×4×(－1)＝－16. (3)·. 因为与的夹角为60°， 所以与的夹角为120°. 所以·＝||||cos 120°＝4×3×＝－6. 10.如图，在△OAB中，P为线段AB上一点， 且＝x＋y. (1)若＝，求x，y的值； 若＝，则＝＋， 故x＝y＝. (2)若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°，求·的值. 因为||＝4，||＝2，∠BOA＝60°， 所以||＝2. 又因为＝3， 所以||＝. 所以||＝＝， cos∠OPB＝. 所以与的夹角θ的余弦值为－. 所以·＝||||cos θ＝－3. 12.(多选)在Rt△ABC中，BD为斜边AC上的高，下列结论中正确的是 A.||2＝· B.||2＝· C.||2＝· D.||2＝·＝· 对于A，·＝||||cos A＝||2，故A正确； 对于B，·＝－||·||·cos C＝－||2，故B错误； 对于C，·＝－||||cos ∠ABD＝－||2，故C错误； 对于D，·＝||||cos ∠ABD＝||2，·＝||||cos ∠CBD＝||2，故D正确. 13.如图所示为正六边形P1P2P3P4P5P6，则下列向量的 数量积中最大的是 A.· B.· C.· D.· 由于⊥，故其数量积是0； 与P1P6的夹角是，故其数量积小于0； 则·＝||||cos 30°＝a2， ·＝||||cos 60°＝a2.故选A. 14.已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是________ ______， ·＝______.  ·＝||||cos∠BAC， 于是cos∠BAC＝， 此时·＝||||cos 120°＝－8. 15.黄金比又称黄金律，是指事物各部分间有一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1∶0.618，即长段为全段的0.618.0.618被公认为最具有审美意义的比例数字.宽与长的比为≈0.618的矩形叫做黄金矩形，它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，在黄金矩形ABCD中，BC＝－1，AB＞BC，那么·的值为 A.－1 B.＋1 C.4 D.2＋2 由黄金矩形的定义，可得AB＝2，BC＝－1，在矩形ABCD中，cos∠CAB＝＝＝， 则·＝||||cos∠CAB＝2××＝4. (1)若点D是线段OB靠近点O的四分之一分点，用， 表示向量； 由已知可得＝， 四边形OAMB是菱形，则＝＋， 所以＝－＝－(＋)＝－－. (2)求·的取值范围. 易知∠DMC＝60°，且||＝||， 当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝， 则·＝××cos 60°＝. 则·＝1×1×cos 60°＝. 所以·的取值范围为. $$