1.5.1 数量积的定义及计算（1）课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

湘教版数学必修第二册 第1章 平面向量及其应用 1.5.1 数量积的定义及计算（1） 首页外框字体为：方正呐喊体 另外使用：方正静蕾简体 1 情景引入 新知探索 向量数量积的概念 已知两个非零向量 a ， b （如图）， O 是平面上的任意一点，作 ＝ a ， ＝ b ，则 叫作向量 a 与 b 的夹角. ∠ AOB ＝θ（0≤θ≤π）　 显然，当θ＝0时， a 与 b ；当θ＝π时， a 与 b .如果 a 与 b 的夹角是 ，我们说 a 与 b ，记作 a ⊥ b . 同向　 反向　 垂直　 新知探索 数量积的定义 设 ， 是任意两个向量， 是它们的夹角，则定义 与 的数量积为 _________________________ 问题3： 的范围？ 问题4： ， 在满足什么情况下有 ？ 问题1：向量数量积与向量线性运算的区别？ 问题5：两个非零向量的数量积的正负怎么确定？ 向量垂直的判断 问题2：数量积能否写成： 或 ？ 例. 已知｜ a ｜＝2，｜ b ｜＝ ， a 与 b 的夹角为 ，则 a · b ＝ ⁠. 3　 新知探索 向量数量积的性质 设 a ， b 是非零向量，它们的夹角是θ， e 是与 b 方向相同的单位向量，则 （1） a · e ＝ e · a ＝｜ a ｜ cos θ. （2） a ⊥ b ⇔ a · b ＝0. （3）当 a 与 b 同向时， a · b ＝｜ a ｜｜ b ｜； 当 a 与 b 反向时， a · b ＝－｜ a ｜｜ b ｜. 特别地， a · a ＝｜ a ｜2或｜ a ｜＝ . 此外，由｜ cos θ｜≤1还可以得到. （4）｜ a · b ｜≤｜ a ｜｜ b ｜. 新知探索 向量数量积的运算律 对于向量 a ， b ， c 和实数λ，有 （1） a · b ＝ b · a ； （2）（λ a ）· b ＝ ＝ ⁠； （3）（ a ＋ b ）· c ＝ ⁠. λ（ a · b ）　 a ·（λ b ）　 a · c ＋ b · c 　 特别注意： （1）向量的数量积不满足消去律：若 a ， b ， c 均为非零向量，且 a · c ＝ b · c ，但 得不到 a ＝ b . （2）（ a · b ） c ≠ a （ b · c ），因为 a · b ， b · c 是数量积，是实数，不是向量，所 以（ a · b ） c 与向量 c 共线， a （ b · c ）与向量 a 共线，因此，（ a · b ） c ＝ a （ b · c ）在一般情况下不成立. 典例精析 [典例]　已知｜ a ｜＝3，｜ b ｜＝4，当 a ， b 满足： （1） a ∥ b ；（2） a ⊥ b ；（3） a 与 b 的夹角为120°时，计算 a · b 的值. [解]　（1）当 a 与 b 同向时， a · b ＝｜ a ｜｜ b ｜ cos 0°＝12；当 a 与 b 反向时， a · b ＝｜ a ｜｜ b ｜ cos 180°＝－12. （2）当 a ⊥ b 时，夹角为90°，此时 a · b ＝｜ a ｜｜ b ｜ cos 90°＝0. （3）当 a 与 b 的夹角为120°时， a · b ＝｜ a ｜｜ b ｜ cos 120°＝3×4×（－ ）＝－6. 典例精析 已知向量 a ， b 均为单位向量， a · b ＝ ，则 a 与 b 的夹角为 　 　. 解析：设 a 与 b 的夹角为θ，由题意知｜ a ｜＝｜ b ｜＝1，则 cos θ＝ ＝ ，又∵0≤θ≤π，∴θ＝ . 　 练习巩固 [练习]　已知向量 a ， b ，其中｜ a ｜＝ ，｜ b ｜＝2，且（ a － b ）⊥ a ， 则向量 a 与 b 的夹角是（　B　） A. B. C. D. B 解析：（1）由题意，知（ a － b ）· a ＝ a 2－ a · b ＝2－ a · b ＝0，所以 a · b ＝2. 设 a 与 b 的夹角为θ， 则 cos θ＝ ＝ ， 因为θ∈[0，π]，所以θ＝ . 故选B. 易错精讲 [示例1]　已知｜ a ｜＝2，｜ b ｜＝4， a 与 b 的夹角为120°，求｜ a ＋ b ｜及｜ a － b ｜的值. [错解]　由已知｜ a ｜2＝ a 2＝4，｜ b ｜2＝ b 2＝16， a · b ＝｜ a ｜｜ b ｜ cos 120°＝－4， ∴｜ a ＋ b ｜2＝ a 2＋2 a · b ＋ b 2＝12， ∴｜ a ＋ b ｜＝±2 . ∵｜ a － b ｜2＝ a 2－2 a · b ＋ b 2＝28， ∴｜ a － b ｜＝±2 . [错因分析]　本例中的错解为许多同学在初学模的计算时常出现的一种错解，错误的 类比应用了实数中的运算法则，而忽略了向量的运算性质. [正解]　由错解知｜ a ＋ b ｜2＝12，∴｜ a ＋ b ｜＝2 .｜ a － b ｜2＝28，∴｜ a － b ｜＝2 . 易错精讲 [示例2]　在△ ABC 中，若 · ＝2，则△ ABC 是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 [错解]　因为 · ＝2，所以｜ ｜｜ ｜ cos B ＝2， 所以 cos B ＞0，因此角 B 为锐角，故选A. [错因分析]　本题错解的原因在于没有能够正确理解向量夹角的定义以及锐角三角形 的判定条件.题目中 与 的夹角并不是角 B ，而是角 B 的补角，且锐角三角形的判定需证明三个角都为锐角. [正解]　∵ · ＝｜ ｜｜ ｜ cos （π－ B ）＝2，∴ cos （π－ B ）＞0，即 cos B ＜0. 又∵0＜ B ＜π，∴ B 为钝角，故选C. 练习巩固 1. 若非零向量 a ， b 满足｜ a ｜＝｜ b ｜，（2 a ＋ b ）· b ＝0，则 a 与 b 的夹角为 （　C　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 解析：设 a 与 b 的夹角为θ，则0＝（2 a ＋ b ）· b ＝2 a · b ＋ b 2＝2｜ a ｜｜ b ｜ cos θ ＋｜ b ｜2， ∵｜ a ｜＝｜ b ｜≠0， ∴2 cos θ＋1＝0，即 cos θ＝－ ，∴θ＝120°. C 练习巩固 2. 在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝4，则 · ＝（　D　） A. －16 B. －8 C. 8 D. 16 解析：因为 cos A ＝ ，故 · ＝｜ ｜·｜ ｜ cos A ＝ AC 2＝ 16，故选D. D 练习巩固 3. 如图，在平行四边形 ABCD 中，｜ ｜＝4，｜ ｜＝3，∠ DAB ＝60°. 求：（1） · ； 解：（1） · ＝｜ ｜2＝9. （2） · ； 解：（2） · ＝－｜ ｜2＝－16. （3） · . 解：（3） · ＝｜ ｜｜ ｜ cos （180°－60°） ＝4×3×（－ ）＝－6. 课堂小结 布置作业 练习册对应章节 $$