精品解析：河南省林州市2024-2025学年九年级上学期第三次月考数学试题

九年级上学期第三次阶段自评（B） 数学2024.12 （考试范围：至下册46页，满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．试题卷共4页，三个大题，满分120分． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人所在学校、姓名、考场、座号、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 关于的一元二次方程有实数根，则满足（　　） A. B. 且 C. 且 D. 2. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C.   D. 3. 一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球是白球的概率是，则口袋中白球的数量是（ ） A. 20 B. 24 C. 30 D. 36 4. 如图，的直径垂直于弦，垂足为的长为（ ） A. B. 4 C. D. 8 5. 已知一个圆锥的母线长是，高是，则该圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 6. 已知反比例函数的图象如图所示，关于下列说法：①常数；②y的值随x值的增大而减小；③若点A为x轴上一点，点B为反比例函数图象上一点，则；④若点在反比例函数的图象上，则点也在该反比例函数的图象上．其中说法正确的是（　　） A. ①②③ B. ③④ C. ①④ D. ②③④ 7. 如图，直线，直线，分别交直线，，于，，和，，，且，，则（ ） A. 5 B. 10 C. 12 D. 15 8. 如图，双曲线（x＜0）经过▱ABCO的对角线交点D，已知边OC在y轴上，且AC⊥OC于点C，则▱OABC的面积是（　　） A. B. C. 3 D. 6 9. 如图，扇形的圆心角为直角，，点在上，以为邻边构造，边交于点，若，则图中两块阴影部分的面积之和为（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根；⑤若点在该抛物线上，则．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，会议结束后统计共签订了78份合同，若设有x家公司出席了这次交易会，则可列方程为：______ 12. 一个正多边形的一个外角为，边长为4，则这个正多边形的弦心距是___________． 13. 已知二次函数，当时，函数值的取值范围是___________． 14. 如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半，已知BC＝6，则EC的长为_____． 15. 如图，中，，，点在的延长线上，且，连接并延长，作于，若，则的面积为______． 三、解答题（共8个小题，共75分） 16. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数，该方程总有实数根； （2）若这个一元二次方程的一根大于2，求的取值范围． 17. 为大力弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神，我市某社区开展了“文明新风进社区”系列志愿服务活动，参加活动的每位志愿者必须从.“垃圾分类入户宣传”、.“消防安全知识宣传”、.“走访慰问孤寡老人”三个活动主题中随机选取一个主题． （1）志愿者小李选取，“垃圾分类入户宣传”这个主题的概率是_______． （2）志愿者小张和小李从、、三个主题中分别随机选取一个主题，请用列表或画树状图的方法，求他们选取相同主题的概率． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径作⊙O，⊙O与AC的公共点为E，连接DE并延长交BC的延长线于点F，BD=BF． （1）试判断AC与⊙O的位置关系并说明理由； （2）若AB=12，BC=6，求⊙O的面积． 19. 某数学兴趣小组开展了“测量某宝塔高度”的实践活动，在点处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上，得米，将标杆向右平移到点处，这时地面上的点F，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上（点，点，点，点与塔底处的点在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据，计算真身宝塔的高度． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，延长交反比例函数图象于点． （1）求一次函数的表达式与反比例函数的表达式； （2）当时，直接写出自变量的取值范围为 ； （3）点是轴上一点，当时，求出点的坐标． 21. 消毒洗手液与百姓生活息息相关，某药店的消毒洗手液很畅销．已知该消毒洗手液的进价为每瓶22元，经市场调查，每天洗手液的销售量y（瓶）与销售单价x（元/瓶）之间满足一次函数关系，部分数据记录如表所示： x（元/瓶） 22 24 26 27 y（瓶） 90 80 70 65 （1）直接写出y与x之间的函数关系式；（不需要写自变量x的取值范围） （2）若该药店每天想从这批消毒洗手液的销售中获利325元，又想尽量给顾客实惠，问这批消毒洗手液每瓶的售价为多少元？ （3）该药店上级主管部门规定，消毒洗手液的每瓶利润不允许高于进价的，设这种消毒洗手液每天的总利润为w元，那么售价定为多少元时该药店可获得的利润最大？最大利润是多少元？ 22. 如图，的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接、、． （1）当动点运动时间 秒时，与相似． （2）在运动过程中，当时，为何值？请说明理由． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A（4，0），B（﹣1，0）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点G为抛物线上的一动点，过点G作GE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出EF的长度． （3）在抛物线上对称轴上是否存在点P，使△ACP是直角三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期第三次阶段自评（B） 数学2024.12 （考试范围：至下册46页，满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．试题卷共4页，三个大题，满分120分． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人所在学校、姓名、考场、座号、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 关于的一元二次方程有实数根，则满足（　　） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义可知，根据一元二次方程有实数根，可知，解不等式可得：． 【详解】解：是一元二次方程， ， 解得：， 一元二次方程有实数根， ， 解得：， 满足且． 故选：C． 2. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C.   D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键． 【详解】解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 3. 一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球是白球的概率是，则口袋中白球的数量是（ ） A. 20 B. 24 C. 30 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】设白球的个数是，根据概率公式列出方程，求得答案即可． 【详解】解：设白球的个数是， 根据题意得：， 解得：，经检验是原方程的解， 即：口袋中的白球有20个， 故选：A． 【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率． 4. 如图，的直径垂直于弦，垂足为的长为（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，通过等腰直角三角形得到是解题的关键． 先求出的度数，再结合垂径定理证是等腰直角三角形，求出的长度，即可求解． 【详解】解： 的直径垂直于弦 又 ． 故选：C． 5. 已知一个圆锥的母线长是，高是，则该圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，利用勾股定理先求出圆锥底面半径，再根据圆锥的侧面积底面周长母线长计算即可求解，掌握圆锥的侧面积的计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵圆锥的母线长是，高是， ∴圆锥的半径， ∴圆锥的侧面积． 故选：． 6. 已知反比例函数的图象如图所示，关于下列说法：①常数；②y的值随x值的增大而减小；③若点A为x轴上一点，点B为反比例函数图象上一点，则；④若点在反比例函数的图象上，则点也在该反比例函数的图象上．其中说法正确的是（　　） A. ①②③ B. ③④ C. ①④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据反比例函数的图象和性质逐一判断即可． 【详解】反比例函数的图象在第一、三象限， ，故①说法正确； 反比例函数的增减性与所处象限有关， ②说法错误； 与轴不一定垂直， ，故③说法错误； 点在反比例函数的图象上， ， 点也在该反比例函数的图象上，故④说法正确； 故选：C． 7. 如图，直线，直线，分别交直线，，于，，和，，，且，，则（ ） A. 5 B. 10 C. 12 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 8. 如图，双曲线（x＜0）经过▱ABCO的对角线交点D，已知边OC在y轴上，且AC⊥OC于点C，则▱OABC的面积是（　　） A. B. C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵点D为▱ABCD的对角线交点，双曲线（x＜0）经过点D，AC⊥y轴，∴S平行四边形ABCO=4S△COD=4××|﹣|=3．故选C． 点睛：本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及平行四边形的性质，根据平行四边形的性质结合反比例函数系数k的几何意义，找出出S平行四边形ABCO=4S△COD=2|k|是解题的关键． 9. 如图，扇形的圆心角为直角，，点在上，以为邻边构造，边交于点，若，则图中两块阴影部分的面积之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由勾股定理可求出的长，再计算扇形面积和梯形并作差即可． 【详解】解：连接 在中， 故选：C． 【点睛】本题主要考查勾股定理，扇形面积计算以及梯形面积计算，熟练掌握扇形面积计算以及勾股定理是解决本题的关键． 10. 抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根；⑤若点在该抛物线上，则．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 结合函数图像，根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程、不等式间的关系逐一判断即可． 【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线， ∴与轴的交点到对称轴距离为， ∴该抛物线与x轴的另一个交点为， 补图如下： ∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧，a、b异号， ∴， ∵抛物线与y轴交在正半轴， ∴， ∴，故①正确， 抛物线的对称轴是直线即， ∴， ∴，故②正确； ∵该抛物线与x轴的另一个交点为， ∴当时，，故③正确； ∵由图象可得，抛物线的顶点坐标为， ∴直线与抛物线有两个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根，故④正确； ∵当时，该函数取得最大值，此时， ∵点在该抛物线上，则，故⑤正确； 综上所述：正确的个数有5个． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，会议结束后统计共签订了78份合同，若设有x家公司出席了这次交易会，则可列方程为：______ 【答案】x(x−1)=78. 【解析】 【分析】每家公司都与其他公司签订了一份合同，设有x家公司出席了这次交易会，则每个公司要签（x-1）份合同，签订合同共有x（x-1）份，由此列出方程即可． 【详解】解：设有x家公司出席了这次交易会，依题意，得 x(x−1)=78. 故答案为x(x−1)=78. 【点睛】本题考查了一元二次的应用. 12. 一个正多边形的一个外角为，边长为4，则这个正多边形的弦心距是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角和、等边三角形的判定与性质，勾股定理等，先根据多边形的外角和是360度求出该多边形是正六边形，再判定是等边三角形，过点O作，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵一个正多边形的一个外角为， ∴该多边形的边数为：，即该多边形是正六边形， 如图所示，过点O作于点C， ∵该多边形是正六边形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知二次函数，当时，函数值的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质可得函数图像开口方向向上，对称轴为，顶点坐标为，根据的值离对称轴越远值越大，在对称轴的位置值最小即可得出函数值的取值范围． 【详解】解：， 可知函数图像开口方向向上，对称轴为，顶点坐标为， 的值离对称轴越远值越大，在对称轴的位置值最小， 当时，， 当时，函数值的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图像与不等式的解集，二次函数一般式化成顶点式，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 14. 如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半，已知BC＝6，则EC的长为_____． 【答案】3． 【解析】 【分析】由平移的性质可得AB//EG，可证明△GEC∽△ABC，根据相似三角形的性质得出＝（）2＝，得出＝＝，即可得答案． 【详解】∵△ABC沿BC边平移到△DEF的位置， ∴AB∥EG， ∴△GEC∽△ABC， ∴＝（）2＝， ∴＝＝， ∵BC＝6， ∴EC＝3， 故答案为：3 【点睛】本题考查平移的性质及相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键. 15. 如图，中，，，点在的延长线上，且，连接并延长，作于，若，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点B作BF⊥CD于F，由“AAS”可证△BFC≌△CEA，可得CF＝AE＝，BF＝CE，由平行线分线段成比例可求EF＝DF，由三角形中位线定理可求BF＝CE＝，由三角形面积公式可求解． 【详解】解：如图，过点B作BF⊥CD于F， ∴∠BFC＝∠AEC＝90°， ∴∠BCF+∠FBC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCF+∠ACE＝90°， ∴∠ACE＝∠FBC， 在△BFC与△CEA中， ， ∴△BFC≌△CEA（AAS）， ∴CF＝AE＝，BF＝CE， ∵BF⊥CD，AE⊥CD， ∴BF∥AE， ∴， ∴EF＝DF， 又∵AB＝BD， ∴BF＝AE＝， ∴CE＝BF＝， ∴EF＝＝DF， ∴△BCD的面积＝×CD×BF＝×（）×＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例，三角形中位线定理，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键． 三、解答题（共8个小题，共75分） 16. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数，该方程总有实数根； （2）若这个一元二次方程的一根大于2，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵关于x的一元二次方程， ∴， ∴对于任意实数m，该方程总有实数根； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式及解一元二次方程，正确运用判别式是解题的关键： （1）根据一元二次方程判别式为，即可解答； （2）解方程，求得，，根据题意得到，解不等式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设方程的两个实数根为，， ， ∴，， ∵这个一元二次方程的一根大于2， ∴， 解得：， ∴m的取值范围． 17. 为大力弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神，我市某社区开展了“文明新风进社区”系列志愿服务活动，参加活动的每位志愿者必须从.“垃圾分类入户宣传”、.“消防安全知识宣传”、.“走访慰问孤寡老人”三个活动主题中随机选取一个主题． （1）志愿者小李选取，“垃圾分类入户宣传”这个主题的概率是_______． （2）志愿者小张和小李从、、三个主题中分别随机选取一个主题，请用列表或画树状图的方法，求他们选取相同主题的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查用列表法或画树状图法求概率，用到的知识点：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）画树状图，共有种等可能的结果，小张和小李选择相同主题的结果有种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：志愿者小李选取，“垃圾分类入户宣传”这个主题的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如图： 共有种等可能结果，小张和小李选取相同主题的结果有种， 小张和小李选择相同主题的概率为． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径作⊙O，⊙O与AC的公共点为E，连接DE并延长交BC的延长线于点F，BD=BF． （1）试判断AC与⊙O的位置关系并说明理由； （2）若AB=12，BC=6，求⊙O的面积． 【答案】(1)AC与⊙O相切；(2)16. 【解析】 【分析】(1)求出OE∥BF推出∠AEO=90º，根据切线的判定推出即可； (2)证△AOE∽△ABC，得出关于r的方程，求出方程的解即可. 【详解】解：（1）AC与⊙O相切． 连接OE， ∵OD=OE， ∴∠ODE=∠OED． ∵BD=BF， ∴∠ODE=∠F． ∴∠OED=∠F． ∴OE∥BF． ∴∠AEO=∠ACB=90°． ∴OE⊥AC． ∵点E为⊙O上一点， ∴AC与⊙O相切； （2）由（1）知∠AEO=∠ACB， 又∵∠A=∠A， ∴△AOE∽△ABC， ∴=， 设⊙O的半径为r，则=，解得r=4， ∴⊙O的面积为π×42=16π. 故答案为：(1)AC与⊙O相切；(2)16. 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质. 19. 某数学兴趣小组开展了“测量某宝塔高度”的实践活动，在点处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上，得米，将标杆向右平移到点处，这时地面上的点F，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上（点，点，点，点与塔底处的点在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据，计算真身宝塔的高度． 【答案】真身宝塔的高度为48米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．证明出，相似，再根据相似三角形的性质定理建立等式求解，即可得到结论． 【详解】解：由题意知，， ， ， 由题知，， ， ， ， ， 米，米，米， ， 米． ， 米， 答：真身宝塔的高度为48米． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，延长交反比例函数图象于点． （1）求一次函数的表达式与反比例函数的表达式； （2）当时，直接写出自变量的取值范围为 ； （3）点是轴上一点，当时，求出点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或. 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题、利用待定系数法求函数解析式；熟练的利用数形结合的方法解题是关键； （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据图象求解即可； （3）先求得，再根据，求得，根据中心对称的性质得出，进而求得，即可求解． 【小问1详解】 解：将代入得， 解得， 反比例函数的解析式为， 将，代入得， 解得， 一次函数为； 【小问2详解】 解：由图象可知，当时，自变量的取值范围为：或， 故答案为：或； 【小问3详解】 解：由题意可知， ， 把代入得，， 解得， ， ， ， ， ， ，即， ， 或． 21. 消毒洗手液与百姓生活息息相关，某药店的消毒洗手液很畅销．已知该消毒洗手液的进价为每瓶22元，经市场调查，每天洗手液的销售量y（瓶）与销售单价x（元/瓶）之间满足一次函数关系，部分数据记录如表所示： x（元/瓶） 22 24 26 27 y（瓶） 90 80 70 65 （1）直接写出y与x之间的函数关系式；（不需要写自变量x的取值范围） （2）若该药店每天想从这批消毒洗手液的销售中获利325元，又想尽量给顾客实惠，问这批消毒洗手液每瓶的售价为多少元？ （3）该药店上级主管部门规定，消毒洗手液的每瓶利润不允许高于进价的，设这种消毒洗手液每天的总利润为w元，那么售价定为多少元时该药店可获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）与之间的函数关系式为 （2）这批消毒洗手液每瓶的售价为27元 （3）售价定为31元时该药店可获得的利润最大，最大利润是405元 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数的表达式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法，根据题意找出等量关系，正确列出利润的表达式． （1）设与之间的函数关系式为，将表格中的数据代入求解即可； （2）根据总利润=单个利润×数量，列出方程求解即可， （3）根据题意，列出总利润的函数表达式，化为顶点式，再根据每瓶利润不允许高于进价的确定自变量的取值，即可求解． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 将时，和时代入得， ， 解得：， ∴与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 由（1）可知，每瓶售价为x元，每天销售量为y瓶， ， ∵， ∴， 整理得：， 解得：，， ∵尽量给顾客实惠， ∴． 答：这批消毒洗手液每瓶的售价为27元． 【小问3详解】 ， ∵每瓶利润不允许高于进价的， ∴， 解得：， ∴当时，总利润为最大，此时（元）． ∴售价定为31元时该药店可获得的利润最大，最大利润是405元． 22. 如图，的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接、、． （1）当动点运动时间 秒时，与相似． （2）在运动过程中，当时，为何值？请说明理由． 【答案】（1）或 （2）当时，秒．理由： 如图，过点E作于F， 设经过运动时间为t秒时，， 则，，，； ，即， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， （秒）． 【解析】 【分析】（1）本题考查了三角形相似的判定和性质，判断何时与相似是解决问题的关键．已知是直角三角形，要与其相似，图中已有一个公共角，所以只需的另外两个角有一个角是直角，那么与相似．由此对应两种情况：或，需分情况讨论分析．然后两个三角形相似，对应边成比例即可求出运动时间． （2）本题考查了三角形相似的判定和性质，构造辅助线，找到三角形相似是解决问题的关键．当时，过点作于，证明，然后利用相似三角形对应边成比例即可求出时间． 【小问1详解】 解：设经过运动时间为t秒时，与相似． 则，，，； 1）当，即时， ； ，即， ． ２）当，即时， ， ，即， ． 和都符合， 当动点运动秒或秒时，与相似． 故答案为：或． 【小问2详解】 略 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A（4，0），B（﹣1，0）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点G为抛物线上的一动点，过点G作GE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出EF的长度． （3）在抛物线上对称轴上是否存在点P，使△ACP是直角三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝x2+x+2；（2），（3）（-1，0）或（1，3）， 【解析】 【分析】（1）将A，B的坐标代入抛物线y＝ax2+bx+2，利用待定系数法求该抛物线的解析式即可； （2）连接OD，由题意知，矩形OFDE的对角线相等：OD＝EF，据垂线段最短，可知：当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短． （3）设点P的坐标为（m，﹣m2+3m+4），结合点A，C的坐标可得出AP2，CP2，AC2的值，分∠ACP＝90°及∠APC＝90°两种情况，利用勾股定理即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（4，0），B（﹣1，0）， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝x2+x+2； （2）连接OD，由题意知，四边形OFDE是矩形，则OD＝EF，据垂线段最短，可知： 当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短． 由（1）知，在Rt△AOC中，OC＝2，OA＝4， ∴AC＝． ∵, ∴, 故EF的长度为； （3）假设存在，设点P的坐标为（m，m2+m+2）． ∵点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2）， ∴AP2＝（m﹣4）2+（m2+m+2﹣0）2，CP2＝（m﹣0）2+（m2+m+2﹣2）2，AC2＝（0﹣4）2+（2﹣0）2＝20． 分两种情况考虑，①当∠ACP＝90°时，AP2＝CP2+AC2， 即（m﹣4）2+（m2+m+2﹣0）2=（m﹣0）2+（m2+m+2﹣2）2+20, 解得：m1＝0（舍去），m2＝-1， ∴点P的坐标为（-1，0）； ②当∠APC＝90°时，CP2+AP2＝AC2， 即，（m﹣4）2+（m2+m+2﹣0）2+（m﹣0）2+（m2+m+2﹣2）2=20 解得：m1＝0（舍去），m2＝4（舍去），m3＝m4＝1， ∴点P的坐标为（1，3）． 综上所述，假设成立， 即存在点P（-1，0）或（1，3），使得△ACP是直角三角形． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会运用勾股定理解方程，会解一元二次方程；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $