精品解析：江西省宜春市丰城市第九中学2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

丰城九中九年级数学科目期末试卷A卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 若有意义，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：，则的值可以是 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：B． 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据积的乘方计算法则求解即可． 【详解】解：， 故选A． 【点睛】本题主要考查了积的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 4. 图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是( ) A. A点 B. B点 C. C点 D. D点 【答案】B 【解析】 【分析】根据光反射定律可知，反射光线、入射光线分居法线两侧，反射角等于入射角并且关于法线对称，由此推断出结果． 【详解】连接EF，延长入射光线交EF于一点N，过点N作EF的垂线NM，如图所示： 由图可得MN是法线，为入射角 因为入射角等于反射角，且关于MN对称 由此可得反射角为 所以光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是B 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称中光线反射的问题，根据反射角等于入射角，在图中找出反射角是解题的关键． 5. “千门万户曈曈日，总把新桃换旧符”．春节是中华民族传统节日，古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．某商家在春节期间开展商品促销活动，顾客凡购物金额满100元，就可以从“福”字、春联、灯笼这三类礼品中免费领取一件．礼品领取规则：顾客每次从装有大小、形状、质地都相同的三张卡片(分别写有“福”字、春联、灯笼)的不透明袋子中，随机摸出一张卡片，然后领取一件与卡片上文字所对应的礼品．现有2名顾客都只领取了一件礼品，那么他们恰好领取同一类礼品的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别用表示写有“福”字、春联、灯笼的三张卡片，利用列表法求出概率即可． 【详解】解：分别用A，B，C表示写有“福”字、春联、灯笼的三张卡片，列表如下： A B C A A，A A，B A，C B B，A B，B B，C C C，A C，B C，C 共有9中等可能的结果，其中他们恰好领取同一类礼品有种等可能的结果， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查列表法求概率，解题的关键是正确的列出表格． 6. 如图①，在长方形ABCD中，E点在AD上，并且∠ABE＝30°，分别以BE、CE为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中∠AED＝n°，则∠BEC的度数为（　　）度． A. 90+ B. 90﹣ C. 30+ D. 90﹣n 【答案】B 【解析】 【分析】根据∠A=∠A′=90°，∠ABE＝30°，得出∠1=∠AEB=60°，根据平角定义可得∠DED′=180°-∠1-（∠AEB-∠DEA）=60°+n°，可得∠2=∠DED′=（n+30）°，根据平角定义可得∠BCE=180°-∠1-∠2=（90-）°即可． 【详解】解：如图， ∵∠A=∠A′=90°，∠ABE＝30°， ∴∠1=∠AEB=90°-∠ABE=60°， ∴∠DED′=180°-∠1-（∠AEB-∠DEA）=180°-60°-60°+n°=60°+n°， ∴∠2=∠DED′=（n+30）°， ∴∠BCE=180°-∠1-∠2=180°-60°-（）°=（90-）°． 故选B． 【点睛】此题考查了翻折变换的性质、矩形的性质以及直角三角形的性质；平角定义，注意数形结合思想的应用． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 在实数范围内因式分解：2y3﹣6y＝_____． 【答案】2y（y+）（y﹣） 【解析】 【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式＝ ， 故答案 【点睛】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 8. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于轴对称，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意可知点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此回答问题即可． 【详解】解：点与点关于轴对称， 点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数， ，， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查关于轴对称的两点，属于基础题，明白关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题关键． 9. 如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于，证明四边形四边形是正方形，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于， ∵点是正方形的对角线上的一点，于点 ∴四边形是矩形， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴四边形是正方形， ∴， 即点到直线的距离为 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，点到直线的距离，熟练掌握正方形的性质与判定是解题的关键． 10. 定义一种新运算：对于任意的非零实数m，n，．若，则x的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据新定义的运算列出方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：1． 【点睛】题目主要考查解一元一次方程，理解新定义的运算是解题关键． 11. 毛主席在《七律二首•送瘟神》中写道“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”，我们把地球赤道看成一个圆，这个圆的周长大约为“八万里”．对宇宙千百年来的探索与追问，是中华民族矢志不渝的航天梦想．从古代诗人屈原发出的《天问》，到如今我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”，太空探索无上境，伟大梦想不止步．2021年5月15日，我国成功实现火星着陆．科学家已经探明火星的半径大约是地球半径的，若把经过火星球心的截面看成是圆形的，则该圆的周长大约为 _____万里． 【答案】4 【解析】 【分析】先求出地球的半径，再根据火星的半径大约是地球半径的，即可求出答案． 【详解】解：设地球的半径为万里， 则， 解得， ∴火星的半径为万里， ∴经过火星球心的截面的圆的周长大约为万里． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的周长，熟练掌握圆的周长公式是关键． 12. 在平面直角坐标系中，为等边三角形，点A的坐标为．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到；第二次旋转将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到，…．依次类推，得到，则的边长为______________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、等边三角形的性质、旋转的性质、图形类规律探索，由题意得出，由旋转的性质得出，，…，，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形，点A的坐标为， ∴， ∵第一次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到；第二次旋转将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到， ∴，， …， ∴， ∴的边长为， 故答案为：． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 13. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】先计算零次幂，特殊角的正弦值，负指数幂，求解绝对值，再合并即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查实数的运算，实数的相关运算法则是基础也是重要知识点，必须熟练掌握，同时考查了特殊角的三角函数值，零次幂的含义，熟练掌握零次幂，特殊角的正弦值以及负指数幂的运算法则是解题的关键． 14. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，最后把的值代入计算即可． 【详解】解： 当时，原式 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 15. 如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点M，N，连接． （1）求证：； （2）若．求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，证明，推出四边形为平行四边形，得到，即可得证； （2）先证明四边形是菱形，得到，进而得到，即可得证． 【小问1详解】 证明：连接，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 16. 如图，在中，平分，交于点E，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形面积的计算，等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据等腰三角形的判定定理即可得到； （2）根据线段的和差得到，过D作交的延长线于H，根据直角三角形的性质得到，，根据三角形的面积公式即可得到的面积． 【小问1详解】 证明：在中， ， ， 平分， ， ， ； 【小问2详解】 ， ； 过D作交的延长线于H， ， ， ， ， ， 的面积． 17. 如图，已知（），请用无刻度的直尺和圆规，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）； （1）如图1，在边上寻找一点，使； （2）如图2，在边上寻找一点，使得． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）作AC的垂直平分线，交BC于点N即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】此题考查作图问题，关键是根据作一个角等于已知角和线段垂直平分线的作法解答． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 目前人们的支付方式日益增多，主要有： A．微信 B．支付宝 C．信用卡 D．现金 某超市对一天内消费者的支付方式进行了统计，得到如下两幅不完整的统计图． 请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）本次一共调查了 名消费者； （2）补全条形统计图，在扇形统计图中D种支付方式所对应的圆心角为 ； （3）该超市本周内约有2000名消费者，估计使用A和B两种支付方式的消费者的人数的总和． 【答案】（1）200 （2）图形见解析；36 （3）1480 【解析】 【分析】（1）用B的人数除以所占百分比就能求出一共调查的消费者人数； （2）消费者人数乘以A所占的百分比，求出A的人数；消费者总人数减去A，B，C的人数，就得到D的人数；周角乘以D占的比例就得到D种支付方式所对应的圆心角； （3）用总人数乘以对应的百分比求解即可． 【小问1详解】 解：本次调查的总人数为（名）， 故答案为：200； 【小问2详解】 解：A支付方式的人数为（名）， D支付方式的人数为（名）， 补全图形如下： 在扇形统计图中D种支付方式所对应的圆心角为 ， 故答案为：36； 【小问3详解】 解： （名）， 答：估计使用A和B两种支付方式的消费者的人数的总和为1480名． 【点睛】本题考查扇形统计图和条形统计图的综合应用，提高两种统计图的作图和由图中获得信息的能力是解题的关键． 19. 2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资金少、管理成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者的首选，甲经营了某种品牌小电器生意，采购2台A种品牌小电器和3台B种品牌小电器，共需要90元；采购3台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器，共需要65元销售一台A种品牌小电器获利3元，销售一台B种品牌小电器获利4元． （1）求购买1台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器各需要多少元？ （2）甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进A、B两种品牌小电器共150台，求购进A种品牌小电器数量的取值范围． （3）在（2）的条件下，所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，请说明甲合理的采购方案有哪些？并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）、型品牌小电器每台进价分别为15元、20元 （2） （3）型30台，型120台，最大利润是570元． 【解析】 【分析】（1）列方程组即可求出两种风扇的进价， （2）列一元一次不等式组求出取值范围即可， （3）再求出利润和自变量之间的函数关系式，根据函数的增减性确定当自变量为何值时，利润最大，由关系式求出最大利润． 【小问1详解】 设、型品牌小电器每台的进价分别为元、元，根据题意得： ，解得：， 答：、型品牌小电器每台进价分别为15元、20元． 【小问2详解】 设购进型品牌小电器台 由题意得：， 解得， 答：购进A种品牌小电器数量的取值范围． 【小问3详解】 设获利为元，由题意得：， ∵所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元 ∴ 解得： ∴ 随的增大而减小， 当台时获利最大，最大元， 答：型30台，型120台，最大利润570元． 【点睛】考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组解法和应用以及一次函数的图象和性质等知识，搞清这些知识之间的相互联系是解决问题的前提和必要条件． 20. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点． （1）当时，求抛物线与轴的交点坐标及顶点坐标； （2）若对于，，都有，求取值范围． 【答案】（1）抛物线与轴的交点坐标为，抛物线的顶点坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． （1）令，则代入的值即可得出此时抛物线与轴的交点坐标，将抛物线化为顶点式，代入的值即可得出此时抛物线的顶点坐标； （2）由题意得出，，从而得出，结合，，得出，即可得到，求解即可． 【小问1详解】 解：令，则． 当时，． ∴抛物线与轴的交点坐标为； ∵， ∴当时，抛物线的顶点坐标为． 【小问2详解】 解：∵，是抛物线上任意两点， ∴，． ∴． ∵，， ∴，． ∵，， ∴．即． ∴． ∴． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共 18分） 21. 如图，内接于，为的直径，于点D，将沿所在的直线翻折，得到，点D的对应点为E，延长交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由折叠的性质得，，再证明，推出，据此即可证明是的切线； （2）先求得，中，求得，再利用扇形面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵沿直线翻折得到， ∴，， ∵是的半径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴于点C， 又∵为的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定与扇形面积公式，折叠的性质，解直角三角形．充分运用圆的性质，综合三角函数相关概念，求得线段长度是解题的关键． 22. 初中阶段研究新函数的性质往往需要先确定函数的解析式，再经历列表、描点、连线画出函数图象、观察分析函数图象特征等过程．下表是函数的部分信息： 请结合已有的学习经验，探究上述函数的图象与性质，并解决问题： （1）求 ______， ______， ______，并补全函数图象； （2）在平面直角坐标系中，结合已有学习经验，用你喜欢的方法补全函数图象，观察函数图象，并请写出该函数的一条性质：______； （3）已知关于的方程无实数解，根据函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1），，，图象见解析 （2）图象关于轴对称 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查函数的图象和性质，函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质、解一元一次不等式是解题的关键． （1）将，2，，别分别代入解析式即可得a、b、c的值然后补全图象即可； （2）观察图象即可得到； （3）根据图象求得即可． 【小问1详解】 分别将，2，，别代入， 求得，，， 补全该函数图象如图， 故答案为：，，． 【小问2详解】 由图象可得，图象关于轴对称． 【小问3详解】 观察图象可知，或， 的取值范围为或． 六、（本题12分） 23. 综合与探究 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，则线段与的之间的数量关系为_____________； （2）【类比探究】如图2，在矩形中，，点E，F分别在边，上，且，请写出线段与的数量关系，并证明你的结论． （3）【拓展延伸】如图3，在中，，D为上一点，且，连接，过点B作于点F，交于点E，求的长． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）通过证明，利用相似三角形的性质，即可求解； （3）过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，延长交于点，勾股定理求得，根据（2）知，求得，证明，利用相似三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：结论：，理由如下： 设与相交于点P，如图1中， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 结论：，理由如下： ∵， ∴． 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 如图3，过点A作的垂线，过点C作的垂线，两垂线交于点G，延长交于点H． ∴ ∵， ∴四边形是矩形． ∵， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 丰城九中九年级数学科目期末试卷A卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 若有意义，则的值可以是（ ） A B. C. D. 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 3. 计算的结果为（ ） A B. C. D. 4. 图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是( ) A. A点 B. B点 C. C点 D. D点 5. “千门万户曈曈日，总把新桃换旧符”．春节是中华民族的传统节日，古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．某商家在春节期间开展商品促销活动，顾客凡购物金额满100元，就可以从“福”字、春联、灯笼这三类礼品中免费领取一件．礼品领取规则：顾客每次从装有大小、形状、质地都相同的三张卡片(分别写有“福”字、春联、灯笼)的不透明袋子中，随机摸出一张卡片，然后领取一件与卡片上文字所对应的礼品．现有2名顾客都只领取了一件礼品，那么他们恰好领取同一类礼品的概率是( ) A. B. C. D. 6. 如图①，在长方形ABCD中，E点在AD上，并且∠ABE＝30°，分别以BE、CE为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中∠AED＝n°，则∠BEC的度数为（　　）度． A. 90+ B. 90﹣ C. 30+ D. 90﹣n 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 在实数范围内因式分解：2y3﹣6y＝_____． 8. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于轴对称，则__________． 9. 如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为__________． 10. 定义一种新运算：对于任意的非零实数m，n，．若，则x的值为______． 11. 毛主席在《七律二首•送瘟神》中写道“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”，我们把地球赤道看成一个圆，这个圆的周长大约为“八万里”．对宇宙千百年来的探索与追问，是中华民族矢志不渝的航天梦想．从古代诗人屈原发出的《天问》，到如今我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”，太空探索无上境，伟大梦想不止步．2021年5月15日，我国成功实现火星着陆．科学家已经探明火星的半径大约是地球半径的，若把经过火星球心的截面看成是圆形的，则该圆的周长大约为 _____万里． 12. 在平面直角坐标系中，为等边三角形，点A的坐标为．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到；第二次旋转将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到，…．依次类推，得到，则的边长为______________ 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 13. 计算：． 14. 先化简，再求值：，其中． 15. 如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点M，N，连接． （1）求证：； （2）若．求证：四边形是菱形． 16. 如图，在中，平分，交于点E，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，求的面积． 17. 如图，已知（），请用无刻度的直尺和圆规，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）； （1）如图1，边上寻找一点，使； （2）如图2，在边上寻找一点，使得． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 目前人们的支付方式日益增多，主要有： A．微信 B．支付宝 C．信用卡 D．现金 某超市对一天内消费者的支付方式进行了统计，得到如下两幅不完整的统计图． 请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）本次一共调查了 名消费者； （2）补全条形统计图，在扇形统计图中D种支付方式所对应的圆心角为 ； （3）该超市本周内约有2000名消费者，估计使用A和B两种支付方式的消费者的人数的总和． 19. 2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资金少、管理成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者的首选，甲经营了某种品牌小电器生意，采购2台A种品牌小电器和3台B种品牌小电器，共需要90元；采购3台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器，共需要65元销售一台A种品牌小电器获利3元，销售一台B种品牌小电器获利4元． （1）求购买1台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器各需要多少元？ （2）甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进A、B两种品牌小电器共150台，求购进A种品牌小电器数量的取值范围． （3）在（2）条件下，所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，请说明甲合理的采购方案有哪些？并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少？ 20. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点． （1）当时，求抛物线与轴的交点坐标及顶点坐标； （2）若对于，，都有，求的取值范围． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共 18分） 21. 如图，内接于，为的直径，于点D，将沿所在的直线翻折，得到，点D的对应点为E，延长交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 22. 初中阶段研究新函数性质往往需要先确定函数的解析式，再经历列表、描点、连线画出函数图象、观察分析函数图象特征等过程．下表是函数的部分信息： 请结合已有的学习经验，探究上述函数的图象与性质，并解决问题： （1）求 ______， ______， ______，并补全函数图象； （2）在平面直角坐标系中，结合已有学习经验，用你喜欢的方法补全函数图象，观察函数图象，并请写出该函数的一条性质：______； （3）已知关于的方程无实数解，根据函数图象，直接写出的取值范围． 六、（本题12分） 23. 综合与探究 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，则线段与的之间的数量关系为_____________； （2）【类比探究】如图2，在矩形中，，点E，F分别在边，上，且，请写出线段与的数量关系，并证明你的结论． （3）【拓展延伸】如图3，在中，，D为上一点，且，连接，过点B作于点F，交于点E，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$