广东省部分学校2025届高三下学期2月开学考试数学试题

高三数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的焦点为F，是抛物线C上一点，且，则焦点F到坐标原点O的距离是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 3. 产品质量指数是衡量产品质量水平的综合指标.某厂质检员从一批产品中随机抽取10件，测量它们的产品质量指数，得到的数据分别为，则这组数据的第70百分位数是（ ） A. 83 B. 84 C. 87 D. 88 4. 已知直线与圆，则“”是“圆上恰有3个点到直线的距离为1”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的单调递减区间为 D. 的图象与x轴的两个交点A，B之间的最小距离是 6. 在正四棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为，则该正四棱台的表面积是（ ） A. 36 B. 40 C. 52 D. 56 7. 设的内角的对边分别为，且，为的平分线且与BC交于点D，，则面积的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，是双曲线的左焦点，且，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数z满足，则（ ） A. B. z的实部是 C. D. 复数z在复平面内对应的点位于第四象限 10. 若m，n分别是函数，的零点，且，则称与互为“零点相邻函数”.已知与互为“零点相邻函数”，则a的取值可能是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，圆锥SO底面圆的圆心为O，AB是圆O的一条直径，SA与底面所成角的正弦值为，，P是母线SA的中点，C是母线SB上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 圆锥SO的母线长为12 B. 圆锥SO的表面积为 C. 一只蚂蚁沿圆锥SO的侧面上的曲线从点A爬到点P处，在蚂蚁所爬的最短路径中，这只蚂蚁离圆锥SO的顶点S的最短距离是 D. 在圆锥SO内放置一个可以绕着中心任意旋转的正方体，则该正方体的体积的最大值是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则___________. 13. 现有6根小棒，其长度分别为1，2，3，4，5，6，从这6根小棒中随机抽出3根首尾相接（不能折断小棒），则能构成三角形的概率是___________. 14. 已知函数的最小值是，则___________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在数列中，，. （1）证明：数列是等差数列. （2）求的通项公式. （3）若，求数列的前 项和. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性. 17. 如图，在四棱锥 中，是等边三角形，四边形 是直角梯形，，，，. （1）证明：平面平面 . （2）线段上是否存在点E，使得直线 与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 18. 某商场推出了购物抽奖活动，活动规则如下：如图，在点A，B，C，D，E处各安装了一盏灯，每次只有一处的灯亮起.初始状态是点A处的灯亮起，程序运行次数的上限为（，），然后按下开始按扭，程序开始运行，第1次是与A相邻点处的其中一盏灯随机亮起，第n次是与第次灯亮处相邻点的其中一盏灯随机亮起.若在运行过程中，点A处的灯再次亮起，则游戏结束，否则运行n次后游戏自动结束.在程序运行过程中，若点A处的灯再次亮起，则顾客获奖.已知顾客小明参与了该购物抽奖活动. （1）求程序运行2次小明获奖的概率； （2）若，求小明获奖的概率； （3）若，记游戏结束时程序运行的次数为X，求X的分布列与期望. 19. 已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别是是椭圆上一点，且. （1）求椭圆的标准方程. （2）过点的直线与椭圆交于两点（异于顶点），直线分别交椭圆于两点（异于）. ①当直线的斜率不存在时，求的面积； ②证明：直线 过定点. 高三数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】ABC 【11题答案】 【答案】BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）证明：因为，所以， 所以. 因为，所以，所以数列是首项和公差均为1的等差数列. （2） （3） 【16题答案】 【答案】（1） （2）当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 【17题答案】 【答案】（1）证明：取棱 的中点O，连接， 设，则，， 因为是等边三角形，且O是 的中点，所以. 因为，所以，所以，则. 因为平面 ，平面 ，且， 所以平面 . 因为平面，所以平面平面 . （2）存在，或 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） X 2 4 5 6 P 【19题答案】 【答案】（1） （2）①； ②证明：如图， AI 设直线的方程为，，，，， 则直线的方程为. 联立，整理得. 因为，所以， 则，所以，所以. 同理可得，.. 设直线 的斜率为， 则 ， 则直线 的方程为. 由椭圆的对称性可知，若直线 过定点，则定点必在 轴上， 令，得. 故直线 过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $