第八章 实数 重难专项

1 第八章 实数 考点 1 平方根的计算 1．（23-24七年级下·陕西商洛·期末）下列说法正确的是（ ） A．4是 16的算术平方根 B． 4 的平方根是 2 C．9的平方根是 3 D．平方根等于它本身的数是 0 和 1 2．（22-23八年级下·湖北十堰·期中）已知 1x  的算术平方根是2，2 2x y  的立方根是 2， 求 2 2x y 的平方根 ． 3．（22-23七年级下·福建莆田·期中）已知2 1a 的算术平方根是 3，3 1a b  的平方根是 4 ， c是 13的整数部分，求3 2a b c  的平方根． 模块 章节重难点考察 考点 1.平方根的计算 考点 2.利用平方根求原数 【高效学】有学习视频哦 考点 3.无理数的辨别与实数的分类 考点 4.实数的整数部分和小数部分问题 考点 5.实数比大小 考点 6.实数的混合运算 考点 7.算术平方根的实际应用 考点 8.规律探究 章节重难点考察 模块导航 2 考点 2 利用平方根求原数 1．（22-23八年级上·河南周口·期中）一个正数 b的平方根为 1a 和 2 7a  ，则9a b 的立 方根是（ ） A．2 B．3 C．9 D． 3 2．（23-24七年级下·陕西安康·期末）已知一个正数的两个不同的平方根是 1a 和 2a ，则 这个正数是 ． 3．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知一个正数 x的两个平方根分别是 1a 和 2 7a  ． (1)求 x的值； (2)若 b为 7x  的算术平方根，c为 25a  的立方根，求代数式c b 的值． 考点 3 无理数的辨别与实数的分类 1．（23-24七年级下·湖北咸宁·期末）下列实数中是无理数的是（ ） A． 5 11 B． 64 C． 3 64 D． π 3.14 2．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）五张卡片的正面分别写有 1 3 ， ， 2，0， 0.1212212221 这五个数，将卡片的正面朝下（反面完全相同）放在桌子上，从中任意抽取一张，卡片上的数 3 字为有理数的概率是 ． 3．（20-21七年级下·江西赣州·期中）对于实数a，我们规定：用符号【 a】表示不大于 a 的最大整数，称【 a】为 a的根整数，例如：【 9】 3 ，【 10 】 3 ． （1）计算【 4】=______，【 37 】=______； （2）若【 x】=1，则满足题意的 x的所有整数值为______； （3）如图所示，数轴上表示 1和 2的对应点分别为A、B，点A是 BC的中点，O为原点， 设C点表示的数为 x，试求【 1 1 2 2x    】的值． 考点 4 实数的整数部分和小数部分问题 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，网格中小正方形的边长均为 1，把阴影部分剪拼 成一个正方形，正方形的边长为 a．若 4 a 的整数部分和小数部分分别是 ,x y，则  x x y  （ ） A． 2 6  B． 2 C． 2 6 D． 6 2．（20-21八年级下·河北邢台·期末）设 12 的整数部分为 a，小数部分为 b，则 22 2 b a b  的 值等于 ． 4 3．（23-24七年级下·广东惠州·期中）估算能力是一种重要的数学运算能力，特别是对算术平 方根的估算． 信息一：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：  、 2等而常用的“…”或者“ ”的表示方法都不够百分百准确． 信息二：2.5的整数部分是 2，小数部分是 0.5，可以看成 2.5 2 得来的； 信息三：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如 2 5 3  ，是因为 4 5 9  ，根据上述信息，回答下列问题： (1) 13的整数部分__________，小数部分是__________． (2)10 3 也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为： 10 3a b   ，求 a b 的值； (3)已知3 3 x y   ，其中 x是整数，0 1y  ，求 2x y 的值． 考点 5 实数比大小 1．（20-21七年级下·北京丰台·期末）如图，用边长为 3的两个小正方形拼成一个大正方形， 则大正方形的边长最接近的整数是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）比较大小： 7 2 1． 3．（23-24七年级下·贵州黔南·期中）数学课上，老师提出一个问题，比较无理数的时，由于 老师无法解决，你能帮老师解决这个问题 21 3 4  与 3 4 的大小． 5 小明的方法：因为 21 4 ，所以 21 3 3，所以 21 3 4  3 4 （填“ ”或“ ”） 小英的方法： 4 2 11 3 3 6 4 4 2    ，因为 221 6 36  ，所以 21 6 0，所以 21 3 4  3 4 （填 “ ”或“ ”） (1)将上述材料补充完成； (2)请从小明和小英的方法中选择一种比较 17 1 2  与 1 2 的大小． 考点 6 实数的混合运算 1．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）下列各数中，与2 3 的和为有理数的是（ ） A．2 3 B．5 3 C． 2 D．5 3 2．（24-25九年级上·河南南阳·期中）对于任意两个和为正数的实数 m、n，定义运算※如下： ,m nm n m n    ※ 例如 3 13 1 1 3 1     ※ ．那么 4 16 =※ 3．（23-24七年级下·四川泸州·期中）计算： 2 3 3 1 11 ( 2) 27 | | 2 4 8 3          ． 考点 7 算术平方根的实际应用 1．（20-21七年级上·浙江宁波·期末）将尺寸如图的 4块完全相同的长方形薄木块（厚度忽略 不计）进行拼摆，恰好可以不重叠地摆放在如图的甲、乙两个方框内．已知小木块的宽为 2， 图甲中阴影部分面积为 19，则图乙中 AD的长为（ ） 6 A． 2 19 2 B． 19 4 C． 2 19 4 D． 19 2 2．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图，面积为 2的正方形 ABCD的顶点A在数轴上， 且表示的数为 1 ，若 AE AB ，则数轴上的点E所表示的数为 ． 3．（21-22七年级下·山东临沂·期中）如图，用两个边长为 18cm的小正方形纸片剪拼成一 个大的正方形， (1)求大正方形的边长； (2)若将此大正方形纸片的局部剪掉，能否剩下一个长宽之比为 3：2且面积为 230cm 的长方形 纸片，若能，求出剩下的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 考点 8 规律探究 1．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）如图是一个按某种规律排列的数阵： 7 1 1 2 2 3 3 2 3 5 6 7 2 2 10 11 2 3 13 14 15 17 3 2 19 24 5 4    第 行 第 行 第 行 第 行 根据数阵排列的规律，第 n（ n是整数，且 4n  ）行从左向右数第  3n 个数是（用含 n的 代数式表示）（ ） A． 2 1n  B． 2 2n  C． 2 3n  D． 2 4n  2．（20-21八年级上·湖南张家界·期末）观察下列等式： ①3－ 2 2 =（ 2－1）2， ②5－ 2 6 =（ 3－ 2）2， ③7－ 2 12 =（ 4－ 3）2， … 请你根据以上规律，写出第 5个等式 ． 3．（23-24七年级下·湖北荆州·期中）先观察下列等式，再回答问题：第一个等式 2 2 1 1 1 1 11 1 1 1 2 1 2 2       ；第二个等式 2 2 1 1 1 1 11 1 1 2 3 2 3 6       ；第三个等式 2 2 1 1 1 1 11 1 1 3 4 3 4 12       ． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第 n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数 a， a 表示不超过 a的最大整数，如 3 3 ， 5 2    ，计算： 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 2 2 3 3 4 2023 2024                   的值． 1 第八章 实数 考点 1 平方根的计算 1．C 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、平方根概念理解 【分析】本题考查了平方根与算术平方根的定义，解题的关键是掌握负数没有平方根．根据平 方根与算术平方根的定义对各选项分析判断即可． 【详解】解：A、2 是 16 的算术平方根，故本选项错误，不符合题意； B、负数没有平方根，故本选项错误，不符合题意； C、9 的平方根是 3 ，故本选项正确，符合题意； D、平方根等于它本身的数只有 0，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 2． 5 模块 章节重难点考察 考点 1.平方根的计算 考点 2.利用平方根求原数 【高效学】有学习视频哦 考点 3.无理数的辨别与实数的分类 考点 4.实数的整数部分和小数部分问题 考点 5.实数比大小 考点 6.实数的混合运算 考点 7.算术平方根的实际应用 考点 8.规律探究 章节重难点考察 模块导航 2 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、立方根概念理解 【分析】根据算术平方根的平方等于被开方数，立方根的立方等于被开方数即可求出 x，y， 就可求出答案． 【详解】解： 1x  的算术平方根是2， 1 4x   ， 解得： 3x  ， 2 2x y  的立方根是 2， 2 2 8x y    ， 解得： 4y  ， 2 22 2=3 4 =25x y   ， 2 2x y  的平方根是 5 ． 【点睛】本题考查了平方根，立方根和算术平方根，熟练掌握平方根，立方根和算术平方根的 定义是解题关键． 3． 4 【难度】0.85 【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分、求代数式的平方根、求一个数的算术平方根 【分析】先依据算术平方根和平方根的定义列出关于 a、b的方程组求得a、b的值，然后估 算出 13 的大小，可求得c的值，接下来，求得 2a b c  的值，最后求它的平方根即可． 【详解】解：由题意得： 2 1 9 3 1 16 a a b       ， 5a  ， 2b  ． 9 13 16  ， 3 13 4   ． 3c  ． 3 2 16a b c    ． 3 2a b c   的平方根是 4 ． 【点睛】本题主要考查的是算术平方根、平方根的定义、估算算术平方根的整数部分，熟练掌 握相关定义和方法是解题的关键． 考点 2 利用平方根求原数 1．B 【难度】0.65 【知识点】求一个数的立方根、平方根概念理解、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】先根据一个正数的两个平方根互为相反数求得 a，进而求得 b，然后代入代数式9a b ， 最后求立方根即可． 【详解】解：∵一个正数 b的平方根为 1a 和2 7a  ∴ 1 2 7 0a a    ，解得 2a  ∴  21 9b a   ∴9 27a b  ∴9a b 的立方根是 3． 故选 B． 【点睛】本题主要考查了平方根和立方根，根据一个正数的两个平方根互为相反数求得 a成为 解答本题的关键． 2．4 【难度】0.85 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、平方根的应用 【分析】本题考查了平方根，根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，求出 a 的值，从 而得出这个正数的两个平方根，即可得出这个正数，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相 反数是解题的关键． 【详解】解：∵一个正数的两个不同的平方根是 1a 和 2a ∴ 1 2 0a a   ， 4 1a  ， 即这个正数的两个平方根是 2 ， ∴这个正数是 4 ， 故答案为：4． 3．(1)9 (2) 1 【难度】0.85 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，结合．已知条件求得 a x， 的值是解题的关 键． （1）根据平方根的形式求得 a的值后代入 1a 中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案； （2）根据算术平方根及立方根的定义求得 ,b c的值，然后将其代入c b 中计算即可． 【详解】（1）解∶一个正数 x的两个平方根分别是 1a 和2 7a  ， 1 2 7 0, a a     解得∶ 2a  ， 则 1 2 1 3a     ， 那么 23 9x   ； （2） b 为 7x  的算术平方根，c为 25a  的立方根， 7 9 7 16, 25 2 25 27x a        ， ∴ 4, 3b c  ， 则 3 4 1c b     ． 考点 3 无理数的辨别与实数的分类 1．D 【难度】0.85 【知识点】无理数、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了无理数：无限不循环小数称为无理数，同时也考查了算术平方根与立方根， 5 根据无理数的概念判断即可；掌握无理数的概念是解题的关键． 【详解】解：由于 364 8 64 4 ， ， 故 3 5 64 64 11 ， ， 都是有理数，而 π是无理数，则 π 3.14 也是无理数； 故选：D． 2． 3 5 /0.6 【难度】0.85 【知识点】根据概率公式计算概率、实数的分类 【分析】本题考查了有理数和无理数的概念及简单事件的概率，理解有理数的定义是解题的关 键．根据无理数和有理数的定义及概率计算公式求解即可得解． 【详解】解：∵五张卡片的正面分别写有 1 3 ， ， 2 ，0， 0.1212212221 这五个数，其中 1 3 ，0， 0.1212212221 是有理数， ∴从中任意抽取一张，卡片上的数字为有理数的概率是 3 5 ， 故答案为： 3 5 ． 3．（1）2，6；（2）1，2，3；（3）-2 【难度】0.65 【知识点】无理数的大小估算、二次根式的加减运算 【分析】（1）先估算【 4 】和【 37 】的大小，再由新定义可得结果； （2）根据定义可知 x＜4，可得满足题意的 x的正整数值； （3）根据数轴上两点的距离得到点 C表示的数，代入求出 1 1 2 2x    的值，再根据题中 新定义得到结果． 【详解】解：（1）∵22=4，62=36，72=49， ∴6＜ 37 ＜7， 6 ∴【 4 】=2，【 37 】=6， 故答案为：2，6； （2）∵12=1，22=4，且【 x】=1，x为整数， ∴x可以取 1，2，3， 故答案为：1，2，3； （3）∵点 A表示 1，点 B表示 2 ，点A 是 BC的中点， ∴点 C表示的数为 x= 2 2 ， ∴ 1 1 2 2x    = 2 2 1 1 2 2    = 2 1 1 2 2   = 2 ∵1 2 2  ， ∴ 2 2 1- < - < - ， ∴【 2 】=-2，即【 1 1 2 2x    】=-2． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也 考查了二次根式的加减运算． 考点 4 实数的整数部分和小数部分问题 1．A 【难度】0.65 【知识点】算术平方根的实际应用、无理数整数部分的有关计算 【分析】考查了算术平方根和估算无理数的大小，根据三角形面积公式，求阴影部分的面积 3 个三角形面积的和，再求其算术平方根；把 a的值代入 4 a 中，表示出 x和 y，再代入求值即 可． 7 【详解】解：由题意得： 1 12 2 2 2 2 6 2 2 S        阴影 ， ∴ 2 6a  ， ∵ 0a  ， ∴ 6a  ， ∵ 2 6 3  ， ∴ 4 4 6 1 3 6a      ， ∴ 1x  ， 3 6y   ， ∴    1 1 3 6 2 6x x y        ． 故选：A． 2．6-3 3 【难度】0.65 【知识点】无理数整数部分的有关计算、二次根式的混合运算 【分析】由于 3＜ 12 ＜4，由此即可确定 a值，然后就可以确定 b，代入所求代数式即可求 出结果． 【详解】∵3＜ 12 ＜4， ∴ 3a  ， 12 3b   ， ∴ 22 2 b a b  =     2 2 12 3 42 24 3 4 123 12 3 2       = 6-3 3 【点睛】本题考查了确定无理数的整数部分和小数部分，然后把确定的值代入分式计算即可解 决问题 3．(1)3， 13 3 (2)23 (3)9 3 【难度】0.85 8 【知识点】无理数整数部分的有关计算、无理数的大小估算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了无理数的整数部分以及无理数的大小比较，已知字母的值求代数式的值， 正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据3 13 4  ，即可得出 13 的整数部分和小数部分； （2）因为1 3 2  ，所以11 10 3 12   ，结合“10 3 也是夹在相邻两个整数之间的， 可以表示为： 10 3a b   ”，即可作答． （3）结合（1），得出 4 3 3 5   ，则 4 3 1x y  ， ，再代入 2x y 进行运算，即可 作答． 【详解】（1）解：∵ 9 13 16  ， ∴3 13 4  ， ∴ 13 的整数部分为 3，小数部分是 13 3 ； （2）解：∵ 1 3 4  ， ∴1 3 2  ， ∴11 10 3 12   ， ∵10 3 也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为： 10 3a b   ， ∴ 11 12a b ， ； ∴ 23a b  ； （3）解：∵ 1 3 4  ， ∴1 3 2  ， ∴ 4 3 3 5   ， ∵3 3 x y   ，其中 x是整数，0 1y  ， ∴ 4 3 3 4 3 1x y     ， ， 则  2 2 4 3 1 9 3x y       ． 9 考点 5 实数比大小 1．B 【难度】0.65 【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算 【分析】先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比 较法则即可得． 【详解】解：大正方形的边长为 2 3 3 18   ， 16 18 25  ， 16 18 25   ，即4 18 5  ， 又 5 18 ( 18 4) 5 18 18 4       ， 9 2 18  ，  2 4.5 18   ，  2 20.25 18 0    ， 5 18 18 4    ， 与 18 最接近的整数是 4， 即大正方形的边长最接近的整数是 4， 故选：B． 【点睛】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，熟练掌握实数的大小比较法则是解 题关键． 2． 【难度】0.85 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查的是实数的大小比较．作差法进行比较即可． 【详解】解：∵ 7 2 1 7 3 7 9 0       ， ∴ 7 2 1  ， 10 故答案为：． 3．(1) , , ,    (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查实数比大小，熟练掌握无理数之间比大小是解题的关键，根据题意把无理数 变成有理数再比大小，即可得到答案． 【详解】（1）解：小明的方法：∵ 21 4 ， ∴ 21 3 3  ， ∴ 21 33 2 4   ， 小英的方法： 4 2 11 3 3 6 4 4 2    ， ∵ 221 6 36  ， ∴ 21 6 0  ， ∴ 21 3 3 4 4   ， 故答案为： , , ,   ． （2）解：选小明的方法： ∵ 17 4 ， ∴ 17 1 1  ， ∴ 17 1 1 2 2   ， 选小英的方法： 17 1 1 17 1 1 17 2 2 2 2 2        ， ∵17 4 ， 11 ∴ 17 2 ， ∴ 17 2 0  ， ∴ 17 2 0 2   ， ∴ 17 1 1 2 2   ． 考点 6 实数的混合运算 1．B 【难度】0.85 【知识点】实数的混合运算、有理数的定义 【分析】本题考查了实数的运算，根据实数的运算法则分别进行计算，再判断是否为有理数即 可． 【详解】解：A、2 3 2 3 2 3    ，和为无理数，故不符合题意； B、2 3 5 3 7    ，和为有理数，故符合题意； C、2 3 2 2 3 2     ，和为无理数，故不符合题意； D、2 3 5 3 7 2 3     ，和为无理数，故不符合题意； 故选：B． 2． 6 5 5  【难度】0.85 【知识点】新定义下的实数运算、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，新定义运算，理解新定义，掌握二次根式的运算 是关键．按照新定义计算并化简即可． 【详解】解： 4 16 12 6 54 16 54 16 20 - = = - = - + ※ ， 12 故答案为： 6 5 5  ． 3．0 【难度】0.65 【知识点】实数的混合运算、求一个数的绝对值、有理数的乘方运算、求一个数的立方根 【分析】此题考查了实数的运算，原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用乘方的意义及 乘法法则计算，第三项利用立方根定义及绝对值的代数意义化简，最后一项利用除法法则变形 计算即可得到结果，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】 2 3 31 11 ( 2) 27 | | 2 4 8 3            1 11 8 3 2 2 8 3          1 1 1 1     0 ． 考点 7 算术平方根的实际应用 1．C 【难度】0.65 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】设木块的长为 x，结合图形知阴影部分的边长为 x-2，根据其面积为 19 得出（x-2）2=19， 利用平方根的定义求出符合题意的 x 的值，由 AD=2x 可得答案． 【详解】解：设木块的长为 x， 根据题意，知：（x-2）2=19， 则 2 19x    ， ∴ 2 19x   或 2 19 2x    （舍去） 则 2 2 19 4BC x   ， 故选：C． 13 【点睛】本题主要考查算术平方根，解题的关键是结合图形得出木块长、宽与阴影部分面积间 的关系． 2． 1 2  / 2 1 【难度】0.65 【知识点】算术平方根的实际应用、实数与数轴、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了算术平方根的应用、实数与数轴、数轴上两点之间的距离，由题意得出 2AE AB  ，再利用数轴上两点之间的距离公式计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点 并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：面积为 2 的正方形 ABCD的顶点A 在数轴上， 2AB  ， 2AE AB   ， 点A 在数轴上，且表示的数为 1 ， 数轴上的点E所表示的数为 1 2  ， 故答案为： 1 2  ． 3．(1)6cm； (2)不能，理由见解析． 【难度】0.85 【知识点】算术平方根的实际应用、利用平方根解方程、用勾股定理解三角形 【分析】（1）大正方形的边长就是小正方形的对角线，求小正方形对角线即可； （2）根据长方形长宽之比为 3:2 和面积求出长和宽，与正方形边长进行比较即可． 【详解】（1）由题意可知，大正方形的边长就是小正方形的对角线， 因为小正方形的边长为 18 cm， 所以小正方形的对角线长为 18 18 6  (cm)， 故大正方形的边长为 6cm； （2）因为剩下的长方形长宽之比为 3:2，设它的长为 3x，则宽为 2x， 因为面积为 30cm2， 所以3 2 30x x  ， 14 解得 1 5x  或 2 5x   （舍去）， 所以剩下的长方形长为 3 3 5x  ，宽为 2 2 5x  ， 因为 3 5 6 ， 所以不能使剩下的长方形纸片的长宽之比为 3:2，且面积为 30cm2． 【点睛】本题考查了算术平方根的应用，能根据题意正确列出算式是解题关键． 考点 8 规律探究 1．C 【难度】0.85 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、求一个数的算术平方根 【分析】观察数阵排列，得出第 n行第 1n  个数（从左往右算）为 2 1n + ；结合第 n行第 1n  个数与第 n（ n是整数，且 4n  ）行从左向右数第  3n 个数相差 4 个位置，据此进行列式 计算即可．本题考查了算术平方根．根据数据排列规律，计算前  1n  行数据的个数是解决本 题的关键． 【详解】解：由图中规律知， 第一行第二个数（从左往右算）为 22 1 1  ； 第二行第三个数（从左往右算）为 25 2 1  ； 第三行第四个数（从左往右算）为 210 3 1  ； 第四行第五个数（从左往右算）为 217 4 1  ； 以此类推， …… 第 n行第 1n  个数（从左往右算）为 2 1n + ； 则  1 3 4n n    ∴第 (n n是整数，且 4)n  行从左向右数第 ( 3)n  个数是 2 24 31n n   ． 15 故选：C． 2．  211 2 30 6 5   【难度】0.4 【知识点】与实数运算相关的规律题、数字类规律探索 【分析】观察相同位置的数的变化方式，先得出左边第一项和右边的两个被开方数，再得出左 边第二项的被开方数，即可求出答案． 【详解】因为等式左边第一项依次增加 2， 所以第 5 个等式的第一项是 11， 因为等式右边的两个被开方数中，后一个数就是该等式的序号数，前一个数比后一个数大 1， 所以第 5 个等式的右边的两个被开方数分别是 6 和 5， 因为等式左边第二项中的被开方数是等式右边两个根式的被开方数的积， 所以这个数是 30， 观察其余部分都相同，直接带下来即可， 所以第 5 个等式是  211 2 30 6 5   ． 故答案为：  211 2 30 6 5   ． 【点睛】此题属于规律探究题，主要考查了数字的变化规律以及每个等式之中的数字之间的关 系，要求学生注意观察和推导，考查了学生分析与判断的能力． 3．(1) 2 2 1 1 1 1 11 1 1 5 6 5 6 30       (2) 2 2 1 1 1 1 11 1 1 ( 1) 1 ( 1)n n n n n n           (3)2023 【难度】0.65 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息可判结果； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解； 16 【详解】（1）∵第一个等式 2 2 1 1 1 1 11 1 1 1 2 1 2 2       ； 第二个等式 2 2 1 1 1 1 11 1 1 2 3 2 3 6       ； 第三个等式 2 2 1 1 1 1 11 1 1 3 4 3 4 12       ； 故根据规律可猜测第五个等式为 2 2 1 1 1 1 11 1 1 5 6 5 6 30       ； （2）根据（1）总结规律可得：第 n个等式为 2 2 1 1 1 1 11 1 1 ( 1) 1 ( 1)n n n n n n           ； （3）根据规律可化简 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 2 2 3 3 4 2023 2024                   1 1 1 11 1 1 1 2 6 12 2023 2024                                     1 1 1 11 2023 1 2 2 3 3 4 2023 2024               1 1 1 1 1 1 12023 1 2 2 3 3 4 2023 2024               12023 1 2024       20232023 2024      2023 ．