热点4-1 平面向量及其应用（8题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考通用）

热点4-1 平面向量及其应用 三年考情分析 2025考向预测 近三年高考题目以选择与填空的形式出现，中低难度为主，既考查平面向量的基本运算，也注重与其他知识的综合应用． 预计2025年高考仍将重点考查平面向量数量积的定义、性质及应用，包括夹角、模、垂直等问题。平面向量作为工具，与三角函数、解析几何等知识结合的题目仍然是热点． 题型1 平面向量线性运算及表示 1、平面四边形法则：平行四边形的对角线分别是两向量的和与差； 2、三角形法则：两箭头间向量是差，箭头与箭尾向量是和； 3、平面向量多边形法则：一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即。特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 1．（24-25高三上·山东菏泽·期末）已知O为内部一点，，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意， 故选：D 2．（24-25高三上·北京·月考）在中，为边上的中线，为的中点.则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为边上的中线，所以， 又因为为的中点，所以 ，故选：A. 3．（24-25高三上·湖南长沙·期末）在中，.若于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图及题，B，C，D三点共线，则. 又于，则 . ， 则.故选：B 4．（24-25高三上·重庆·一模）在平行四边形 中， 与 相交于 ，若 ， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 因为三点共线，所以可设， 所以， 因为三点共线，所以可设， 因为 ，，所以， 所以， 所以， 即，解得，， 所以，故选：A. 题型2 平面向量共线定理及应用 1、证明向量共线：若存在实数λ，使，则与非零向量共线． 2、证明三点共线：若存在实数λ，使，与有公共点A，则A，B，C三点共线． 3、求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． 1．（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知，是两个不共线的向量，若向量，共线，则（    ） A．6 B．4 C． D． 【答案】D 【解析】由向量，共线，得，而向量，不共线， 因此，解得.故选：D 2．（24-25高三上·河南·期末）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为 . 【答案】4 【解析】因为三点共线，所以存在实数k，使，即， 又向量不共线，所以，由，所以， 当且仅当时，取等号，即的最小值为4. 故答案为：4 3．（24-25高三上·吉林·期末）已知，，，若，，三点共线，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】根据题意，，则， 若三点共线，则， 则有，变形可得.故选：A 4．（24-25高三上·江西宜春·月考）如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 【答案】(1)，；(2)证明见解析 【解析】（1）， ； （2）， 又，故， 故三点共线. 题型3 平面向量基本定理及应用 平面向量基本定理的实质及解题思路 1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量的间的关系． 2、用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决。注意同一向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解是唯一的． 1．（24-25高三上·江西宜春·月考）已知在中，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】, 由于，故， 故解得，故选：A 2．（24-25高三上·甘肃临夏·期末）如图，在长方形ABCD中，点M，N分别是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图可知，， 所以，解得，则.故选：A. 3．（24-25高三上·山东威海·月考）已知三角形中，是上中线的三等分点满足，记则 . 【答案】1 【解析】如图， ， 所以，则. 4．（24-25高三上·四川绵阳·月考）如图所示，四边形内接于圆，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【解析】 在延长线上取点，使，取AB中点， 又因为，所以， 由，可得，所以直线MN过圆心， 在中，，，所以，， 所以梯形高为，， 所以梯形面积为． 题型4 平面向量的数量积运算 求向量数量积的3种常规方法 1、定义法求平面向量的数量积：，其中是两个向量，的夹角；适用于已知或可求两个向量的模和夹角． 2、基底法求平面向量的数量积：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别用这组基底表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解；适用于直接利用定义求数量积不可行时，可将已知模和夹角的两个不共线的向量作为基底，采用“基底法”求解． 3、坐标法求平面向量的数量积：，，则 适用于：①已知或可求两个向量的坐标；②已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积，例如已知图形为矩形、正方形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形时． 1．（24-25高三上·广东惠州·模拟预测）已知向量和的夹角为，且，，则（    ） A．3 B．8 C．12 D．13 【答案】D 【解析】因为向量和的夹角为，且， 则.故选：D. 2．（24-25高三上·辽宁丹东·期末）在边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【解析】边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，故， .故选：D 3．（24-25高三上·湖北·期末）如图所示，已知中，点P，Q，R依次是边BC上的三个四等分点，若，，则 . 【答案】8 【解析】， ， 4．（24-25高三上·辽宁沈阳·一模）已知中，，点P，Q是线段AB上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在中，，则，即， 以点为原点，射线分别为轴建立平面直角坐标系， 则，， 由点P，Q是线段AB上的动点，设， 于是， 因此，当且仅当时取等号， 而，则当，即时，， 又，当且仅当或时取等号， 所以的取值范围是.故选：D 题型5 平面向量的投影向量 解决向量投影问题应注意以下3点 1、向量在方向上的投影向量为（其中为与同向的单位向量），它是一个向量且与共线，其方向由与的夹角的余弦决定． 2、向量在方向上的投影向量为． 3、注意：在方向上的投影向量与在方向上的投影向量不同，即在方向上的投影向量可以表示为． 1．（24-25高三上·江西九江·一模）已知向量满足，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得， 在上的投影向量为.故选：B． 2．（24-25高三下·山东·开学考试）已知，，若，则在上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【解析】在上的投影向量为 ， 故答案为： 3．（24-25高三上·上海·月考）已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，如图， 又，所以为等边三角形， 则，故， 所以向量在向量上的投影向量为： ．故选：A． 4．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）已知在平面直角坐标系xOy中，点，点C在y轴上运动，当最大时，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则， 所以， 令，则， 而，故最大，则，，故， 此时，向量在上的投影向量为.故选：C 题型6 平面向量的模长问题 求向量的模或其范围的方法 1、定义法：，． 2、坐标法：设，则． 3、几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用解三角形的相关知识求解． 【注意】（1）形如的向量的模，可通过平方转化为数量的运算； （2）用定义法或坐标法求模的范围时，一般把它表示成某个变量的函数，再利用函数的有关知识求解；用几何法求模的范围时，注意数形结合思想，常用三角不等式进行最值求解． 1．（24-25高三上·河南驻马店·期末）已知向量，满足，，则 ． 【答案】2 【解析】由，得，整理得， 又，所以. 故答案为：2 2．（24-25高三上·广东·一模）已知平面向量的夹角为，且，，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【解析】由， 所以，即， 即，整理得，解得或（舍去）， 所以.故选：B. 3．（24-25高三上·浙江嘉兴·期末）若不共线的平面向量，，两两夹角相等，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】向量，，两两所成的角相等且不共线， 向量，，两两夹角为， ， 则，故选： 4．（24-25高三上·湖北襄阳·期末）已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为在方向上的投影向量为，且，则（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】C 【解析】在方向上的投影向量为，即，① 在方向上的投影向量为，即，② 由①②得，又，所以.故选：C 题型7 平面向量的夹角问题 求两个非零向量夹角的步骤 第一步：由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积； 第二步：分别求出这两个向量的模； 第三步：根据公式求解出这两个向量夹角的余弦值； 第四步：根据两个向量夹角的范围是及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角． 1．（24-25高三下·重庆·月考）已知在平面直角坐标系中为坐标原点，点、点，则向量和的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点、点，所以， 所以，， 设向量和的夹角为，因为， 又因为，所以， 所以向量和的夹角为.故选：B. 2．（24-25高三上·山西太原·期末）已知向量，满足，且，，则与的夹角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】C 【解析】由，可得，即 又，所以，解得，所以， 又，所以， 所以与的夹角为.故选：C. 3．（24-25高三上·江西上饶·一模）已知向量满足，且，则与的夹角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，则， ，即， ，解得， 又，所以与的夹角为.故选：D. 4．（24-25高三上·福建福州·月考）已知为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为单位向量，由， 所以， 即， 设与夹角为， 则， 又，所以.故选：C. 题型8 平面向量的平行与垂直 1、平面向量共线的坐标表示问题的解题策略： （1）如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“，则的充要条件是”； （2）在求与一个已知向量共线的向量时，可设所求向量为． 2、平面向量垂直问题 （1）如果已知向量的坐标，根据两平面向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数； （2）如果未知向量的坐标，则可通过向量加法(减法)的三角形法则转化为已知模和夹角的向量的数量，根据两平面向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． 【注意】如已知图形为矩形、正方形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形时，则可建立平面直角坐标系求出未知向量的坐标，从而把问题转化为已知向量的坐标求参数的问题，注意方程思想和等价转化思想的运用． 1．（24-25高三上·江苏淮安·月考）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】向量，，则， 由，得，所以.故选：D 2．（24-25高三下·广东·开学考试）已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】向量，，由，得， 解得或，由能推出或成立，反之不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A. 3．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知向量，，，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为向量，，则， 因此，，则，解得.故选：B. 4．（24-25高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以， 因为，所以， 所以，解得.故选：A. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（24-25高三下·江西·月考）已知向量满足，，且，则夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，解得.故选：A. 2．（24-25高三下·安徽·开学考试）已知向量 ，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意， 所以在上的投影向量为，故选：A 3．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知向量，满足，，，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】由，得，则， 由，得，又， 因此，所以.故选：B 4．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量，满足，，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解析】∵，∴，即，故， ∵，∴， ∵，∴，故，即， ∴，，∴.故选：D. 5．（24-25高三下·江西九江·月考）已知向量且向量方向相反，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为向量且向量方向相反， 当时，，不满足题意， 当时，，解得，且， 所以，，且， 经检验只有满足题意，故选：D 6．（24-25高三上·浙江杭州·期末）在平面四边形ABCD中，若，，且，，则（    ） A． B．8 C．10 D．3 【答案】B 【解析】∵，， ∴，， ∴ .故选：B. 7．（24-25高三上·吉林长春·期末）在平行四边形中，已知，分别为，的中点，直线，交于，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设， 则， 又， 所以， 因为三点共线，所以，解得， 所以.故选：B 8．（24-25高三下·江西·开学考试）已知点在圆上，点的坐标为，为原点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，因点的坐标为，所以， 则， 设，即， 因在圆上， 所以，所以，解得， 所以的取值范围为.故选：C. 二、多选题 9．（24-25高三上·山东泰安·期末）已知向量，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．已知，若，则 D．与夹角的余弦值为 【答案】BC 【解析】对于A，易知，所以不垂直，即A错误； 对于B，，可得，可得B正确； 对于C，由且可得，解得，即C正确； 对于D，设与的夹角为，所以，可得D错误.故选：BC 10．（24-25高三上·四川成都·月考）设单位向量满足，则下列结论正确的是（    ） A．与的夹角为 B． C． D．在的方向上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】由于， 又因为，所以，故，故B正确，A错误； 因为，故， 又，故，所以，C正确； 在的方向上的投影向量为，故D正确.故选：BCD 11．（24-25高三上·福建·月考）已知O为内部的一点，满足，，，则（    ） A． B． C．的面积为 D． 【答案】ABD 【解析】对于A.由，可得， 两边平方，得，解得，故A正确； 对于B，由，可得， 两边平方有，有，得.故B正确； 对于C，可知，所以. 由三角形面积公式可得，，的面积分别为，1，， 故的面积为2.故C错误； 对于D.因为，， 所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（24-25高三上·山东·月考）已知，，，且，，三点共线，则 . 【答案】2 【解析】由题意得，， 因为，，三点共线，所以，解得. 故答案为：2 13．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知单位向量满足，则向量夹角的弦值是 ． 【答案】 【解析】因为，平方可得：， 所以，则． 14．（24-25高三上·辽宁鞍山·期末）在中，为边的中点，中线上有一点，满足，且，则的最小值为 . 【答案】/0.6 【解析】在中，是边的中点，所以 ， 又. 又 . 又 ， 又易知，， 的最小值为.当且仅当时取最小值. 四、解答题 15．（24-25高三上·河南濮阳·月考）已知向量，，． (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，求函数的值域． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，， 所以 ， 令，解得， 所以的单调递增区间为； （2）当时，， 所以，则， 所以函数在上的值域为. 16．（24-25高三上·四川·一模）在中，内角所对的边分别是，． (1)求外接圆半径； (2)若为等腰三角形，所在平面内有一点，满足为内部一点，求的最小值． 【答案】(1)或；(2) 【解析】（1）当时，由，可得， 由余弦定理可得，又， 所以，故， 所以的外接圆半径， 当时，由，可得， 由余弦定理可得，又， 所以，故， 所以的外接圆半径， （2）因为为等腰三角形， 由（1）可得， 因为， 所以， 过点作，垂足为，取的中点，连接， 则，， 所以， 所以点在直线上， 取线段的中点， 则， 因为， 所以， 设点到的距离为，则， 又，则，所以， 又为线段的中点， 所以点到的距离为， 所以， 所以的最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点4-1 平面向量及其应用 三年考情分析 2025考向预测 近三年高考题目以选择与填空的形式出现，中低难度为主，既考查平面向量的基本运算，也注重与其他知识的综合应用． 预计2025年高考仍将重点考查平面向量数量积的定义、性质及应用，包括夹角、模、垂直等问题。平面向量作为工具，与三角函数、解析几何等知识结合的题目仍然是热点． 题型1 平面向量线性运算及表示 1、平面四边形法则：平行四边形的对角线分别是两向量的和与差； 2、三角形法则：两箭头间向量是差，箭头与箭尾向量是和； 3、平面向量多边形法则：一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即。特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 1．（24-25高三上·山东菏泽·期末）已知O为内部一点，，设，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·北京·月考）在中，为边上的中线，为的中点.则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·湖南长沙·期末）在中，.若于，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·重庆·一模）在平行四边形 中， 与 相交于 ，若 ， ，则（    ） A． B． C． D． 题型2 平面向量共线定理及应用 1、证明向量共线：若存在实数λ，使，则与非零向量共线． 2、证明三点共线：若存在实数λ，使，与有公共点A，则A，B，C三点共线． 3、求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． 1．（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知，是两个不共线的向量，若向量，共线，则（    ） A．6 B．4 C． D． 2．（24-25高三上·河南·期末）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为 . 3．（24-25高三上·吉林·期末）已知，，，若，，三点共线，则（    ） A． B． C． D．2 4．（24-25高三上·江西宜春·月考）如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 题型3 平面向量基本定理及应用 平面向量基本定理的实质及解题思路 1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量的间的关系． 2、用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决。注意同一向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解是唯一的． 1．（24-25高三上·江西宜春·月考）已知在中，，则（    ） A． B． C． D．1 2．（24-25高三上·甘肃临夏·期末）如图，在长方形ABCD中，点M，N分别是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·山东威海·月考）已知三角形中，是上中线的三等分点满足，记则 . 4．（24-25高三上·四川绵阳·月考）如图所示，四边形内接于圆，，则四边形的面积为 ． 题型4 平面向量的数量积运算 求向量数量积的3种常规方法 1、定义法求平面向量的数量积：，其中是两个向量，的夹角；适用于已知或可求两个向量的模和夹角． 2、基底法求平面向量的数量积：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别用这组基底表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解；适用于直接利用定义求数量积不可行时，可将已知模和夹角的两个不共线的向量作为基底，采用“基底法”求解． 3、坐标法求平面向量的数量积：，，则 适用于：①已知或可求两个向量的坐标；②已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积，例如已知图形为矩形、正方形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形时． 1．（24-25高三上·广东惠州·模拟预测）已知向量和的夹角为，且，，则（    ） A．3 B．8 C．12 D．13 2．（24-25高三上·辽宁丹东·期末）在边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，则（    ） A．2 B． C．1 D． 3．（24-25高三上·湖北·期末）如图所示，已知中，点P，Q，R依次是边BC上的三个四等分点，若，，则 . 4．（24-25高三上·辽宁沈阳·一模）已知中，，点P，Q是线段AB上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型5 平面向量的投影向量 解决向量投影问题应注意以下3点 1、向量在方向上的投影向量为（其中为与同向的单位向量），它是一个向量且与共线，其方向由与的夹角的余弦决定． 2、向量在方向上的投影向量为． 3、注意：在方向上的投影向量与在方向上的投影向量不同，即在方向上的投影向量可以表示为． 1．（24-25高三上·江西九江·一模）已知向量满足，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·山东·开学考试）已知，，若，则在上的投影向量的坐标为 . 3．（24-25高三上·上海·月考）已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为(    ) A． B． C． D． 4．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）已知在平面直角坐标系xOy中，点，点C在y轴上运动，当最大时，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 题型6 平面向量的模长问题 求向量的模或其范围的方法 1、定义法：，． 2、坐标法：设，则． 3、几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用解三角形的相关知识求解． 【注意】（1）形如的向量的模，可通过平方转化为数量的运算； （2）用定义法或坐标法求模的范围时，一般把它表示成某个变量的函数，再利用函数的有关知识求解；用几何法求模的范围时，注意数形结合思想，常用三角不等式进行最值求解． 1．（24-25高三上·河南驻马店·期末）已知向量，满足，，则 ． 2．（24-25高三上·广东·一模）已知平面向量的夹角为，且，，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 3．（24-25高三上·浙江嘉兴·期末）若不共线的平面向量，，两两夹角相等，且，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·湖北襄阳·期末）已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为在方向上的投影向量为，且，则（    ） A．2 B．3 C． D．4 题型7 平面向量的夹角问题 求两个非零向量夹角的步骤 第一步：由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积； 第二步：分别求出这两个向量的模； 第三步：根据公式求解出这两个向量夹角的余弦值； 第四步：根据两个向量夹角的范围是及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角． 1．（24-25高三下·重庆·月考）已知在平面直角坐标系中为坐标原点，点、点，则向量和的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山西太原·期末）已知向量，满足，且，，则与的夹角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 3．（24-25高三上·江西上饶·一模）已知向量满足，且，则与的夹角等于（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·福建福州·月考）已知为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 题型8 平面向量的平行与垂直 1、平面向量共线的坐标表示问题的解题策略： （1）如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“，则的充要条件是”； （2）在求与一个已知向量共线的向量时，可设所求向量为． 2、平面向量垂直问题 （1）如果已知向量的坐标，根据两平面向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数； （2）如果未知向量的坐标，则可通过向量加法(减法)的三角形法则转化为已知模和夹角的向量的数量，根据两平面向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． 【注意】如已知图形为矩形、正方形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形时，则可建立平面直角坐标系求出未知向量的坐标，从而把问题转化为已知向量的坐标求参数的问题，注意方程思想和等价转化思想的运用． 1．（24-25高三上·江苏淮安·月考）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25高三下·广东·开学考试）已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知向量，，，则实数（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（24-25高三下·江西·月考）已知向量满足，，且，则夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·安徽·开学考试）已知向量 ，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知向量，满足，，，则（    ） A． B． C．1 D． 4．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量，满足，，，则（    ） A． B． C． D．1 5．（24-25高三下·江西九江·月考）已知向量且向量方向相反，则可以是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·浙江杭州·期末）在平面四边形ABCD中，若，，且，，则（    ） A． B．8 C．10 D．3 7．（24-25高三上·吉林长春·期末）在平行四边形中，已知，分别为，的中点，直线，交于，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三下·江西·开学考试）已知点在圆上，点的坐标为，为原点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三上·山东泰安·期末）已知向量，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．已知，若，则 D．与夹角的余弦值为 10．（24-25高三上·四川成都·月考）设单位向量满足，则下列结论正确的是（    ） A．与的夹角为 B． C． D．在的方向上的投影向量为 11．（24-25高三上·福建·月考）已知O为内部的一点，满足，，，则（    ） A． B． C．的面积为 D． 三、填空题 12．（24-25高三上·山东·月考）已知，，，且，，三点共线，则 . 13．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知单位向量满足，则向量夹角的弦值是 ． 14．（24-25高三上·辽宁鞍山·期末）在中，为边的中点，中线上有一点，满足，且，则的最小值为 . 四、解答题 15．（24-25高三上·河南濮阳·月考）已知向量，，． (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，求函数的值域． 16．（24-25高三上·四川·一模）在中，内角所对的边分别是，． (1)求外接圆半径； (2)若为等腰三角形，所在平面内有一点，满足为内部一点，求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$