精品解析：青海省海东市互助县西南片区2024-2025学九年级上学期阶段性学习效果评估（三）数学试题

2024−2025学年度第一学期阶段性学习效果评估 九年级数学（三） 注意事项：本试卷满分120分，考试时间120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）． 1. 下列图形中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. 不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B. 不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C. 是中心对称图形，故该选项符合题意； D. 不是中心对称图形，故该选项不符合题意． 故选：C ． 2. 圆外一点到圆心的距离为6，则这个圆的半径可能为（ ） A. 6.5 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，求出圆的半径．根据点在圆外时，设的半径为，则． 【详解】解：设的半径为， 点在圆外， ， 故选B． 3. 如图，上有，，，四点，其中，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题关键．根据圆内接四边形的对角互补求解即可得． 【详解】解：∵上有四点， ∴四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 4. 如图，四边形内接于，连接，，是的直径，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．根据圆周角定理得到． 【详解】解：∵所对的圆周角是和, ∴， ∵， ∴， 故选：A． 5. 有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后，共有196人患流行性感冒，则每轮传染中平均一人传染的人数是（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，根据经过两轮传染后患病的人数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人， 依题意得：， 解得（不合题意，舍去）， 故选：B． 6. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是【 】 A. CM=DM B. C. ∠ACD=∠ADC D. OM=MD 【答案】D 【解析】 【详解】∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M， ∴M为CD的中点，即CM=DM，选项A成立； ∵B为的中点，即，选项B成立； 在△ACM和△ADM中，∵AM=AM，∠AMC=∠AMD=90°，CM=DM， ∴△ACM≌△ADM（SAS），∴∠ACD=∠ADC，选项C成立． 而OM与MD不一定相等，选项D不成立．故选D． 7. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为（ ） A. 9 B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，利用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键． 根据旋转的性质得到，，所以是等腰三角形，依据得到等腰三角形的面积，由图形可以知道，最终得到阴影部分的面积． 【详解】解:在中，， 将绕点按逆时针方向旋转后得到， ， ， 是等腰三角形，， 如图，过作于，则， ， ，， ， 故答案为：A． 8. 已知二次函数的图像如图所示，点，，在该二次函数图像上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质；先利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的性质，通过比较点到对称轴的距离的大小判断、、的大小． 【详解】解： ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点到直线的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为，而抛物线的开口向上， ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 一元二次方程的解为________． 【答案】 ，  【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，解此题的关键是能把一元二次方程转化成两个一元一次方程，将方程转化成两个一元一次方程求解即可． 【详解】解：， 或， ，， 故答案为： ， ． 10. 点关于原点对称的点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的对称性，根据关于原点对称的两个点的横坐标及纵坐标均互为相反数的特征直接求解即可得到答案，熟记关于原点对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 11. 二次函数的对称轴为直线______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据对称轴方程解答即可是解题的关键． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 故答案为：． 12. 如图所示，在矩形中，，是以为直径的圆，则直线和的位置关系是__________． 【答案】相离 【解析】 【分析】首先要明确圆心到直线的距离和圆的半径；再根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行分析即可． 【详解】根据题意，得圆心到直线的距离等于，圆的半径是， ∴圆心到直线的距离大于半径，得直线和圆相离． 故答案为：相离． 【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，能够熟练根据数量关系判断直线和圆的位置关系是解题关键． 13. 若，是方程的两个根，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】由的两根为，，则即可解答． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系． 14. 在中，，，，则其外接圆的直径为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的外接圆与外心，勾股定理的运用．根据三角形外心的性质可知，直角三角形的外心为斜边中点，斜边为直径，先由勾股定理求出斜边长，则可得出答案． 【详解】解：在中， ∵，，， ∴， ∵直角三角形的外心为斜边中点， ∴的外接圆的直径为5． 故答案为：5． 15. 二次函数的大致图象如图所示，则关于的方程的解是________． 【答案】或3 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据题意和图象，可以直接写出方程的解． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴相交于点，点， ∴关于的方程的解是， 故答案为：． 16. 如图，正六边形内接于且半径为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是正六边形和圆、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握正六边形的性质是本题的关键． 如图：连接，证出是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵多边形是正六边形，  ∴，  ∵，  ∴是等边三角形，  ∴． 故答案为3． 三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 17. 用配方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）， 移项得，， 两边加4得，， 配方得， 两边开平方得，， 或 ， 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是明确配方法的步骤，熟练运用配方法解方程． 18. 如图，点是等边内一点，连接、、，，，，将绕点顺时针旋转至的位置，连接．求的周长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定， 先由旋转的性质得到，再证明是等边三角形，得到，最后根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长． 19. 某校举办艺术会展，要将一副长为，宽为的画四周装裱上等宽度的彩纸．如果要使彩纸的面积恰好等于原画的面积，求彩纸的宽度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设彩纸的宽为，然后用x分别表示新矩形的长、宽，根据彩纸面积与原画面的面积相等，列出方程求解即可． 【详解】解：设彩纸的宽度为， 则， 解得：， 因为彩纸宽度不能为负数， 所以， 答：彩纸宽度为． 20. 如图所示，已知是的直径，过BC的中点D，且． 求证：是的切线． 【答案】 证明：连接， ∵点O、点D分别是、的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，熟练掌握切线的判定是解题的关键．连接，只要证得，即可得到是的切线． 【详解】略 21. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，使点在的延长线上．求证：． 【答案】 证明：∵绕点A逆时针旋转得到，点在的延长线上， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，根据旋转得到，即可得到，进而可以解决问题． 【详解】略 22. 圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度．（精确到0.1） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．过点作于点，连接，根据垂径定理可得，再在中，根据勾股定理解得的值，进而获得答案． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ∴，， ∵， ∴， ∵直径为， ∴， 在中，根据勾股定理， 可得， ∴， ∴水的最大深度为． 23. 如图是篮球队员的一次投球，在图中的平面直角坐标系中，篮球运动的路线（抛物线）解析式为（单位：）． （1）求篮球运行过程中的最大高度； （2）如果没有篮板、篮桩的阻挡，求篮球落地时运行的水平距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，关键是利用二次函数的性质解答． （1）把函数解析式化为顶点式，由函数的性质求最值； （2）令，解方程即可． 【小问1详解】 解： ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为4， ∴篮球运行过程中的最大高度是； 【小问2详解】 解：令，则， 整理得：， 解得（舍去），， ∴篮球落地时运行的水平距离为． 24. 如图，是圆的直径，点在圆上，点在的延长线上，是的切线． （1）证明：； （2）若的半径是5，，求的长． 【答案】 （1）是圆的直径， ，即， 又是圆的切线， ， ； （2）的长为8． 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质可得，再根据圆的性质可得，即可求解； （2）根据勾股定理求得线段，即可求解． 【详解】证明：（1）略． （2）在中，由勾股定理得， ∴ ∴． 的长为8． 【点睛】此题考查了圆的有关性质和勾股定理，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键． 25. 已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P的位置． （1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）连接交抛物线对称轴于点P，此时取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标． 【小问1详解】 解：将和代入中， 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：连接交抛物线对称轴于点P，此时取最小值，如图所示． 当时，有， 解得：， ∴点B的坐标为． ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线． 设直线的解析式为， 将代入中， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为． ∵当时，， ∴当的值最小时，点P的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024−2025学年度第一学期阶段性学习效果评估 九年级数学（三） 注意事项：本试卷满分120分，考试时间120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）． 1. 下列图形中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 圆外一点到圆心的距离为6，则这个圆的半径可能为（ ） A. 6.5 B. 5 C. 7 D. 8 3. 如图，上有，，，四点，其中，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形内接于，连接，，是的直径，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后，共有196人患流行性感冒，则每轮传染中平均一人传染的人数是（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 6. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是【 】 A. CM=DM B. C. ∠ACD=∠ADC D. OM=MD 7. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为（ ） A. 9 B. C. D. 6 8. 已知二次函数的图像如图所示，点，，在该二次函数图像上，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 一元二次方程的解为________． 10. 点关于原点对称的点的坐标是_______． 11. 二次函数的对称轴为直线______． 12. 如图所示，在矩形中，，是以为直径的圆，则直线和的位置关系是__________． 13. 若，是方程的两个根，则_________． 14. 在中，，，，则其外接圆的直径为________． 15. 二次函数的大致图象如图所示，则关于的方程的解是________． 16. 如图，正六边形内接于且半径为，则的长为______． 三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 17. 用配方法解方程：． 18. 如图，点是等边内一点，连接、、，，，，将绕点顺时针旋转至的位置，连接．求的周长． 19. 某校举办艺术会展，要将一副长为，宽为的画四周装裱上等宽度的彩纸．如果要使彩纸的面积恰好等于原画的面积，求彩纸的宽度． 20. 如图所示，已知是的直径，过BC的中点D，且． 求证：是的切线． 21. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，使点在的延长线上．求证：． 22. 圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度．（精确到0.1） 23. 如图是篮球队员的一次投球，在图中的平面直角坐标系中，篮球运动的路线（抛物线）解析式为（单位：）． （1）求篮球运行过程中的最大高度； （2）如果没有篮板、篮桩的阻挡，求篮球落地时运行的水平距离． 24. 如图，是圆的直径，点在圆上，点在的延长线上，是的切线． （1）证明：； （2）若的半径是5，，求的长． 25. 已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $