精品解析：安徽省安庆市第一中学2024-2025学年高一下学期开学数学试题

安庆一中2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，根据补集的概念与运算直接得出结果. 【详解】由题意知，或. 故选：C 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数与对数函数的单调性，利用中间值法，可得答案. 【详解】由在上单调递增，则，即； 由在上单调递增，则，即； 由上单调递减，则，即. 综上可得. 故选：A. 3. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知不等式的解集利用韦达定理得到、与的关系，代入所求不等式求出解集即可． 【详解】由不等式的解集为，得到， 方程的两个根分别为，， 由韦达定理得：，， 所以，， 所以不等式为， 即，即， 解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：A． 4. 已知函数的图像恒过一点P，且点P在直线的图像上，则的最小值为（    ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的图象所过的定点坐标，由此建立的关系，再利用均值不等式“1”的妙用求解作答. 【详解】函数中，当，即时，恒有，则点， 依题意，，即，又，因此， ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. 故选：D 5. 已知，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式、余弦二倍角公式以及同角三角函数基本关系进行化简，即可求解. 【详解】已知， . 故选：C. 6. 已知某种蔬菜的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）近似满足函数关系（为常数，为自然对数底数），若该品种蔬菜在时的保鲜时间为小时，在时的保鲜时间为小时，则在时，该品种蔬菜的保鲜时间大约为（ ） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知类型函数式，代入条件，结合指数幂的运算，即可直接求解所求结果. 【详解】由题意得：， 两式相除得， 则． 即该品种蔬菜的保鲜时间大约为小时. 故选：C 7. 定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，由单调性的定义可判断得在上单调递增，再将题设不等式转化为，利用的单调性即可求解. 【详解】令， 因为对，且，都有成立， 不妨设，则，故，则，即， 所以在上单调递增， 又因为，所以，故可化为， 所以由的单调性可得，即不等式的解集为. 故选：D. 8. 若关于x的不等式在上恒成立，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法（令），将原不等式转化为在上恒成立，结合对勾函数的单调性即可求解. 【详解】令，则， 则原问题转化为不等式在上恒成立， 即不等式在上恒成立， 又， 所以在上恒成立， 设，则函数在上单调递增， 所以，得， 所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将原问题转化为在上恒成立问题. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. B. 的最小值是 C. 当时， D. 若，则的最大值是 【答案】AD 【解析】 【分析】利用基本不等式，需要一正二定三相等，分别判断即可. 【详解】对于选项A中的式子，， ，当且仅当， 即时取等号，故A正确； 对于选项B中的式子，， ， 当且仅当时取等号，但是此时无解， 所以最小值不是2，故B 错误； 对于选项C中的式子，， 当时，没有最小值，故C错误； 对于选项D，，， ，，当x=-1时取等号，故D 正确. 故选：AD 10. 已知函数，则（ ） A. 若函数的周期为，则 B. 若，则函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到 C. 若且直线是函数的一条对称轴，则在上单调递增 D. 若函数在区间上没有零点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用倍角公式及两角和的正弦公式化简函数的解析式，逐项判断即可确定正确答案. 【详解】， 对于A，若函数的周期为，则，故A错误； 对于B，若，则， 故函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到，故B正确； 对于C，若且直线是函数的一条对称轴， 则且，解得，则， 由，得，故在上单调递增，故C正确； 对于D，当时，， 若函数区间上没有零点，则， 又，则，故D正确. 故选：BCD. 11. 若函数在定义域内的某区间M是增函数，且在M上是减函数，则称在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则不存在区间M使为“弱增函数” B. 若，则存在区间M使为“弱增函数” C. 若，则为R上的“弱增函数” D. 若在区间上是“弱增函数”，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据“弱增函数”的定义，结合基本初等函数的性质，对四个选项一一判断，即可得到正确答案. 【详解】对于A：在上为增函数，在定义域内的任何区间上都是增函数，故不存在区间M使为“弱增函数”，A正确； 对于B：由对勾函数的性质可知：在上为增函数，，由幂函数的性质可知，在上为减函数，故存在区间使为“弱增函数”，B正确； 对于C：为奇函数，且时，为增函数，由奇函数的对称性可知为R上的增函数，为偶函数，其在时为增函数，在时为减函数，故不是R上的“弱增函数”，C错误； 对于D：若在区间上是“弱增函数”，则在上为增函数，所以，解得，又在上为减函数，由对勾函数的单调性可知，，则，综上.故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】对分类讨论，结合二次不等式与二次函数的关系即可分类求解. 【详解】若，则不等式为，不符合题意，舍去， 若，则不等式为，解得，符合题意， 若或，此时，为开口向上的二次函数， 此时不等式的解不为空集，符合题意， 若，此时，为开口向下的二次函数， 要使不等式的解不为空集，需要满足，所以， 综上可得或， 故答案为： 13. 已知函数的图像关于点对称，且在上有且只有两条对称轴，则__________. 【答案】8 【解析】 【分析】由三角函数的对称性求出，再由有且只有两条对称轴求出，最后结合三角函数的性质即可求出答案. 【详解】函数关于点对称， 所以，所以， 要使函数在区间上有且只有两条对称轴，所以, 因为，所以，所以，所以或或； 当时，，则函数只有一个对称轴不合题意； 当时，，则函数有且只有两条对称轴符合题意； 当时，，则函数有三条对称轴不符合题意； 所以. 故答案为：. 14. 当时，函数取得最小值，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式可得：，其中，；可求得，代入可知，利用两角和差正弦公式即可求得结果. 【详解】，其中， 则，即 ，即 本题正确结果： 【点睛】本题考查利用辅助角公式、两角和差正弦公式求解三角函数值的问题，关键是能够利用辅助角公式，结合最值取得的点求得. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，． （1）当时，求； （2）如果，求实数的取值范围． 【答案】（1）＝{x|x＜3或x≥4} （2）（﹣∞，2） 【解析】 【分析】(1)根据一元二次不等式的解法求出集合A，根据不等式的性质求出集合B，结合集合交并补的运算即可得出结果； (2)将A∪B＝A转化为B⊆A，分类讨论B＝∅和B≠∅时的情况，列出对应的不等式(组)，解之即可. 【小问1详解】 A＝{x|0＜x＜4}，m＝3时，B＝{x|3≤x≤7}. ∴A∩B＝{x|3≤x＜4}，且U＝R. ∴（A∩B）＝{x|x＜3或x≥4}. 【小问2详解】 ∵A∪B＝A，∴B⊆A. ①B＝∅时，m＞3m﹣2，解得m＜1 ②B≠∅时，，解得1≤m＜2. 综上，实数m的取值范围为（﹣∞，2） 16. 某市有“四景一水”构成的旅游产业，为整合开发新型旅游项目，该市将在原有的“四景一水”的基础上开发新的游玩项目，计划2024年投入固定成本万元，若该项目2024年有万游客，则需另投入万元，且 ，该游玩项目的每张门票售价为元. （1）求2024年该项目的利润（万元）关于人数（万人）的函数关系式（利润 销售额成本）； （2）当2024年的游客为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少. 【答案】（1） （2）当年游客为万人时，利润最大，最大利润为万元 【解析】 【分析】（1）由题设计算求解即可； （2）结合一次函数，二次函数的性质和基本不等式分段讨论求解函数的最值即可得解. 小问1详解】 由题意，， 所以. 【小问2详解】 当时，单调递增，所以； 当时，， 当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以当年游客为万人时，利润最大，最大利润为万元. 17. 已知函数（为实数）是奇函数. （1）求的值； （2）解不等式：； （3）若实数满足，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合指数运算，根据奇函数的定义列式求解； （2）将不等式等价化简得，然后结合对数概念利用指数函数单调性解不等式即可； （3）由复合函数的单调性判断，并用定义证明，然后由奇偶性变形，由单调性化简，解一元二次不等式即可得解． 【小问1详解】 由题意函数是定义在上的奇函数，所以， 即，整理得恒成立，即． 所以； 【小问2详解】 由（1）知，则， 所以，由函数单调递增得，所以原不等式的解集为； 【小问3详解】 由（1）可得； 取任意，且， 则 ， 因为，所以，又易知， 所以，即； 因此函数为单调递减函数； 由可得； 由为单调递减可知，即， 解得，所以的取值范围为. 18. 已知函数()，的最小正周期为. （1）求的值域； （2）方程在上有且只有一个解，求实数的取值范围； （3）是否存在实数满足对任意，都存在，使成立.若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）或；（3）存在，. 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的最值求值域即可． （2）根据函数与方程的关系转化为两个函数交点问题，再结合三角函数的性质求解即可． （3）由（1）可知.实数满足对任意，都存在，使得成立等价于成立．换元后，分类讨论求出左边式子的最小值，即可列不等式求解. 【详解】（1）函数 ∵的最小正周期为.，∴，∴. 那么的解析式则取值范围是； （2）方程；在上有且有一个解， 转化为函数与函数在上只有一个交点. ∵，∴ 因为函数在上增，在上减， 且， ∴或，所以或 （3）由（1）可知，∴. 实数满足对任意，都存在，使得成立.即成立， 令， 设，那么 ∵，∴，可得在上恒成立. 令，其对称轴，∵上， ∴①当时，即，，所以； ②当，即时，，所以； ③当，即时，，所以； 综上可得，存在，可知的取值范围是. 【点睛】方法点睛：分类讨论思想的常见类型  1、问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；  2、问题中的条件是分类给出的； 3、解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；  4、涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的. 19. 已知函数，若关于的方程在的定义域上有实数解，则称为函数的“平衡点”；若存在实数，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“平衡函数”；有序数对称为函数的“平衡点对”． （1）若是“平衡函数”，求函数的“平衡点对”； （2）是否存在实数，使得为函数的“平衡点对”，若存在，求出的值；若不存在，则说明理由； （3）若函数的定义域为，存在实数，使得同时为该函数的“平衡点”与“平衡点”，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）存在，； （3） 【解析】 【分析】（1）利用“平衡函数”的定义，结合函数式列出恒成立的等式求出“平衡点对”. （2）利用给定“平衡点对”，结合定义列出恒等式，整理求解即得. （3）利用给定的“平衡点对”，结合定义分别求出，进而求出范围. 【小问1详解】 由是“平衡函数”，得对任意，恒成立， 即对任意成立，因此， 所以函数的“平衡点对”为. 【小问2详解】 假定存在实数，使得为函数的“平衡点对”， 则对，恒成立， 即对，，因此，， 所以存在实数，使得为函数的“平衡点对”， . 【小问3详解】 存在实数，使得同时为该函数的“平衡点”与“平衡点”， 则，， 整理得，， 于是， 因此，由，得， 则，所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：利用新定义，根据新定义列出满足的恒等关系，根据等式恒成立求出参数满足关系，即可解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 安庆一中2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. D. 或 4. 已知函数的图像恒过一点P，且点P在直线的图像上，则的最小值为（    ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知某种蔬菜的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）近似满足函数关系（为常数，为自然对数底数），若该品种蔬菜在时的保鲜时间为小时，在时的保鲜时间为小时，则在时，该品种蔬菜的保鲜时间大约为（ ） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 7. 定义在上函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的不等式在上恒成立，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. B. 的最小值是 C. 当时， D. 若，则的最大值是 10. 已知函数，则（ ） A. 若函数的周期为，则 B. 若，则函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到 C. 若且直线是函数的一条对称轴，则在上单调递增 D. 若函数在区间上没有零点，则 11. 若函数在定义域内某区间M是增函数，且在M上是减函数，则称在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则不存在区间M使为“弱增函数” B. 若，则存在区间M使为“弱增函数” C. 若，则为R上“弱增函数” D. 若在区间上是“弱增函数”，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若关于不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为________. 13. 已知函数的图像关于点对称，且在上有且只有两条对称轴，则__________. 14. 当时，函数取得最小值，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，． （1）当时，求； （2）如果，求实数的取值范围． 16. 某市有“四景一水”构成的旅游产业，为整合开发新型旅游项目，该市将在原有的“四景一水”的基础上开发新的游玩项目，计划2024年投入固定成本万元，若该项目2024年有万游客，则需另投入万元，且 ，该游玩项目的每张门票售价为元. （1）求2024年该项目的利润（万元）关于人数（万人）的函数关系式（利润 销售额成本）； （2）当2024年的游客为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少. 17. 已知函数（为实数）是奇函数. （1）求值； （2）解不等式：； （3）若实数满足，求的取值范围. 18. 已知函数()，的最小正周期为. （1）求的值域； （2）方程在上有且只有一个解，求实数的取值范围； （3）是否存在实数满足对任意，都存在，使成立.若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由. 19. 已知函数，若关于的方程在的定义域上有实数解，则称为函数的“平衡点”；若存在实数，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“平衡函数”；有序数对称为函数的“平衡点对”． （1）若是“平衡函数”，求函数的“平衡点对”； （2）是否存在实数，使得为函数的“平衡点对”，若存在，求出的值；若不存在，则说明理由； （3）若函数的定义域为，存在实数，使得同时为该函数的“平衡点”与“平衡点”，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$