热点14 随机变量及其分布（7题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学【热点·重点·难点】专练（北京专用）

热点14 随机变量及其分布 三年考情分析 2025考向预测 2022年，第18题，考察离散型随机变量的均值 2024年，第18题，考察离散型随机变量的均值 本节内容是北京卷的必考内容，难度中档，常在解答题中考查。2025年命题形式可能会以两点分布、二项分布、超几何分布为基础计算随机变量的分布列、均值与方差，也可能会利用方差进行决策. 题型1独立性的乘法公式 求相互独立事件的概率的步骤：①先用字母表示出事件,再分析题中涉及的事件,并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥事件的和;②求出这些彼此互斥事件的概率;③根据互斥事件的概率计算公式求出结果. 1．（2025·广东肇庆·二模）小王数学期末考试考了分，受到爸爸表扬的概率为，受到妈妈表扬的概率也为，假设小王受爸爸表扬和受妈妈表扬独立，则小王被表扬的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记小王受到爸爸表扬为事件，小王受到妈妈表扬为事件，小王受到表扬为事件， 小王同学受爸爸表扬和受妈妈表扬相互独立，则. 故选：C. 2．（2023·北京顺义·一模）精彩纷呈的春节档电影丰富了人们的节日文化生活，春节小长假期间大批观众走进电影院．某电影院统计了2023年正月初一放映的四部影片的上座率，整理得到如下数据： 影片 排片场次 上座率（％） A 12 36  42  45  50  57  62  68  73  80  85  88  94 B 10 35  40  46  52  65  65  78  84  90  95 C 9 35  38  47  55  60  65  73  82  85 D 9 34  37  46  54  60  64  72  81  84 (1)从以上所有排片场次中随机选取1场，求该场的上座率大于70%的概率； (2)假设每场影片的上座率相互独立．从影片A，B，C的以上排片场次中各随机抽取1场，求这3场中至少有2场上座率大于70%的概率； (3)将影片C和影片D在该电影院正月初一的上座率的方差分别记为和，试比较和的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）记“从以上所有排片场次中随机选取1场，该场的上座率大于70%”为事件. 影片A，B，C，D的上座率大于70%的场数共有5+4+3+3=15， 所以.- （2）记“从影片A，B，C的以上排片场次中各随机抽取1场，每场的上座率大于70%”分别为事件.其中，，; 这3场中至少有2场上座率大于70%的概率为 . （3）设影片C和影片D在该电影院正月初一的上座率的均值为 ；； ； ，故. 3．（2025·安徽合肥·一模）袋中有三个相同的小球，用不同数字对三个小球进行标记.从袋中随机摸出一个小球，接着从袋中取出比该小球上数字大的所有小球不再放回，并将该小球放回袋中.然后，对袋中剩下的小球再作一次同样的操作，此时袋中剩下2个小球的概率为 . 【答案】 【详解】不妨对三个小球进行标记，记为1，2，3号， 若第一次取出的是1号球，两次操作之后袋子里面只剩1号球； 若第一次取出的是2号球，则第二次操作时袋子中有1，2号球，若要让袋子中有2个球，需取2号球才行，其概率为； 若第一次取出的是3号球，则第二次操作时袋子中有1，2，3号球，若让袋子中有2个球，需取2号球才行，其概率为； 综上，袋中剩下2个小球的概率为. 故答案为： 4．（2024·北京平谷·模拟预测）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如图，其中“√”表示购买，“×”表示未购买． (1)试估计顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率； (2)假设每位顾客是否够买这四种商品是相互独立的，在近期内再对这四种商品购买情况进行调查，随机抽取4名顾客，试估计恰有2名顾客购买了两种商品，1名顾客购买了一种商品、1名顾客购买了三种商品的概率； (3)如果顾客购买了甲则该顾客同时购买丙、丁中哪种商品的可能性最大．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3)顾客购买丙的可能性较大. 【详解】（1）从统计表可以看出，在这位顾客中，有位顾客同时购买了甲、乙两种商品， 所以顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率可以估计为； （2）设事件为顾客购买了两种商品，事件为顾客购买了一种商品，事件为顾客购买了三种商品； 从统计表可以看出，可以估计为， 可以估计为， 可以估计为， 随机抽取4名顾客，试估计恰有2名顾客购买了两种商品，1名顾客购买了一种商品、1名顾客购买了三种商品的概率为 ， 所求的概率可估计为； （3）在这名顾客中，同时购买甲、丙的概率为， 在这名顾客中，同时购买甲、丁的概率为， 该顾客购买丙的可能性较大. 5．（2023·北京·高考真题）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同． 时段 价格变化 第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 + 第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - + 用频率估计概率． (1)试估计该农产品价格“上涨”的概率； (2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率； (3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3)不变 【详解】（1）根据表格数据可以看出，天里，有个，也就是有天是上涨的， 根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为： （2）在这天里，有天上涨，天下跌，天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是，，， 于是未来任取天，天上涨，天下跌，天不变的概率是 （3）由于第天处于上涨状态，从前次的次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有次，不变的有次，下跌的有次， 因此估计第次不变的概率最大. 题型2求离散性随机变量的均值与方差 求离散型随机变量的均值的步骤：（1）理解的实际意义,并写出的全部取值；（2）求出取每个值的概率；（3）写出的分布列(有时也可省略)；（4）利用期望公式，方差公式计算即可 1．（2024·北京·模拟预测）从中随机取一个数记为a，从中随机取一个数记为b，则下列说法不正确的是（    ） A．事件“为偶数”的概率为 B．事件“ab为偶数”的概率为 C．设，则X的数学期望为 D．设，则在Y的所有可能的取值中最有可能取到的值是12 【答案】C 【详解】从中随机取一个数记为a，从中随机取一个数记为b， 共有（种）可能； 对于A，当时，时，为偶数；当时，时，为偶数； 故共有4种可能，则事件“为偶数”的概率为，A正确； 对于B，当时，时，为偶数；当时，时，为偶数； 此时共有（种）可能，故事件“ab为偶数”的概率为，B正确； 对于C，的取值可能为， 则, 故，C错误； 对于D，的取值可能为， ， ， 故在Y的所有可能的取值中最有可能取到的值是12，D正确， 故选：C 2．（2023·北京·三模）每年8月8日为我国的全民健身日；倡导大家健康､文明､快乐的生活方式，为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以体育锻炼为主题的实践活动，为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育锻炼活动时间（单位：分钟），得到下表： (1)从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育锻炼活动时间在的概率； (2)从参加体育锻炼活动时间在和的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为，求随机变量的分布列和数学期望； (3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育锻炼活动时间的平均数记为，初中､高中学生参加体育锻炼活动时间的平均数分别记为，.写出一个的值，使得.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【详解】（1）从该校随机抽取名学生，若已知抽到的是女生， 估计该学生参加体育实践活动时间在的概率为； （2）依题意，的所有可能值为0，1，2， 参加体育实践活动时间在的学生总人数为，其中初中生人， 参加体育实践活动时间在的学生总人数为，其中初中生人， 记事件为“从参加体育活动时间在的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”， 事件为“从参加体育活动时间在的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”， 事件相互独立，且， 则， ， ， 所以的分布列为： 的数学期望； （3）根据男女生人数先补全初中学生各区间人数： 性别 男 5 12 13 8 9 8 女 6 9 10 10 6 4 学段 初中 10 高中 13 12 7 5 4 内初中生的总运动时间， 内高中生的总运动时间， 则， ， ， 由，得，解得. 3．（2024·北京大兴·三模）某居民小区某栋楼共有10户家庭入住，若该楼住户在2024年4月的用电量（单位：度）如下图所示：    若电力公司组织了线上抽奖活动，各住户抽奖相互独立，但对用电量不同的住户，系统设定了如下中奖率： 用电量 中奖率 50% 50% (1)在该楼中随机抽取一户家庭，求其4月用电量不低于30度的概率； (2)在该楼随机抽取2户家庭，以X表示中奖的户数，试求X的分布列和期望； (3)以频率估计概率，在该小区随机抽取2户家庭，以Y表示中奖的户数，试比较与的大小关系.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【详解】（1）记“在该楼中随机抽取一户家庭，其4月用电量不低于30度”为事件A， 在该楼10个住户中，用电量不低于30度的共户， 故概率估计值； （2）解法1：X的所有可能取值为0，1，2， ， ， ， X的分布列为： 0 1 2 X的期望值， 解法2：X的所有可能取值为0，1，2， ， ， ， X的分布列为： X 0 1 2 P X的期望值； （3）Y的所有可能取值为0，1，2， ， ， ， 则， 故. 4．（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)(i)0.122万元；(ii) 这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值大于（i）中估计值 【详解】（1）设为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”， 由题设中的统计数据可得. （2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取， 由题设中的统计数据可得， ，， ， 故 故（万元）. （ⅱ）由题设保费的变化为， 故（万元）， 从而. 5．（2024·北京·三模）某口罩加工厂加工口罩由A，B，C三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别，A，B，C三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级；A，B，C工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为100等级（表示最低过滤效率为）；C工序的加工质量层次为高，A，B工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等级为99等级（表示最低过滤效率为）；其余均为95级（表示最低过滤效率为）.现从A，B，C三道工序的流水线上分别随机抽取100个口罩进行检测，其中A工序加工质量层次为高的个数为50个，B工序加工质量层次高的个数为75个，C工序加工质量层次为高的个数为80个. 表①：表示加工一个口罩的利润. 口罩等级 100等级 99等级 95等级 利润/元 2 1 0.5 (1)用样本估计总体，估计该厂生产的口罩过滤等级为100等级的概率； (2)X表示一个口罩的利润，求X的分布列和数学期望； (3)用频率估计概率，由于工厂中A工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检测环节对A工序进行升级.在升级过程中，每个口罩检测成本增加了0.2元时，相应的A工序加工层次为高的概率在原来的基础上增加了b.试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，写出一个满足条件的b的值. 【答案】(1)0.3 (2)分布列见详解；元 (3)（答案不唯一，满足即可） 【详解】（1）设A，B，C三道工序加工的质量层次高的概率分别为， 用频率估计概率可得：， 记“该厂生产的口罩过滤等级为100等级”为事件， 所以. （2）由题意可知：X的可能取值为2，1，0.5，则有： ， ， 所以X的分布列为 X 2 1 0.5 P 0.3 0.5 0.2 X的期望（元）. （3）由题意可知：工厂升级方案后A道工序加工的质量层次高的概率为， 设工厂升级方案后一个口罩利润的期望为， 由题意可知：Y的可能取值为，则有： ， ， ， 所以Y的期望（元）， 令，即，解得， 例如符合题意. 题型3二项分布及其应用 1.判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点:一是对立性,即一次试验中,事件发生与否两者必有其一;二是重复性,即试验是独立重复地进行了次； 2.当服从二项分布时,应弄清中的试验次数与成功概率 1．（2024·北京石景山·一模）为研究北京西部地区油松次生林和油松人工林的森林群落植物多样性问题，某高中研究性学习小组暑假以妙峰山油松次生林和老山油松人工林为研究对象进行调查，得到两地区林下灌木层，乔木层，草本层的抽样调查数据．其中两地区林下灌木层获得数据如表1，表2所示： 表1：老山油松人工林林下灌木层 植物名称 植物类型 株数 酸枣 灌木 28 荆条 灌木 41 孩儿拳头 灌木 22 河朔荛花 灌木 4 臭椿 乔木幼苗 1 黑枣 乔木幼苗 1 构树 乔木幼苗 2 元宝槭 乔木幼苗 1 表2：妙峰山油松次生林林下灌木层 植物名称 植物类型 株数 黄栌 乔木幼苗 6 朴树 乔木幼苗 7 栾树 乔木幼苗 4 鹅耳枥 乔木幼苗 7 葎叶蛇葡萄 木质藤本 8 毛樱桃 灌木 9 三裂绣线菊 灌木 11 胡枝子 灌木 10 大花溲疏 灌木 10 丁香 灌木 8 (1)从抽取的老山油松人工林林下灌木层的植物样本中任选2株，求2株植物的类型都是乔木幼苗的概率； (2)以表格中植物类型的频率估计概率，从妙峰山油松次生林林下灌木层的所有植物中随机抽取3株（假设每次抽取的结果互不影响），记这3株植物的植物类型是灌木的株数为，求的分布列和数学期望； (3)从老山油松人工林的林下灌木层所有符合表1中植物名称的植物中任选2株，记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为；从妙峰山油松次生林的林下灌木层所有符合表2中植物名称的植物中任选2株，记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为．请直接写出与大小关系．（结论不要求证明） 【答案】(1)； (2)分布列见解析，期望 (3) 【详解】（1）表1中的灌木有株， 乔木幼苗有株，共有100株， 所以， 所以求2株植物的类型都是乔木幼苗的概率为； （2）表2中的灌木有株， 乔木幼苗有株，木质藤本有8株， 抽取1株是灌木的概率为， 由题意可知，, ，， ，， 分布列如下， 0 1 2 3 ； （3）表1中植物间的数量差距较大，表2中每种植物的数量差不多， 所以选出来不同种类，表2的概率更大，所以. 2．（2024·北京·模拟预测）某项游戏的规则如下：游戏可进行多轮，每轮进行两次分别计分，每次分数均为不超过10的正整数，选手甲参加十轮游戏，分数如下表： 轮次 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 第一次分数 7 6 8 9 8 5 9 7 10 7 第二次分数 8 7 9 10 8 9 8 7 7 9 若选手在某轮中，两次分数的平均值不低于7分，且二者之差的绝对值不超过1分，则称其在该轮“稳定发挥”. (1)若从以上十轮游戏中任选两轮，求这两轮均“稳定发挥”的概率； (2)假设甲再参加三轮游戏，每轮得分情况相互独立，并对是否稳定发挥以频率估计概率.记为甲在三轮游戏中“稳定发挥”的轮数，求的分布列和数学期望； (3)假设选手乙参加轮游戏，每轮的两次分数均不相同.记为各轮较高分的算数平均值，为各轮较低分的算数平均值，为各轮两次的平均分的算数平均值.试比较与的大小（结论不要求证明）. 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望 (3) 【详解】（1）直接计算知该选手在第1、3、4、5、7、8轮稳定发挥，故； （2）甲在每轮游戏中“稳定发挥”的概率为，， 的可能取值为0，1，2，3， ， ， 这就得到的分布列为 0 1 2 3 二项分布的数学期望. （3）设在第轮中，较高分和较低分分别为和， 则，且，， 故，且 从而. 即. 3．（2023·北京密云·三模）为了解某地区居民每户月均用电情况，采用随机抽样的方式，从该地区随机调查了100户居民，获得了他们每户月均用电量的数据，发现每户月均用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），得到如下频率分布直方图：    (1)记频率分布直方图中从左到右的分组依次为第1组，第2组，…，第6组.从第5组，第6组中任取2户居民，求他们月均用电量都不低于的概率； (2)从该地区居民中随机抽取3户，设月均用电量在之间的用户数为，以频率估计概率，求的分布列和数学期望； (3)该地区为提倡节约用电，拟以每户月均用电量为依据，给该地区月均用电量不少于的居民用户每户发出一份节约用电倡议书，且发放倡议书的数量为该地区居民用户数的2%.请根据此次调查的数据，估计应定为多少合适？（只需写出结论）. 【答案】(1) (2)分布列答案见解析， (3) 【详解】（1）由频率分布直方图可知，户居民中，第组的居民户数为， 第组的居民户数为， 从第组、第组中任取户居民，他们月均用电量都不低于的概率为. （2）该地区月均用电量在之间的用户所占的频率为， 由题意可知，， 所以，，， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： . （3）前个矩形的面积之和为， 设月均用电量的样本数据的第百分位数为，则， 则，解得， 故应定为较为合适. 4．（2023·北京西城·模拟预测）人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论.为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库，其中“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况，数据如下： “一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况 频数 “一个” 6 “一些” 4 “一穷” 2 “一条” 2 其他 假设用频率估计概率. (1)求的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率； (2)在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现的次数为，求的分布列和期望； (3)另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库进行统计，“一”出现了24次，“一格”出现了2次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适？（结论不要求证明） 【答案】(1)16； (2)分布列见解析； (3)“一个”在前更合适 【详解】（1）由题意可得； 故甲类题材中“一”出现的概率为； （2）由题意在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，搭配“一个”出现的概率为， 则，则,, , 故X的分布列为： X 0 1 2 P 则. （3）由题意知样本语料库中“一格”出现的概率为， 甲类题材中“一个”出现的概率为， 由于，故输入拼音“yige”时，“一个”在前面更合适. 5．（2023·北京房山·二模）2021年3月教育部印发了《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，该《通知》指出，高中生每天睡眠时间应达到小时． 某学校为了解学生的睡眠情况，从高一和高二年级中随机抽取各40名学生，统计他们一周平均每天的睡眠时间作为样本，统计结果如图． (1)从该校高一年级学生中随机抽取人，估计该生平均每天的睡眠时间不少于小时的概率； (2)从该校高二年级学生中随机抽取人，这人中平均每天的睡眠时间为小时或小时的人数记为，求的分布列和数学期望； (3)从该校高一年级学生中任取人，其平均每天的睡眠时间记为，从该校高二年级学生中任取人，其平均每天的睡眠时间记为，试比较方差与的大小．（只需写出结论） 【答案】(1) (2)分布列详见解析， (3) 【详解】（1）记事件为“从该校高一学生中随机抽取人，该生平均每天的睡眠时间不少于小时”， 样本中高一学生人数为：， 其中平均每天的睡眠时间不少于小时的人数为， 则：. （2）从高二年级学生中随机抽取1人， 其平均每天的睡眠时间为小时或小时的概率为. 的可能取值为 . 的分布列为： . （3）通过观察条形图可知，高一年级和高二年级的统计数据有对称性， 根据方差的定义可知：. 题型4二项分布中的最大概率问题 二项分布的概率为，这个是数列的最值问题. . 分析：当时，，随值的增加而增加； 当时，，随值的增加而减少. 如果为正整数，当时，，此时这两项概率均为最大值. 如果为非整数，而取的整数部分，则是唯一的最大值. 1．（2020·21高三上·北京顺义·期末）某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，整理得到如下频率分布直方图： （1）若该样本中男生有55人，试估计该学校高三年级女生总人数； （2）若规定小于60分为“不及格”，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生不及格的概率； （3）若规定分数在为“良好”,为“优秀”.用频率估计概率,从该校高三年级随机抽取三人,记该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为X,求X的分布列和数学期望. 【答案】（1）人（2）（3）详见解析 【详解】解：（1）∵样本中男生有55人,则女生45人 ∴估计总体中女生人数人 （2）设“不及格”为事件A,则“及格”为事件 ∴ （3）设“样本中“良好”或“优秀””为事件B,则 依题意可知： , 所以,X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.343 0.441 0.189 0.027 【点睛】本题考查频率分布直方图的概率问题,概率分布问题注意一些常用的概率分布,如二项分布,超几何分布等,会计算概率,正确列出分布列,正确计算数学期望及方差. 2．（2024·25高三上·甘肃酒泉·期末）在2024年“五四青年节”，某校举办了有关五四运动的知识竞赛活动，为了调查学生对本次活动的满意度，从该校学生中随机抽取一个容量为（）的样本进行调查，调查结果如下表： 满意 不满意 合计 男生 女生 合计 (1)完成上面的列联表，若有不少于的把握认为“性别与满意度有关系”，求样本容量的最小值； (2)本次知识竞赛的晋级环节设置3道必答题目，至少答对2道题目则晋级，否则被淘汰．某年级有20名同学进入晋级环节，根据统计，每人对这3道题目答对的概率分别为，且3道题目答对与否互不影响． ①设表示这20人中晋级的人数，求； ②记这20人中（）人晋级的概率为，求取得最大值时的取值． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)表格见解析，90． (2)①；②12 【详解】（1）列联表如下： 满意 不满意 合计 男生 女生 合计 先提出统计假设为：性别与满意度没有关系， 根据上表可知，， 因为性别与满意度有关系，所以，解得， 由题意可知，为30的整数倍，故的最小值为90； （2）①设（，，）分别表示3道题目答对事件， 令该年级的20名同学中1人晋级的事件为， 则 ， 由题意可知，，则； ②，，，，，，， 最大，则 解得，， 所以， 即取最大值时的取值为12． 3．（2024·江苏徐州·模拟预测）投掷一枚骰子，向上点数共有1-6六种可能，每一种情况的发生是等可能的，则下列说法正确的是（    ） A．事件A“点数为1或2”和事件B“点数为偶数”不是相互独立事件； B．每一局投两次，记较大点数为该局得分，则每局得分的数学期望为4； C．事件C“点数为1或2或3”和事件B“点数为偶数”是相互独立事件； D．连续投掷40次，记出现6点的次数，则随机变量的分布列中，时概率最大． 【答案】D 【详解】对A：因为，，，由，所以事件相互独立，故A错误； 对B：设每局的得分为，则的值可能为：1，2，3，4，5，6 且，，， ，， ， 所以，故B错误； 对C：因为，，，由，所以事件不独立，故C错误； 对D：由题意，所以. 由；由. 所以时，最大，即时概率最大．故D正确. 故选：D 4．（2024·广东惠州·模拟预测）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为，用表示小球最后落入格子的号码，若，则 . 【答案】5 【详解】小球在下落的过程中，共10次等可能的向左或向右落下，则小球落入底部的格子号码服从二项分布， 且落入格子的号码即向右次数，即～， 所以， 由二项式系数的对称性可知当时，最大，即最大，所以． 故答案为：5. 5．（2024·福建泉州·模拟预测）某人在次射击中击中目标的次数为，其中，设击中偶数次为事件，则（    ） A．当时，取得最小值 B．当时，取得最小值 C．当随的增大而减小 D．当随的增大而减小 【答案】D 【详解】对于AB：， 当时，取得最大值，故A，B错误； 对于CD：， ， ， ， 当时，为正负交替的摆动数列， 所以不会随着的增大而减小，故C错误； 当时，为正项且单调递减的数列， 所以随着的增大而减小，故D正确. 故选：D． 题型5超几何分布及其应用 求超几何分布的分布列的步骤：①验证随机变量服从超几何分布,并确定数的值；②根据超几何分布的概率计算公式计算随机变量取每一个值时的概率；③用表格的形式列出分布列 1．（2024·北京海淀·模拟预测）为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某地区的小学学校联合开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了30名学生，将他们的比赛成绩（单位：分）用茎叶图记录如图： (1)求这组数据的中位数； (2)从选出的15名女生中随机抽取2人，记其中测试成绩在90分以上的人数为，求 的分布列和数学期望； (3)为便于普及冬奥知识，现从每所小学参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机选取个人作为冬奥宣传志愿者，要求每所学校的志愿者中至少有1人的“冰雪答题王”的测试成绩在80分以上的概率大于0.99．根据图表中数据，以频率作为概率，给出的最小值.（只需写出结论） 【答案】(1)80.5 (2)分布列见解析， (3)7. 【详解】（1）将30个数据从小到大排序：58，60，66，68，69，70，75，75，76，76，76，78， 78，78，79，82，84，86，86，86，87，88，90，92，92，95，96，98，98，98. 则中位数是； （2）选出的15名女生中90分以上的有3人，则的可能取值有.          故的分布列为: 0 1 2 的数学期望； （3）的最小值为7. 根据图表中数据，30人中有15人的成绩在80分以上，由频率估计概率，随机抽取1人， 该人成绩在80分以上的概率为. 设每所学校的志愿者中至少有1人的“冰雪答题王”的测试成绩在80分以上为事件. 则其中无一人达到测试成绩在80分以上的概率为， 依题意，，解之得，故的最小值为7. 2．（2024·北京朝阳·一模）为提升学生用数学知识解决现实生活或其他学科领域中的问题的能力，发展学生数学建模素养，某市面向全市高中学生开展数学建模论文征文活动.对于参加征文活动的每篇论文，由两位评委独立评分，取两位评委评分的平均数作为该篇论文的初评得分.从评委甲和评委乙负责评审的论文中随机抽取10篇，这10篇论文的评分情况如下表所示. 序号 评委甲评分 评委乙评分 初评得分 1 67 82 74.5 2 80 86 83 3 61 76 68.5 4 78 84 81 5 70 85 77.5 6 81 83 82 7 84 86 85 8 68 74 71 9 66 77 71.5 10 64 82 73 (1)从这篇论文中随机抽取1篇，求甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过的概率； (2)从这篇论文中随机抽取3篇，甲、乙两位评委对同一篇论文的评分之差的绝对值不超过的篇数记为，求的分布列及数学期望； (3)对于序号为的论文，设评委甲的评分为，评委乙的评分为，分别记甲、乙两位评委对这10篇论文评分的平均数为，，标准差为，，以作为序号为的论文的标准化得分.对这10篇论文按照初评得分与标准化得分分别从高到低进行排名，判断序号为2的论文的两种排名结果是否相同?（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)相同 【详解】（1）设事件为从这10篇论文中随机抽取1篇，甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过， 又在这10篇论文中，甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过的有篇， 所以； （2）由已知的可能取值为，，， ，， 所以的分布列为 所以的数学期望为； （3）根据数据序号为2的论文初评得分排名为第， 由已知， ， 明显序号为7的论文甲乙两评委评分均最高，故初评得分排名为第，标准化得分排名仍然为第， 现在就看初评得分排名为第的序号为的论文其标准化得分排名是否会发生变化， 根据表中数据观察可得评委甲的评分波动大，故， 所以，即， 所以序号为2的论文标准化得分排名为第， 所以序号为2的论文的两种排名结果相同. 3．（2023·北京通州·模拟预测）某企业有7个分行业，2020年这7个分行业的营业收入及营业成本情况统计如下表： 营业情况分行业 营业收入单位（亿元） 营业成本单位（亿元） 分行业1 41 38 分行业2 12 9 分行业3 8 2 分行业4 6 5 分行业5 3 2 分行业6 2 1 分行业7 0.8 0.4 （一般地，行业收益率．） (1)任选一个分行业，求行业收益率不低于50%的概率； (2)从7个分行业中任选3个，设选出的收益率高于50%的行业个数为X，求X的分布列及期望； (3)设7个分行业营业收入的方差为，营业成本的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】(1)； (2)分布列见解析；； (3). 【详解】（1）分行业1行业收益率：， 分行业2行业收益率：， 分行业3行业收益率：， 分行业4行业收益率：， 分行业5行业收益率：， 分行业6行业收益率：， 分行业7行业收益率：， 行业收益率不低于50%的有4个行业， 故任选一个分行业，求行业收益率不低于50%的概率为. （2）有（1）可知X的取值有0、1、2、3， ，， ，， 分布列如下： X 0 1 2 3 P （3）7个分行业营业收入的平均值为：， 7个分行业营业成本的平均值为：， 故. 4．（2022·北京东城·二模）某部门为了解青少年视力发展状况，从全市体检数据中，随机抽取了名男生和名女生的视力数据．分别计算出男生和女生从小学一年级（年）到高中三年级（年）每年的视力平均值，如图所示． (1)从年到年中随机选取年，求该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的概率； (2)从年到年这年中随机选取年，设其中恰有年女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值．求的分布列和数学期望： (3)由图判断，这名学生的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析；数学期望 (3)自年开始的连续三年，名学生的视力平均值方差最小 【详解】（1）由折线图可知：从年到年中，该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的共有个； 所求概率. （2）从年到年这年中，女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值的年份有个； 所有可能的取值为， ；；； 则的分布列为： 的数学期望. （3）由折线图知：自年开始的连续三年视力平均值接近且连续三年数据相差不大， 自年开始的连续三年，名学生的视力平均值波动幅度最小， 则自年开始的连续三年，名学生的视力平均值方差最小. 5．（2022·北京顺义·二模）为了解顺义区某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的（）班（）班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽名学生进行身体素质监测.经统计，每班名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下：（轴表示对应的班号，轴表示对应的优秀人数） (1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测人，求该生身体素质监测成绩达到优秀的概率； (2)若从以上统计的高一（）班的名学生中抽出人，设表示人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求的分布列及其数学期望； (3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取名同学，用“”表示第班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第班抽到的这名同学身体素质不是优秀．写出方差的大小关系（不必写出证明过程）． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望 (3) 【详解】（1）抽取的人中，身体素质监测成绩达到优秀有人， 从高一年级学生中任意抽测人，该生身体素质监测成绩达到优秀的概率. （2）由散点图可知：高一（）班的名学生中，身体素质监测成绩达到优秀的人数为人， 所有可能的取值为， ；；； 则的分布列为： 数学期望. （3）由散点图知：，，； ，，； ，，； ，，； . 题型6正态分布及其应用 1.会用三个特殊区间内取值的概率值进行求概率 2.充分利用正态曲线的对称性和曲线与轴之间的面积为 1．（2024·北京通州·三模）已知随机变量，，且，，则 ． 【答案】 【详解】因为且，所以，则， 又且，所以，解得. 故答案为： 2．（2025·贵州黔东南·模拟预测）某工厂在改进生产技术后，针对新旧两种技术所生产的电子元件实施质量检测，现从每种技术生产的产品中各随机抽取容量为40的样本进行电压测试.已知标准电压为3.7V，误差绝对值不超过0.1V的电子元件为优品，超过0.1V的电子元件为良品. (1)已知旧技术生产的40个样本电子元件的电压测量值近似服从正态分布的近似值为样本均值3.7，的近似值为样本标准差0.09.假设该工厂前期运用旧技术已生产电子元件40000个，试估算旧技术生产的电子元件电压测量值高于3.88V的有多少个？ (2)从新技术生产的40个样本电子元件中随机选取一个是优品的概率为.请补全以下列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为电子元件的优良情况与新旧技术有关？ 优品 良品 合计 旧技术 新技术 合计 16 附：若随机变量服从正态分布，则，.. 0.100 0.050 0.025 0.005 2.706 3.841 5.024 7.879 【答案】(1)910 (2)列联表见解析；能认为电子元件的优良情况与新旧技术有关. 【详解】（1）由题意，旧技术生产的电子元件的电压测量值， 所以. 所以旧技术生产的40000个电子元件中电压测量值高于3.88V的估计有：个. （2）因为新技术生产电子元件优品的概率为，则新技术生产的40个样本元件中优品数为：，良品数为：；则旧技术生产的元件良品数为：，优品数为：，完成列联表如下： 优品 良品 合计 旧技术 28 12 40 新技术 36 4 40 合计 64 16 80 所以， 因为，所以依据小概率值的独立性检验，能认为电子元件的优良情况与新旧技术有关. 3．（2025·福建厦门·一模）已知随机变量X服从正态分布，若，且，则（   ） A．-1 B． C．0 D． 【答案】C 【详解】由题意知随机变量X服从正态分布，， 如图所示，结合，得， 可知关于对称，所以，解得， 故选：C． 4．（2024·25高三·上海·课堂例题）若随机变量，且，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】随机变量，且，， 由正态密度曲线的对称性可知，， 所以． 故选：B. 5．（2024·四川内江·一模）某市为全面提高青少年健康素养水平，举办了一次“健康素养知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩采用百分制，排名前三百名的学生参加复赛．已知共有名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)规定预赛成绩不低于分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于分的学生中随机地抽取人，求至少有人预赛成绩优良的概率； (2)由频率分布直方图，可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩近似服从正态分布，其中可近似为样本中的名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？ (3)复赛规则如下：①复赛题目由、两类问题组成，答对类问题得分，不答或答错得分；答对类问题得分，不答或答错得分；②、两类问题的答题顺序可由参赛学生选择，但只有在答对第一类问题的情况下，才有资格答第二类问题．已知参加复赛的学生甲答对类问题的概率为，答对类问题的概率为，答对每类问题相互独立，且与答题顺序无关．为使累计得分的期望最大，学生甲应选择先回答哪类问题？并说明理由． 附：若，则，，；． 【答案】(1) (2)有，理由见解析 (3)先答类问题，理由见解析 【详解】（1）由题意可知，抽取的人中，预赛成绩不低于分的人数为， 预赛成绩不低于分的学生人数为， 因此，从上述样本中预赛成绩不低于分的学生中随机地抽取人， 至少有人预赛成绩优良的概率为. （2）由频率分布直方图可知，， ，， ， 所以，小明有资格参加复赛. （3）若学生甲先答类问题，设他的得分为随机变量，则的可能取值有、、， ，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 则， 若学生甲先答类问题，设该同学的得分为随机变量，则的可能取值有、、， ，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 则， 所以，，因此，学生甲应先回答类问题. 题型7几个分布的综合应用 1．（2024·北京西城·三模）根据2024城市魅力排行榜，一线城市4个，分别为：上海、北京、深圳、广州；新一线城市15个，分别为：成都、杭州、重庆、苏州、武汉、西安、南京、长沙、天津、郑州、东莞、无锡、宁波、青岛、合肥.其中城区常住人口超过一千万的超大城市10个，分别为：上海、北京、深圳、重庆、 广州、成都、天津、东莞、武汉、杭州. (1)从10个超大城市中随机抽取一座城市，求该城市是一线城市的概率； (2)从10个超大城市按不可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量X表示新一线城市的数量，求随机变量X的分布列和期望； (3)从10个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量Y表示新一线城市的数量，比较E（X）与E（Y）的大小关系.（直接写出结果） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【详解】（1）10个超大城市中包含4个一线城市， 所以从10个超大城市中随机抽取一座城市，该城市是一线城市的概率为. （2）10个超大城市中包含6个新一线城市， X所有可能的取值为：. ；； ；. 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P . （3） 理由如下：从10个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3个城市， 随机变量，，所以. 2．（2022·北京东城·一模）根据Z市2020年人口普查的数据，在该市15岁及以上常住人口中，各种受教育程度人口所占比例（精确到0.01）如下表所示： 受教育程度 性别 未上学 小学 初中 高中 大学 专科 大学 本科 硕士 研究生 博士 研究生 男 0.00 0.03 0.14 0.11 0.07 0.11 0.03 0.01 女 0.01 0.04 0.11 0.11 0.08 0.12 0.03 0.00 合计 0.01 0.07 0.25 0.22 0.15 0.23 0.06 0.01 (1)已知Z市15岁及以上常住人口在全市常住人口中所占比例约为85%，从全市常住人口中随机选取1人，试估计该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概率； (2)从Z市15岁及以上常住人口中随机选取2人，记这2人中受教育程度为大学本科及以上的人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)若受教育程度为未上学、小学、初中、高中、大学专科及以上的受教育年限分别记为0年、6年、9年、12年、16年，设Z市15岁及以上男性与女性常住人口的平均受教育年限分别为年和年，依据表中的数据直接写出与的大小关系.（结论不要求证明） 【答案】(1); (2)答案见解析； (3) 【详解】（1）因为在该市15岁及以上常住人口中，受教育程度为硕士研究生的人口所占比例为0.06， 则估计该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概率85％； （2）该市15岁及以上常住人口中，受教育程度为大学本科及以上的人口所占比例为0.23+0.06+0.01=0.3， X的可能取值为0，1，2， 则, , , 故X的分布列为 0 1 2 0.49 0.42 0.09 , （3）由题意，男性平均受教育年限为， 女性平均受教育年限为， 则. 3．（2022·北京朝阳·模拟预测）自“新型冠状肺炎”疫情爆发以来，科研团队一直在积极地研发“新冠疫苗”.在科研人员不懈努力下，我国公民率先在年年末开始使用安全的新冠疫苗，使我国的“防疫”工作获得更大的主动权.研发疫苗之初，为了测试疫苗的效果，科研人员以白兔为实验对象，进行了一些实验： (1)实验一：选取只健康白兔，编号至号，注射一次新冠疫苗后，再让它们暴露在含有新冠病毒的环境中，实验结果发现：除号､号､号和号四只白兔仍然感染了新冠病毒，其他白兔未被感染.现从这只白兔中随机抽取只进行研究，将仍被感染的白兔只数记作，求的分布列和数学期望. (2)实验二：疫苗可以再次注射第二针､加强针，但两次疫苗注射时间间隔需大于三个月.科研人员对白兔多次注射疫苗后，每次注射的疫苗对白兔是否有效互相不影响.试问：若将实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率当做疫苗的有效率，那么一只白兔注射两次疫苗后的有效率能否保证达到？如若可以，请说明理由；若不可以，请你参考上述实验给出注射疫苗后有效率在以上的建议. 【答案】(1)分布列见解析；数学期望； (2)无法保证；建议：需要将注射一次疫苗的有效率提高到以上. 【详解】（1）由题意得：所有可能的取值为，，，， ；； ；； 的分布列为： 数学期望； （2）由已知数据知：实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率为，则注射一次疫苗的有效率为， 一只白兔注射两次疫苗的有效率为：， 无法保证一只白兔注射两次疫苗后的有效率达到； 设每支疫苗有效率至少达到才能满足要求， ，解得：， 需要将注射一次疫苗的有效率提高到以上才能保证一只白兔注射两次疫苗后的有效率达到. 4．（2019·北京朝阳·一模）某部门在同一上班高峰时段对甲､乙两地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）.将统计数据按，，，…，分组，制成频率分布直方图： 假设乘客乘车等待时间相互独立. (1)在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为；从乙站的乘客中随机抽取1人，记为.用频率估计概率，求乘客，乘车等待时间都小于20分钟的概率； (2)在上班高峰时段，从甲站乘车的乘客中随机抽取3人，表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列答案见解析，数学期望： 【详解】（1）设表示事件“乘客乘车等待时间小于20分钟”， 表示事件“乘客乘车等待时间小于分钟”， 表示事件“乘客，乘车等待时间都小于20分钟”. 由题意知，乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为 ， 故的估计值为. 乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为 ， 故的估计值为. 又. 故事件的概率为. （2）由（1）可知，甲站乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为， 所以甲站乘客乘车等待时间小于20分钟的概率为. 显然，的可能取值为0，1，2，3且. 所以；； ；. 故随机变量的分布列为 0 1 2 3 . 5．（2021·北京·三模）某超市从年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取个，并按、、、、分组，得到频率分布直方图如下： 假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立. （1）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于箱且另一个不高于箱的概率； （2）设表示在未来天内甲种酸奶的日销售量不高于箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求的数学期望； （3）记甲种酸奶与乙种酸奶口销售量（单位：箱）的方差分别为、，试比较与的大小（只需写出结论）. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【详解】（1）记事件在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于箱， 记事件在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于箱， 记事件在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于箱且另一个不高于箱， 则，， 所以，； （2）在未来的每一天里，甲种酸奶的销售量不高于箱的概率为， 所以，，由二项分布的期望公式可得； （3）由频率分布直方图可知，甲的销售量比较分散，而乙的销售量较为集中，故. 【点睛】方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下： （1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解； （2）已知随机变量的期望、方差，求的期望与方差，利用期望和方差的性质（，）进行计算； （3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算. 1．（2024·北京西城·二模）为研究中国工业机器人产量和销量的变化规律，收集得到了年工业机器人的产量和销量数据，如下表所示． 年份 产量万台 销量万台 记年工业机器人产量的中位数为，销量的中位数为．定义产销率为“”． (1)从年中随机取年，求工业机器人的产销率大于的概率； (2)从年这年中随机取年，这年中有年工业机器人的产量不小于，有年工业机器人的销量不小于．记，求的分布列和数学期望； (3)从哪年开始的连续年中随机取年，工业机器人的产销率超过的概率最小．结论不要求证明 【答案】(1) (2)分布列见解析； (3)2018年和年 【详解】（1）记事件为“工业机器人的产销率大于”． 由表中数据，工业机器人的产销率大于的年份为年，年，年，年，共年．                                             所以． （2）因为，， 所以的所有可能的取值为；的所有可能的取值为． 所以的所有可能的取值为．                             ，，．     所以的分布列为： 故的数学期望． （3）2018年和年． 2．（2023·北京朝阳·二模）果酒由水果本身的糖分被酵母菌发酵而成.研究表明，果酒中的芳香气味主要来自于酯类化合物.某学习小组在实验中使用了3种不同的酵母菌（A型，B型，C型）分别对三组（每组10瓶）相同的水果原液进行发酵，一段时间后测定发酵液中某种酯类化合物的含量，实验过程中部分发酵液因被污染而废弃，最终得到数据如下（“X”表示该瓶发酵液因废弃造成空缺）： 酵母菌类型 该酯类化合物的含量（μg/L） A型 X 2747 2688 X X 2817 2679 X 2692 2721 B型 1151 X 1308 X 994 X X X 1002 X C型 2240 X X 2340 2318 X 2519 2162 X X 根据发酵液中该酯类化合物的含量t（μg/L）是否超过某一值来评定其品质，其标准如下： 酵母菌类型 品质高 品质普通 A型 B型 C型 假设用频率估计概率 (1)从样本未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，求其品质高的概率； (2)设事件D为“从样本含A型，B型,C型酵母菌的未废弃的发酵液中各随机抽取一瓶，这三瓶中至少有一瓶品质高”，求事件D发生的概率； (3)设事件E为“从样本未废弃的发酵液中不放回地随机抽取三瓶，这三瓶中至少有一瓶品质高”试比较事件E发生的概率与（2）中事件D发生的概率的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设事件“从样本未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，其品质高”， 由题可知，未废弃的发酵液共有6+4+5=15瓶，其品质高的有9瓶， 所以. （2）事件“从样本含A型酵母菌的未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，其品质高”， 事件“从样本含B型酵母菌的未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，其品质高”， 事件“从样本含C型酵母菌的未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，其品质高”， 由题意得; . （3）由题意，所以. 3．（2023·北京丰台·二模）某地区教育研究部门为了解当前本地区中小学教师在教育教学中运用人工智能的态度、经验、困难等情况，从该地区2000名中小学教师中随机抽取100名进行了访谈．在整理访谈结果的过程中，统计他们对“人工智能助力教学”作用的认识，得到的部分数据如下表所示： 假设用频率估计概率，且每位教师对“人工智能助力教学”作用的认识相互独立． (1)估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数； (2)现按性别进行分层抽样，从该地区抽取了5名教师，求这5名教师中恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率； (3)对受访教师关于“人工智能助力教学”的观点进行赋分：“没有帮助”记0分，“有一些帮助”记2分，“很有帮助”记4分．统计受访教师的得分，将这100名教师得分的平均值记为，其中年龄在40岁以下（含40岁）教师得分的平均值记为，年龄在40岁以上教师得分的平均值记为，请直接写出的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】(1)140 (2) (3) 【详解】（1）根据表格中数据，完善表格， 可以得到100名教师中，认为人工智能对于教学“没有帮助”的频率为， 用频率估计概率，估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数为； （2）男女比例为，故抽取的5名教师，有1名男教师，4名女教师， 用频率估计概率，估计该地区中小学教师中男教师认为对于教学“很有帮助”的概率为， 女教师认为对于教学“很有帮助”的概率为， 抽取的5名教师中，恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”， 则1名男教师认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为， 1名女教师认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为， 故这5名教师中恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为； （3），， ， 因为，所以. 4．（2019·北京通州·一模）某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日的微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况： (1)从3月2日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率； (2)从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为，求的分布列及数学期望； (3)下图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名（按照从大到小排序）分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)3月3日 【详解】（1）令时间A为“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”， 从3月2日至3月7日这6天中，3月2日、5日、7日这3天中， 甲乙微信记步数都不低于10000， 故. （2）由（1）知：， ，，， 的分布列为： （3）根据频率分步直方图知：微信记步数落在，，，， （单位：千步）区间内的人数依次为人，人， 人，人，人， 由甲微信记步数排名第68，可知当天甲微信记步数在15000到20000万之间， 根据折线图知：只有3月2日，3月3日，3月7日. 由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000到10000万之间， 根据折线图知：只有3月3日和3月6日， 所以3月3日符合要求. 5．（2024·北京海淀·三模）某社区计划组织一次公益讲座向居民普及垃圾分类知识，为掌握居民对垃圾分类知识的了解情况并评估讲座的效果，主办方从全体居民中随机抽取10位参加试讲讲座活动，让他们在试讲讲座前后分别回答一份垃圾分类知识问卷．试讲讲座前后，这10位居民答卷的正确率如下表： 编号正确率 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号 试讲讲座前 65% 60% 0% 100% 65% 75% 90% 85% 80% 60% 试讲讲座后 90% 85% 80% 95% 85% 85% 95% 100% 85% 90% 根据居民答卷的正确率可以将他们垃圾分类的知识水平分为以下三个层级： 答卷正确率p 垃圾分类知识水平 一般 良好 优秀 假设每位居民回答问卷的结果之间互相独立，用频率估计概率． (1)正式讲座前．从该社区的全体居民中随机抽取1人，试估计该居民垃圾分类知识水平恰为“一般”的概率； (2)正式讲座前，从该社区的全体居民中随机抽取3人，这3人垃圾分类知识水平分别是“一般”、“良好”、“良好”．设随机变量X为“这3人讲座后垃圾分类知识水平达到‘优秀’、的人数”，试估计X的分布列和数学期望； (3)在未参加讲座的全部居民中再随机抽取若干人参加下一轮的公益讲座并让他们在讲座前后分别填写问卷．从讲座后的答卷中随机抽取一份，如果完成该答卷的居民的知识水平为“良好”，他在讲座前属于哪一知识水平的概率最大？（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)他在讲座前属于“一般”知识水平的概率最大. 【详解】（1）正式讲座前，10位选取的居民中，垃圾分类知识水平为“一般”的人数为5人，所以垃圾分类知识水平位“一般”的频率为：， 所以估计居民垃圾分类知识水平恰为“一般”的频率为：. （2）由表中提供的数据可得：正式讲座前，垃圾分类知识水平为“一般”的人在讲座后，达到“优秀”的概率估计为：； 正式讲座前，垃圾分类知识水平为“良好”的人在讲座后，达到“优秀”的概率估计为：. 由题意，的值可以为：0,1,2,3 且：， . 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. （3）从未参加讲座的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“一般”记为事件，则，讲座后，知识水平为“良好”的概率估计为； 从未参加讲座的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“良好”记为事件，则，讲座后，知识水平为“良好”的概率估计为； 从未参加讲座的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“优秀”记为事件，则，讲座后，知识水平为“良好”的概率估计为； 从参加讲座后的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“良好”记为事件，则. 因为，，. 所以他在讲座前属于“一般”知识水平的概率最大. 6．（2024·北京顺义·三模）习近平总书记高度重视体育运动的发展，将体育与国家发展、民族振兴紧密联系在一起，多次强调体育“是实现中国梦的重要内容”“体育强则中国强，国运兴则体育兴”，为了响应总书记的号召，某中学组织全体学生开展了丰富多彩的体育实践活动.为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育实践活动时间（单位：分钟），得到下表： 时间人数类别 性别 男 5 12 13 8 9 8 女 6 9 10 10 6 4 学段 初中 10 高中 4 13 12 7 5 4 (1)从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育实践活动时间在的概率； (2)从该校参加体育实践活动时间在学生中随机抽取2人，在的学生中随机抽取1人，求其中至少有1名初中学生的概率； (3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育实践活动时间的平均数记为，初中、高中学生参加体育实践活动时间的平均数分别记为，，试比较与的大小关系.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）女生共有人， 记事件A为“从所有调查学生中随机抽取1人，女生被抽到”， 事件B为“从所有调查学生中随机抽取1人，参加体育活动时间在”， 由题意可知，， 因此， 所以从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生， 估计该学生参加体育活动时间在的概率为. （2）时间在的学生有人， 活动时间在的初中学生有人， 记事件C为“从参加体育活动时间在的学生中随机抽取2人，抽到初中学生”， 事件D为“从参加体育活动时间在的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”， 由题意知，事件C，D相互独立， 且, 所以至少有1名初中学生的概率； （3）根据男女生人数先补全初中学生各区间人数： 时间人数类别 性别 男 5 12 13 8 9 8 女 6 9 10 10 6 4 学段 初中 7 8 11 11 10 8 高中 4 13 12 7 5 4 初中生的总运动时间， 高中生的总运动时间， 又，，， 可得由. 7．（2024·北京西城·一模）10米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一，资格赛比赛规则如下：每位选手采用立姿射击60发子弹，总环数排名前8的选手进入决赛.三位选手甲、乙、丙的资格赛成绩如下： 环数 6环 7环 8环 9环 10环 甲的射击频数 1 1 10 24 24 乙的射击频数 3 2 10 30 15 丙的射击频数 2 4 10 18 26 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的射击成绩相互独立. (1)若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，并说明理由； (2)若甲、乙各射击2次，估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率； (3)甲、乙、丙各射击10次，用分别表示甲、乙、丙的10次射击中大于环的次数，其中，写出一个的值，使，并说明理由. 【答案】(1)甲进入决赛，理由见解析 (2) (3)答案见解析 【详解】（1）甲进入决赛，理由如下： 丙射击成绩的总环数为， 甲射击成绩的总环数为， 因为，所以用样本来估计总体可得甲进入决赛. （2）根据题中数据：“甲命中9环”的概率可估计为， “甲命中10环”的概率可估计为， “乙命中9环”的概率可估计为， “乙命中10环”的概率可估计为， 所以估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率为 . （3）或（写出其中一个即可）. 根据题中数据： 当时，在每次射击中，甲击中大于6环的概率为， 在每次射击中，乙击中大于6环的概率为， 在每次射击中，丙击中大于6环的概率为， 由题意可知，，， 此时，，，不满足． 当时，在每次射击中，甲击中大于7环的概率为， 在每次射击中，乙击中大于7环的概率为， 在每次射击中，丙击中大于7环的概率为， 由题意可知，，， 此时，，，满足． 当时，在每次射击中，甲击中大于8环的概率为， 在每次射击中，乙击中大于8环的概率为， 在每次射击中，丙击中大于8环的概率为， 由题意可知，，， 此时，， 满足． 当时，在每次射击中，甲击中大于9环的概率为， 在每次射击中，乙击中大于9环的概率为， 在每次射击中，丙击中大于9环的概率为， 由题意可知，，， 此时，，， 不满足. 8．（2023·北京海淀·一模）网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择.某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A组和B组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下： A组：8，9，11，13，15，17，18，26，29，30 B组：5，12，14，21，24，27，28，33，35，39 假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响. (1)从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率； (2)从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为，估计的数学期望； (3)从组和组中分别随机抽取2户家庭，记为A组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，为B组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差与的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设“该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20”为事件，在组10户中超过20次的有3户，由样本频率估计总体概率，则. （2）由样本频率估计总体概率，一单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为， 二单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为， 可知：X的可能取值为0，1，2，则有： ，， ， 所以． （3）依题可知，，的可能取值为0，1，2，且，服从超几何分布， ，，， ，，， 因为，， 可得， ， 所以． 9．（2024·广东茂名·二模）在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立. (1)若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁； ①求甲获得第四名的概率； ②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望； (2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由. 【答案】(1)①0.16；②3.128 (2)答案见解析.. 【详解】（1）①记“甲获得第四名”为事件，则； ②记在甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量， 则的所有可能取值为2，3，4， 连败两局：， 可以分为：连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负； ， ； 故的分布列如下： 2 3 4 故数学期望； （2）“双败淘汰制”下，甲获胜的概率， 在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为， 由，且 所以时，，“双败淘汰制”对甲夺冠有利； 时，，“单败淘汰制”对甲夺冠有利； 时，两种赛制甲夺冠的概率一样. 10．（2024·北京通州·二模）随着生活水平的不断提高，人们对于身体健康越来越重视．为了解人们的健康情况v某地区一体检机构统计了年岁到岁来体检的人数及年龄在，，，的体检人数的频率分布情况，如下表．该体检机构进一步分析体检数据发现：岁到岁（不含岁）体检人群随着年龄的增长，所需面对的健康问题越多，具体统计情况如图． 组别 年龄（岁） 频率 第一组 第二组 第三组 第四组 注：健康问题是指高血压、糖尿病、高血脂、肥胖、甲状腺结节等余种常见健康问题． (1)根据上表，求从年该体检机构岁到岁体检人群中随机抽取人，此人年龄不低于岁的频率； (2)用频率估计概率，从年该地区岁到岁体检人群中随机抽取人，其中不低于岁的人数记为，求的分布列及数学期望； (3)根据图的统计结果，有人认为“该体检机构年岁到岁（不含岁）体检人群健康问题个数平均值一定大于个，且小于个”．判断这种说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望 (3)不正确，理由见解析. 【详解】（1）由表格数据知：从年该体检机构岁到岁体检人群中抽取人， 此人年龄不低于岁的频率为：. （2）用频率估计概率，从年该地区岁到岁体检人群中随机抽取人，此人年龄不低于岁的概率为，则； 所有可能的取值为， ；；；； 的分布列为： 数学期望. （3）这种说法不正确，理由如下： 假设在体检人群年龄岁到岁（不含岁）中，、、、体检人群所占频率分别为、、、， 则岁到岁（不含岁）体检人群健康问题平均值为个，与该说法结论不同， 该说法是不正确的． 11．（2024·北京东城·一模）某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图： (1)若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数； (2)用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，求的分布列与数学期望； (3)若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，试判断数学期望与（2）中的的大小. 【答案】(1)人 (2)分布列见解析； (3) 【详解】（1）， 故可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数为人； （2）从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率为： ， 的可能取值为、、、， ， ， ， ， 则其分布列为： 其期望为：； （3），理由如下： 这10名学生中，阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为人，的可能取值为、、， ，，， 则，故. 12．（2020·北京顺义·二模）在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源．活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间（单位：h），将样本数据分成[3，4），[4，5），[5，6），[6，7），[7，8]五个组，并整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)已知该校高三年级共有600名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数； (2)已知这两个班级各有40名学生，从甲、乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生中随机抽取3人，记抽到的甲班学生人数为，求的分布列和均值； (3)记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为，，试比较与的大小．（只需写出结论） 【答案】(1)480； (2)的分布列为 0 1 2 均值为1； (3) 【详解】（1）由甲班频率分布直方图知，甲班每天学习时间达到5小时及以上的频率为． 故该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数约为． （2）甲班每天学习时间不足4小时的人数约为，乙班每天学习时间不足4小时的人数约为， 所以两个班每天学习时间不足4小时的学生共6人．从中随机抽取3人．则抽到的甲班学生人数的可能取值为0，1，2，且服从超几何分布， ，，， 所以的分布列为 0 1 2 方法一：． 方法二：． （3）从甲、乙两个班学生每天的学习时间的频率分布直方图上来看，甲班的数据比较集中，乙班的数据相比甲班较为分散，故． 13．（2024·北京·三模）自2022北京冬奥会以来，花样滑冰项目引起了广泛关注.选手们在冰上起舞，做出步法、旋转、跳跃等技术动作.“技术动作分”由“基础分”和“执行分”相加得到.不同的技术动作，其“基础分”也不同，其中四个跳跃动作4T，4S，4F，4Lz的“基础分”如表1所示. 跳跃动作 4T 4S 4F 4Lz 基础分 9.5 9.7 11.0 11.5 表1 选手表演完，得到相应动作的“执行分”.把“执行分”为非负值的跳跃动作记为“成功”，否则记为“失败”.表2为某选手在上一赛季各跳跃动作的“技术动作分”. 4T 12.04 11.22 4.75 9.06 9.97 11.63 10.98 4S 10.98 10.57 11.32 4.85 9.51 12.07 4F 13.69 5.50 14.02 12.92 4Lz 13.54 14.23 11.21 8.38 11.87 表2 假设用频率估计概率，且选手每个跳跃动作是否“成功”相互独立. (1)从该选手上一赛季所有4T动作中任选一次，估计这次跳跃为“成功”的概率； (2)若该选手在本赛季中，计划完成4T，4S，4F 这三个动作，且每个动作只完成一次.将这三个动作中成功的跳跃个数记为X，求X的分布列和数学期望E（X）； (3)在本赛季中，从四个跳跃动作4T，4S，4F，4Lz中选出三个，使得该选手这三个动作中“成功”的跳跃个数的期望最大，请直接写出这三个动作的名称. 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 (3)4T,4S, 4F 【详解】（1）根据题中数据，该选手上一赛季7个4T动作中，有5个跳跃为“成功”，所以从该选手上一赛季所有4T动作中任选一次，这次跳跃“成功”的概率可以估计为 （2）同（1），从该选手上一赛季所有4S，4F动作中分别任选一次，这次跳跃“成功”的概率分别可以估计为 ， X的所有可能取值为0,1,2,3. 所以随机变量X的分布列为： 所以 （3）由表格可知，4T动作成功的概率为，失败的概率为， 4S动作成功的概率为，失败的概率为， 4F动作成功的概率为，失败的概率为， 4Lz动作成功的概率为，失败的概率为， 由可知，选4T,4S, 4F. 14．（2024·北京海淀·二模）图象识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人.工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了200张不同的人脸照片作为测试样本，获得数据如下表（单位：张）： 识别结果真实性别 男 女 无法识别 男 90 20 10 女 10 60 10 假设用频率估计概率，且该程序对每张照片的识别都是独立的. (1)从这200张照片中随机抽取一张，已知这张照片的识别结果为女性，求识别正确的概率； (2)在新一轮测试中，小组同学对3张不同的男性人脸照片依次测试，每张照片至多测一次，当首次出现识别正确或3张照片全部测试完毕，则停止测试.设表示测试的次数，估计的分布列和数学期望； (3)为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案： 方案一：将无法识别的照片全部判定为女性； 方案二：将无法识别的照片全部判定为男性； 方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性（即判定为男性的概率为50%，判定为女性的概率为. 现从若干张不同的人脸照片（其中男性､女性照片的数量之比为）中随机抽取一张，分别用方案一､方案二､方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为.试比较的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析； (3) 【详解】（1）根据题中数据，共有张照片被识别为女性，其中确为女性的照片有60张，所以该照片确为女性的概率为. （2）设事件输入男性照片且识别正确. 根据题中数据，可估计为. 由题意知的所有可能取值为. . 所以的分布列为 1 2 3 所以. （3）由题可知，调查的200张照片中，其中女生共有80个，男生共有120个， 程序将男生识别正确的频率为，识别为女生的频率为，无法识别的频率为， 程序将女生识别正确的频率为，识别为男生的频率为，无法识别的频率为， 由频率估计概率得 ， ， ， 所以 15．（2024·北京顺义·二模）某学校工会组织趣味投篮比赛，每名选手只能在下列两种比赛方式中选择一种. 方式一：选手投篮3次，每次投中可得1分，未投中不得分，累计得分； 方式二：选手最多投3次.如第1次投中可进行第2次投篮，如第2次投中可进行第3次投篮.如某次未投中，则投篮中止.每投中1次可得2分，未投中不得分，累计得分； 已知甲选择方式一参加比赛，乙选择方式二参加比赛.假设甲，乙每次投中的概率均为，且每次投篮相互独立. (1)求甲得分不低于2分的概率； (2)求乙得分的分布列及期望； (3)甲，乙谁胜出的可能性更大？直接写出结论. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)甲获胜的可能性更大 【详解】（1）设甲选择方式一参加比赛得分为， ， ， 设甲得分不低于2分为事件A， 则； （2）设乙选择方式二参加比赛得分为Y，Y的可能取值为0，2，4，6， ，， ，， 所以Y的分布列为： Y 0 2 4 6 P 所以； （3）甲获胜的概率为 ， 乙获胜的概率为， 故甲获胜的可能性更大. 16．（2024·北京门头沟·一模）2024年1月11日，记者从门头沟区两会上获悉，目前国道109新线高速公路（简称新高速)全线35坐桥梁主体结构已全部完成，项目整体进度已达到，预计今年上半年开始通车，通车后从西六环到门头沟区清水镇车程将缩短到40分钟。新高速全线设颀主线收费站两处（分别位于安家庄和西台子)和匝道收费站四处 (分别位于雁翅、火村、清水和斋堂)。新高速的建成为市民出行带来了很大便利，为此有关部门特意从门头沟某居民小区中随机抽取了200位打算利用新高速出行的居民，对其出行的原因和下高速的出口进行了问卷调查（问卷中每位居民只填写一种出行原因和对应的一个下高速的出口)，具体情况如下： （假设该小区所有打算利用新高速出行的居民的出行相对独立，且均选择上表中的一个高速出口下高速）。 项目 斋堂出口 清水出口 安家庄出口 雁翅出口 火村出口 西台子出口 上班 40 8 2 5 3 2 旅游 30 20 10 10 12 8 探亲 16 10 10 5 5 4 (1)从被调查的居民中随机选1人，求该居民利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的概率； (2)用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取2人，从出行旅游的人中随机抽取1人，这三人中从斋堂出口下高速的人数记为，求的分布列和数学期望； (3)用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取 1 人，用 “”表示此人从斋堂出口下高速，“”表示此人不从斋堂出口下高速：从该小区所有打算利用新高速出行旅游的人中随机抽取1人，用 “”表示此人从斋堂出口下高速，“”表示此人不从斋堂出口下高速，写出方差 的大小关系． (结论不要求证明）． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【详解】（1）解：样本中被调查的居民人数为200， 其中利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的人数为10， 所以该居民利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的概率为：， （2）解：从样本中所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取1人，此人从斋堂出口下高速的概率为； 从样本中所有打算利用新高速出行旅游的人中随机抽取1人，此人从斋堂出口下高速的概率为， 由题设，的所有可能取值为0，1，2，3. , ， ， ， 所以随机变量X的分布列为： 0 1 2 3 所以X的数学期望. （3）解： 17．（2024·北京海淀·一模）某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分.现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表： 科普测试成绩x 科普过程性积分 人数 4 10 3 a 2 b 1 23 0 2 (1)当时， （i）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率； （ⅱ）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X为这2名学生的科普过程性积分之和，估计X的数学期望； (2)从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为，上述100名学生科普测试成绩的平均值记为.若根据表中信息能推断恒成立，直接写出a的最小值. 【答案】(1)（i）；（ⅱ）； (2)7. 【详解】（1）当时， （i）由表知，科普过程性积分不少于3分的学生人数为， 则从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的频率为， 所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率估计为. （ⅱ）依题意，从样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的频率为， 所以从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的概率估计为， 同理，从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为4分的概率估计为， 的所有可能值为6，7，8， ，，， 所以的数学期望. （2）由表知，，则， 从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为，则的最大值为69， 100名学生科普测试成绩的平均值记为，要恒成立，当且仅当， 显然的最小值为各分数段取最小值求得的平均分， 因此，则，解得， 所以根据表中信息能推断恒成立的a的最小值是7. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点14 随机变量及其分布 三年考情分析 2025考向预测 2022年，第18题，考察离散型随机变量的均值 2024年，第18题，考察离散型随机变量的均值 本节内容是北京卷的必考内容，难度中档，常在解答题中考查。2025年命题形式可能会以两点分布、二项分布、超几何分布为基础计算随机变量的分布列、均值与方差，也可能会利用方差进行决策. 题型1独立性的乘法公式 求相互独立事件的概率的步骤：①先用字母表示出事件,再分析题中涉及的事件,并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥事件的和;②求出这些彼此互斥事件的概率;③根据互斥事件的概率计算公式求出结果. 1．（2025·广东肇庆·二模）小王数学期末考试考了分，受到爸爸表扬的概率为，受到妈妈表扬的概率也为，假设小王受爸爸表扬和受妈妈表扬独立，则小王被表扬的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·北京顺义·一模）精彩纷呈的春节档电影丰富了人们的节日文化生活，春节小长假期间大批观众走进电影院．某电影院统计了2023年正月初一放映的四部影片的上座率，整理得到如下数据： 影片 排片场次 上座率（％） A 12 36  42  45  50  57  62  68  73  80  85  88  94 B 10 35  40  46  52  65  65  78  84  90  95 C 9 35  38  47  55  60  65  73  82  85 D 9 34  37  46  54  60  64  72  81  84 (1)从以上所有排片场次中随机选取1场，求该场的上座率大于70%的概率； (2)假设每场影片的上座率相互独立．从影片A，B，C的以上排片场次中各随机抽取1场，求这3场中至少有2场上座率大于70%的概率； (3)将影片C和影片D在该电影院正月初一的上座率的方差分别记为和，试比较和的大小．（结论不要求证明） 3．（2025·安徽合肥·一模）袋中有三个相同的小球，用不同数字对三个小球进行标记.从袋中随机摸出一个小球，接着从袋中取出比该小球上数字大的所有小球不再放回，并将该小球放回袋中.然后，对袋中剩下的小球再作一次同样的操作，此时袋中剩下2个小球的概率为 . 4．（2024·北京平谷·模拟预测）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如图，其中“√”表示购买，“×”表示未购买． (1)试估计顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率； (2)假设每位顾客是否够买这四种商品是相互独立的，在近期内再对这四种商品购买情况进行调查，随机抽取4名顾客，试估计恰有2名顾客购买了两种商品，1名顾客购买了一种商品、1名顾客购买了三种商品的概率； (3)如果顾客购买了甲则该顾客同时购买丙、丁中哪种商品的可能性最大．（结论不要求证明） 5．（2023·北京·高考真题）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同． 时段 价格变化 第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 + 第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - + 用频率估计概率． (1)试估计该农产品价格“上涨”的概率； (2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率； (3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明） 题型2求离散性随机变量的均值与方差 求离散型随机变量的均值的步骤：（1）理解的实际意义,并写出的全部取值；（2）求出取每个值的概率；（3）写出的分布列(有时也可省略)；（4）利用期望公式，方差公式计算即可 1．（2024·北京·模拟预测）从中随机取一个数记为a，从中随机取一个数记为b，则下列说法不正确的是（    ） A．事件“为偶数”的概率为 B．事件“ab为偶数”的概率为 C．设，则X的数学期望为 D．设，则在Y的所有可能的取值中最有可能取到的值是12 2．（2023·北京·三模）每年8月8日为我国的全民健身日；倡导大家健康､文明､快乐的生活方式，为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以体育锻炼为主题的实践活动，为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育锻炼活动时间（单位：分钟），得到下表： (1)从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育锻炼活动时间在的概率； (2)从参加体育锻炼活动时间在和的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为，求随机变量的分布列和数学期望； (3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育锻炼活动时间的平均数记为，初中､高中学生参加体育锻炼活动时间的平均数分别记为，.写出一个的值，使得.（结论不要求证明） 3．（2024·北京大兴·三模）某居民小区某栋楼共有10户家庭入住，若该楼住户在2024年4月的用电量（单位：度）如下图所示：    若电力公司组织了线上抽奖活动，各住户抽奖相互独立，但对用电量不同的住户，系统设定了如下中奖率： 用电量 中奖率 50% 50% (1)在该楼中随机抽取一户家庭，求其4月用电量不低于30度的概率； (2)在该楼随机抽取2户家庭，以X表示中奖的户数，试求X的分布列和期望； (3)以频率估计概率，在该小区随机抽取2户家庭，以Y表示中奖的户数，试比较与的大小关系.（结论不要求证明） 4．（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明） 5．（2024·北京·三模）某口罩加工厂加工口罩由A，B，C三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别，A，B，C三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级；A，B，C工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为100等级（表示最低过滤效率为）；C工序的加工质量层次为高，A，B工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等级为99等级（表示最低过滤效率为）；其余均为95级（表示最低过滤效率为）.现从A，B，C三道工序的流水线上分别随机抽取100个口罩进行检测，其中A工序加工质量层次为高的个数为50个，B工序加工质量层次高的个数为75个，C工序加工质量层次为高的个数为80个. 表①：表示加工一个口罩的利润. 口罩等级 100等级 99等级 95等级 利润/元 2 1 0.5 (1)用样本估计总体，估计该厂生产的口罩过滤等级为100等级的概率； (2)X表示一个口罩的利润，求X的分布列和数学期望； (3)用频率估计概率，由于工厂中A工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检测环节对A工序进行升级.在升级过程中，每个口罩检测成本增加了0.2元时，相应的A工序加工层次为高的概率在原来的基础上增加了b.试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，写出一个满足条件的b的值. 题型3二项分布及其应用 1.判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点:一是对立性,即一次试验中,事件发生与否两者必有其一;二是重复性,即试验是独立重复地进行了次； 2.当服从二项分布时,应弄清中的试验次数与成功概率 1．（2024·北京石景山·一模）为研究北京西部地区油松次生林和油松人工林的森林群落植物多样性问题，某高中研究性学习小组暑假以妙峰山油松次生林和老山油松人工林为研究对象进行调查，得到两地区林下灌木层，乔木层，草本层的抽样调查数据．其中两地区林下灌木层获得数据如表1，表2所示： 表1：老山油松人工林林下灌木层 植物名称 植物类型 株数 酸枣 灌木 28 荆条 灌木 41 孩儿拳头 灌木 22 河朔荛花 灌木 4 臭椿 乔木幼苗 1 黑枣 乔木幼苗 1 构树 乔木幼苗 2 元宝槭 乔木幼苗 1 表2：妙峰山油松次生林林下灌木层 植物名称 植物类型 株数 黄栌 乔木幼苗 6 朴树 乔木幼苗 7 栾树 乔木幼苗 4 鹅耳枥 乔木幼苗 7 葎叶蛇葡萄 木质藤本 8 毛樱桃 灌木 9 三裂绣线菊 灌木 11 胡枝子 灌木 10 大花溲疏 灌木 10 丁香 灌木 8 (1)从抽取的老山油松人工林林下灌木层的植物样本中任选2株，求2株植物的类型都是乔木幼苗的概率； (2)以表格中植物类型的频率估计概率，从妙峰山油松次生林林下灌木层的所有植物中随机抽取3株（假设每次抽取的结果互不影响），记这3株植物的植物类型是灌木的株数为，求的分布列和数学期望； (3)从老山油松人工林的林下灌木层所有符合表1中植物名称的植物中任选2株，记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为；从妙峰山油松次生林的林下灌木层所有符合表2中植物名称的植物中任选2株，记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为．请直接写出与大小关系．（结论不要求证明） 2．（2024·北京·模拟预测）某项游戏的规则如下：游戏可进行多轮，每轮进行两次分别计分，每次分数均为不超过10的正整数，选手甲参加十轮游戏，分数如下表： 轮次 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 第一次分数 7 6 8 9 8 5 9 7 10 7 第二次分数 8 7 9 10 8 9 8 7 7 9 若选手在某轮中，两次分数的平均值不低于7分，且二者之差的绝对值不超过1分，则称其在该轮“稳定发挥”. (1)若从以上十轮游戏中任选两轮，求这两轮均“稳定发挥”的概率； (2)假设甲再参加三轮游戏，每轮得分情况相互独立，并对是否稳定发挥以频率估计概率.记为甲在三轮游戏中“稳定发挥”的轮数，求的分布列和数学期望； (3)假设选手乙参加轮游戏，每轮的两次分数均不相同.记为各轮较高分的算数平均值，为各轮较低分的算数平均值，为各轮两次的平均分的算数平均值.试比较与的大小（结论不要求证明）. 3．（2023·北京密云·三模）为了解某地区居民每户月均用电情况，采用随机抽样的方式，从该地区随机调查了100户居民，获得了他们每户月均用电量的数据，发现每户月均用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），得到如下频率分布直方图：    (1)记频率分布直方图中从左到右的分组依次为第1组，第2组，…，第6组.从第5组，第6组中任取2户居民，求他们月均用电量都不低于的概率； (2)从该地区居民中随机抽取3户，设月均用电量在之间的用户数为，以频率估计概率，求的分布列和数学期望； (3)该地区为提倡节约用电，拟以每户月均用电量为依据，给该地区月均用电量不少于的居民用户每户发出一份节约用电倡议书，且发放倡议书的数量为该地区居民用户数的2%.请根据此次调查的数据，估计应定为多少合适？（只需写出结论）. 4．（2023·北京西城·模拟预测）人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论.为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库，其中“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况，数据如下： “一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况 频数 “一个” 6 “一些” 4 “一穷” 2 “一条” 2 其他 假设用频率估计概率. (1)求的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率； (2)在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现的次数为，求的分布列和期望； (3)另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库进行统计，“一”出现了24次，“一格”出现了2次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适？（结论不要求证明） 5．（2023·北京房山·二模）2021年3月教育部印发了《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，该《通知》指出，高中生每天睡眠时间应达到小时． 某学校为了解学生的睡眠情况，从高一和高二年级中随机抽取各40名学生，统计他们一周平均每天的睡眠时间作为样本，统计结果如图． (1)从该校高一年级学生中随机抽取人，估计该生平均每天的睡眠时间不少于小时的概率； (2)从该校高二年级学生中随机抽取人，这人中平均每天的睡眠时间为小时或小时的人数记为，求的分布列和数学期望； (3)从该校高一年级学生中任取人，其平均每天的睡眠时间记为，从该校高二年级学生中任取人，其平均每天的睡眠时间记为，试比较方差与的大小．（只需写出结论） 题型4二项分布中的最大概率问题 二项分布的概率为，这个是数列的最值问题. . 分析：当时，，随值的增加而增加； 当时，，随值的增加而减少. 如果为正整数，当时，，此时这两项概率均为最大值. 如果为非整数，而取的整数部分，则是唯一的最大值. 1．（2020·21高三上·北京顺义·期末）某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，整理得到如下频率分布直方图： （1）若该样本中男生有55人，试估计该学校高三年级女生总人数； （2）若规定小于60分为“不及格”，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生不及格的概率； （3）若规定分数在为“良好”,为“优秀”.用频率估计概率,从该校高三年级随机抽取三人,记该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为X,求X的分布列和数学期望. 2．（2024·25高三上·甘肃酒泉·期末）在2024年“五四青年节”，某校举办了有关五四运动的知识竞赛活动，为了调查学生对本次活动的满意度，从该校学生中随机抽取一个容量为（）的样本进行调查，调查结果如下表： 满意 不满意 合计 男生 女生 合计 (1)完成上面的列联表，若有不少于的把握认为“性别与满意度有关系”，求样本容量的最小值； (2)本次知识竞赛的晋级环节设置3道必答题目，至少答对2道题目则晋级，否则被淘汰．某年级有20名同学进入晋级环节，根据统计，每人对这3道题目答对的概率分别为，且3道题目答对与否互不影响． ①设表示这20人中晋级的人数，求； ②记这20人中（）人晋级的概率为，求取得最大值时的取值． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 3．（2024·江苏徐州·模拟预测）投掷一枚骰子，向上点数共有1-6六种可能，每一种情况的发生是等可能的，则下列说法正确的是（    ） A．事件A“点数为1或2”和事件B“点数为偶数”不是相互独立事件； B．每一局投两次，记较大点数为该局得分，则每局得分的数学期望为4； C．事件C“点数为1或2或3”和事件B“点数为偶数”是相互独立事件； D．连续投掷40次，记出现6点的次数，则随机变量的分布列中，时概率最大． 4．（2024·广东惠州·模拟预测）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为，用表示小球最后落入格子的号码，若，则 . 5．（2024·福建泉州·模拟预测）某人在次射击中击中目标的次数为，其中，设击中偶数次为事件，则（    ） A．当时，取得最小值 B．当时，取得最小值 C．当随的增大而减小 D．当随的增大而减小 题型5超几何分布及其应用 求超几何分布的分布列的步骤：①验证随机变量服从超几何分布,并确定数的值；②根据超几何分布的概率计算公式计算随机变量取每一个值时的概率；③用表格的形式列出分布列 1．（2024·北京海淀·模拟预测）为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某地区的小学学校联合开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了30名学生，将他们的比赛成绩（单位：分）用茎叶图记录如图： (1)求这组数据的中位数； (2)从选出的15名女生中随机抽取2人，记其中测试成绩在90分以上的人数为，求 的分布列和数学期望； (3)为便于普及冬奥知识，现从每所小学参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机选取个人作为冬奥宣传志愿者，要求每所学校的志愿者中至少有1人的“冰雪答题王”的测试成绩在80分以上的概率大于0.99．根据图表中数据，以频率作为概率，给出的最小值.（只需写出结论） 2．（2024·北京朝阳·一模）为提升学生用数学知识解决现实生活或其他学科领域中的问题的能力，发展学生数学建模素养，某市面向全市高中学生开展数学建模论文征文活动.对于参加征文活动的每篇论文，由两位评委独立评分，取两位评委评分的平均数作为该篇论文的初评得分.从评委甲和评委乙负责评审的论文中随机抽取10篇，这10篇论文的评分情况如下表所示. 序号 评委甲评分 评委乙评分 初评得分 1 67 82 74.5 2 80 86 83 3 61 76 68.5 4 78 84 81 5 70 85 77.5 6 81 83 82 7 84 86 85 8 68 74 71 9 66 77 71.5 10 64 82 73 (1)从这篇论文中随机抽取1篇，求甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过的概率； (2)从这篇论文中随机抽取3篇，甲、乙两位评委对同一篇论文的评分之差的绝对值不超过的篇数记为，求的分布列及数学期望； (3)对于序号为的论文，设评委甲的评分为，评委乙的评分为，分别记甲、乙两位评委对这10篇论文评分的平均数为，，标准差为，，以作为序号为的论文的标准化得分.对这10篇论文按照初评得分与标准化得分分别从高到低进行排名，判断序号为2的论文的两种排名结果是否相同?（结论不要求证明） 3．（2023·北京通州·模拟预测）某企业有7个分行业，2020年这7个分行业的营业收入及营业成本情况统计如下表： 营业情况分行业 营业收入单位（亿元） 营业成本单位（亿元） 分行业1 41 38 分行业2 12 9 分行业3 8 2 分行业4 6 5 分行业5 3 2 分行业6 2 1 分行业7 0.8 0.4 （一般地，行业收益率．） (1)任选一个分行业，求行业收益率不低于50%的概率； (2)从7个分行业中任选3个，设选出的收益率高于50%的行业个数为X，求X的分布列及期望； (3)设7个分行业营业收入的方差为，营业成本的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明） 4．（2022·北京东城·二模）某部门为了解青少年视力发展状况，从全市体检数据中，随机抽取了名男生和名女生的视力数据．分别计算出男生和女生从小学一年级（年）到高中三年级（年）每年的视力平均值，如图所示． (1)从年到年中随机选取年，求该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的概率； (2)从年到年这年中随机选取年，设其中恰有年女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值．求的分布列和数学期望： (3)由图判断，这名学生的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明） 5．（2022·北京顺义·二模）为了解顺义区某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的（）班（）班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽名学生进行身体素质监测.经统计，每班名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下：（轴表示对应的班号，轴表示对应的优秀人数） (1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测人，求该生身体素质监测成绩达到优秀的概率； (2)若从以上统计的高一（）班的名学生中抽出人，设表示人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求的分布列及其数学期望； (3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取名同学，用“”表示第班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第班抽到的这名同学身体素质不是优秀．写出方差的大小关系（不必写出证明过程）． 题型6正态分布及其应用 1.会用三个特殊区间内取值的概率值进行求概率 2.充分利用正态曲线的对称性和曲线与轴之间的面积为 1．（2024·北京通州·三模）已知随机变量，，且，，则 ． 2．（2025·贵州黔东南·模拟预测）某工厂在改进生产技术后，针对新旧两种技术所生产的电子元件实施质量检测，现从每种技术生产的产品中各随机抽取容量为40的样本进行电压测试.已知标准电压为3.7V，误差绝对值不超过0.1V的电子元件为优品，超过0.1V的电子元件为良品. (1)已知旧技术生产的40个样本电子元件的电压测量值近似服从正态分布的近似值为样本均值3.7，的近似值为样本标准差0.09.假设该工厂前期运用旧技术已生产电子元件40000个，试估算旧技术生产的电子元件电压测量值高于3.88V的有多少个？ (2)从新技术生产的40个样本电子元件中随机选取一个是优品的概率为.请补全以下列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为电子元件的优良情况与新旧技术有关？ 优品 良品 合计 旧技术 新技术 合计 16 附：若随机变量服从正态分布，则，.. 0.100 0.050 0.025 0.005 2.706 3.841 5.024 7.879 3．（2025·福建厦门·一模）已知随机变量X服从正态分布，若，且，则（   ） A．-1 B． C．0 D． 4．（2024·25高三·上海·课堂例题）若随机变量，且，，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（2024·四川内江·一模）某市为全面提高青少年健康素养水平，举办了一次“健康素养知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩采用百分制，排名前三百名的学生参加复赛．已知共有名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)规定预赛成绩不低于分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于分的学生中随机地抽取人，求至少有人预赛成绩优良的概率； (2)由频率分布直方图，可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩近似服从正态分布，其中可近似为样本中的名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？ (3)复赛规则如下：①复赛题目由、两类问题组成，答对类问题得分，不答或答错得分；答对类问题得分，不答或答错得分；②、两类问题的答题顺序可由参赛学生选择，但只有在答对第一类问题的情况下，才有资格答第二类问题．已知参加复赛的学生甲答对类问题的概率为，答对类问题的概率为，答对每类问题相互独立，且与答题顺序无关．为使累计得分的期望最大，学生甲应选择先回答哪类问题？并说明理由． 附：若，则，，；． 题型7几个分布的综合应用 1．（2024·北京西城·三模）根据2024城市魅力排行榜，一线城市4个，分别为：上海、北京、深圳、广州；新一线城市15个，分别为：成都、杭州、重庆、苏州、武汉、西安、南京、长沙、天津、郑州、东莞、无锡、宁波、青岛、合肥.其中城区常住人口超过一千万的超大城市10个，分别为：上海、北京、深圳、重庆、 广州、成都、天津、东莞、武汉、杭州. (1)从10个超大城市中随机抽取一座城市，求该城市是一线城市的概率； (2)从10个超大城市按不可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量X表示新一线城市的数量，求随机变量X的分布列和期望； (3)从10个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量Y表示新一线城市的数量，比较E（X）与E（Y）的大小关系.（直接写出结果） 2．（2022·北京东城·一模）根据Z市2020年人口普查的数据，在该市15岁及以上常住人口中，各种受教育程度人口所占比例（精确到0.01）如下表所示： 受教育程度 性别 未上学 小学 初中 高中 大学 专科 大学 本科 硕士 研究生 博士 研究生 男 0.00 0.03 0.14 0.11 0.07 0.11 0.03 0.01 女 0.01 0.04 0.11 0.11 0.08 0.12 0.03 0.00 合计 0.01 0.07 0.25 0.22 0.15 0.23 0.06 0.01 (1)已知Z市15岁及以上常住人口在全市常住人口中所占比例约为85%，从全市常住人口中随机选取1人，试估计该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概率； (2)从Z市15岁及以上常住人口中随机选取2人，记这2人中受教育程度为大学本科及以上的人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)若受教育程度为未上学、小学、初中、高中、大学专科及以上的受教育年限分别记为0年、6年、9年、12年、16年，设Z市15岁及以上男性与女性常住人口的平均受教育年限分别为年和年，依据表中的数据直接写出与的大小关系.（结论不要求证明） 3．（2022·北京朝阳·模拟预测）自“新型冠状肺炎”疫情爆发以来，科研团队一直在积极地研发“新冠疫苗”.在科研人员不懈努力下，我国公民率先在年年末开始使用安全的新冠疫苗，使我国的“防疫”工作获得更大的主动权.研发疫苗之初，为了测试疫苗的效果，科研人员以白兔为实验对象，进行了一些实验： (1)实验一：选取只健康白兔，编号至号，注射一次新冠疫苗后，再让它们暴露在含有新冠病毒的环境中，实验结果发现：除号､号､号和号四只白兔仍然感染了新冠病毒，其他白兔未被感染.现从这只白兔中随机抽取只进行研究，将仍被感染的白兔只数记作，求的分布列和数学期望. (2)实验二：疫苗可以再次注射第二针､加强针，但两次疫苗注射时间间隔需大于三个月.科研人员对白兔多次注射疫苗后，每次注射的疫苗对白兔是否有效互相不影响.试问：若将实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率当做疫苗的有效率，那么一只白兔注射两次疫苗后的有效率能否保证达到？如若可以，请说明理由；若不可以，请你参考上述实验给出注射疫苗后有效率在以上的建议. 4．（2019·北京朝阳·一模）某部门在同一上班高峰时段对甲､乙两地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）.将统计数据按，，，…，分组，制成频率分布直方图： 假设乘客乘车等待时间相互独立. (1)在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为；从乙站的乘客中随机抽取1人，记为.用频率估计概率，求乘客，乘车等待时间都小于20分钟的概率； (2)在上班高峰时段，从甲站乘车的乘客中随机抽取3人，表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量的分布列与数学期望. 5．（2021·北京·三模）某超市从年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取个，并按、、、、分组，得到频率分布直方图如下： 假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立. （1）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于箱且另一个不高于箱的概率； （2）设表示在未来天内甲种酸奶的日销售量不高于箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求的数学期望； （3）记甲种酸奶与乙种酸奶口销售量（单位：箱）的方差分别为、，试比较与的大小（只需写出结论）. 1．（2024·北京西城·二模）为研究中国工业机器人产量和销量的变化规律，收集得到了年工业机器人的产量和销量数据，如下表所示． 年份 产量万台 销量万台 记年工业机器人产量的中位数为，销量的中位数为．定义产销率为“”． (1)从年中随机取年，求工业机器人的产销率大于的概率； (2)从年这年中随机取年，这年中有年工业机器人的产量不小于，有年工业机器人的销量不小于．记，求的分布列和数学期望； (3)从哪年开始的连续年中随机取年，工业机器人的产销率超过的概率最小．结论不要求证明 2．（2023·北京朝阳·二模）果酒由水果本身的糖分被酵母菌发酵而成.研究表明，果酒中的芳香气味主要来自于酯类化合物.某学习小组在实验中使用了3种不同的酵母菌（A型，B型，C型）分别对三组（每组10瓶）相同的水果原液进行发酵，一段时间后测定发酵液中某种酯类化合物的含量，实验过程中部分发酵液因被污染而废弃，最终得到数据如下（“X”表示该瓶发酵液因废弃造成空缺）： 酵母菌类型 该酯类化合物的含量（μg/L） A型 X 2747 2688 X X 2817 2679 X 2692 2721 B型 1151 X 1308 X 994 X X X 1002 X C型 2240 X X 2340 2318 X 2519 2162 X X 根据发酵液中该酯类化合物的含量t（μg/L）是否超过某一值来评定其品质，其标准如下： 酵母菌类型 品质高 品质普通 A型 B型 C型 假设用频率估计概率 (1)从样本未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，求其品质高的概率； (2)设事件D为“从样本含A型，B型,C型酵母菌的未废弃的发酵液中各随机抽取一瓶，这三瓶中至少有一瓶品质高”，求事件D发生的概率； (3)设事件E为“从样本未废弃的发酵液中不放回地随机抽取三瓶，这三瓶中至少有一瓶品质高”试比较事件E发生的概率与（2）中事件D发生的概率的大小.（结论不要求证明） 3．（2023·北京丰台·二模）某地区教育研究部门为了解当前本地区中小学教师在教育教学中运用人工智能的态度、经验、困难等情况，从该地区2000名中小学教师中随机抽取100名进行了访谈．在整理访谈结果的过程中，统计他们对“人工智能助力教学”作用的认识，得到的部分数据如下表所示： 假设用频率估计概率，且每位教师对“人工智能助力教学”作用的认识相互独立． (1)估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数； (2)现按性别进行分层抽样，从该地区抽取了5名教师，求这5名教师中恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率； (3)对受访教师关于“人工智能助力教学”的观点进行赋分：“没有帮助”记0分，“有一些帮助”记2分，“很有帮助”记4分．统计受访教师的得分，将这100名教师得分的平均值记为，其中年龄在40岁以下（含40岁）教师得分的平均值记为，年龄在40岁以上教师得分的平均值记为，请直接写出的大小关系．（结论不要求证明） 4．（2019·北京通州·一模）某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日的微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况： (1)从3月2日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率； (2)从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为，求的分布列及数学期望； (3)下图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名（按照从大到小排序）分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）． 5．（2024·北京海淀·三模）某社区计划组织一次公益讲座向居民普及垃圾分类知识，为掌握居民对垃圾分类知识的了解情况并评估讲座的效果，主办方从全体居民中随机抽取10位参加试讲讲座活动，让他们在试讲讲座前后分别回答一份垃圾分类知识问卷．试讲讲座前后，这10位居民答卷的正确率如下表： 编号正确率 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号 试讲讲座前 65% 60% 0% 100% 65% 75% 90% 85% 80% 60% 试讲讲座后 90% 85% 80% 95% 85% 85% 95% 100% 85% 90% 根据居民答卷的正确率可以将他们垃圾分类的知识水平分为以下三个层级： 答卷正确率p 垃圾分类知识水平 一般 良好 优秀 假设每位居民回答问卷的结果之间互相独立，用频率估计概率． (1)正式讲座前．从该社区的全体居民中随机抽取1人，试估计该居民垃圾分类知识水平恰为“一般”的概率； (2)正式讲座前，从该社区的全体居民中随机抽取3人，这3人垃圾分类知识水平分别是“一般”、“良好”、“良好”．设随机变量X为“这3人讲座后垃圾分类知识水平达到‘优秀’、的人数”，试估计X的分布列和数学期望； (3)在未参加讲座的全部居民中再随机抽取若干人参加下一轮的公益讲座并让他们在讲座前后分别填写问卷．从讲座后的答卷中随机抽取一份，如果完成该答卷的居民的知识水平为“良好”，他在讲座前属于哪一知识水平的概率最大？（结论不要求证明） 6．（2024·北京顺义·三模）习近平总书记高度重视体育运动的发展，将体育与国家发展、民族振兴紧密联系在一起，多次强调体育“是实现中国梦的重要内容”“体育强则中国强，国运兴则体育兴”，为了响应总书记的号召，某中学组织全体学生开展了丰富多彩的体育实践活动.为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育实践活动时间（单位：分钟），得到下表： 时间人数类别 性别 男 5 12 13 8 9 8 女 6 9 10 10 6 4 学段 初中 10 高中 4 13 12 7 5 4 (1)从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育实践活动时间在的概率； (2)从该校参加体育实践活动时间在学生中随机抽取2人，在的学生中随机抽取1人，求其中至少有1名初中学生的概率； (3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育实践活动时间的平均数记为，初中、高中学生参加体育实践活动时间的平均数分别记为，，试比较与的大小关系.（结论不要求证明） 7．（2024·北京西城·一模）10米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一，资格赛比赛规则如下：每位选手采用立姿射击60发子弹，总环数排名前8的选手进入决赛.三位选手甲、乙、丙的资格赛成绩如下： 环数 6环 7环 8环 9环 10环 甲的射击频数 1 1 10 24 24 乙的射击频数 3 2 10 30 15 丙的射击频数 2 4 10 18 26 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的射击成绩相互独立. (1)若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，并说明理由； (2)若甲、乙各射击2次，估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率； (3)甲、乙、丙各射击10次，用分别表示甲、乙、丙的10次射击中大于环的次数，其中，写出一个的值，使，并说明理由. 8．（2023·北京海淀·一模）网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择.某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A组和B组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下： A组：8，9，11，13，15，17，18，26，29，30 B组：5，12，14，21，24，27，28，33，35，39 假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响. (1)从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率； (2)从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为，估计的数学期望； (3)从组和组中分别随机抽取2户家庭，记为A组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，为B组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差与的大小.（结论不要求证明） 9．（2024·广东茂名·二模）在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立. (1)若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁； ①求甲获得第四名的概率； ②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望； (2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由. 10．（2024·北京通州·二模）随着生活水平的不断提高，人们对于身体健康越来越重视．为了解人们的健康情况v某地区一体检机构统计了年岁到岁来体检的人数及年龄在，，，的体检人数的频率分布情况，如下表．该体检机构进一步分析体检数据发现：岁到岁（不含岁）体检人群随着年龄的增长，所需面对的健康问题越多，具体统计情况如图． 组别 年龄（岁） 频率 第一组 第二组 第三组 第四组 注：健康问题是指高血压、糖尿病、高血脂、肥胖、甲状腺结节等余种常见健康问题． (1)根据上表，求从年该体检机构岁到岁体检人群中随机抽取人，此人年龄不低于岁的频率； (2)用频率估计概率，从年该地区岁到岁体检人群中随机抽取人，其中不低于岁的人数记为，求的分布列及数学期望； (3)根据图的统计结果，有人认为“该体检机构年岁到岁（不含岁）体检人群健康问题个数平均值一定大于个，且小于个”．判断这种说法是否正确，并说明理由． 11．（2024·北京东城·一模）某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图： (1)若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数； (2)用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，求的分布列与数学期望； (3)若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，试判断数学期望与（2）中的的大小. 12．（2020·北京顺义·二模）在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源．活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间（单位：h），将样本数据分成[3，4），[4，5），[5，6），[6，7），[7，8]五个组，并整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)已知该校高三年级共有600名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数； (2)已知这两个班级各有40名学生，从甲、乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生中随机抽取3人，记抽到的甲班学生人数为，求的分布列和均值； (3)记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为，，试比较与的大小．（只需写出结论） 13．（2024·北京·三模）自2022北京冬奥会以来，花样滑冰项目引起了广泛关注.选手们在冰上起舞，做出步法、旋转、跳跃等技术动作.“技术动作分”由“基础分”和“执行分”相加得到.不同的技术动作，其“基础分”也不同，其中四个跳跃动作4T，4S，4F，4Lz的“基础分”如表1所示. 跳跃动作 4T 4S 4F 4Lz 基础分 9.5 9.7 11.0 11.5 表1 选手表演完，得到相应动作的“执行分”.把“执行分”为非负值的跳跃动作记为“成功”，否则记为“失败”.表2为某选手在上一赛季各跳跃动作的“技术动作分”. 4T 12.04 11.22 4.75 9.06 9.97 11.63 10.98 4S 10.98 10.57 11.32 4.85 9.51 12.07 4F 13.69 5.50 14.02 12.92 4Lz 13.54 14.23 11.21 8.38 11.87 表2 假设用频率估计概率，且选手每个跳跃动作是否“成功”相互独立. (1)从该选手上一赛季所有4T动作中任选一次，估计这次跳跃为“成功”的概率； (2)若该选手在本赛季中，计划完成4T，4S，4F 这三个动作，且每个动作只完成一次.将这三个动作中成功的跳跃个数记为X，求X的分布列和数学期望E（X）； (3)在本赛季中，从四个跳跃动作4T，4S，4F，4Lz中选出三个，使得该选手这三个动作中“成功”的跳跃个数的期望最大，请直接写出这三个动作的名称. 14．（2024·北京海淀·二模）图象识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人.工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了200张不同的人脸照片作为测试样本，获得数据如下表（单位：张）： 识别结果真实性别 男 女 无法识别 男 90 20 10 女 10 60 10 假设用频率估计概率，且该程序对每张照片的识别都是独立的. (1)从这200张照片中随机抽取一张，已知这张照片的识别结果为女性，求识别正确的概率； (2)在新一轮测试中，小组同学对3张不同的男性人脸照片依次测试，每张照片至多测一次，当首次出现识别正确或3张照片全部测试完毕，则停止测试.设表示测试的次数，估计的分布列和数学期望； (3)为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案： 方案一：将无法识别的照片全部判定为女性； 方案二：将无法识别的照片全部判定为男性； 方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性（即判定为男性的概率为50%，判定为女性的概率为. 现从若干张不同的人脸照片（其中男性､女性照片的数量之比为）中随机抽取一张，分别用方案一､方案二､方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为.试比较的大小.（结论不要求证明） 15．（2024·北京顺义·二模）某学校工会组织趣味投篮比赛，每名选手只能在下列两种比赛方式中选择一种. 方式一：选手投篮3次，每次投中可得1分，未投中不得分，累计得分； 方式二：选手最多投3次.如第1次投中可进行第2次投篮，如第2次投中可进行第3次投篮.如某次未投中，则投篮中止.每投中1次可得2分，未投中不得分，累计得分； 已知甲选择方式一参加比赛，乙选择方式二参加比赛.假设甲，乙每次投中的概率均为，且每次投篮相互独立. (1)求甲得分不低于2分的概率； (2)求乙得分的分布列及期望； (3)甲，乙谁胜出的可能性更大？直接写出结论. 16．（2024·北京门头沟·一模）2024年1月11日，记者从门头沟区两会上获悉，目前国道109新线高速公路（简称新高速)全线35坐桥梁主体结构已全部完成，项目整体进度已达到，预计今年上半年开始通车，通车后从西六环到门头沟区清水镇车程将缩短到40分钟。新高速全线设颀主线收费站两处（分别位于安家庄和西台子)和匝道收费站四处 (分别位于雁翅、火村、清水和斋堂)。新高速的建成为市民出行带来了很大便利，为此有关部门特意从门头沟某居民小区中随机抽取了200位打算利用新高速出行的居民，对其出行的原因和下高速的出口进行了问卷调查（问卷中每位居民只填写一种出行原因和对应的一个下高速的出口)，具体情况如下： （假设该小区所有打算利用新高速出行的居民的出行相对独立，且均选择上表中的一个高速出口下高速）。 项目 斋堂出口 清水出口 安家庄出口 雁翅出口 火村出口 西台子出口 上班 40 8 2 5 3 2 旅游 30 20 10 10 12 8 探亲 16 10 10 5 5 4 (1)从被调查的居民中随机选1人，求该居民利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的概率； (2)用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取2人，从出行旅游的人中随机抽取1人，这三人中从斋堂出口下高速的人数记为，求的分布列和数学期望； (3)用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取 1 人，用 “”表示此人从斋堂出口下高速，“”表示此人不从斋堂出口下高速：从该小区所有打算利用新高速出行旅游的人中随机抽取1人，用 “”表示此人从斋堂出口下高速，“”表示此人不从斋堂出口下高速，写出方差 的大小关系． (结论不要求证明）． 17．（2024·北京海淀·一模）某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分.现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表： 科普测试成绩x 科普过程性积分 人数 4 10 3 a 2 b 1 23 0 2 (1)当时， （i）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率； （ⅱ）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X为这2名学生的科普过程性积分之和，估计X的数学期望； (2)从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为，上述100名学生科普测试成绩的平均值记为.若根据表中信息能推断恒成立，直接写出a的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$