黄金卷04（辽宁专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（辽宁专用） 黄金卷04 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.） 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列自然能源图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（  ） A． B． C． D． 3．有7张除数字外都相同的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6，7．随机抽取1张，取出的数字是偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 4．如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（    ） A．与的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，的取值范围是 5．如图，是的直径，点在上，若则的度数为（    ）    A．30° B．40° C．50° D．60° 6．关于的方程实数根的情况，下列判断正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 7．如图，我市龙湾公园内有一座圆弧形拱桥，桥顶到水面的距离为，它的跨度也为，则桥拱半径为（    ） A． B． C． D． 8．关于抛物线，下列结论正确的是（    ） A．抛物线的顶点坐标为 B．抛物线可由经过平移得到 C．抛物线与轴有两个交点 D．当时，随的增大而增大 9．如图，在中，，，，将绕点旋转得到，当点恰好落在直线上时，的长为（    ） A． B． C． D．6 10．如图，二次函数（）的图像过点，对称轴为直线．有以下结论：①；②；③若，是抛物线上的两点，当时，；④若方程的两根为，，且，则．其中结论正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、 填空题：（本大题共5题，每题3分，共15分.） 11．若一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 12．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为 ． 13．如图，分别与相切于A，B两点，，点D是劣弧上的一点，则 ． 14．如图，抛物线与轴相交于点，点，与轴相交于点，点在抛物线上，当轴时， ． 15．如图，在中，，，，点，分别是边，的中点，连接，将绕点按顺时针方向旋转（），点，的对应点分别为点，，直线与交于点，当与的一边平行时，的长为______． 三、解答题：（本大题共8题，第16-19每题8分，第20，21每题9分，第22题12分，第23题13分共75分） 16．先化简，再求值：，其中． 17．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的顶点均在格点（网格线的交点）上，建立平面直角坐标系后，点的坐标为． (1)画出，使与关于原点成中心对称，并写出点的坐标； (2)将绕点逆时针旋转90°，得到， ①画出，并写出点的坐标： ②在旋转到的过程中，线段扫过的面积是_____． 18．美术课上，小明和小亮用质地均匀的材料做了两个可以自由转动的转盘，用来做“配紫色”游戏：每个转盘都被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．游戏者同时转动两个转盘，如果转盘指针指向红色，转盘指针指向蓝色，或者转盘指针指向蓝色，转盘指针指向红色，那么红色和蓝色涂在一起就可以配成紫色，如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个颜色为止． (1)利用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果； (2)游戏规定若配成紫色，则小明胜，否则小亮胜；请问这个游戏对双方公平吗？说明理由． 19．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数（）的图象相交于，两点，过点作轴，过点作轴，与相交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若直线与轴相交于点，点是反比例函数（）上一点，连接，，若的面积等于的面积，求点的坐标． 20．近年来，用“短视频＋直播”推广家乡农副产品的方式日益引发关注，成为推动农业和乡村发展的新引擎：资料显示，2022年有近100万网友分享了助农短视频，到2024年分享助农短视频的人数已经达到121万． (1)求短视频分享人数的年平均增长率； (2)某短视频平台的“新农人”通过平台销售家乡特产“薄皮核桃”，据了解，每斤核桃进价是8元，每斤核桃的利润中需拿出2元做为平台管理费，若销量（斤）与每斤售价（元）满足函数关系，设直播收益为（元），当每斤售价定为多少元时，每天的直播收益最大？最大收益为多少元？（直播收益＝销售利润－平台管理费） 21．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F，交AB的延长线于点P． （1）求证：PE是⊙O的切线； （2）若⊙O的直径为5，tanC＝2，求BP的长． 22．数学活动课上，同学们以等腰直角三角形为背景，探究图形变化中的数学问题．和均为等腰直角三角形纸板，，先将其如图1摆放，再将绕点逆时针方向旋转（），观察图形的变化，完成探究活动． 【初步探究】 （1）问题1：如图2，连接，，观察旋转过程，发现线段与始终存在相等的数量关系，请说明理由： 【深入探究】 （2）问题2：结合问题1解决下面的问题． 如图3，延长交直线于点，交于点，取线段的中点，连接，，求证：； 【尝试应用】 （3）问题3：如图4，延长交直线于点，连接，若，，当时，求线段的长． 23．我们约定，在平面直角坐标系中，对于不同的两点，，如果满足，那么称，两点互为“等差点”． (1)在点，，中，与点互为“等差点”的是______； (2)已知点在双曲线（）上存在唯一等差点，求出的值； (3)如图1，抛物线的顶点与点是等差点，且与轴交于，两点，与轴交于点． ①点位于轴下方的抛物线上，设点的横坐标是，过点作直线轴，垂足为点，交直线于点．当，，三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长； ②抛物线（）图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象上恰有点的两个“等差点”，请直接写出的取值范围． 试卷第2页，共8页 试卷第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（辽宁专用） 黄金卷04 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C C D A B C D C 2、 填空题：（本大题共5题，每题3分，共15分.） 11． 12． 13．/126度 14． 15．或 三、解答题：（本大题共8题，第16-19每题8分，第20，21每题9分，第22题12分，第23题13分共75分） 16．，0 【详解】           ， ， 原式． 17．(1)图见解析， (2)①见解析，；② 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：①如图所示，即为所求； ②， 线段在旋转过程中扫过的面积， 故答案为：． 18．(1)见解析 (2)不公平，理由见解析 【详解】（1）解：根据题意，列表如下： 红1 蓝1 红2 黄1 红3 （红1，红3） （蓝1，红3） （红2，红3） （黄1，红3） 蓝2 （红1，蓝2） （蓝1，蓝2） （红2，蓝2） （黄1，蓝2） 黄2 （红1，黄2） （蓝1，黄2） （红2，黄2） （黄1，黄2） （2）解：根据上述表格可得，共有12种等可能结果，其中可配成紫色的结果有3种， 分别为（红1，蓝2），（红2，蓝2），（蓝1，红3）， ， 则； ， 即不能配成紫色的可能性大一些 此游戏对双方不公平． 19．(1)，（） (2) 【详解】（1）反比例函数（）经过点， 将点代入中得，， 反比例函数解析式为（）， 的图象经过点， ，点坐标为， 将，两点代入中得， 解得， 一次函数解析式为 （2）对于函数，令，得， 解得， ， ，，轴，轴， 点坐标为， ，，， ， 点是反比例函数（）上一点， 可设点坐标为， ， 解得， 点坐标为． 20．(1)10% (2)当售价为15元时，每天的收益最大；最大收益为1250元 【详解】（1）解：设短视频分享人数的年平均增长率为， 根据题意得：， 解得，，（不合题意，舍去）． 答：短视频分享人数的年平均增长率为10%． （2）解：根据题意可得 ， 抛物线开口向下，有最高点，有最大值， 即当时，． 答：当售价为15元时，每天的收益最大；最大收益为1250元 21．（1）见解析；（2） 【详解】解：（1）证明：连接，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）为的直径， ，AB=AC=5， ， ， 设，， ， ， （负值舍去）， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 22．（1）见解析；（2）见解析；（3） 【详解】（1）证明：和为等腰直角三角形， ， ， （2）解：由（1）过程得 交于点， 在和中，为中点 ，， （3）证明：过点作于，取中点，连接， 在中，，，O是中点， ,, 为中点 ， 在中， ， ， 为的垂直平分线 ， 为等腰直角三角形， ， 由（2）得： ， 为等边三角形， 23．(1) (2) (3)①3或；②或 【详解】（1）解：在点，，中， ，，， 由点中，， ∴与互为“等差点”， 故答案为：． （2）解：由，得， 设反比例函数图象上一个点与是唯一等差点， 根据题意，得， 整理得， ∵反比例函数图象上一个点与是唯一等差点， ∴， 解得． （3）①解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵顶点与点是等差点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 令， 解得， 当时，， ∴，，， ∵点位于轴下方的抛物线上， ∴， 设直线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设点的横坐标是，由直线轴，垂足为点，交直线于点， ∴，，， 当点D为中点时，根据题意，得， 解得（舍去）， ∴， ∴，， ∴； 当点F为中点时，根据题意，得， 解得（舍去）， ∴， ∴，， ∴； 综上所述，的长为3或． ②解：设点的“等差点”为，根据新定义，得， ∴， 当时，， ∴经过点， 当时，， ∴的交点， 当直线经过点时，与图象有两个不同的交点，符合 ，两部分组成的图象上恰有点的两个“等差点”， ∴， 解得， 当在直线的下方时， 则有， ∴； 当在直线的上方时， 当直线与相切时，直线与有一个交点， 此时的判别式等于0， ∴， ∴， 解得， ∴当时，直线与无交点，与有两个不同的交点， 综上所述，符合题意的m的取值范围是或． 答案第2页，共10页 答案第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（辽宁专用） 黄金卷04 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A． 是关于的一元二次方程，故符合题意；     B．是分式方程，故不符合题意；     C．的最高次数是3，故不符合题意；     D．含有2个未知数，故不符合题意． 故选A． 2．下列自然能源图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意； B、既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选C． 3．有7张除数字外都相同的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6，7．随机抽取1张，取出的数字是偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵7个数字中有3个偶数， ∴正面的数字是偶数的概率为 故答案为： 4．如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（    ） A．与的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，的取值范围是 【答案】C 【详解】解：设与的函数关系式为：， 该图像经过点， ， ， 与的函数关系式是，故选项A不符合题意； 当时，，解得，故选项B不符合题意； ，随的增大而减小， 当时，，故选项C符合题意； 当时，的取值范围是，故选项D不符合题意； 故选：C． 5．如图，是的直径，点在上，若则的度数为（    ）    A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】D 【详解】解：是的直径， 故选： 6．关于的方程实数根的情况，下列判断正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【详解】（1）解：根据题意，得， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 7．如图，我市龙湾公园内有一座圆弧形拱桥，桥顶到水面的距离为，它的跨度也为，则桥拱半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接， ∵， ∴， 设桥拱半径为r，则， 在中，， 即， 解得：， 故选：B． 8．关于抛物线，下列结论正确的是（    ） A．抛物线的顶点坐标为 B．抛物线可由经过平移得到 C．抛物线与轴有两个交点 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【详解】解：A、抛物线的顶点坐标为，原结论错误，故此选项不符合题意；     B、抛物线可由经过平移得到，原结论错误，故此选项不符合题意；     C、∵，， ∴抛物线与轴有两个交点，原说法正确，故此选项符合题意；     D、当时，随的增大而减小，原结论错误，故此选项不符合题意；     故选：C． 9．如图，在中，，，，将绕点旋转得到，当点恰好落在直线上时，的长为（    ） A． B． C． D．6 【答案】D 【详解】解：绕点旋转得到， ， ， ， , 又， 在中， ， ， ， ， ． 故选：D． 10．如图，二次函数（）的图像过点，对称轴为直线．有以下结论：①；②；③若，是抛物线上的两点，当时，；④若方程的两根为，，且，则．其中结论正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①由图像可知：，，， ， ，故①正确； ②抛物线的对称轴为直线， ， ， 当时，， ， ，故②错误； ③，是抛物线上的两点，由抛物线的对称性可知：， 当时，，故③正确； ④图像过点，对称轴为直线，抛物线与x轴的另外一个交点坐标为， ， 若方程的两根为，，且， 则，为抛物线与直线的两个交点的横坐标， ， ，故④正确． 故选：C． 二、填空题 11．若一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：一元二次方程的一个根是， ， 解得： 故答案为： ． 12．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意可得：，，， ∴， 故答案为：． 13．如图，分别与相切于A，B两点，，点D是劣弧上的一点，则 ． 【答案】/126度 【详解】∵分别与相切于A，B两点， ∴, ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14．如图，抛物线与轴相交于点，点，与轴相交于点，点在抛物线上，当轴时， ． 【答案】 【详解】解：抛物线与轴相交于点，点， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴相交于点， ， 轴，点在抛物线上， ， ， 故答案为： ． 15．如图，在中，，，，点，分别是边，的中点，连接，将绕点按顺时针方向旋转（），点，的对应点分别为点，，直线与交于点，当与的一边平行时，的长为______． 【答案】或 【详解】解：在中， ，，， ∴，由勾股定理得：， 为的中位线， ，，， 分两种情况讨论： 当时，如图所示，设与交于点， ，， ，， 由旋转得，，， ，， ，， ，， ， ； 当时，如图所示，设与交于点， ，，， ， 由旋转得，，， ， 则，即， 此时， ，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 故答案为或． 三、解答题 16．先化简，再求值：，其中． 【答案】，0 【详解】           ， ， 原式． 17．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的顶点均在格点（网格线的交点）上，建立平面直角坐标系后，点的坐标为． (1)画出，使与关于原点成中心对称，并写出点的坐标； (2)将绕点逆时针旋转90°，得到， ①画出，并写出点的坐标： ②在旋转到的过程中，线段扫过的面积是_____． 【答案】(1)图见解析， (2)①见解析，；② 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：①如图所示，即为所求； ②， 线段在旋转过程中扫过的面积， 故答案为：． 18．美术课上，小明和小亮用质地均匀的材料做了两个可以自由转动的转盘，用来做“配紫色”游戏：每个转盘都被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．游戏者同时转动两个转盘，如果转盘指针指向红色，转盘指针指向蓝色，或者转盘指针指向蓝色，转盘指针指向红色，那么红色和蓝色涂在一起就可以配成紫色，如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个颜色为止． (1)利用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果； (2)游戏规定若配成紫色，则小明胜，否则小亮胜；请问这个游戏对双方公平吗？说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)不公平，理由见解析 【详解】（1）解：根据题意，列表如下： 红1 蓝1 红2 黄1 红3 （红1，红3） （蓝1，红3） （红2，红3） （黄1，红3） 蓝2 （红1，蓝2） （蓝1，蓝2） （红2，蓝2） （黄1，蓝2） 黄2 （红1，黄2） （蓝1，黄2） （红2，黄2） （黄1，黄2） （2）解：根据上述表格可得，共有12种等可能结果，其中可配成紫色的结果有3种， 分别为（红1，蓝2），（红2，蓝2），（蓝1，红3）， ， 则； ， 即不能配成紫色的可能性大一些 此游戏对双方不公平． 19．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数（）的图象相交于，两点，过点作轴，过点作轴，与相交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若直线与轴相交于点，点是反比例函数（）上一点，连接，，若的面积等于的面积，求点的坐标． 【答案】(1)，（） (2) 【详解】（1）反比例函数（）经过点， 将点代入中得，， 反比例函数解析式为（）， 的图象经过点， ，点坐标为， 将，两点代入中得， 解得， 一次函数解析式为 （2）对于函数，令，得， 解得， ， ，，轴，轴， 点坐标为， ，，， ， 点是反比例函数（）上一点， 可设点坐标为， ， 解得， 点坐标为． 20．近年来，用“短视频＋直播”推广家乡农副产品的方式日益引发关注，成为推动农业和乡村发展的新引擎：资料显示，2022年有近100万网友分享了助农短视频，到2024年分享助农短视频的人数已经达到121万． (1)求短视频分享人数的年平均增长率； (2)某短视频平台的“新农人”通过平台销售家乡特产“薄皮核桃”，据了解，每斤核桃进价是8元，每斤核桃的利润中需拿出2元做为平台管理费，若销量（斤）与每斤售价（元）满足函数关系，设直播收益为（元），当每斤售价定为多少元时，每天的直播收益最大？最大收益为多少元？（直播收益＝销售利润－平台管理费） 【答案】(1)10% (2)当售价为15元时，每天的收益最大；最大收益为1250元 【详解】（1）解：设短视频分享人数的年平均增长率为， 根据题意得：， 解得，，（不合题意，舍去）． 答：短视频分享人数的年平均增长率为10%． （2）解：根据题意可得 ， 抛物线开口向下，有最高点，有最大值， 即当时，． 答：当售价为15元时，每天的收益最大；最大收益为1250元 21．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F，交AB的延长线于点P． （1）求证：PE是⊙O的切线； （2）若⊙O的直径为5，tanC＝2，求BP的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】解：（1）证明：连接，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）为的直径， ，AB=AC=5， ， ， 设，， ， ， （负值舍去）， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 22．数学活动课上，同学们以等腰直角三角形为背景，探究图形变化中的数学问题．和均为等腰直角三角形纸板，，先将其如图1摆放，再将绕点逆时针方向旋转（），观察图形的变化，完成探究活动． 【初步探究】 （1）问题1：如图2，连接，，观察旋转过程，发现线段与始终存在相等的数量关系，请说明理由： 【深入探究】 （2）问题2：结合问题1解决下面的问题． 如图3，延长交直线于点，交于点，取线段的中点，连接，，求证：； 【尝试应用】 （3）问题3：如图4，延长交直线于点，连接，若，，当时，求线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【详解】（1）证明：和为等腰直角三角形， ， ， （2）解：由（1）过程得 交于点， 在和中，为中点 ，， （3）证明：过点作于，取中点，连接， 在中，，，O是中点， ,, 为中点 ， 在中， ， ， 为的垂直平分线 ， 为等腰直角三角形， ， 由（2）得： ， 为等边三角形， 23．我们约定，在平面直角坐标系中，对于不同的两点，，如果满足，那么称，两点互为“等差点”． (1)在点，，中，与点互为“等差点”的是______； (2)已知点在双曲线（）上存在唯一等差点，求出的值； (3)如图1，抛物线的顶点与点是等差点，且与轴交于，两点，与轴交于点． ①点位于轴下方的抛物线上，设点的横坐标是，过点作直线轴，垂足为点，交直线于点．当，，三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长； ②抛物线（）图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象上恰有点的两个“等差点”，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①3或；②或 【详解】（1）解：在点，，中， ，，， 由点中，， ∴与互为“等差点”， 故答案为：． （2）解：由，得， 设反比例函数图象上一个点与是唯一等差点， 根据题意，得， 整理得， ∵反比例函数图象上一个点与是唯一等差点， ∴， 解得． （3）①解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵顶点与点是等差点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 令， 解得， 当时，， ∴，，， ∵点位于轴下方的抛物线上， ∴， 设直线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设点的横坐标是，由直线轴，垂足为点，交直线于点， ∴，，， 当点D为中点时，根据题意，得， 解得（舍去）， ∴， ∴，， ∴； 当点F为中点时，根据题意，得， 解得（舍去）， ∴， ∴，， ∴； 综上所述，的长为3或． ②解：设点的“等差点”为，根据新定义，得， ∴， 当时，， ∴经过点， 当时，， ∴的交点， 当直线经过点时，与图象有两个不同的交点，符合 ，两部分组成的图象上恰有点的两个“等差点”， ∴， 解得， 当在直线的下方时， 则有， ∴； 当在直线的上方时， 当直线与相切时，直线与有一个交点， 此时的判别式等于0， ∴， ∴， 解得， ∴当时，直线与无交点，与有两个不同的交点， 综上所述，符合题意的m的取值范围是或． 试卷第2页，共22页 试卷第1页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $$