第6章 实数（章末提升测试卷）【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（沪科版2024）

第6章 实数（章末提升测试卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．下列实数中，最小的数是（   ） A． B．0 C． D． 2．的算术平方根是（   ） A．2 B．4 C． D． 3．下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的算术平方根是5 C．的平方根是 D．1的平方根和算术平方根都是1 4．下列各数：，，12，，，，其中无理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．数轴上表示，的点分别为，，点是的中点，则点所表示的数是（    ） A． B． C． D． 6．估计的值应在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 7．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ）    A． B． C． D． 8．已知，，且，则的值等于（） A． B． C．或 D．或 9．若，则的倒数是（   ） A．2 B． C． D． 10．在下列四个说法中，正确的有（    ）个： ①不带根号的数一定是有理数； ②是一个负数； ③已知是实数，则； ④全体实数和数轴上的点是一一对应． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分） 11．已知，则 的值是 ． 12．已知是的小数部分，则代数式的值为 ． 13．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“美学”．如图，一片形状均衡的树叶柄与叶面长度之比为，若n为整数，且，则n的值为 ． 14．据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求出它的立方根．华罗庚脱口而出：．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙，华罗庚讲述了计算过程： 第一步：因为，所以； 第二步：因为的个位上的数是，只有个位数字是的数的立方的个位数字是，所以的个位数字是； 第三步：如果划去后面的三位得到数，而，所以，即的十位数字是；所以． 请根据上述材料解答下列问题： （1）用上述方法确定的立方根的个位数字是 ； （2） ． 三、解答题（共9小题，满分54分） 15．把下列各数分别填在相应的集合中： ， （相邻的两个2之间依次多一个0）． 有理数集合：{       …}； 无理数集合：{       …} 正实数集合：{       …}； 负实数集合：{       …}． 16．计算下列各题： (1)， (2)． 17．求下列各式中的值： (1)； (2)； 18．请阅读下面材料，并完成相应的任务． 设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，得． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以，即， 所以． 根据阅读材料，解决问题： 设都是有理数，且满足，求的值． 19．已知的立方根是2，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 20．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______ (2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______ (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如， 计算： 21．如图，一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，点B表示，设点A所表示的数为m． (1)实数m的值是______； (2)求的值； (3)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 22．已知，，，，…… (1)填空： ， ； (2)按你发现的规律解决下列问题： ①已知，则 ； ②已知，，用含的代数式表示，则 ； (3)根据规律写出与的大小情况． 23．请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义； (2)81的四次方根为______；的五次方根为______； (3)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是______； (4)求的值：． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 实数（章末提升测试卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．下列实数中，最小的数是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的大小比较，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：根据实数比较大小的方法，可得， 因此所给实数中，最小的数是， 故选A． 2．的算术平方根是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了算术平方根，先求出，再求出4的算术平方根是即可. 【详解】解：， ∴4的算术平方根是， 即的算术平方根是， 故选：A 3．下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的算术平方根是5 C．的平方根是 D．1的平方根和算术平方根都是1 【答案】A 【分析】此题主要考查了平方根、算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 根据平方根、算术平方根的性质和应用，逐项判定即可． 【详解】解：A、的平方根是，正确，故此选项符合题意； B、的算术平方根是，原说法错误，故此选项不符合题意； C、的平方根是，原说法错误，故此选项不符合题意； D、1的平方根是，1的算术平方根都是1，原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：A． 4．下列各数：，，12，，，，其中无理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键．注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式． 根据无理数、有理数的定义即可判定选择项． 【详解】解：12，，这是整数，属于有理数； ，是有限小数，属于有理数； 无理数有，，，共有个． 故选：B． 5．数轴上表示，的点分别为，，点是的中点，则点所表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，根据是的中点，可得，用点表示的数减去的距离，可得点表示的数． 【详解】点是的中点， ， 点表示的数是：， 故选：C． 6．估计的值应在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据题意得到是解题的关键．先估算出的范围，再得到的范围，即可求解． 【详解】解：， ， ， 估计的值应在5和6之间， 故选：． 7．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，由数轴可得，进而可得，，据此即可判断求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，， ∴选项错误，选项正确， 故选：． 8．已知，，且，则的值等于（） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值，乘方，代数式求值，掌握绝对值，乘方的计算，确定x， y的值是解题的关键．根据题意可得，由确定x， y的值，代入计算即可求解． 【详解】解：已知， ， ∴当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， ； 综上所述，的值等于或． 故选：C． 9．若，则的倒数是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的求解，涉及了绝对值和算术平方根的非负性，算术平方根的求解以及倒数的概念，解题的关键是灵活运用相关基本知识进行求解． 根据绝对值和算术平方根的非负性，得到关于的二元一次方程组，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 即，化简可得， ①+②得：，解得， 将代入①得，，解得， ∴， ∴的倒数是， 故选：C 10．在下列四个说法中，正确的有（    ）个： ①不带根号的数一定是有理数； ②是一个负数； ③已知是实数，则； ④全体实数和数轴上的点是一一对应． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数，掌握实数的分类以及全体实数和数轴上的点是一一对应关系是解决本题的关键． 根据有理数、无理数、实数的定义即可解答． 【详解】解：①不带根号的数不一定是有理数，例如：是无理数，故错误； ②是一个正数，故错误； ③已知是实数，则，正确； ④全体实数和数轴上的点是一一对应，正确． 所以正确的有2个． 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分） 11．已知，则 的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方和算术平方根的非负性，根据平方和算术平方根的非负性即可求解． 【详解】解：∵，， 且， ∴，， ∴， ∴，， ∴． 故答案为： 12．已知是的小数部分，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，结合，得出，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的小数部分， ∴， 则， 故答案为：． 13．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“美学”．如图，一片形状均衡的树叶柄与叶面长度之比为，若n为整数，且，则n的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了无理数的估算，熟知无理数的估算方法是解题的关键．先估算出，从而得到，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴， ∵这个比值介于整数和之间， ∴， 故答案为：0． 14．据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求出它的立方根．华罗庚脱口而出：．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙，华罗庚讲述了计算过程： 第一步：因为，所以； 第二步：因为的个位上的数是，只有个位数字是的数的立方的个位数字是，所以的个位数字是； 第三步：如果划去后面的三位得到数，而，所以，即的十位数字是；所以． 请根据上述材料解答下列问题： （1）用上述方法确定的立方根的个位数字是 ； （2） ． 【答案】 【分析】（1）根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数，即可获得答案； （2）借助华罗庚讲述的计算过程，先根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数，再确定十位数，即可获得答案． 【详解】（1）解：因为的个位上的数是，只有个位数字是的数的立方的个位数字是， 所以的立方根的个位数字是； 故答案为：． （2）第一步：因为，，， 所以． 第二步：因为的个位上的数是，只有个位数字是的数的立方的个位数字是，所以的个位数字是． 第三步：如果划去后面的三位得到数，而，， 所以，即的十位数字是． 所以． 故答案为：． 三、解答题（共9小题，满分54分） 15．把下列各数分别填在相应的集合中： ， （相邻的两个2之间依次多一个0）． 有理数集合：{      …}； 无理数集合：{      …} 正实数集合：{      …}； 负实数集合：{      …}． 【答案】见解析 【分析】本题考查实数的分类，平方根与立方根，先化简，，再根据有理数、无理数、正实数、负实数的定义分类即可． 【详解】解：有理数集合：； 无理数集合：{（相邻的两个2之间依次多一个0）}； 正实数集合：{（相邻的两个2之间依次多一个0）}； 负实数集合：． 16．计算下列各题： (1)， (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根与立方根、实数的加减运算、化简绝对值，熟练掌握算术平方根与立方根是解题关键． （1）先计算算术平方根与立方根，再计算有理数的加减法即可得； （2）先化简绝对值、算术平方根，再计算实数的加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 17．求下列各式中的值： (1)； (2)； 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）直接利用平方根的定义解答即可求解； （2）移项，系数化为1，利用立方根的定义解答即可求解． 【详解】（1）解：开平方，得， 或， 即或． （2）解：移项，得， 系数化为1，得， 开立方，得． 18．请阅读下面材料，并完成相应的任务． 设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，得． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以，即， 所以． 根据阅读材料，解决问题： 设都是有理数，且满足，求的值． 【答案】的值为7或 【分析】本题主要考查实数运算，二次根式的运算，根据提供的方法，先变形为，从而得出，求出，最后代入求值即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以， 解得， 当时，， 当时，． 综上所述，的值为7或． 19．已知的立方根是2，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查立方根、算术平方根和平方根的定义，无理数的估算．掌握其基本知识点是解题的关键． （1）利用立方根的定义、算术平方根的定义求出a、b的值，利用无理数的估算方法求出c的值． （2）将a、b、c的值代入代数式求值后，进一步求得平方根即可． 【详解】（1）∵的立方根是2，的算术平方根是4， ∴， 解得， ∵，即，c是的整数部分， ∴． （2）由（1）可知，，， ∴， ∴的平方根是． 20．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______ (2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______ (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如， 计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是实数的运算规律的探究与运用，掌握“探究的方法以及灵活运用”是解本题的关键． （1）根据题干例举的等式，即可答案； （2）根据题干例举的等式，总结规律可得答案； （3）先总结规律可得，再利用规律进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意：； （2）解：； （3）解：原式 ． 21．如图，一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，点B表示，设点A所表示的数为m． (1)实数m的值是______； (2)求的值； (3)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数轴上两点的距离公式，实数的混合运算，非负数的性质，求一个数的平方根． （1）由题意可直接求出m的值即可； （2）将（1）所求的值代入计算即可； （3）根据相反数的定义可得出，再根据绝对值和算术平方根的非负性可求出，，进而可求出的平方根． 解题关键是理解数轴上两点间的距离，实数的混合运算法则，最后求的平方根有两个． 【详解】（1）解：依题意得：， 故答案为： （2）由（1）得：， （3）依题意得：， ，， ，， ， 的平方根为 22．已知，，，，…… (1)填空： ， ； (2)按你发现的规律解决下列问题： ①已知，则 ； ②已知，，用含的代数式表示，则 ； (3)根据规律写出与的大小情况． 【答案】(1)，1000 (2)①；② (3)当时，；当或时，；当时， 【分析】本题考查了估算无理数的大小、数字类规律探索、算术平方根，正确发现规律是解题关键． （1）根据被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律即可求解； （2）①根据被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律即可求解； ②根据被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律得出的关系，据此求解即可得； （3）分三种情况：①；②或，③分别求解即可得． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，， 故答案为：，1000． （2）解：①∵， ∴， 故答案为：． ②∵，， ∴， 故答案为：． （3）解：①当时， ∵， ∴； ②当或时， ∵， ∴； ③当时， ∵， ∴． 23．请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义； (2)81的四次方根为______；的五次方根为______； (3)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是______； (4)求的值：． 【答案】(1)若，则叫的五次方根 (2) (3)，为任意实数 (4)或 【分析】（1）根据题意，进行作答即可； （2）进行开方运算即可； （3）根据定义，进行计算即可； （4）利用四次方根解方程即可． 【详解】（1）解：五次方根的定义：若，则叫的五次方根； （2）解：； 故答案为：； （3）解：∵是一个数的四次方， ∴， ∴； ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的五次方， ∴为任意实数． 故答案为：，为任意实数； （4）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 【点睛】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$