7.1不等式及其基本性质（3种题型基础练+能力提升练）（题型专练）数学新教材沪科版七年级下册

7.1不等式及其基本性质（3种题型基础练+能力提升练） 题型一 不等式的定义 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列各式中，是不等式的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）小明中午在订餐软件下单订餐，得到如图所示的反馈，若送餐员在预计时间范围内送达，则小明接到餐的时长（分钟）用不等式表示为 ． 立即送出 送达 4．（23-24七年级下·浙江台州·期末）北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是 ． 5．（23-24七年级下·全国·课后作业）判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)52； (7)． 6．（2023七年级下·江苏·专题练习）用适当的符号表示下列关系： (1)x的与x的2倍的和是非正数； (2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米； (3)三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元； (4)明天下雨的可能性不小于； (5)小明的体重不比小刚轻． 题型二 不等式的解集 7.（24-25七年级下·全国·随堂练习）当时，下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 8.（23-24七年级下·江苏泰州·期末）若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 10（23-24七年级下·湖南·期中）已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 ． 11．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，小童爸爸开货车走右侧车道，建议车速为 ． 12.（20-21八年级下·江西景德镇·期中）关于x的两个不等式x+1<7−2x与−1+x<a． (1)若两个不等式解集相同，求a的值； (2)若不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求a的取值范围． 13.（22-23七年级下·全国·假期作业）下列各式哪些是不等式2(2x+1)＞25的解？哪些不是？ (1)x=1． (2)x=3． (3)x=10． (4)x=12． 题型三 不等式的性质 14．（22-23七年级下·贵州黔南·期末）若，则下列叙述正确的是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25七年级下·全国·单元测试）若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24七年级下·全国·期末）若，则 ， ． 17.（24-25七年级下·全国·随堂练习）利用不等式的性质填“”或“”： （1）若，则 ； （2）若，则y ； （3）若，，则 ； （4）若，，则 ． 18.（24-25七年级下·全国·单元测试）请先阅读下列解题过程，再解决问题．例题：已知，试比较：与的大小． 解：，， 根据不等式的基本性质3，得 ，    第一步 根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上，得．    第二步 (1)上述解题过程中，从第_____步开始出现错误，错误的原因是_______________； (2)请写出正确的解题过程． 19．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读下面解题过程，再回答问题． 已知，试比较与的大小． 解：∵，① ∴，② ∴．③ (1)上述解题过程中，从第________步开始出现错误； (2)错误的原因是什么？ (3)请写出正确的解题过程． 一、单选题 1．（22-23七年级下·海南海口·期中）数学表达式①；②；③；④；⑤中不等式的个数是（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（22-23七年级下·河北廊坊·期末）下列式子属于不等式的有（　　） ①；②；③；④；⑤． A．个 B．个 C．个 D．个 3．（23-24七年级下·全国·假期作业）若关于x的不等式的解集为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（19-20七年级下·河南驻马店·期末）下列说法不正确的是（    ） A．由，得 B．由得 C．不等式的解一定是不等式的解 D．若，则（c为有理数） 5．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知四个实数a、b、c、d，若，，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·全国·期末）设，则下列不等式中错误的是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23七年级下·河南周口·期末）设，，，都是整数，且，，，，则的最大值是（　　） A．207 B．208 C．209 D．239 8．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知，若是任意实数，则下列不等式始终成立的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（22-23七年级下·全国·课后作业）已知，下列结论：①；②；③若，则；④若，则．其中正确的结论是 （填序号）． 10．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们定义表示不小于实数的最小整数，例如：．现给出下列结论： ①；②若，则；③若，则；④若，，则． 以上选项中，所有正确的序号是 ． 11．（23-24七年级下·河南周口·期末）若，则 ．（填“<”或“>”） 12．（22-23七年级下·重庆江津·期末）已知不等式，当 时，不等式的解集是． 13．（21-22七年级上·江西景德镇·期中）以下说法正确的是： . ①由，得；②由，得 ③由，得；④由，得 ⑤和互为相反数；⑥是不等式的解 14．（22-23七年级下·山东烟台·期末）写出一个关于x的不等式，使，2都是它的解，这个不等式可以为 15．（23-24七年级下·全国·课后作业）如果关于的不等式的解集是，那么，满足的等量关系是 ，的取值范围是 ． 三、解答题 16．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）阅读下列解题过程，解答下列问题： 已知，试比较与的大小． 解：因为，① 所以，② 所以③． (1)上述解题过程中，从第 步开始出现错误，错误的原因是什么？ (2)请写出正确的解题过程． 17．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）（1）A、B、C三人去公园玩跷跷板，由下面的示意图（1），你能判断三人的轻重吗？ （2）P、O、R、S四人去公园玩跷跷板，由下面的示意图（2），你该如何判断这四人的轻重呢？ 18．（20-21七年级下·全国·课后作业）试写出一个不等式，使它的解集满足下列条件： （1）是不等式的一个解； （2），，0都是不等式的解； （3）不等式的正整数解只有1，2，3； （4）不等式的非正整数解只有，，0； （5）不等式的解中不含0． 19.（20-21七年级下·湖北十堰·期中）运用不等式的性质，将下列不等式化为x＞a或x＜a的形式． （1）x-1＜5                       （2）x＜3x-12 20．（2025七年级下·全国·专题练习）已知正整数满足：，且． (1)试说明：． (2)求所有符合条件的． 21．（23-24七年级下·贵州遵义·阶段练习）请认真阅读下面的材料： 小李在学习了不等式的知识后，发现如下正确结论： 若，则；若，则；若，则． 下面是小李利用这个结论解决问题的过程： 试比较与的大小． 解：， 请运用这种方法尝试解决下面的问题： (1)填空：______（填“”或“=”或“”）； (2)若，试比较与的大小（写出相应的解答过程）； (3)比较与的大小． 22．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读下面解题过程，再回答问题． 已知，试比较与的大小． 解：∵，① ∴，② ∴．③ (1)上述解题过程中，从第________步开始出现错误； (2)错误的原因是什么？ (3)请写出正确的解题过程． 23．（23-24七年级下·福建厦门·期中）阅读下列材料： 数学问题：已知：，且，，试确定的取值范围． 问题解法：， ，， ，① 同理，， ，， ，，② 由②+①得，的取值范围是 完成任务： (1)直接写出数学问题中的取值范围：______． (2)已知，且，，试确定的取值范围； (3)已知，，若成立，试确定的取值范围（结果用含a的式子表示）． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.1不等式及其基本性质（3种题型基础练+能力提升练） 题型一 不等式的定义 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】不等式的定义 【分析】本题主要考查不等式的定义，用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． 根据不等式的定义逐一判断即可． 【详解】解：不等式有①；②；⑤；⑥，共4个， 故选C． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列各式中，是不等式的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查了不等式的定义，理解并掌握不等式的定义是解题的关键． 由不等号“”连接的式子即为不等式即可求解． 【详解】解：根据不等式的定义可得，②；③；④；⑥是不等式，共4个， 故选：C ． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）小明中午在订餐软件下单订餐，得到如图所示的反馈，若送餐员在预计时间范围内送达，则小明接到餐的时长（分钟）用不等式表示为 ． 立即送出 送达 【答案】 【知识点】不等式的定义 【分析】此题考查了不等式的应用，根据题意正确列出不等式即可． 【详解】解：∵小明中午在订餐软件下单订餐，立即送出，在送达， ∴小明接到餐的时长（分钟）用不等式表示为， 故答案为； 4．（23-24七年级下·浙江台州·期末）北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查的是路程、速度、时间之间关系及用不等式表示范围，先求出要在内通过时的速度，再根据按照当前时速行驶能通过下一路口求出此时速度，即可解决． 【详解】解：， 当距离下一路口时，以速度通过需要的时间为：， 要在内通过， 小车的速度至少为， 因为导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口， 则小车当前行驶速度的取值范围是． 5．（23-24七年级下·全国·课后作业）判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)52； (7)． 【答案】(1)既不是等式也不是不等式 (2)是不等式 (3)是等式 (4)是不等式 (5)是等式 (6)既不是等式也不是不等式 (7)是不等式 【知识点】不等式的定义 【分析】本题主要考查不等式的定义，掌握等式和不等式的定义是解题的关键．根据所学知识，可知：含有等号的式子叫做等式，用不等号连接的式子叫做不等式，根据上述定义，找出用等号和不等号连接的式子即可找出等式和不等式，进而找出既不是等式也不是不等式的式子． 【详解】（1）解：既不是等式也不是不等式； （2）解：是不等式； （3）解：是等式； （4）解：是不等式； （5）解：是等式； （6）解：52既不是等式也不是不等式 （7）解：是不等式． 6．（2023七年级下·江苏·专题练习）用适当的符号表示下列关系： (1)x的与x的2倍的和是非正数； (2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米； (3)三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元； (4)明天下雨的可能性不小于； (5)小明的体重不比小刚轻． 【答案】(1) (2)设炮弹的杀伤半径为r，则应有 (3)设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有 (4)用P表示明天下雨的可能性，则有 (5)设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有 【知识点】不等式的定义 【分析】（1）非正数用“”表示； （2）、（4）不小于就是大于等于，用“≥”来表示； （3）不高于就是等于或低于，用“≤”表示； （5）不比小刚轻，就是与小刚一样重或者比小刚重．用“≥”表示． 【详解】（1）； （2）设炮弹的杀伤半径为r，则应有； （3）设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有； （4）用P表示明天下雨的可能性，则有； （5）设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有． 【点睛】本题考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠ 题型二 不等式的解集 7.（24-25七年级下·全国·随堂练习）当时，下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的解集 【分析】本题考查了不等式的解集，熟练掌握该知识点是解题的关键．把分别代四个选项中，一一验证不等式两边是否成立，即可判断出答案． 【详解】解：A、时，，故不符合题意； B、时，，故不符合题意； C、时，，故不符合题意； D、时，，故符合题意； 故选：D． 8.（23-24七年级下·江苏泰州·期末）若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的解集 【分析】本题考查了不等式的解，逐个判断各选项即可． 【详解】解：A、中不包含，不符合题意； B、中不包含，不符合题意； C、中包含，符合题意； D、中不包含，不符合题意； 故选：C． 9．（23-24七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 【答案】D 【知识点】不等式的解集、不等式的定义 【分析】本题考查了不等式，解集，唯一解，一个解的定义的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 所有满足不等式的数的全体称为这个不等式的解集，(是不等式解集中的一个数)我们仅可以说它是满足这个不等式的一个解，所有解的全体称为解集，解集中的一个数称为不等式的一个解，当不等式的解有且只有一个时，则称它为这个不等式的唯一解，根据解集，唯一解，一个解的定义，以此判断四个选项即可选出正确答案． 【详解】解：解不等式， 可得． A.由于，故不是不等式的解，故选项错误； B.由于，故是不等式的一个解，但不是唯一解，故选项错误； C.由于，故不是不等式的一个解，但不是解集，故选项错误； D.由于，故不是不等式的一个解，故选项正确； 故选D． 10（23-24七年级下·湖南·期中）已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 ． 【答案】 【知识点】不等式的解集 【分析】本题主要考查了不等式的解，根据不等式的定义求出a、b的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵当时的最小值为，当时的最大值为， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，小童爸爸开货车走右侧车道，建议车速为 ． 【答案】答案不唯一 【知识点】不等式的解集 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据题意可知，车速限制为，取其中任意数即可求解． 【详解】解：设车速为， 小童爸爸开货车走右侧车道，车速应该在， 建议车速为． 故答案为：答案不唯一． 12.（20-21八年级下·江西景德镇·期中）关于x的两个不等式x+1<7−2x与−1+x<a． (1)若两个不等式解集相同，求a的值； (2)若不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求a的取值范围． 【答案】(1)a=1； (2)a≥1． 【知识点】不等式的解集 【分析】（1）求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出a的值即可； （2）根据不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求出a的范围即可． 【详解】（1）解：由x+1<7−2x得：x＜2， 由−1+x<a得：x＜a+1， 由两个不等式的解集相同，得到a+1=2， 解得：a=1； （2）解：由不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解， 得到2≤a+1， 解得：a≥1． 【点睛】此题考查了不等式的解集，根据题意分别求出对应的值，利用不等关系求解． 13.（22-23七年级下·全国·假期作业）下列各式哪些是不等式2(2x+1)＞25的解？哪些不是？ (1)x=1． (2)x=3． (3)x=10． (4)x=12． 【答案】(1)不是 (2)不是 (3)是 (4)是 【知识点】不等式的解集 【分析】把未知数的值代入计算，比较后，判断即可 【详解】（1）把x=1代入不等式2(2x+1)＞25，因为：左边=2×(2×1+1)=6＜25，所以x=1不是不等式2(2x+1)＞25的解． （2）把x=3代入不等式2(2x+1)＞25，因为：左边=2×(2×3+1)=14＜25，所以x=3不是不等式2(2x+1)＞25的解． （3）把x=10代入不等式2(2x+1)＞25，因为：左边=2×(2×10+1)=42＞25，所以x=10是不等式2(2x+1)＞25的解． （4）把x=12代入不等式2(2x+1)＞25，因为：左边=2×(2×12+1)=50＞25，所以x=12是不等式2(2x+1)＞25的解． 【点睛】本题考查了不等式的解即使不等式左右两边成立的未知数的值，正确理解不等式的解是解题的关键． 题型三 不等式的性质 14．（22-23七年级下·贵州黔南·期末）若，则下列叙述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的性质 【分析】根据不等式的性质判断选择即可． 本题考查了不等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故A不符合题意； 当时，， 故B不符合题意； ∵， ∴， ∴，， 故C符合题意；D不符合题意； 故选：C． 15．（24-25七年级下·全国·单元测试）若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故A选项错误； ，故B选项正确； ，故C选项错误； ，故D选项错误； 故选B． 16．（23-24七年级下·全国·期末）若，则 ， ． 【答案】 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．利用不等式的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，． 故答案为：，． 17.（24-25七年级下·全国·随堂练习）利用不等式的性质填“”或“”： （1）若，则 ； （2）若，则y ； （3）若，，则 ； （4）若，，则 ． 【答案】 【知识点】不等式的性质 【分析】此题主要考查了不等式的基本性质，熟知不等式的性质是解题的关键：（1）不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质分别求解即可． 【详解】解：（1）若，不等式两边同时乘以2得到， 故答案为：； （2）若，不等式两边同时除以得到， 故答案为：； （3）若，，不等式两边同时乘以得到，不等式两边再同时减去1得到， 故答案为：； （4）若，，不等式两边同时乘以得到，不等式两边再同时加上1得到， 故答案为：． 18.（24-25七年级下·全国·单元测试）请先阅读下列解题过程，再解决问题．例题：已知，试比较：与的大小． 解：，， 根据不等式的基本性质3，得 ，    第一步 根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上，得．    第二步 (1)上述解题过程中，从第_____步开始出现错误，错误的原因是_______________； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)一；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变 (2)见解析 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． （1）根据不等式的性质即可得到答案； （2）根据不等式的性质即可解答． 【详解】（1）解：一  ；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变； 故答案为：一  ；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变； （2）解：，， 根据不等式的基本性质3，得， 根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上，得 19．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读下面解题过程，再回答问题． 已知，试比较与的大小． 解：∵，① ∴，② ∴．③ (1)上述解题过程中，从第________步开始出现错误； (2)错误的原因是什么？ (3)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)② (2)不等式两边乘同一个负数时，不等号的方向没有改变 (3) 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查的是不等式的性质，熟记性质是解题的关键． （1）根据不等式的基本性质：不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变，即可得出结果； （2）根据不等式的基本性质：不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变，即可得出结果； （3）先利用不等式的性质，两边同时乘以，不等号的方向改变； 再利用不等式的性质，两边同时加1，不等号的方向不变，即可得解． 【详解】（1）解：根据题意即可得出从第②步开始出现错误， 故选：②； （2）解：错误地运用了不等式的基本性质3，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变； （3）解：∵， ∴， ∴． 一、单选题 1．（22-23七年级下·海南海口·期中）数学表达式①；②；③；④；⑤中不等式的个数是（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据不等式的定义（用符号“”或“”表示大小关系的式子，叫做不等式）逐个判断即可得． 【详解】解：①，②；⑤都是不等式，共有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的定义，熟记不等式的定义是解题关键． 2．（22-23七年级下·河北廊坊·期末）下列式子属于不等式的有（　　） ①；②；③；④；⑤． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据不等式的定义，用不等号连接的式子是不等式，对各式进行判断即可． 【详解】解：根据不等式定义判断，①②⑤为不等式， 故选：． 【点睛】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解答本题的关键． 3．（23-24七年级下·全国·假期作业）若关于x的不等式的解集为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】略 4．（19-20七年级下·河南驻马店·期末）下列说法不正确的是（    ） A．由，得 B．由得 C．不等式的解一定是不等式的解 D．若，则（c为有理数） 【答案】D 【分析】根据不等式的性质、不等式的解集逐一进行分析判断即可得． 【详解】A．由，得，正确，不符合题意； B．由得，正确，不符合题意； C．不等式的解一定是不等式的解，正确，不符合题意； D．若，当c=0时，（c为有理数），故D选项错误，符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式的解集，熟练掌握不等式的性质和正确理解不等式的解集的概念是解题的关键． 5．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知四个实数a、b、c、d，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不等式的性质，利用不等式的性质进行逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴，故A符合题意，C不符合题意； 若，，， ∴，故B不符合题意； 若，无意义，故D不符合题意； 故选：A． 6．（23-24七年级下·全国·期末）设，则下列不等式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐一判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴，该选项正确，不合题意； 、∵， ∴，该选项正确，不合题意； 、∵， ∴， 即，该选项正确，不合题意； 、∵， ∴，该选项错误，符合题意； 故选：． 7．（22-23七年级下·河南周口·期末）设，，，都是整数，且，，，，则的最大值是（　　） A．207 B．208 C．209 D．239 【答案】A 【分析】本题考查不等式的基本性质，利用不等式的基本性质求得，，，的值即可，解答关键是熟知不等式的基本性质：不等式基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变；不等式基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变． 【详解】解：，是整数， 的最大值为； ，是整数，， 的最大值为； ，为整数， 的最大值为； ，为整数，， 的最大值为， 故选：A． 8．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知，若是任意实数，则下列不等式始终成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴，该选项错误，不合题意； 、∵， ∴，该选项正确，符合题意； 、∵， 当时，；当时，；当时，，该选项错误，不合题意； 、∵， 当时，；当时，；当时，，该选项错误，不合题意； 故选：． 二、填空题 9．（22-23七年级下·全国·课后作业）已知，下列结论：①；②；③若，则；④若，则．其中正确的结论是 （填序号）． 【答案】④ 【解析】略 10．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们定义表示不小于实数的最小整数，例如：．现给出下列结论： ①；②若，则；③若，则；④若，，则． 以上选项中，所有正确的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了新定义，不等式的性质 ，理解新定义得出不等式是解题的关键． 根据表示不少于实数必的最小整数，即可解答． 【详解】根据定义表示不少于实数的最小整数，可得①结论正确； 若，根据的意义，得，结论②错误； 若，则，结论③正确； 当，时，有，，，或6，结论④是正确． 综上所述：①③④正确． 故答案为：①③④． 11．（23-24七年级下·河南周口·期末）若，则 ．（填“<”或“>”） 【答案】< 【分析】此题考查了不等式的性质，不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．据此进行解答即可． 【详解】解：， 不等式两边都乘以3得， 不等式两边都加上1得， 故答案为：< 12．（22-23七年级下·重庆江津·期末）已知不等式，当 时，不等式的解集是． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的解集以及不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质即可求解 【详解】解： 移项：， 当时， 解得： 故答案为： 13．（21-22七年级上·江西景德镇·期中）以下说法正确的是： . ①由，得；②由，得 ③由，得；④由，得 ⑤和互为相反数；⑥是不等式的解 【答案】②③④ 【分析】根据不等式的基本性质得出结论即可． 【详解】解：①由，当时，得，故结论①错误； ②由，得，故结论②正确； ③由，得；故结论③正确； ④由，得；故结论④正确； ⑤和互为相反数，当为奇数时，，故结论⑤错误； ⑥是不等式的解，故结论⑥错误； 故正确的结论为：②③④． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟知不等式的基本性质是解本题的关键． 14．（22-23七年级下·山东烟台·期末）写出一个关于x的不等式，使，2都是它的解，这个不等式可以为 【答案】（答案不唯一） 【分析】由，2均小于3可得，在此基础上求解即可． 【详解】解：由，2均小于2可得， 所以符合条件的不等式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查不等式的解集，解题的关键是掌握使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． 15．（23-24七年级下·全国·课后作业）如果关于的不等式的解集是，那么，满足的等量关系是 ，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式，不等式的性质，根据题意得出，，即可求解． 【详解】因为不等式的解集是， 所以，， 所以，． 故答案为：，． 三、解答题 16．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）阅读下列解题过程，解答下列问题： 已知，试比较与的大小． 解：因为，① 所以，② 所以③． (1)上述解题过程中，从第 步开始出现错误，错误的原因是什么？ (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)②；不等式两边都乘同一个负数，不等号的方向没有改变． (2)见解析 【分析】本题考查的是不等式的基本性质的应用，熟记不等式的基本性质是解本题的关键． （1）由不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向要改变，可得第②步开始出现错误； （2）正确的运用不等式的性质解题即可得到答案． 【详解】（1）解：②；错误的原因是不等式两边都乘同一个负数，不等号的方向没有改变； （2）解：正确的解题过程如下： 因为， 所以， 所以． 17．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）（1）A、B、C三人去公园玩跷跷板，由下面的示意图（1），你能判断三人的轻重吗？ （2）P、O、R、S四人去公园玩跷跷板，由下面的示意图（2），你该如何判断这四人的轻重呢？ 【答案】（1）；（2），见解析 【分析】本题考查不等式应用． （1）由图（1）可得，，故即可判断的大小； （2）根据图（2）可得不等式组，由，可得，继而得到，最终可判断本题答案． 【详解】解：（1）由图可知，， ∴； （2）由图可知：；，， 由，，得，即． 由，，得，即， ∴． 18．（20-21七年级下·全国·课后作业）试写出一个不等式，使它的解集满足下列条件： （1）是不等式的一个解； （2），，0都是不等式的解； （3）不等式的正整数解只有1，2，3； （4）不等式的非正整数解只有，，0； （5）不等式的解中不含0． 【答案】（1）（答案不唯一）  （2）（答案不唯一）  （3）（答案不唯一）  （4） （答案不唯一） （5）（答案不唯一） 【分析】（1）只要解集中含有-2这个解的不等式均可以； （2）只要解集中含有-2，-1，0这三个整数解的不等式均可以； （3）只要不等式的解集中恰好含有1，2，3这三个正整数解的不等式均可以； （4）只要不等式的解集中恰好含有-2，-1，0这三个非正整数解的不等式均可以； （5）只要不等式的解集中不含0的不等式均可以． 【详解】（1）满足题意的不等式为（答案不唯一）； （2）满足题意的不等式为（答案不唯一）； （3）满足题意的不等式为（答案不唯一）； （4）满足题意的不等式为（答案不唯一）； （5）满足题意的不等式为（答案不唯一）； 【点睛】本题根据不等式的解集要求写出一个不等式，考查了不等式的概念． 19.（20-21七年级下·湖北十堰·期中）运用不等式的性质，将下列不等式化为x＞a或x＜a的形式． （1）x-1＜5                       （2）x＜3x-12 【答案】（1）x＜12；（2）x＞6． 【分析】（1）根据不等式的性质1和不等式的性质2即可求解； （2）根据不等式的性质1和不等式的性质3即可求解． 【详解】解：（1） （2） 【点睛】主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 20．（2025七年级下·全国·专题练习）已知正整数满足：，且． (1)试说明：． (2)求所有符合条件的． 【答案】(1)见解析 (2)符合条件的只有一组： 【分析】本题考查了不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解答本题的关键． （1）根据题意可知，可得，，即即可求解； （2）由（1）和已知条件可得，即，所以或，分两种情况代入讨论即可． 【详解】（1）解：正整数满足：， ， ． （2）解：， ， 或． 当时，，得到，这与为正整数矛盾， ． 当时，， ， 两边同时除以得，， 与相加为1，且， 与一个大于，一个小于， ，， 解得， 符合条件的只有一组：． 21．（23-24七年级下·贵州遵义·阶段练习）请认真阅读下面的材料： 小李在学习了不等式的知识后，发现如下正确结论： 若，则；若，则；若，则． 下面是小李利用这个结论解决问题的过程： 试比较与的大小． 解：， 请运用这种方法尝试解决下面的问题： (1)填空：______（填“”或“=”或“”）； (2)若，试比较与的大小（写出相应的解答过程）； (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3)当时， 当时， 当时， 【分析】（1）根据阅读学习的基本方法，作差计算解答即可． （2）根据阅读学习的基本方法，作差计算解答即可． （3）根据阅读学习的基本方法，分类，作差计算解答即可． 本题考查了不等式的应用，数的大小比较，熟练掌握大小比较的基本原则是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：∵， ∴ 故． （3）解：∵ ， 当时，，此时 当时，，此时 当时，，此时． 22．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读下面解题过程，再回答问题． 已知，试比较与的大小． 解：∵，① ∴，② ∴．③ (1)上述解题过程中，从第________步开始出现错误； (2)错误的原因是什么？ (3)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)② (2)不等式两边乘同一个负数时，不等号的方向没有改变 (3) 【分析】本题考查的是不等式的性质，熟记性质是解题的关键． （1）根据不等式的基本性质：不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变，即可得出结果； （2）根据不等式的基本性质：不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变，即可得出结果； （3）先利用不等式的性质，两边同时乘以，不等号的方向改变； 再利用不等式的性质，两边同时加1，不等号的方向不变，即可得解． 【详解】（1）解：根据题意即可得出从第②步开始出现错误， 故选：②； （2）解：错误地运用了不等式的基本性质3，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变； （3）解：∵， ∴， ∴． 23．（23-24七年级下·福建厦门·期中）阅读下列材料： 数学问题：已知：，且，，试确定的取值范围． 问题解法：， ，， ，① 同理，， ，， ，，② 由②+①得，的取值范围是 完成任务： (1)直接写出数学问题中的取值范围：______． (2)已知，且，，试确定的取值范围； (3)已知，，若成立，试确定的取值范围（结果用含a的式子表示）． 【答案】(1) (2)的取值范围是； (3)的取值范围是． 【分析】本题考查不等式的性质；注意不等式的同号可加性，是隐含的限定条件． （1）仿照例子，根据不等式的基本性质即可求解； （2）仿照例子，注意由到的转化，再由不等式同号可加性进行求解； （3）仿照例子，注意确定不等式有解集时，a的取值范围，因此要先确定当时，关于x、y的不等式存在解集． 【详解】（1）解：， ． ， ． 故答案为：； （2）解：， ． 又， ， ． 又， ， ． 同理得， ， 的取值范围是； （3）解：， ． 又， ， ． 又， ， ． 当时，． 同理得， ， ∴当时，的取值范围是． 2 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