专项16 圆柱与圆锥问题-小升初奥数思维提升讲义

小升初经典奥数——圆柱与圆锥问题 12种类型讲练测 本章讲义在立足课本的基础上，对重难点进行引申和拓展，有机渗透各种数学思想和创新思维方法，通过剖析竞赛真题，将课本知识内联和外延、迁移和重组，使课本与竞赛一体化，使奥数不再遥不可及！ 三大板块： 经典范例——通过解题思路及技巧的点拨，领会解题原理，建立思维模型。 巩固提升——在“经典范例”的基础上强化解题能力，巩固知识点。 综合测试——提升综合能力，累积考试经验。 朱熹曰：有疑者，须教有疑；有疑者，却要无疑，到这里方是长进。我期盼，通过本章讲义，让更多的孩子思维得到发展，素养得到提升！ ‌‌ 一、在圆柱和圆锥中,若圆柱体底面半径为r,高为h,则表面积=侧面积+2个底面积=2nrh+2nr2,V圆柱=πr2h;若圆锥底面半径为r,高h,则 V圆锥=πr2；若圆柱与圆锥等底等高,则国柱体积是圆锥的3倍,圆锥体积是圆柱的。 解题时除了灵活运用公式外,还要掌握一些特殊的思路和解题技巧,如代换法、设数法等。 二、计算圆柱或圆锥变形后(如:切、拼、挖)的表面积或体积时,要弄清表面积或体积的增减变化情况,既不能重复,也不能遗漏；当物体浸没在规则容器的水中,水面上升部分的体积等于物体的体积。 除了掌握以上基本知识外,还要掌握一些特殊的技巧和方法,如转化法、拼补法等。 【底面积、高与体积关系】 一个圆柱和一个圆锥,底面半径是2:3,体积比为8:9。它们的高的比是多少? 【思维点拨】根据半径比是2:3, 求得面积比是4:9，再求出圆柱和圆锥的高。 【详解】运用复比方法求解。 圆柱与圆锥的底面半径之比为2:3，得到底面积之比为22：32=4:9 体积之比为8:9 所以高之比为（8÷4）：（9÷9×3）=2:3 1.一个圆柱和一个圆锥,底面周长比是1:2,体积比为5:6,圆柱高为20厘米。圆锥高为多少厘米? 2.两个相同的圆锥容器中各盛一些水,水深都是圆锥高的一半,则甲容器中的水是乙 容器中的水的几倍? 【底面积、高、体积关系实际应用】 圆柱和圆锥高相等,圆锥底面半径为9厘米,圆柱底面半径为6厘米,现在圆锥容器中装满水倒入圆桂体容器内,这时水深比容器高度的低3厘米,两个容器的高是多少厘米? 【思维点拨】关键是弄清楚当圆锥内全部的水倒入圆柱后水的高度占圆柱高的几分之几,然后找到相差3厘米的对应分率。 【详解】 圆锥和圆柱底面半径比为9:6=3:2,则底面积比为9:4 高之比为1:1 则圆锥和圆柱的体积比为:（9×1÷3）：（4×1）=3:4 当圆锥内的全部水倒入圆柱时,水深占圆柱高的 3÷（-）=28（厘米） 1.圆柱和圆锥体积和为230立方厘米,圆柱底面周长是圆锥的,圆柱高是圆锥的。分别求圆柱和圆锥体积。 2.底面直径是20厘米的圆柱形容器中装有一些水,将一个高10厘米,底面半径12厘米的圆锥形铁锤浸没在水中,当铁锤从水中取出后,容器中的水下降了几厘米?(设水足够深且不会溢出) 【倒置法求不规则圆柱体体积】 有A、B两个圆柱体容器,原来A容器中装有2000毫升水,B容器是空的,现在以每分钟400毫升的流量往两个容器里注人水,4分钟后两个容器的水面高相等,知B的底面半径为2厘米,求A的底面直径。 【思维点拨】依题意可求出4分钟后两个容器中水的体积比,此时水面高相等,用设数法求出两容器的底面面积比,然后再求出底面直径比。 4分钟后注入的水量为4×400=1600（毫升） 此时A、B两个容器的高度之比为1:1 体积之比为（2000+1600）：1600=9：4 底面积之比为（9÷1）：（4÷1）=9:4=32:22 底面直径之比为3:2 A容器的直径为2×2÷2×3=6（厘米） 1.有一饮料容器如图所示,容积是30立方分米。现在,它里面装有些饮料,正放时饮料高度为20cm,倒放时空余部分的高度为5cm。问:容器内现有饮料多少立方分米? 2.如图,一个拧紧瓶盖的瓶子里装有一些水。请根据图中瓶子正放和倒放时的数据推知瓶子的容积。(π取3.14)（单位：cm） 【旋转后的几何体体积】 一个直角三角形边的长度是3、4、5,如果分别以各边为轴旋转一周,得到三个立体。三个立体中最大体积和最小体积比。 【思维点拨】分别画出旋转后的图形，再求出三个图形的体积之后再比较。 【详解】如下图所示： （1）图1中圆锥体的体积为×π×42×3=16π （2）图2中圆锥体的体积为×π×32×4=12π （3）半径为3×4÷5=2.4 图3中圆锥体的体积为×π×2.42×5=9.6π 所以三个立体图形中最大体积与最小体积之比为16π：9.6π=5:3 1.如图1,ABCD是直角梯形。(单位:厘米) (1)以AB为轴并将梯形绕这个轴旋转一周,得到一个旋转体,它的体积是多少? (2)如果以CD为轴,并将梯形绕这个轴旋转一周,得到一个旋转体,它的体积是多少? 2.如图,ABCD 是直角梯形。以AB为轴将梯形旋转一周,得到一个旋转体,这个旋转体的体积是多少立方厘米? 【侧面展开图相关体积】 把圆柱的侧面展开得到一个长 18厘米、宽12厘米的长方形。这个圆柱的体积可能是多少立方厘米，也可能是多少立方厘米？(π取近似值3) 【思维点拨】分类讨论： （1）以18厘米为圆柱的高，则12为底面周长。 3×（12÷3÷2）2×18 =12×18 =216（立方厘米） （2）以12厘米为圆柱的高，则18为底面周长。 3×（18÷3÷2）2×12 =27×12 =324（立方厘米） 1.一张铁皮长62.8厘米，宽31.4厘米,用这张铁皮卷成一个无盖圆柱形水桶的侧面,另外再配一个底面制成一个水桶，则这个水桶的最大容积是多少立方厘米？ 2.如图,从纸上剪下一个半径是10厘米的扇形做一个圆锥,圆锥的底面直径是16厘米,求圆锥的表面积与体积。 【表面展开图相关体积】 一块长方形铁皮,利用图中的阴影部分,刚好能做成一个油桶，如下图(接头处忽略不计),这个油桶的容积最大是多少升?(π≈3.14) 【思维点拨】本题关键是考虑侧面，是以侧面的长或宽为底面周长。通过分析，侧面的宽相当于直径的2倍，不能做圆柱的底面周长，所以只能以侧面的长做底面周长。16.56厘米相当于底面周长加上一条直径。 【详解】 r=16.56÷（3.14+1）÷2=2（分米） h=2×4=8（分米） 油桶容积最大为：3.14×22×8=100.48（立方分米）=100.48升 1.有一张长方形铁皮(如图)所示,剪下图中两个圆及一块长方形,正好可以做成一个圆柱体,这个圆柱体的底面半径为10厘米,那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米? 2.如下图,这是一块长方形铁皮,利用图中的阴影部分,刚好能做成两个同样大小的油桶(接头处不计),求每个油桶的表面积。 【切割后几何体】 如图1是一个圆柱,底面半径为6厘米,高为10厘米。将其沿虚线切开,圆柱体被平均分成三个相同的如图2所示的小立方体图形,那么其中一个小立方体图形的表面积是多少平方厘米？(π取3) 【思维点拨】一个小立方体的表面积由五部分组成，由2个长方形，2个120°的扇形，和圆柱体侧面积的组成。 【详解】 6×10×2+3.14×62××2+3.14×6×2×10÷3 =120+3.14×24+3.14×40 =320.96（平方厘米） 1.一个圆柱高10厘米，如果它的高增加4厘米，那么它的表面积增加50.24平方厘米。求原来圆柱的表面积。 2.已知圆柱的高是10厘米，由底面圆心垂直切开，把圆柱分成相等两半，表面积增加了40平方厘米，要求圆柱体的体积。（π取3） 【剪拼后几何体】 如图所示,把底面直径是8厘米、高是10厘米的圆柱切成若干等份,拼成一个近似的长方体。这个近似长方体的表面积是多少平方厘米? 【思维点拨】本题是通过剪拼法，把圆柱体转化为长方体，利用长方体的体积公式推导圆柱体的体积公式。转化后的长方体体积不变，表面积增加了左右2个侧面积。 【详解】 长方体的表面积=圆柱体表面积+dh =3.14×（8÷2）2×2+3.14×8×10+8×10 =100.48+251.2+80 =431.68（平方厘米） 1.如图所示,把一个底面直径是6厘米的圆柱,沿底面直径切成若干等份,拼成一个近似的长方体,这个长方体的表面积比原来增加60平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？ 2.圆柱体的侧面积是100平方厘米，底面半径是3厘米，它的体积是多少？ 【挖掉后几何体】 如图,一个柱体高60厘米,底面是一个半径为20厘米、圆心为270°的扇形,求这个柱体表面积。 【思维点拨】次几何体的表面积由2个270°的扇形和侧面积的及两个长方形组成。 【详解】 两个扇形面积之和为3.14×202××2=1884（平方厘米） 侧面积=2×3.14×20×60×=5652（平方厘米） 两个长方形面积之和：20×60×2=2400（平方厘米） 总面积：1884+2400+5652=9936（平方厘米） 1.如图所示,一个高为15厘米,半径为5厘米的圆柱体,从两端各挖去一个等高的圆锥体,求剩余部分体积。 2. 如图,在一个棱长为40厘米的正方体的上、下两个底面的正中间,各有一个直径为6厘米的圆孔孔深15厘米,则这个几何体的表面积是多少平方厘米?体积是多少立方厘米?(π取3.14) 【形变体不变几何体】 如图,有甲、乙两个容器,甲容器注满水后倒入乙容器中,乙容器里水深是多少厘米？ 【思路点拨】甲容器里水的体积等于乙容器里水的体积，乙容器里水的深度=乙容器里水的体积÷乙容器的底面积， 【详解】 水的体积: π×6×10÷3=120π(立方厘米) 乙容器底面积：π×42=16（平方厘米） 乙容器中水的深度：120π÷16π=7.5（厘米） 1. 有甲、乙两个圆柱形容器,它们的底面直径分别为4厘米和8厘米，高分别为36厘米和10厘米,我们先向甲容器中倒满水,然后将甲容器中的水全部倒人乙容器中。问乙容器中的水面离容器口还有多少厘米? 2. 一个底面半径为10cm,高为12cm的圆锥体铁块,可铸成完整的长方体(长5cm、宽4cm、高4cm)铁块最多有多少块？ 【排水法求体积】 如图,一个底面直径是10厘米的圆柱形容器装满水。先将一个底面直径是8厘米的圆锥形铁块放入容器中,铁块全部浸入水中,再将铁块取出，这时水面的高度下降了3.2厘米。圆锥形铁块的高为多少厘米? 【思路点拨】圆柱形容器水面下降部分形成的圆柱体积等于圆锥形铁块的体积。 【详解】 圆锥的体积: π×(10÷2)2×3.2=80π(立方厘米) 圆锥形铁块的底面积:π×(8÷2)2=16π(平方厘米) 圆锥形铁块的高:80π×3-16π=15(厘米) 答:圆锥形铁块的高为15 厘米 1. 一个直径是20cm的圆柱形玻璃杯中装有水，水里放有一个底面直径是6cm,高是10cm的圆锥形铁块。当把圆锥形铁块取出来后,玻璃杯中的水面会下降多少厘米? 2. 在一个圆柱形容器里盛有一部分水,已知圆柱形容器底面半径为10cm,水深9cm。将一个底面半径为5cm,高为15cm的铁圆柱垂直放人水中,使圆柱底面与容器底面接触,此时水深为多少厘米？ 【其它】 有一个圆柱体,高是底面半径的3倍。将它如图分成大、小两个圆柱体,大圆柱体的表面积是小圆柱体的3倍。那么,大圆柱体的体积是小圆柱体的多少倍？ 【思维点拨】设这个圆柱体底面半径为r，那么高为3r，小圆柱体高为h，则大圆柱体高为（3r-h）；根据两圆柱体表面积3倍的关系，求出h=，则大圆柱体高为r；又由于两圆柱体底面积相同，那么高的比就是体积的比，所以大圆柱体体积也是小圆柱体体积的11倍；据此解答。 【详解】设这个圆柱体底面半径为r，那么高为3r，小圆柱体高为h，则大圆柱体高为（3r-h）；因为大圆柱体的表面积是小圆柱体的3倍，所以h=，则大圆柱体高为r 又由于两圆柱体底面积相同， r÷=11 所以大圆柱体体积也是小圆柱体体积的11倍． 1.一个底面长 30 分米，宽 10分米，高 12分米的长方体水池，存有四分之三水池的水,请问: (1)将一个高11分米，体积 330 立方分米的圆柱放入水池，水面的高度为多少分米? (2)如果以同样方式再放入一个同样的圆柱，水面高度变成了多少分米? (3)如果再放入一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米? 2. 从图纸上剪下半径是30厘米的扇形,做一个圆锥,圆锥的底面直径是20 厘米,求圆锥的表面积。 满分：100分 时间：60分钟 1.一个圆柱和一个圆锥,底面半径比为2:3,高的比为4:9。则圆柱和圆锥的体积比是多少? 2.一个圆柱形水桶,若将高改为原来的一半,底面直径为原来的2倍,可装水40千克。原来水桶可装水多少千克? 3.有一个底面周长为9.42厘米的圆柱体,从正中间斜着截去一段后,剩下如下图所示立体图形。问:截后的体积是多少? 4.如图，一个直角三角形边的长度是3、4、5,如果以虚线L为轴旋转一周,得到一个立体体积是多少？ 5.用一张长和宽分别为20cm和16cm的长方形纸片围成一个圆筒, 则圆筒的体积是多少立方厘米，也可能是多少立方厘米？(结果用π表示) 6.如下图,一块长方形铁皮,利用图中的阴影部分刚好能做成一个圆柱体油桶(接头处忽略不计)。这个油桶的容积是多少立方分米?(π≈3.14) 7.一段圆柱体木料，如果截成两个小圆柱体，他的表面积将增加6.28平方厘米；如果沿直径所在的平面截成两半，它的表面积将增加80平方厘米。求圆柱体的体积。 8.直角梯形ABCD。∠B=45°，AD=2厘米，CD=4厘米，如果以CD为轴旋转一周得到一个几何体，求几何体的体积。 9. 如图,有一个圆柱体的零件,高10厘米,底面直径是6厘米,零件的一端有一个圆柱形的直孔。圆孔的半径是圆柱底面半径的,孔深是圆柱高的。如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆,求:一共需涂多少平方厘米? 10.一个底面半径是8厘米圆柱形玻璃容器里装有一部分水，水中浸没着一个高为12 厘米的圆锥铅锤从水中取出后,水面下降了0.5厘米,这个圆锥体的底面积是多少平方厘米?(π取 3.14) 11. 如图,在一个由圆锥和圆柱组成的高为8cm的玻璃容器中加人一些水,并盖上盖子,水面高6cm,圆锥和圆柱的高相同。当把这个玻璃容器倒过来时,水面有多高? 12. 工人叔叔要为下面是正方体、上面是圆柱的灯柱(如图)刷上油漆。如果每平方米需要油漆0.3kg,那么至少需要准备多少千克的油漆? 【巩固提升】参考答案 1.一个圆柱和一个圆锥,底面周长比是1:2,体积比为5:6,圆柱高为20厘米。圆锥高为多少厘米? 【解析】运用复比方法解决 圆柱与圆锥底面周长之比为1:2，得到底面积之比为12：22=1:4 体积之比为5:6 则高之比为（5÷1）：（6÷4×3）=10:9 圆柱高为20厘米，则圆锥高为20÷10×9=18（厘米） 2.两个相同的圆锥容器中各盛一些水,水深都是圆锥高的一半,则甲容器中的水是乙 容器中的水的几倍? 【解析】根据图形的放大与缩小方法解决（比例放大与缩小）。以左边圆锥为例，求出圆锥上面空白部分小圆锥的体积占大圆锥体积的几分之几即可。 大圆锥高与小圆锥高之比为1:2 底面半径之比为1:2，得到底面积之比为1:4 所以小圆锥与大圆锥的体积之比为（1×1）：（2×4）=1:8 则甲容器中的水是乙容器中的水的（8-1）÷1=7倍。 1.圆柱和圆锥体积和为230立方厘米,圆柱底面周长是圆锥的,圆柱高是圆锥的。分别求圆柱和圆锥体积。 【解析】和比关系 圆柱与圆锥的底面周长之比为1:3 则底面积之比为（1×1）：（3×3）=1:9 高之比为5:6 则体积之比为（1×5）：（9×6×）=5:18 圆柱体积为230÷（5+18）×5=50（立方厘米） 圆锥体积为230-50=180（立方厘米） 2.底面直径是20厘米的圆柱形容器中装有一些水,将一个高10厘米,底面半径12厘米的圆锥形铁锤浸没在水中,当铁锤从水中取出后,容器中的水下降了几厘米?(设水足够深且不会溢出) 【解析】排水法测量不规则问题的体积 铁锤排开水的体积=下降部分水的体积 圆锥体积=3.14×122× 下降高度=3.14×122×÷[3.14×（20÷2）2]=48÷100=0.48（厘米） 1.有一饮料容器如图所示,容积是30立方分米。现在,它里面装有些饮料,正放时饮料高度为20cm,倒放时空余部分的高度为5cm。问:容器内现有饮料多少立方分米? 【解析】倒置后，因为容器容积和饮料的体积不变，所以得到空白部分的体积也相等。所以可以容器可以转化为一个规则的圆柱体，此圆柱体的高为20+5=25（分米） 有水部分与无水部分的容积之比为20:5=4:1 容器内饮料的体积为30÷（1+4）×4=24（立方分米） 2.如图,一个拧紧瓶盖的瓶子里装有一些水。请根据图中瓶子正放和倒放时的数据推知瓶子的容积。(π取3.14)（单位：cm） 【解析】倒置后无水部分为一个圆柱体，其高度为10-8=2（厘米） 因为左右无水部分的容积相等，所以可以把容器转化为你一个圆柱体，其高为6+2=8（厘米） 瓶子容积：3.14×（4÷2）2×8=100.48（立方厘米） 1.如图1,ABCD是直角梯形。(单位:厘米) (1)以AB为轴并将梯形绕这个轴旋转一周,得到一个旋转体,它的体积是多少? (2)如果以CD为轴,并将梯形绕这个轴旋转一周,得到一个旋转体,它的体积是多少? 【解析】 （1）得到的几何体为一个圆锥加上一个圆柱，圆锥余圆柱等底等高。所以体积相当于圆柱体积的 3.14×33×3× =3.14×36 =113.04（立方厘米） （2）得到的图形为一个高6厘米的圆柱体积减去一个高3厘米的圆锥体积。几何体的体积相当于高3厘米的圆柱体积的。 3.14×33×3× =3.14×45 =141.3（立方厘米） 2.如图,ABCD 是直角梯形。以AB为轴将梯形旋转一周,得到一个旋转体,这个旋转体的体积是多少立方厘米? 【解析】与上面（2）方法相同。 3.14×22×5+3.14×22×（8-5）× =62.8+12.56 =75.36（立方厘米） 1.一张铁皮长62.8厘米，宽31.4厘米,用这张铁皮卷成一个无盖圆柱形水桶的侧面,另外再配一个底面制成一个水桶，则这个水桶的最大容积是多少立方厘米？ 【解析】分两种情况讨论： （1）以62.8厘米为高，31.4厘米为底面周长： 体积为：3.14×（31.4÷3.14÷2）2×62.8 =3.14×25×62.8 =4929.8（立方厘米） （2）以31.4厘米为高，62.8厘米为底面周长： 体积为：3.14×（62.8÷3.14÷2）2×31.4 =3.14×100×31.4 =9859.6（立方厘米） 答：这个水桶的容积最大为9859.6立方厘米。 2.如图,从纸上剪下一个半径是10厘米的扇形做一个圆锥,圆锥的底面直径是16厘米,求圆锥的表面积与体积。 【解析】 圆锥的半径:16÷2=8(厘米) 底面积 8×8×3.14 =64×3.14 =200.96(平方厘米) 侧面弧长=底面周长=2πr=2×3.14×8=50.24(厘米) 侧面积=×r×L=×10×50.24=251.2(平方厘米)(长方形、正方形的面积 圆锥的表面积:251.2+200.96=452.16(平方厘米) 圆锥的高:10×10-8×8=36(平方厘米) 6×6=36(平方米)，因此高是6厘米. 圆锥的体积=×底面积×高 =×8×8×3.14×6 =2×200.96 =401.92(立方厘米) 答:圆锥的表面积是452.16平方厘米，体积是401.92立方厘米。 1.有一张长方形铁皮(如图)所示,剪下图中两个圆及一块长方形,正好可以做成一个圆柱体,这个圆柱体的底面半径为10厘米,那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米? 【解析】以上面题型解题思路一样。 d=20.56÷（3.14+2）=4（分米） h=4（分米） 表面积：3.14×4×4+3.14×（4÷2）2×2=50.24+25.12=75.36（平方厘米） 2.如下图,这是一块长方形铁皮,利用图中的阴影部分,刚好能做成两个同样大小的油桶(接头处不计),求每个油桶的表面积。 【解析】同上 d=20.56÷（3.14+2）=4（分米） h=4（分米） 表面积：3.14×4×4+3.14×（4÷2）2×2=50.24+25.12=75.36（平方厘米） 1.一个圆柱高10厘米，如果它的高增加4厘米，那么它的表面积增加50.24平方厘米。求原来圆柱的表面积。 【解析】高增加4厘米，则表面积增加了一个高4厘米的侧面积。要计算原来表面积，必须求出底面半径。 底面半径：50.24÷4÷3.14÷2=2（厘米） 原来圆柱体表面积：3.14×22×2+2×3.14×2×10 =25.12+125.6 =150.72（平方厘米） 2.已知圆柱的高是10厘米，由底面圆心垂直切开，把圆柱分成相等两半，表面积增加了40平方厘米，要求圆柱体的体积。（π取3） 【解析】把圆柱体切成相等两半，表面积增加了2个长方形；长方形的长为圆柱底面直径，宽为圆柱高。 直径=40÷2÷10=2（厘米） 圆柱体体积=3.14×（2÷2）2×10=31.4（立方厘米） 1.如图所示,把一个底面直径是6厘米的圆柱,沿底面直径切成若干等份,拼成一个近似的长方体,这个长方体的表面积比原来增加60平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？ 【解析】题是通过剪拼法，把圆柱体转化为长方体，利用长方体的体积公式推导圆柱体的体积公式。转化后的长方体体积不变，表面积增加了左右2个侧面积。 圆柱体高=60÷2÷6=5（厘米） 圆柱体体积=3.14×（6÷2）2×5=141.3（立方厘米） 2.圆柱体的侧面积是100平方厘米，底面半径是3厘米，它的体积是多少？ 【解析】此题关键是要先求出圆柱体的高，再利用圆柱体的体积公式进行计算即可。 圆柱体的高=侧面积÷底面周长=100÷（3.14×3×2）=（厘米） 圆柱体的体积=3.14×32×=150（立方厘米） 1.如图所示,一个高为15厘米,半径为5厘米的圆柱体,从两端各挖去一个等高的圆锥体,求剩余部分体积。 【解析】挖去的两个圆锥体积之和相当于圆锥体积的。 剩余体积：3.14×52×15×（1-）=78.5×10=785（立方厘米） 2. 如图,在一个棱长为40厘米的正方体的上、下两个底面的正中间,各有一个直径为6厘米的圆孔孔深15厘米,则这个几何体的表面积是多少平方厘米?体积是多少立方厘米?(π取3.14) 【解析】表面积增加了2个小圆柱体的侧面积；体积用正方体体积减去2个小圆柱体的体积。 表面积：40×40×6+3.14×6×15×2 =9600+565.2 =10165.2（平方厘米） 体积：40×40×40-3.14×（6÷2）2×15×2 =64000+847.8 =6847.8（立方厘米） 1. 有甲、乙两个圆柱形容器,它们的底面直径分别为4厘米和8厘米，高分别为36厘米和10厘米,我们先向甲容器中倒满水,然后将甲容器中的水全部倒人乙容器中。问乙容器中的水面离容器口还有多少厘米? 【解析】水的体积不变。 水的体积：3.14×（4÷2）2×36 甲水深：3.14×（4÷2）2×36÷[3.14×（8÷2）2] =4×36÷16 =9（厘米） 离容器口距离：10-9=1（厘米） 2. 一个底面半径为10cm,高为12cm的圆锥体铁块,可铸成完整的长方体(长5cm、宽4cm、高4cm)铁块最多有多少块？ 【解析】体积不变，用圆锥体积÷每个小长方体的体积=块数 3.14×102×12÷（5×4×4） =47.1（块） ≈47块 1. 一个直径是20cm的圆柱形玻璃杯中装有水，水里放有一个底面直径是6cm,高是10cm的圆锥形铁块。当把圆锥形铁块取出来后,玻璃杯中的水面会下降多少厘米? 【解析】圆锥体积等于排开水的体积，水的体积为圆柱体 ×π×（6÷2）2×10÷[π×（20÷2）2] =30π÷100π =0.3（厘米） 2. 在一个圆柱形容器里盛有一部分水,已知圆柱形容器底面半径为10cm,水深9cm。将一个底面半径为5cm,高为15cm的铁圆柱垂直放人水中,使圆柱底面与容器底面接触,此时水深为多少厘米？ 【思路点拨】如图所示,首先要判断铁圆柱是否完全淹没在水中。假设铁圆柱足够高,即铁圆柱没有被水面淹没，则解题时要抓住铁圆柱放入水中前后水的体积保持不变,水的体积为102π×9=900π(立方厘米)，后来水的底面积为102π-52π=75n(平方厘米),那么后来水深为:900π÷75π=12(厘米)。因为12＜15,说明铁圆柱没有被水面淹没，此时水深为12厘米。 【详解】 假设铁圆柱足够高,则后来水深为:(10²π×9)÷(102π-52π)=12(厘米) 因为 12＜15,所以铁圆柱没有被水面淹没所以,此时水深为 12厘米。 【特别提醒】解答此题的关键是要判断铁圆柱放入水中是否完全淹没在水中。 (1)如果完全淹没在水中,则解题时要抓住:(铁圆柱体积十水的体积)÷容器的底面积=水的深度。 (2)如果铁圆柱没有淹没在水中，则解题时要抓住铁圆柱放入水中前后水的体积保持 不变。 1.一个底面长 30 分米，宽 10分米，高 12分米的长方体水池，存有四分之三水池的水,请问: (1)将一个高11分米，体积 330 立方分米的圆柱放入水池，水面的高度为多少分米? (2)如果以同样方式再放入一个同样的圆柱，水面高度变成了多少分米? (3)如果再放入一个同样的圆柱，水面高度又942变成了多少分米? 【答案】（1）10分米；（2）11.2分米；（3）12分米 【解析】 (1)假设没有完全覆盖，现知原长方体水池中水面高度为12×=9(分米)，体积为: 30×10×9=2700(立方分米)，而现在放入的圆柱的底面积为: 330÷11=30(平方分米)，将圆柱放入后除去现在的圆柱底面积即为有水部分底面积则水面高度为:2700÷(30×10-30)=10(分米)。由于 10＜11 因此符合题意。 (2)假设没有完全覆盖，再放入一个同样的圆柱，则除去两个圆柱底面积为有水的部分底面积，有水部分的底面积为:30×10-30×2=240(平方分米)， 则水面高度为:2700÷240=11,25(平方分米)，已超过圆柱高度，因此圆柱被完全覆盖，所以现在的新体积为2700+330×2=3360(立方分米)。故水面高度应为3360÷300=11.2(分米)。 (3)再放入一个同样的圆柱，显然水面高度已经超过12分米，有水溢出，故此时水面高度应为12 分米。 2. 从图纸上剪下半径是30厘米的扇形,做一个圆锥,圆锥的底面直径是20 厘米,求圆锥的表面积。 【解析】此题关键是求出圆锥侧面积，扇形的弧长=圆锥的底面周长 列出方程：3.14×20=2×3.14×30× n=120° 所以扇形面积=3.14×302×=942（平方厘米） 圆锥表面积=3.14×（20÷2）2+942=1256（平方厘米） 【综合测试】参考答案 1.一个圆柱和一个圆锥,底面半径比为2:3,高的比为4:9。则圆柱和圆锥的体积比是多少? 【解析】运用复比方法解决 圆柱与圆锥的底面半径之比为2:3，则底面积之比为（2×2）：（3×3）=4:9 高之比为4:9 则体积之比为（4×4）：（9×9÷3）=16:27 2.一个圆柱形水桶,若将高改为原来的一半,底面直径为原来的2倍,可装水40千克。原来水桶可装水多少千克? 【解析】运用复比方法解决 圆柱原来与现在底面直径之比为1:2，则底面积之比为1:4 高之比为2:1 体积之比为（1×2）：（4×1）=1:2 3.有一个底面周长为9.42厘米的圆柱体,从正中间斜着截去一段后,剩下如下图所示立体图形。问:截后的体积是多少? 【解析】再添加一个相同的几何体，转化为一个高8+6=14厘米的圆柱体，求出这个圆柱体的体积，然后除以2即可 底面半径：9.42÷3.14÷2=1.5（厘米） 体积：3.14×1.52×（8+6）÷2=49.455（立方厘米） 4.如图，一个直角三角形边的长度是3、4、5,如果以虚线L为轴旋转一周,得到一个立体体积是多少？ 【解析】得到的图形为圆柱体积减去等底等高的圆锥体积，即相当于圆柱体积的。 3.14×32×4× =37.68（立方厘米） 5.用一张长和宽分别为20cm和16cm的长方形纸片围成一个圆筒, 则圆筒的体积是多少立方厘米，也可能是多少立方厘米？(结果用π表示) 【解析】 （1）以20厘米为轴： 体积：π×（16÷2）2×20=1280π（立方厘米） （2）以16厘米为轴： 体积：π×（20÷2）2×16=1600π（立方厘米） 6.如下图,一块长方形铁皮,利用图中的阴影部分刚好能做成一个圆柱体油桶(接头处忽略不计)。这个油桶的容积是多少立方分米?(π≈3.14) 【解析】 r=24.84÷（3.14+1）÷2=3（分米） h=3×2=6（分米） v=3.14×32×6=169.56（立方分米） 7.一段圆柱体木料，如果截成两个小圆柱体，他的表面积将增加6.28平方厘米；如果沿直径所在的平面截成两半，它的表面积将增加80平方厘米。求圆柱体的体积。 【解析】截成两个圆柱体，表面积增加了2个圆；截成相等的两半，表面积增加了2个长方形。 底面半径平方=6.28÷2÷3.14=1=12 半径=1厘米 高=80÷2÷（1×2）=20（厘米） 圆柱体体积=6.28÷2×20=62.8（立方厘米） 8.直角梯形ABCD，∠B=45°，AD=2厘米，CD=4厘米，如果以CD为轴旋转一周得到一个几何体，求几何体的体积。 【解析】旋转后的图形如下图1，得到一个圆台，圆台的体积为圆锥体积减去一个小圆锥体积（如图2） ×π×62×6-×π×22×2 =72π-π =69π（立方厘米） 9. 如图,有一个圆柱体的零件,高10厘米,底面直径是6厘米,零件的一端有一个圆柱形的直孔。圆孔的半径是圆柱底面半径的,孔深是圆柱高的。如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆,求:一共需涂多少平方厘米? 【解析】这个零件的表面积由大圆柱的表面积加上一个小圆柱体的侧面积。 圆孔的底面半径：6×=4（厘米） 孔深：10×=5（厘米） 涂漆面积： 3.14×（6÷2）2×2+3.14×6×10+3.14×4×5 =56.52+188.4+62.8 =307.72（平方厘米） 10.一个底面半径是8厘米圆柱形玻璃容器里装有一部分水，水中浸没着一个高为12 厘米的圆锥铅锤从水中取出后,水面下降了0.5厘米,这个圆锥体的底面积是多少平方厘米?(π取 3.14) 【解析】浸没在水中的圆锥体铅锤体积等于排开水的体积（圆柱体形） π×82×0.5÷（×12） =25.12（平方厘米） 11. 如图,在一个由圆锥和圆柱组成的高为8cm的玻璃容器中加人一些水,并盖上盖子,水面高6cm,圆锥和圆柱的高相同。当把这个玻璃容器倒过来时,水面有多高? 【解析】等底等高的圆锥体积是圆柱体积的。 8÷2÷3+（8-6）=3（厘米） 12.工人叔叔要为下面是正方体、上面是圆柱的灯柱(如图)刷上油漆。如果每平方米需要油漆0.3kg,那么至少需要准备多少千克的油漆? 【解析】刷油漆的面积可以转化为圆柱体的侧面积+正方体的5个面积 （3.14×5×8+5×5×5）×0.3 =75.18（千克） 14 学科网（北京）股份有限公司 $$