精品解析：广东省潮州市潮安区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期末教学质量检测八年级数学科试卷 说明：全卷共6页，考试时间为120分钟，满分120分 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的4个选项中只有一个是正确的，请将所选选项的字母填在题目后面的括号内． 1. 七巧板是我国的一种传统智力玩具，下列用七巧板拼成的图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义去逐一判断即可． 【详解】解：A不是轴对称图形，不符合题意， B不是轴对称图形，不符合题意， C不是轴对称图形，不符合题意， D是轴对称图形，符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，准确理解定义是解题的关键． 2. 小米 汽车采用0.0000000048米制程技术打造的全新旗舰车规级芯片—高通8295芯片，其算力、性能、渲染性能大幅提升．用科学记数法表示该制程技术为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，熟知概念是解题的关键．根据用科学记数法可以把一个绝对值小于1的非零数表示成，其中，n是一个负整数，n的绝对值等于原数中的第一个非零数字前面所有零的个数（包括小数点前面的那个零），即可解答． 【详解】解：， 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、单项式除以单项式、同底数幂的乘法、幂的乘方，根据相关运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意； B、，故此选项计算正确，符合题意； C、，故此选项计算错误，不符合题意； D、，故此选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 4. 下列各组中的三条线段恰好是一个三角形三条边的是（ ） A. 3，4，7 B. 3，4，10 C. 3，7，10 D. 4，7，10 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形任两边的和大于第三边即可作出判断． 【详解】A、3+4=7，故这三条线段不能组成三角形的三条边； B、3+4=7<10，故这三条段不能组成三角形的三条边； C、3+7=10，故这三条线段不能组成三角形的三条边； D、4+7=11>10，则这三条线段能组成三角形的三条边； 故选项D符合题意 故选：D． 【点睛】本题考查了构成三角形的条件，实际解题中，只要考虑最短的两条线段之和大于最长的线段，则可判断此三条线段可以构成三角形的三边． 5. 若分式的值为0，则x的值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式为零的条件，熟知分式为零的条件是且是解答的关键．根据分式为零的条件得到且，然后解方程即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得且， ∴， 故选：D． 6. 如图，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形对应角相等，，所以，再根据角的和差关系代入数据计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应角相等是解题关键． 7. 下列因式分解正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用提公因式法、公式法逐个分解得结论． 【详解】解：A．，故选项A分解错误，不合题意； B．，故选项B分解错误，不合题意； C．，故选项C分解正确，符合题意； D．，故选项D分解错误，不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键． 8. 如图，在中，是的垂直平分线．若，则的周长是（ ） A. 13 B. 5 C. 8 D. 26 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质，得到，进而推出的周长是，计算即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴周长是． 故选A． 9. 如图，，P是的平分线上的一点，于点M，交OA于点N，若，则PN的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，三角形的外角性质，含30度角的直角三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点P作，垂足为C，利用角平分线的定义可得，再利用角平分线的性质可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，最后利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：过点P作，垂足为C， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， 故选：C． 10. 如图，在中，D是上一点，交于E，，，则以下说法：①；②；③；④，说法正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质，平行线的判定及性质，解答时证明三角形全等是关键．根据条件证明得到，，，从而得证，最后根据三角形的外角性质和平行线的性质即可求解． 【详解】解：在和中，， ， ，，，①正确， ，， ，，④正确， ∵，， ∴当时，有，这时， 但与不一定相等， ∴不一定成立，故③错误； ∵，，， ∴，故②正确； 综上所述，正确的是①②④， 故选C． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将下列各题的正确答案填写在横线上． 11. 计算：______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查零指数幂，根据任何不为零的零指数幂为1求解即可． 【详解】解：， 故答案：1． 12. 正六边形的每个内角等于______________°． 【答案】120 【解析】 【详解】解：六边形的内角和为：（6-2）×180°=720°， ∴正六边形的每个内角为：， 故答案为：120 13. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，立柱，且顶角，则的大小为______度． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质，根据三线合一性质得到即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：60． 14. 如图，对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，与相交于点N．若直线交直线于点O，，，点Q是折痕上的一个动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由折叠的性质及题意易得，则有是等边三角形，进而可得；设，，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得可得，则求得，，进而求得，根据对称性得到，当、Q、E共线时取等号，进而可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵对折矩形纸片，使与重合，得到折痕， ∴，，， ∵把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕， ∴，，， ∴，即是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，， 则在中，， ∴， ∴， ∵在中，，又 ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵点Q是折痕上的一个动点，点A与点关于对称， ∴连接，则， ∴，当、Q、E共线时取等号，此时点Q在N处， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理及二次根式的运算、含30度角的直角三角形的性质、最短路径问题，熟练掌握折叠的性质、等边三角形的判定与性质、利用轴对称性质求最短路径是解题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，熟记乘法公式是解答的关键．利用平方差公式和完全平方公式计算求解即可． 【详解】解： ． 16. 如图，在中，的平分线交于点D．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，角平分线的定义，解题的关键是数形结合，先求出．先根据，，得出，根据角平分线的定义得出，根据三角形外角的性质，求出即可． 【详解】解：∵，． ． ∵是的平分线， ， ∴． 17. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解答的关键．先利用分式的混合运算法则，结合因式分解化简分式，再代值求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）在图中画出关于轴对称的，并直接写出点和点的坐标； （2）在轴上画出点，使得的值最小（保留作图痕迹）． 【答案】（1）图见解析，， （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据关于轴对称的点的坐标特征写出点和点的坐标，然后描点即可； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点． 【小问1详解】 解：如图，为所求，，； 【小问2详解】 如图，点为所作． 【点睛】本题考查了作图轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．也考查了最短路径问题． 19. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如题20-1图所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，直角所对的边长为c）． （1）如图1，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积． 方法1：________； 方法2：________； 方法1和方法2所得结果相等，整理可以得到等式：________． 这就是勾股定理，勾股定理把数和形联系起来，描述了直角三角形三边之间数量关系．在解决数学问题时，我们还经常利用同一图形面积的不同计算方式得出的结果相等的方法来解决问题，称为等面积法． （2）方法运用：如图2，在直角中，，，，用尺规作图作边上的高（保留作图痕迹），并求的长． 【答案】（1），， （2）图见解析， 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，勾股定理． （1）根据可知，阴影部分面积=大正方形4个三角形=边长，即可解答； （2）根据勾股定理求出，再根据三角形的面积公式得出，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得：用两种不同方法表示图中阴影部分面积如下： 方法1：； 方法2：， ∴，整理得：， 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：如图：即为所求， ∵，，， ∴， ∵， ∴，即， 解得：． 20. 荔枝是岭州四大佳果之一，北宋诗人苏轼为之写下“日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人”的绝句．某水果超市用4000元购进一批荔枝，面市后供不应求．超市又用1万元购进第二批这种荔枝，所购数量是第一批的2倍，因每斤进价贵了2元． （1）第一批荔枝每斤进价为多少元？ （2）超市销售两批荔枝售价相同，两批全部售完后要求获利不少于4000元，则每斤售价至少为多少元？ 【答案】（1）第一批荔枝每斤进价为8元 （2）每斤售价至少为12元 【解析】 【分析】（1 ）设第一批荔枝每斤进价为x元，则第二批荔枝每斤进价为元，根据“所购数量是第一批的2倍”，列出分式方程，解方程即可求解． （2 ）设售价为y元，再根据盈利＝销售价﹣成本价，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 设第一批荔枝每斤进价为x元，则第二批荔枝每斤进价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是方程的解，且符合题意， 答：第一批荔枝每斤进价为8元． 【小问2详解】 设每斤售价为y元， 依题意可得：， 解得：， 答：每斤售价至少12元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（ 1）找准等量关系，正确列出分式方程；（ 2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23每小题14分，共27分． 21. 对完全平方公式：适当的变形可以解决很多数学问题，例如： 若，，求的值． 解：因为， 所以，即：，又因为， 所以． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： （1）若，．求的值； （2）填空：若．则______； （3）如图，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】（1） （2）17 （3）图中阴影部分面积为 【解析】 【分析】（1）根据公式变形计算即可． （2）设，则，，，根据公式，变形计算即可． （3）设，则，求得后，计算三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴， 解得， 故答案为：12． 【小问2详解】 ∵， 设， 则，，， ∵， ∴， 故． 【小问3详解】 ∵，两正方形的面积和， ∴设， 则， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形计算，正方形的性质，熟练掌握公式变形是解题的关键． 22. 在等边中，点D为射线上（点B、点C除外）一动点，过点D作的高，延长至点E，使． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，当点D在线段上移动时，过点D作交直线于点F，则与是否始终保持全等？若全等，请证明；若不全等，请说明你的理由； （3）若等边的边长为6，，求的长（用含m的式子表示）． 【答案】（1）见解析 （2）与是否始终保持全等，证明见解析 （3）或或 【解析】 【分析】（1）先根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质求得，，再根据已知得到垂直平分，则，再根据等腰三角形的性质求得，进而可得结论； （2）由可得，得出，，得出，，由得，可知，再证明，进而再利用证明，可得结论； （3）分当点D在线段上移动时、当点D在线段的延长线上移动且H在线段上时、当点D在线段的延长线上移动且H在线段上的延长线上时三种情况，分别画出图形，证明得，由可得，再由或或可得结论． 【小问1详解】 证明：∵三角形是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴ ∴， 则； 【小问2详解】 解：与是否始终保持全等．证明如下： ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，，又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 又， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问3详解】 解：当点D在线段上移动时，如图2， 由（2）知，，且， ∴， ∴； 当点D在线段的延长线上移动且H在线段上时，如图，过点D作交延长线于点F， 则，，， ∴，则， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 又， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，又， ∴； 当点D在线段的延长线上移动且H在线段的延长线上时，如图， 同理可证，则， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 又，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，又， ∴； 综上，或或． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理及外角性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造全等三角形以及分类讨论是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期期末教学质量检测八年级数学科试卷 说明：全卷共6页，考试时间为120分钟，满分120分 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的4个选项中只有一个是正确的，请将所选选项的字母填在题目后面的括号内． 1. 七巧板是我国的一种传统智力玩具，下列用七巧板拼成的图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 小米 汽车采用0.0000000048米制程技术打造的全新旗舰车规级芯片—高通8295芯片，其算力、性能、渲染性能大幅提升．用科学记数法表示该制程技术为（ ） A B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组中的三条线段恰好是一个三角形三条边的是（ ） A 3，4，7 B. 3，4，10 C. 3，7，10 D. 4，7，10 5. 若分式的值为0，则x的值是（ ） A. 2 B. C. D. 6. 如图，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 下列因式分解正确的是( ) A. B. C. D. 8. 如图，在中，是的垂直平分线．若，则的周长是（ ） A. 13 B. 5 C. 8 D. 26 9. 如图，，P是的平分线上的一点，于点M，交OA于点N，若，则PN的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 4 D. 3 10. 如图，在中，D是上一点，交于E，，，则以下说法：①；②；③；④，说法正确的是（ ） A ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将下列各题的正确答案填写在横线上． 11. 计算：______． 12 正六边形的每个内角等于______________°． 13. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，立柱，且顶角，则的大小为______度． 14. 如图，对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，与相交于点N．若直线交直线于点O，，，点Q是折痕上的一个动点，则的最小值为______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 15. 计算： 16. 如图，在中，的平分线交于点D．求的度数． 17. 先化简，再求值：，其中 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）在图中画出关于轴对称的，并直接写出点和点的坐标； （2）在轴上画出点，使得的值最小（保留作图痕迹）． 19. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如题20-1图所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，直角所对的边长为c）． （1）如图1，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积． 方法1：________； 方法2：________； 方法1和方法2所得结果相等，整理可以得到等式：________． 这就是勾股定理，勾股定理把数和形联系起来，描述了直角三角形三边之间的数量关系．在解决数学问题时，我们还经常利用同一图形面积的不同计算方式得出的结果相等的方法来解决问题，称为等面积法． （2）方法运用：如图2，在直角中，，，，用尺规作图作边上的高（保留作图痕迹），并求的长． 20. 荔枝是岭州四大佳果之一，北宋诗人苏轼为之写下“日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人”的绝句．某水果超市用4000元购进一批荔枝，面市后供不应求．超市又用1万元购进第二批这种荔枝，所购数量是第一批的2倍，因每斤进价贵了2元． （1）第一批荔枝每斤进价为多少元？ （2）超市销售两批荔枝售价相同，两批全部售完后要求获利不少于4000元，则每斤售价至少为多少元？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23每小题14分，共27分． 21. 对完全平方公式：适当的变形可以解决很多数学问题，例如： 若，，求的值． 解：因为， 所以，即：，又因， 所以． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： （1）若，．求的值； （2）填空：若．则______； （3）如图，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 22. 在等边中，点D为射线上（点B、点C除外）一动点，过点D作的高，延长至点E，使． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，当点D在线段上移动时，过点D作交直线于点F，则与是否始终保持全等？若全等，请证明；若不全等，请说明你的理由； （3）若等边的边长为6，，求的长（用含m的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$