6.2.1-6.2.3平面向量的线性运算题型归纳讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.1&6.2.3平面向量的线性运算 【题型归纳】 题型1向量的加法、减法运算 6 题型2 向量加减法及模的综合运用 8 题型3 向量三角形不等式的运用 10 题型4 用已知向量表示未知向量 13 题型5 向量共线定理的应用问题 15 考点1 判断向量是否共线问题 15 考点2 利用向量共线定理判定三点共线 16 考点3 利用向量共线定理求参数 18 题型6 向量运算在三角形中的应用 22 考点1 求三角形的面积之比 22 考点2 利用向量的线性运算解决三角形的四心问题 25 巩固提升训练 28 知识点一 向量的加法 1．向量加法的定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法.两个向量的和仍是一个向量. 对于零向量与任意向量，我们规定. 2．向量加法的几何意义 （1）向量加法的三角形法则 如图所示，已知非零向量，，在平面内取任意一点，作，，则向量叫做与的和，记作，即.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则. （2）向量加法的平行四边形法则 如图所示，以同一点为起点的两个已知向量，，以，为邻边作，则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 3．向量加法的交换律和结合律 （1）向量加法交换律：； （2）向量加法结合律： 4．多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. (1)向量加法的多边形法则是向量加法的三角形法则的推广，是由求两个向量的和推广到求多个向量的和，强调的也是“首尾相接”. (2)当首尾依次相接的向量构成封闭的“向量链”时，各向量的和为.如图，在边形中，有. 运用以上结论也可以判断一个图形是否为封闭图形. 知识点二 向量的减法运算 1.相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作. 零向量的相反向量仍是零向量. 由相反向量的定义，有如下结论： (1)； (2)； (3)若，互为相反向量，则，，. 2.向量减法的定义 向量加上的相反向量，叫做与的差，即.求两个向量差的运算叫做向量的减法. 3.向量减法的三角形法则 如图所示，已知向量，，在平面内任取一点，作，，则. 即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 注：(1)作非零向量，的差向量，可以简记为“共起点，连终点，方向指被减”. (2)由上知，可以用向量减法的三角形法则作差向量；也可以转化为向量的加法(即平行四边形法则)作差向量，显然，此法作图较烦琐. (3)如图，以，为邻边作平行四边形，则两条对角线所对应的向量，，这一结论在以后的学习中应用非常广泛. 知识点三 向量的数乘运算 1．向量数乘的定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下： (1)； (2)当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反. 2．向量的数乘的几何意义 (1)当时，有，这意味着表示向量的有向线段在原方向()或反方向()上伸长到原来的倍; (2)当时，有，这意味着表示向量的有向线段在原方向()或反方向()上缩短到原来的倍. 3．向量的数乘的运算律 设，为实数，那么(1); (2); (3). 特别地，我们有 注：(1)实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如，均没有意义. (2)对于非零向量，当时，表示方向上的单位向量. (3)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算.主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”及“公因式”指的是向量，实数指的是向量的系数. 4．向量的线性运算 （1）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量，，以及任意实数，，，恒有. （2）线性表示的概念 根据向量的线性运算，可知：若一个向量是由另一些向量通过线性运算得到的，我们就说这个向量可以用另一些向量线性表示. 例如，，可称由与线性表示. 知识点五 向量共线定理 1．向量共线定理 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使. 2．向量共线定理的应用——求参 一般地，解决向量，共线求参问题，可用两个不共线向量(如，)表示向量，，设，化成关于，的方程，由于，不共线，则解方程组即可. 拓展点一 向量形式的三角不等式 1．当向量，不共线时，作，，则，如图(1)，根据三角形的三边关系， 有 2．当与同向共线或，中至少有一个为零向量时，作法同上，如图(2)，此时； 当与反向共线或，中至少有一个为零向量时，不妨设，作法同上，如图(3)，此时. 故对于任意向量，，总有①. 由于， 所以， 即②. 将①②两式结合起来，即，我们称之为向量形式的三角不等式. 拓展点二 三点共线定理 1.三点共线的判定定理 对于平面内任意三点，，，都可以写成，，的形式，若存在一个实数使得(或或)，则根据向量共线的判定定理可知向量，共线(或，共线或，共线).又由它们具有公共点(或或)可知三点，，共线. 所以有：对于平面内任意三点，，，为不同于，，的任意一点，设，若实数，满足，则三点，，共线. 事实上，由，可得，代入可得，即，也即.从而，，三点共线. 2.三点共线的性质定理 根据向量共线的性质定理及三点共线的判定定理不难得到三点共线的性质定理.若平面内三点，，共线，为不同于，，的任意一点，设，则存在实数，使得. 事实上，若三点，，共线，则一定存在实数使得.即，从而，令，，则. 综上，我们得到如下的三点共线定理： 已知平面内三点，，，为不同于，，的任意一点，，，三点共线当且仅当存在实数，使得，且 【题型归纳】 题型1向量的加法、减法运算 1．（2024高一下·全国·专题练习）（多选题）如图，在平行四边形中，对角线与交于点，下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据向量的加法法则可逐一判断． 【详解】对于A，由平面向量加法的平行四边形法则得，A正确； 对于B项，，B错误； 对于C项，，C正确； 对于D项，，D正确． 故选：ACD 2．（23-24高一下·河南洛阳·阶段练习）若为的外心，且，则的内角等于 ． 【答案】 【分析】由向量加法的平行四边形法则，结合三角形外心的性质求解即得. 【详解】由，得四边形是平行四边形， 由点是的外心，得，则是菱形， 因此都是正三角形，则， 所以. 故答案为：    3．（23-24高一下·全国·单元测试）化简下列各式： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）由向量的加减法运算即可得答案. 【详解】（1）． （2）. （3）. 4．（23-24高一下�广东佛山�阶段练习）已知O是平行四边形ABCD内一点，设，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用向量相等及减法运算求解即得. 【详解】在平行四边形ABCD中，，则， 所以. 故选：C 5．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）设表示“向东走”，表示“向南走”，则所表示的意义为（    ） A．向东南走 B．向东南走 C．向西南走 D．向西南走 【答案】C 【分析】根据向量表示的几何意义画出图形，利用向量加法的交换律和向量减法的几何意义，可得，根据方向角和模长即可判断选项. 【详解】 如图，分别作出， 则利用向量加法的交换律可得，故. 易知为等腰直角三角形，故,且, 于是所表示的意义为向西南走. 故选：C. 题型2 向量加减法及模的综合运用 6．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据平面向量的加减法求解可得. 【详解】因为M是线段BC的中点，所以， 又， 所以， 所以. 故选：C    7．（23-24高一下·北京东城·阶段练习）在中，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算，结合模的定义及等边三角形的定义即可判断. 【详解】，，则， 是等边三角形. 故选：A 8．已知是四边形所在平面上任一点，且．则四边形一定为（    ） A．菱形 B．梯形 C．平行四边形 D．矩形 【答案】C 【分析】分析可得，结合平行四边形的定义可得出结论. 【详解】因为，即， 又因为，故四边形一定为平行四边形. 故选：C. 9．（多选题）已知三角形为等腰直角三角形，且，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据三角形的形状，结合向量加，减运算法则，即可判断选项. 【详解】由条件可知，且， 以为邻边的四边形是正方形，对角线相等， 根据向量加，减法则可知，故A正确； ，，所以，故B正确； ，，所以，故C正确； ，，， 由条件可知， 即，故D错误. 故选：ABC 10．（2024高三�全国�专题练习）若O为△ABC所在平面内一点，且满足，则△ABC的形状为（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】由平面的线性运算，把给定的等式转化为用含的边的向量等式，再由模的意义即可求解. 【详解】在中，， 所以， 所以，即， 即， 可得，因与均为非零向量， 则，即，是直角三角形. 故选：. 题型3 向量三角形不等式的运用 11．设，则的最大值与最小值分别为 . 【答案】， 【分析】根据向量与共线且反向和同向，结合向量模的几何意义，即可求解. 【详解】由题意，当向量与共线且反向时，可得； 当向量与共线且同向时，可得. 故答案为：，. 12．（22-23高三上�浙江丽水�期中）如图所示，单位圆上有动点A，B，当取得最大值时，等于（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】由题可得，可得为直径时最大. 【详解】因为，A，B是单位圆上的动点， 所以的最大值为2，此时与反向. 故选：D. 13．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面内任意两个向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的加减法法则，结合向量的模及三角形三边的关系逐一分析判断即可. 【详解】当向量同向或至少有一个为零向量时，，故A错误； 当时，，故BC错误； 若，为共线向量且方向相同，则有， 若向量方向相反，则有. 若，不共线，如图，令，，则， 所以， 综上，故D正确. 故选：D. 14．（2024高一下·全国·专题练习）已知为非零向量，则下列说法错误的是（    ） A．若，则与方向相同 B．若，则与方向相反 C．若，则与有相等的模 D．若，则与方向相同 【答案】C 【分析】运用向量三角不等式的取等条件求解即可. 【详解】由向量三角不等式可知，只有当非零向量同向时，有，，故A，D正确；只有当非零向量反向时，有，，故B正确，C错误． 故选：C． 题型4 用已知向量表示未知向量 15．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】应用向量的线性运算计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）. 16．（24-25高二上·北京朝阳·阶段练习） （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加减法即可得到答案. 【详解】. 故选：C. 17．（23-24高一下·山东济南·期末）在中，记，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据已知条件以及向量加法和数乘的运算性质得到结果. 【详解】由已知有. 故. 故选：A. 18．（24-25高一上·河北·阶段练习）（多选题）如图，平行四边形的对角线，交于点O，且，点F是上靠近点D的四等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据图形中的几何性质，利用向量的线性运算，可得答案. 【详解】由，则，所以，易知，所以， 由点F是上靠近点D的四等分点，则， . 故选：AC. 19．（21-22高一下�重庆沙坪坝�阶段练习）如图，四边形是以向量，为边的平行四边形.又，，则用，表示（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算的几何表示即得. 【详解】∵四边形是以向量，为边的平行四边形，，， ∴ . 故选：C. 20．（23-24高一下·广东阳江·阶段练习）（多选题）正五角星与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定的几何图形，利用平面向量的线性运算逐项计算判断. 【详解】在正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且． 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，， 若，则，不合题意，D错误． 故选：AC 题型5 向量共线定理的应用问题 考点1 判断向量是否共线问题 21．设，是两个不共线的向量，关于向量，有①，；②，；③；，④；．其中，共线的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】根据向量共线的条件对各选项逐一判断即可. 【详解】①，共线； ②，共线； ③，共线； ④和无法表示成，所以不共线. 故答案为：①②③ 22．（23-24高一下�浙江温州�阶段练习）在四边形中，对角线与交于点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形 【答案】B 【分析】利用向量判断四边形形状首先考虑判断对边的位置与大小关系，根据变形可得，可得四边形为梯形. 【详解】由，得， 所以， 可得且. 所以四边形一定是梯形． 故选：B 23．在中，，则P点（    ） A．在线段BC上，且 B．在线段CB的延长线上，且 C．在线段BC的延长线上，且 D．在线段BC上，且 【答案】B 【分析】由已知向量间的线性关系可得，即可判断的位置及相关线段的数量关系. 【详解】由题设，，则， 所以共线且在延长线上，. 故选：B 考点2 利用向量共线定理判定三点共线 24．已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A选项，设，得到，无解，A错误；B选项，设，得到方程组，无解，B错误；C选项，先得到，设，得到方程组，无解，C错误；D选项，计算出，得到，得到三点共线. 【详解】A选项，设，即，故，无解，三点不共线，A错误； B选项，设，即，故，无解， 三点不共线，B错误； C选项，， 设，即，故，无解， 三点不共线，C错误； D选项，， 由于，故三点共线，D正确. 故选：D 25．（23-24高一下�广东佛山�阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】D 【分析】运用向量共线的判定先证明向量共线，再得到三点共线. 【详解】对于A，，与不共线，A不正确； 对于B，，，则与不共线，B不正确； 对于C，，，则与不共线，C不正确； 对于D，， 即，又线段AC与CD有公共点C，所以三点共线，D正确． 故选：D． 26．（2024高一下�全国�专题练习）如图，在平行四边形中，为中点，为上靠近点的三等分点，求证：三点共线． 【答案】证明见解析 【分析】 根据三点共线要求，证明即可. 【详解】∵， ∴． ∵是上靠近点的三等分点， ∴． ∵在平行四边形中，， ∴．① ∵为的中点，∴．② 由①②可得． 由向量共线定理知．又∵与有公共点， ∴三点共线． 考点3 利用向量共线定理求参数 27．设，是两个不共线的非零向量，若向量与的方向相反，则 . 【答案】 【分析】依题意存在，使得，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可. 【详解】因为向量与的方向相反， 所以存在，使得， 又，是两个不共线的非零向量， 所以，解得或（舍去）. 故答案为： 28．（22-23高一下·江苏镇江·期末）设与是两个不共线向量，向量，，，若，，三点共线，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】若，，三点共线，则存在实数，使，结合向量的线性运算可求解. 【详解】若，，三点共线，则存在实数，使， ， ∴， ∵与是两个不共线向量， ∴，且，解得， 故选：B. 29．设两个不共线的向量，若向量，向量，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量与向量共线？ 【答案】存在，证明见解析 【分析】根据题意可得、， 结合相等向量的概念列出方程组，解之即可. 【详解】因为， 要使与共线，则存在实数k使， 即： 得， 得λ＝－2μ，故存在这样的实数λ和μ， 只要λ＝－2μ，就能使与共线. 30．（23-24高一下�广东惠州�期中）如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量共线的推论直接计算即可. 【详解】因为，， 所以. 因为三点共线，所以，解得. 故选：D. 31．（23-24高一下·山西·阶段练习）如图，在正方形中，,和相交于点G，且F为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．15 【答案】B 【分析】先确定的位置，接着由进行转化，利用共线定理得，再利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【详解】由题可设， 则由题意得， 因为、、三点共线，故， 所以， 所以， 又、、三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 32．（23-24高一下·广东深圳·期中）（多选题）在中，点为线段BC上的点，且，过点的直线分别与AB，AC所在直线相交于点P，Q，且，则（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据，得，可得，由三点共线，有，可验证选项A；基本不等式验证选项BCD. 【详解】，即，得，    由，有， 则，由三点共线，有， 所以有，A选项正确； ，，得，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为，B选项正确； ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，C选项正确，D选项错误. 故选：ABC. 题型6 向量运算在三角形中的应用 考点1 求三角形的面积之比 33．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知，点是内一点且，则的面积为 . 【答案】/ 【分析】取的中点，根据平面向量的线性运算判断出点的位置，进而可得出答案. 【详解】取的中点， 因为，所以，故， 即，所以点为的中点， 所以 故答案为：. 34．已知在所在的平面内有一点，满足，则与的面积之比是 ． 【答案】 【解析】根据向量条件，确定点是边上的三等分点，从而可求与的面积之比． 【详解】因为，所以，所以点在边上，且是靠近点一侧的三等分点，所以和的面积之比为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平面向量在几何中的应用，熟练应用平面向量知识是解题的关键，属于常考题. 35．（23-24高一下·河南安阳·阶段练习）设M为内一点，且，则与的面积之比为 ． 【答案】/0.25 【分析】根据题意结合三点共线的结论确定点的位置，进而分析运算即可. 【详解】在取中点， 则， 可知点为的中点， 可得，即， 所以与的面积之比为. 故答案为：. 36．（23-24高一下�江苏苏州�阶段练习）点是所在平面上一点，若，则与的面积之比是 ． 【答案】/ 【分析】如图，延长交于点，设，则，根据平面向量共线定理得推理求出，从而可确定的位置，即可得出答案. 【详解】如图，延长交于点，设，则， 因为共线，所以，解得， 所以，， 则， 由 得，即， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 37．如图所示，设为所在平面内的一点，并且，则与的面积之比等于 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题，延长AP交BC于点D，利用共线定理，以及向量的运算求得向量的关系，可得与的比值，再利用面积中底面相同可得结果. 【详解】延长AP交BC于点D，因为A、P、D三点共线， 所以，设 代入可得 即 又因为，即，且 解得 所以可得 因为与有相同的底边，所以面积之比就等于与之比 所以与的面积之比为 故选D 【点睛】本题考查了向量的基本定理，共线定理以及四则运算，解题的关键是在于向量的灵活运用，属于较难题目. 考点2 利用向量的线性运算解决三角形的四心问题 38．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，已知，，是中线，G为重心，则 ； .（用向量、表示）    【答案】 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得，再由重心的性质得到，从而得解. 【详解】因为是中线，所以为的中点，所以， 所以， 又G为的重心，所以. 故答案为：； 39．已知点是的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形重心的性质，结合平面向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】设的中点为D，连接，点是的重心，则P在上， 且 ， 由此可知A，B，C错误，D正确， 故选：D 40．（23-24高一下·四川广安·期中）（多选题）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点分别为三角形的外心､重心､垂心，且为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用欧拉线的几何性质，再结合平面几何中的平行性质，以及向量的线性运算，即可作出判断. 【详解】 对于A，由是的中点，又由是外心，是垂心，可知: 所以，根据平行线分线段成比例可知：， 又由欧拉线的性质可知：，所以，即，故A正确； 对于B，由于是重心，所以， 而是的中点，所以，代入上式可得：，故B正确； 对于C，因为是外心，所以，故C正确； 对于D，由向量的加法可知：，故D错误； 故选：ABC. 41．（2003�天津�高考真题）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】根据是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知点轨迹，据此可求解. 【详解】， 令， 则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量， 即在的平分线上， ，共线， 故点P的轨迹一定通过△ABC的内心， 故选：B 42．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（多选题）设是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是边的中点 B．若，则是的垂心 C．若，则是的重心 D．若，则动点过的内心 【答案】ACD 【分析】根据向量加法的平行四边形法则判断A，根据外心的性质判断B，根据重心的性质判断C，根据向量共线及内心的性质判断D. 【详解】对于A，如图所示，根据向量加法的平行四边形法则，可得， 若，可得是边的中点，故A正确； 对于B，若，则是的外心，故B错误； 对于C，若，则，即， 所以是的重心，故C正确； 对于D，因为表示方向的单位向量，表示方向的单位向量， 所以与的角平分线同向，又， 则在的角平分线上，所以动点过的内心，故D正确. 故选：ACD 巩固提升训练 一、单选题 1．（24-25高一下�全国�课后作业）下列三个结论：①若，则；②的等价条件是点与点重合，点与点重合；③若且，则．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【分析】根据向量运算法则，结合向量相等的定义判断①，根据向量相等定义判断②，根据向量加法和零向量定义判断③. 【详解】互为相反向量．又互为相反向量，故，故①正确； 当时，应有，且由点到点与由点到点的方向相同，但不一定有点与点重合，点与点重合，故②错误； 若且，则，，故③正确． 故选：B. 2．（2024高一下�全国�专题练习）已知四边形为菱形，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质，结合平面向量加法的运算性质进行判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，所以，故D错误. 故选：C 3．已知向量、不共线，且，，若与共线，则实数的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意，由向量共线列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为与共线，则存在，使得， 即，且向量、不共线， 则，整理可得，解得或. 故选：C 4．（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）如图，在中，，E是的中点．设，．则正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的线性运算逐个选项分析求解即可. 【详解】对于A，利用三角形定则可得，故A错误， 对于B，因为，故B错误， 对于C，因为E是的中点，所以，故C错误 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：D 5．已知△ABC，点G、M满足，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可知为的重心，然后结合向量的线性运算及三角形重心的性质可求． 【详解】满足，∴为的重心， ∴＝＝， 又∵， ∴ ． 故选：A． 6．下列各式中，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加减法的几何意义进行判断即可。 【详解】解：当与的方向相同时，有，故A不正确； 当与的方向既不相同也不相反时，有，所以，故C正确；D不正确； 当与的方向相反时，有，若，则能成立，故B不正确. 故选：C. 7．已知的三个顶点及平面内一点满足，下列结论中正确的是（    ） A．在的内部 B．在的边上 C．在的边上 D．在的外部 【答案】C 【分析】将化简，可得，即可选出答案. 【详解】因为 所以 即， 所以点为中点. 故选：C. 8．在中，，，是所在平面内一点，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到，结合，化简得到，即可求解. 【详解】由，可得， 因为，可得， 所以， 又因为，所以. 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）设，是一个非零向量，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据向量的线性运算，求得，结合零向量的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，向量，且是一个非零向量，所以A正确； 由，所以B不正确，C正确； 由，，所以，所以D正确. 故选：ACD. 10．如图所示，点A、B、C是圆O上的三点，线段与线段交于圆内一点P，若，则（    ） A．当P为线段中点时， B．当P为线段中点时， C．无论取何值，恒有 D．存在 【答案】AC 【分析】运用向量的加法表示向量，在用用平面向量的基本定理求得和的值，得到答案. 【详解】由题意，可得， 因为与共线，所以，解得，所以C正确，D错误； 当为线段中点时，则，即， 则且，解得，所以A正确，B错误. 故选：AC. 11．若M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则M是边BC的中点 B．若，则M是边BC的中点 C．若，则点M是△ABC的重心 D．若，且，则△MBC的面积是△ABC面积的 【答案】ACD 【分析】对A，根据中点的性质即可判断；对B，根据向量的运算得到，即可判断；对C，根据重心的性质即可判断；对D，根据向量的运算得到，即可求解. 【详解】对于A，由，得，即， 因此点M是边BC的中点，故A正确； 对于B，，， 则点在边的延长线上，所以B不正确； 对于C，设中点，则,， 由重心性质可知C正确；    对于D，，且 ， 设分别取AB，的中点为N，，则， 即点 M在过AB中点且平行BC的直线上即M在上， 在的中位线上， 的面积是的，选项D正确.    故选：ACD. 三、填空题 12．（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知与为非零向量，，若三点共线，则 . 【答案】3 【分析】根据三点共线可得向量共线，由此结合向量的相等列式求解，即得答案. 【详解】由题意知，三点共线，故, 且共线， 故不妨设，则， 所以，解得， 故答案为：3. 13．设两个非零向量 与不共线，若 与的起点相同，且，，的终点在同一条直线上，则实数t的值为 ． 【答案】. 【分析】，，的终点在同一条直线上， 与的起点相同，即与共线，利用向量共线定理即可算出. 【详解】∵，，三个向量的终点在同一条直线上，且 与的起点相同， ∴与共线，即与共线， ∴存在实数λ，使， ∴ , 解得λ＝ ，t＝， 故答案为：. 【点晴】此题考平面向量共线的性质，属于简单题. 14．（22-23高一下·广东东莞·阶段练习）如图，在中，，若，则 ． 【答案】 【分析】利用平面向量的线性运算求出，得，即得解. 【详解】解： 又，. ∴． 故答案为：． 15．（23-24高一下·福建·期中）如图，在中，点O 是BC 的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.设AB=，AC=，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据三点共线求得的等量关系式，结合基本不等式求得的最小值. 【详解】根据题意，，所以， 所以， 又，， 所以， 因为三点共线，所以， 由图可知，， 所以， 当且仅当，即、时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题 16．（23-24高一下·甘肃白银·阶段练习）设，是两个不共线的向量，，，． (1)求证：三点共线； (2)试确定的值，使与共线． 【答案】(1)证明见解析. (2). 【分析】（1）证明和共线即可证三点共线； （2）由向量共线定理求解即可． 【详解】（1）由题意， 且， 所以, 所以和共线，故三点共线. （2）因为与共线， 所以存在实数，使得， 又因为不共线， 所以，解得或. 所以. 17．如图，点D是中BC边的中点，，.    (1)试用，表示； (2)若点G是的重心，能否用，表示？ (3)若点G是的重心，求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角形法则整理化简即可； （2）利用三角形重心性质及向量的线性运算化简计算即可； （3）利用三角形重心性质及三角形法则化简计算即可. 【详解】（1）因为点D是中BC边的中点，且，， 所以； （2）因为点G是的重心， 所以 . （3）因为点G是的重心且D是BC边的中点，所以， 又，所以，所以. 18．（24-25高一上·河北保定·期末）如图所示，在中，是边边上中线，为中点，过点点直线交边，于，两点，设，，（，与点，不重合） (1)证明：为定值； (2)求的最小值，并求此时的，的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求出，从而由三点共线，可得答案； （2）结合（1）可得，化简后利用基本不等式可求得结果. 【详解】（1）因为是边边上中线，，所以. 又是的中点，， 所以. 因为三点共线，所以且 所以，即为定值； （2）由（1） 所以 ， 当且仅当,即时，等号成立. 所以时，的最小值. 19．点O是梯形对角线的交点，，，设与同向的单位向量为，与同向的单位向量为． （1）用和表示和； （2）若点P在梯形所在平面上运动，且，求的最大值和最小值． 【答案】（1），；（2）最大值和最小值分别为和． 【分析】（1）根据、可求解出关于和的表示，利用平行对应的线段比例关系求解出的表示； （2）根据向量的三角不等式求解出的最大值和最小值，注意取等条件说明. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以； （2）因为，取等号时三点共线且在中间， 又，取等号时三点共线且在中间， 综上可知，的最大值为，最小值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2.1&6.2.3平面向量的线性运算 【题型归纳】 题型1 向量的加法、减法运算 6 题型2 向量加减法及模的综合运用 7 题型3 向量三角形不等式的运用 8 题型4 用已知向量表示未知向量 9 题型5 向量共线定理的应用问题 10 考点1 判断向量是否共线问题 10 考点2 利用向量共线定理判定三点共线 10 考点3 利用向量共线定理求参数 11 题型6 向量运算在三角形中的应用 12 考点1 求三角形的面积之比 12 考点2 利用向量的线性运算解决三角形的四心问题 13 巩固提升训练 14 知识点一 向量的加法 1．向量加法的定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法.两个向量的和仍是一个向量. 对于零向量与任意向量，我们规定. 2．向量加法的几何意义 （1）向量加法的三角形法则 如图所示，已知非零向量，，在平面内取任意一点，作，，则向量叫做与的和，记作，即.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则. （2）向量加法的平行四边形法则 如图所示，以同一点为起点的两个已知向量，，以，为邻边作，则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 3．向量加法的交换律和结合律 （1）向量加法交换律：； （2）向量加法结合律： 4．多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. (1)向量加法的多边形法则是向量加法的三角形法则的推广，是由求两个向量的和推广到求多个向量的和，强调的也是“首尾相接”. (2)当首尾依次相接的向量构成封闭的“向量链”时，各向量的和为.如图，在边形中，有. 运用以上结论也可以判断一个图形是否为封闭图形. 知识点二 向量的减法运算 1.相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作. 零向量的相反向量仍是零向量. 由相反向量的定义，有如下结论： (1)； (2)； (3)若，互为相反向量，则，，. 2.向量减法的定义 向量加上的相反向量，叫做与的差，即.求两个向量差的运算叫做向量的减法. 3.向量减法的三角形法则 如图所示，已知向量，，在平面内任取一点，作，，则. 即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 注：(1)作非零向量，的差向量，可以简记为“共起点，连终点，方向指被减”. (2)由上知，可以用向量减法的三角形法则作差向量；也可以转化为向量的加法(即平行四边形法则)作差向量，显然，此法作图较烦琐. (3)如图，以，为邻边作平行四边形，则两条对角线所对应的向量，，这一结论在以后的学习中应用非常广泛. 知识点三 向量的数乘运算 1．向量数乘的定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：(1)； (2)当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反. 2．向量的数乘的几何意义 (1)当时，有，这意味着表示向量的有向线段在原方向()或反方向()上伸长到原来的倍; (2)当时，有，这意味着表示向量的有向线段在原方向()或反方向()上缩短到原来的倍. 3．向量的数乘的运算律 设，为实数，那么(1); (2); (3). 特别地，我们有 注：(1)实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如，均没有意义. (2)对于非零向量，当时，表示方向上的单位向量. (3)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算.主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”及“公因式”指的是向量，实数指的是向量的系数. 4．向量的线性运算 （1）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量，，以及任意实数，，，恒有. （2）线性表示的概念 根据向量的线性运算，可知：若一个向量是由另一些向量通过线性运算得到的，我们就说这个向量可以用另一些向量线性表示. 例如，，可称由与线性表示. 知识点四 向量共线定理 1．向量共线定理 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使. 2．向量共线定理的应用——求参 一般地，解决向量，共线求参问题，可用两个不共线向量(如，)表示向量，，设，化成关于，的方程，由于，不共线，则解方程组即可. 拓展点一 向量形式的三角不等式 1．当向量，不共线时，作，，则，如图(1)，根据三角形的三边关系， 有 2．当与同向共线或，中至少有一个为零向量时，作法同上，如图(2)，此时； 当与反向共线或，中至少有一个为零向量时，不妨设，作法同上，如图(3)，此时. 故对于任意向量，，总有①. 由于， 所以， 即②. 将①②两式结合起来，即，我们称之为向量形式的三角不等式. 拓展点二 三点共线定理 1.三点共线的判定定理 对于平面内任意三点，，，都可以写成，，的形式，若存在一个实数使得(或或)，则根据向量共线的判定定理可知向量，共线(或，共线或，共线).又由它们具有公共点(或或)可知三点，，共线. 所以有：对于平面内任意三点，，，为不同于，，的任意一点，设，若实数，满足，则三点，，共线. 事实上，由，可得，代入可得，即，也即.从而，，三点共线. 2.三点共线的性质定理 根据向量共线的性质定理及三点共线的判定定理不难得到三点共线的性质定理.若平面内三点，，共线，为不同于，，的任意一点，设，则存在实数，使得. 事实上，若三点，，共线，则一定存在实数使得.即，从而，令，，则. 综上，我们得到如下的三点共线定理： 已知平面内三点，，，为不同于，，的任意一点，，，三点共线当且仅当存在实数，使得，且 【题型归纳】 题型1 向量的加法、减法运算 1．（2024高一下·全国·专题练习）（多选题）如图，在平行四边形中，对角线与交于点，下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·河南洛阳·阶段练习）若为的外心，且，则的内角等于 ． 3．（23-24高一下·全国·单元测试）化简下列各式： (1)； (2)． (3)． 4．（23-24高一下�广东佛山�阶段练习）已知O是平行四边形ABCD内一点，设，，，则（    ）． A． B． C． D． 5．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）设表示“向东走”，表示“向南走”，则所表示的意义为（    ） A．向东南走 B．向东南走 C．向西南走 D．向西南走 题型2 向量加减法及模的综合运用 6．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 7．（23-24高一下·北京东城·阶段练习）在中，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 8．已知是四边形所在平面上任一点，且．则四边形一定为（    ） A．菱形 B．梯形 C．平行四边形 D．矩形 9．（多选题）已知三角形为等腰直角三角形，且，则有（    ） A． B． C． D． 10．（2024高三�全国�专题练习）若O为△ABC所在平面内一点，且满足，则△ABC的形状为（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 题型3 向量三角形不等式的运用 11．设，则的最大值与最小值分别为 . 12．（22-23高三上�浙江丽水�期中）如图所示，单位圆上有动点A，B，当取得最大值时，等于（    ） A．0 B． C．1 D．2 13．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面内任意两个向量，，则（    ） A． B． C． D． 14．（2024高一下·全国·专题练习）已知为非零向量，则下列说法错误的是（    ） A．若，则与方向相同 B．若，则与方向相反 C．若，则与有相等的模 D．若，则与方向相同 题型4 用已知向量表示未知向量 15．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 16．（24-25高二上·北京朝阳·阶段练习） （    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一下·山东济南·期末）在中，记，，若，则（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高一上·河北·阶段练习）（多选题）如图，平行四边形的对角线，交于点O，且，点F是上靠近点D的四等分点，则（    ） A． B． C． D． 19．如图，四边形是以向量，为边的平行四边形.又，，则用，表示（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一下·广东阳江·阶段练习）（多选题）正五角星与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形且，则（    ） A． B． C． D． 题型5 向量共线定理的应用问题 考点1 判断向量是否共线问题 21．设，是两个不共线的向量，关于向量，有①，；②，；③；，④；．其中，共线的有 ．（填序号） 22．（23-24高一下�浙江温州�阶段练习）在四边形中，对角线与交于点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形 23．在中，，则P点（    ） A．在线段BC上，且 B．在线段CB的延长线上，且 C．在线段BC的延长线上，且 D．在线段BC上，且 考点2 利用向量共线定理判定三点共线 24．已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高一下�广东佛山�阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 26．（2024高一下�全国�专题练习）如图，在平行四边形中，为中点，为上靠近点的三等分点，求证：三点共线． 考点3 利用向量共线定理求参数 27．设，是两个不共线的非零向量，若向量与的方向相反，则 . 28．（22-23高一下·江苏镇江·期末）设与是两个不共线向量，向量，，，若，，三点共线，则（    ） A． B． C． D．3 29．设两个不共线的向量，若向量，向量，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量与向量共线？ 30．（23-24高一下�广东惠州�期中）如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高一下·山西·阶段练习）如图，在正方形中，,和相交于点G，且F为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．15 32．（23-24高一下·广东深圳·期中）（多选题）在中，点为线段BC上的点，且，过点的直线分别与AB，AC所在直线相交于点P，Q，且，则（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 题型6 向量运算在三角形中的应用 考点1 求三角形的面积之比 33．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知，点是内一点且，则的面积为 . 34．已知在所在的平面内有一点，满足，则与的面积之比是 ． 35．（23-24高一下·河南安阳·阶段练习）设M为内一点，且，则与的面积之比为 ． 36．（23-24高一下�江苏苏州�阶段练习）点是所在平面上一点，若，则与的面积之比是 ． 37．如图所示，设为所在平面内的一点，并且，则与的面积之比等于 A． B． C． D． 考点2 利用向量的线性运算解决三角形的四心问题 38．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，已知，，是中线，G为重心，则 ； .（用向量、表示）    39．已知点是的重心，则（    ） A． B． C． D． 40．（23-24高一下·四川广安·期中）（多选题）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点分别为三角形的外心､重心､垂心，且为的中点，则（    ） A． B． C． D． 41．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 42．（多选题）（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是边的中点 B．若，则是的垂心 C．若，则是的重心 D．若，则动点过的内心 巩固提升训练 一、单选题 1．（24-25高一下�全国�课后作业）下列三个结论：①若，则；②的等价条件是点与点重合，点与点重合；③若且，则．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 2．（2024高一下�全国�专题练习）已知四边形为菱形，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 3．已知向量、不共线，且，，若与共线，则实数的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 4．（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）如图，在中，，E是的中点．设，．则正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知△ABC，点G、M满足，，则(    ) A． B． C． D． 6．下列各式中，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知的三个顶点及平面内一点满足，下列结论中正确的是（    ） A．在的内部 B．在的边上 C．在的边上 D．在的外部 8．在中，，，是所在平面内一点，，则等于（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）设，是一个非零向量，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 10．如图所示，点A、B、C是圆O上的三点，线段与线段交于圆内一点P，若，则（    ） A．当P为线段中点时， B．当P为线段中点时， C．无论取何值，恒有 D．存在 11．若M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则M是边BC的中点 B．若，则M是边BC的中点 C．若，则点M是△ABC的重心 D．若，且，则△MBC的面积是△ABC面积的 三、填空题 12．（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知与为非零向量，，若三点共线，则 . 13．设两个非零向量 与不共线，若 与的起点相同，且，，的终点在同一条直线上，则实数t的值为 ． 14．如图，在中，，若，则 ． 15．（23-24高一下·福建·期中）如图，在中，点O 是BC 的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.设AB=，AC=，则的最小值为 . 四、解答题 16．（23-24高一下·甘肃白银·阶段练习）设，是两个不共线的向量，，，． (1)求证：三点共线； (2)试确定的值，使与共线． 17．如图，点D是中BC边的中点，，.    (1)试用，表示； (2)若点G是的重心，能否用，表示？ (3)若点G是的重心，求. 18．（24-25高一上·河北保定·期末）如图所示，在中，是边边上中线，为中点，过点点直线交边，于，两点，设，，（，与点，不重合） (1)证明：为定值； (2)求的最小值，并求此时的，的值. 19．点O是梯形对角线的交点，，，设与同向的单位向量为，与同向的单位向量为． （1）用和表示和； （2）若点P在梯形所在平面上运动，且，求的最大值和最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$