6.2.3 向量的数乘运算（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学向量的数乘运算核心知识点，在向量加减运算基础上，系统构建数乘概念、几何意义、运算律及向量共线定理的知识体系，为后续向量应用提供学习支架。 通过蚂蚁运动情境引入培养数学眼光，结合即时练、跟踪训练等问题设计发展数学思维，以用已知向量表示未知量、共线定理应用等环节提升数学语言表达。课中辅助教师高效授课，课后助力学生回顾强化，弥补知识盲点。

6.2.3 向量的数乘运算 学习目标 1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义. 2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算. 3.理解并掌握两向量共线的性质和判断方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题. 新知学习 探究 新课导学 一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为. 思考1．蚂蚁向东运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？ 思考2．蚂蚁向西运动5秒钟的位移对应的向量怎样表示？ 【答案】思考1 提示：． 思考2 提示：． 一 向量的数乘运算 文字表述 规定实数 与向量的积是一个①____，这种运算叫做向量的数乘，记作②________ 规定 长度 ③____________ 方向 当时，的方向与的方向④____ 当时，的方向与的方向⑤____ 当时，⑥______ 【答案】向量； ； ； 相同； 相反； 【即时练】 1．（多选）已知，为两个非零向量，下列说法中正确的是（ ） A. 与的方向相同，且的模是的模的2倍 B. 与的方向相反，且的模是的模的 C. 与是一对相反向量 D. 与是一对相反向量 【答案】ABC 【解析】选.因为,所以 与 的方向相同，且,所以A正确；因为,所以 与 的方向相同，且,又,所以 与 的方向相反，且,所以 与 的方向相反，且 的模是 的模的，所以B正确；按照相反向量的定义可以判断，C正确；因为 与 是一对相反向量，与 是一对相反向量，所以 与 为相等向量，所以D不正确. 2．[2024·广东佛山期中]若点在线段上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选D.因为点C在线段 上，所以，同向，，反向，故B，C错误；又，所以A错误；又，反向且，所以，故D正确.故选D. 3．若,,则______,________. 【答案】6； 【解析】因为,, 所以,. 向量的数乘运算的两个注意点 （1）数乘向量仍是向量. （2）判断两向量的关系时，应注意方向和大小. 二 向量的线性运算 1．向量数乘的运算律 设 , 为实数,那么： （1） ①____________； （2） ②____________； （3） ③____________. 特别地，,. 【答案】（1） （2） （3） 2．向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. 对于任意向量,，以及任意实数 ，,，恒有④____________________. 【答案】 角度1 计算与化简 例1 （1） （对接教材例5）化简：__________. （2） 若,为已知向量，且,则__________________.（用，表示） 【答案】（1） （2） 【解析】 （1） 原式. （2） 因为,所以,所以化简得,所以. 向量线性运算的基本方法 （1）类比法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算.例如,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形在向量的数乘中同样适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数. （2）方程法：向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当地使用运算律,可以简化运算. ［跟踪训练1］． （1） 化简的结果是（ ） A. B. C. D. （2） 已知向量,,,满足关系式,,则向量____________,____________.（用,表示） 【答案】（1） B （2） ； 【解析】 （1） 选B.原式. （2） 由，,②,得,代入①得,即. 角度2 用已知向量表示未知向量 例2 （对接教材例6） 如图，在中，,,是的中点，是的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为,,是 的中点，是 的中点，所以. 用已知向量表示未知向量的一般步骤 ［注意］ 用已知向量表示未知向量的关键是弄清向量之间的数量关系. ［跟踪训练2］．如图，在中，是的中点，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选D.因为 是 的中点， 所以， 所以. 三 向量共线定理 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数 ，使__________. 提醒：定理中不能漏掉.若,则实数 可以是任意实数;若,,则不存在实数 ,使得. 【答案】 角度1 证明向量共线、点共线 例3 （对接教材例7） （1） 已知,是两个不共线的向量，，.求证：与是共线向量； （2） 设，是两个不共线的非零向量，已知，，，求证：，，三点共线. 【答案】（1） 【证明】由题意，，，则，由向量共线定理知 与 是共线向量. （2） 因为，且， 故，所以 与 共线， 因为 与 有公共点，所以，，三点共线. 判断向量共线或三点共线的方法 （1）判断向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一实数 ,使得. （2）一般来说，要判断，，三点共线，只需看是否存在实数 ，使得（或等）即可. ［跟踪训练3］．[2024·北京市东城区期中]已知向量与向量不共线，,,，则一定共线的三点是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】选A.对于A，因为,,所以,所以,,三点共线，故A正确；对于B，不存在实数 ，使得，故,,三点不共线，故B错误；对于C，不存在实数 ，使得，故,,三点不共线，故C错误；对于D，，不存在实数 ，使得，故,,三点不共线，故D错误. 角度2 利用向量共线求参数 例4 （1） 若非零向量，且设，则实数（ ） A. B. C. D. （2） 已知,是两个不共线的向量，向量,共线，则实数________. 【答案】（1） A （2） 【解析】 （1） 因为，所以，所以，所以，因为，所以. （2） 因为 与 共线，所以存在实数 ，使得,即.因为 与 不共线，所以 解得. 利用向量共线求参数的基本步骤 （1）根据向量共线的充要条件是建立共线向量之间的等量关系（通常要引入一个参数）. （2）依据下述结论列方程组求参数. ①若与不共线，则的充要条件是 ②若与不共线，,,则. ［跟踪训练4］．设，是平面内两个不共线的向量，已知,,,且，，三点共线，求实数的值. 解：依题意，, 故. 已知，，三点共线，可设,则, 即, 因为，不共线，所以 解得 所以实数 的值为1. 课堂巩固 自测 1．（教材P15T2改编）在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选D.在 中，， 则.故选D. 2．[2024·河北廊坊期中]（多选）已知实数，和向量，，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 若,则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】选.根据向量数乘运算的运算律可知A,B正确;对于C，当 时，，但向量,不一定相等，故C错误;对于D，因为，所以．当 时也成立，故D错误.故选. 3．如图在正方形中，点是的中点，点是上靠近的三等分点，则________________.（用向量，表示） 【答案】 【解析】因为,,所以. 4．设,是两个不共线向量，若向量与方向相反，则实数________. 【答案】 【解析】由题意知，与 共线，所以存在实数 ，使. 因为，不共线，所以 解得 或 因为 与 方向相反，所以，故,. 1.已学习：向量的数乘及运算律、向量共线定理. 2.须贯通：用已知向量表示未知向量，通过向量的线性运算，借助向量共线定理，解决三点共线及求参数问题，体现了数形结合思想. 3.应注意：利用向量共线定理易忽略零向量这一特殊情况. 学科网（北京）股份有限公司 $