6.2.3 向量的数乘运算（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

6.2.3 向量的数乘运算

学习目标

1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义. 2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算. 3.理解并掌握两向量共线的性质和判断方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题.

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一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为.

思考1．蚂蚁向东运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？

思考2．蚂蚁向西运动5秒钟的位移对应的向量怎样表示？

【答案】思考1 提示：．

思考2 提示：．

一 向量的数乘运算

【答案】向量； ； ； 相同； 相反；

【即时练】

1．（多选）已知，为两个非零向量，下列说法中正确的是（  ）

A. 与的方向相同，且的模是的模的2倍

B. 与的方向相反，且的模是的模的

C. 与是一对相反向量

D. 与是一对相反向量

【答案】ABC

【解析】选.因为,所以 与 的方向相同，且,所以A正确；因为,所以 与 的方向相同，且,又,所以 与 的方向相反，且,所以 与 的方向相反，且 的模是 的模的，所以B正确；按照相反向量的定义可以判断，C正确；因为 与 是一对相反向量，与 是一对相反向量，所以 与 为相等向量，所以D不正确.

2．[2024·广东佛山期中]若点在线段上，且，则（  ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】选D.因为点C在线段 上，所以，同向，，反向，故B，C错误；又，所以A错误；又，反向且，所以，故D正确.故选D.

3．若,,则______,________.

【答案】6；

【解析】因为,,

所以,.

向量的数乘运算的两个注意点

（1）数乘向量仍是向量.

（2）判断两向量的关系时，应注意方向和大小.

二 向量的线性运算

1．向量数乘的运算律

设 , 为实数,那么：

（1） ①____________；

（2） ②____________；

（3） ③____________.

特别地，,.

【答案】（1）

（2）

（3）

2．向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.

对于任意向量,，以及任意实数 ，,，恒有④____________________.

【答案】

角度1 计算与化简

例1

（1） （对接教材例5）化简：__________.