第3章 图形的平移与旋转（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（深圳专用，北师大版）

第3章 图形的平移与旋转（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）如图，把△ABC绕点A逆时针旋转76°得到△AB′C′．若∠BAC＝35°，则∠BAC′的度数为（　　） A．106° B．111° C．115° D．123° 2．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，，D是BC的中点，直线l经过点D且可绕点D转动，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（　　） A．4 B． C． D． 3．（3分）如图，△ABE绕点B顺时针旋转一定角度后得到△CBD，点D刚好在AE的延长线上．若∠AEB＝132°，则旋转角的度数为（　　） A．48° B．68° C．84° D．96° 4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C连接A′B，若点A′，B，A在同一条直线上，则AA′的长为（　　） A． B．2 C．3 D．3 5．（3分）如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠AOB的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 6．（3分）如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，M，N是网格线交点，△ABC与△DEF关于某点对称，则其对称中心是（　　） A．点G B．点H C．点M D．点N 7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C′，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，若点B′恰好落在AB边上，则点A到直线A′C的距离等于（　　） A．1 B． C． D． 8．（3分）如图，直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，点E是边AC上一点，将BE绕点B顺时针旋转60°到点F，则CF长的最小值是（　　） A． B． C． D．3 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝78°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD＝α，则∠EFC的度数是 　 　．（用含α的代数式表示） 10．（3分）如图，点O为等边△ABC内一点，AO＝8，BO＝6，CO＝10，将△AOC绕点A顺时针方向旋转60°，使AC与AB重合，点O旋转至点O1处，连接OO1，则△BOO1的面积是 　 　． 11．（3分）如图，把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC，若直线DF垂直平分AB，垂足为点E，连接BF，CE，且BC＝2．下面四个结论： ①BF； ②∠CBF＝45°； ③∠CED＝30°； ④△ECD的面积为， 其中正确的结论有　 　． 12．（3分）如图，已知线段AB＝9，点C为线段AB上一点，AC＝3，点D为平面内一动点，且满足CD＝3，连接BD将BD绕点D逆时针旋转90°到DE，连接BE、AE，则AE的最大值为　 　． 13．（3分）如图，在直角三角形△ABC内部有一动点P，∠BAC＝90°，连接PA，PB，PC，若AC＝6，AB＝8，求PA+PB+PC的最小值　 　． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在BA上，连接AF． （1）若∠BAC＝34°，求∠BAF的度数； （2）若AC＝4，BC＝3，求AF的长． 15．（7分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣4，4），B（﹣2，0），C（﹣1，2）． （1）将△ABC先向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1（点A1、B1、C1分别与点A、B、C对应），请在图中画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2（点A2、B2、C2分别与点A、B、C对应），请在图中画出△A2B2C2，并写出点C2的坐标． 16．（8分）如图，等边△ABC内有一点P，若将△PBC绕点B逆时针旋转得到△P1BA． （1）求∠PBP1的度数； （2）若AP＝4，BP＝3，CP＝5，求∠APB的度数． 17．（8分）如图是由小正方形组成的5×5的网格，小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E五个点均为格点，F是线段CD与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，每个画图任务的画线不得超过三条． （1）在图（1）中，若点A和B关于点O中心对称，画点O； （2）在图（1）中，若点F绕点E逆时针旋转90°后得到点G，画点G； （3）在图（2）中，在线段BC上画点M，使∠AMB＝∠BAC； （4）在图（2）中，画满足条件的格点N，使∠ANC＝2∠ABC． 18．（9分）已知：如图，在同一平面内，△ABC和△A1B1C1关于点O对称． （1）请在图中画出△A1B1C1； （2）指出图中的对称中心是哪个点？ （3）若点O是平面直角坐标系的原点，且点A的坐标为（3，﹣1），请直接写出点A1的坐标． 19．（12分）在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠ACB＝30°，将△ABC绕A按逆时针方向旋转，得到△ADE． （1）如图1，点F为BC与DE的交点，连接AF．求证：FA平分∠DFC； （2）如图2，点P为线段AB中点，点G是线段BC上的动点，在△ABC绕A按逆时针方向旋转的过程中，点G的对应点是点G1，求线段PG1长度的最大值与最小值． 20．（12分）如图，三角形PQR是三角形ABC经过某种变换后得到的图形，分别观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系． （1）若三角形ABC内任意一点M的坐标为（x，y），点M经过这种变换后得到点N，根据你的发现，点N的坐标为　 　． （2）若三角形PQR先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形P′Q′R′，画出三角形P′Q′R′并求三角形P′AC的面积． （3）直接写出AC与y轴交点的坐标　 　． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 图形的平移与旋转（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）如图，把△ABC绕点A逆时针旋转76°得到△AB′C′．若∠BAC＝35°，则∠BAC′的度数为（　　） A．106° B．111° C．115° D．123° 【分析】根据旋转的性质，得到∠CAC′＝76°，利用角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：由旋转的性质得：∠CAC′＝76°， ∵∠BAC＝35°， ∴∠BAC′＝∠CAC′+∠BAC＝76°+35°＝111°， 故选：B． 2．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，，D是BC的中点，直线l经过点D且可绕点D转动，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（　　） A．4 B． C． D． 【分析】作CG⊥l于G，CH⊥AE交AE的延长线于H，则四边形CGEH是矩形，得到CG＝EH，证明△BDF≌△CDG（AAS），得出BF＝CG，推出BF＝EH，则AE+BF＝AE+EH＝AH，从而得出当直线l⊥AC时，AE+BF的值最大，为AC，即可得解． 【详解】解：如图，作CG⊥l于G，CH⊥AE交AE的延长线于H， ， 则∠CGD＝∠CGE＝∠H＝∠BFD＝∠GEH＝90°， ∴四边形CGEH是矩形， ∴EH＝CG， ∵D是BC的中点， ∴CD＝BD， ∵∠GDC＝∠BDF， ∴△BDF≌△CDG（AAS）， ∴BF＝CG， ∴BF＝EH， ∴AE+BF＝AE+EH＝AH， ∵AH＜AC， ∴当直线l⊥AC时，AE+BF的值最大，为AC，即， 故选：D． 3．（3分）如图，△ABE绕点B顺时针旋转一定角度后得到△CBD，点D刚好在AE的延长线上．若∠AEB＝132°，则旋转角的度数为（　　） A．48° B．68° C．84° D．96° 【分析】由题意知∠BED＝48°，根据旋转的性质得BE＝BD，即∠BED＝∠BDE＝48°，由内角和定理可得答案． 【详解】解：∵点D刚好在AE的延长线上．若∠AEB＝132°， ∴∠BED＝48°， ∵△ABE绕点B顺时针旋转一定角度得到△CBD， ∴BE＝BD， ∴∠BED＝∠BDE＝48°， 则∠DBE＝180°﹣48°﹣48°＝84°． 故选：C． 4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C连接A′B，若点A′，B，A在同一条直线上，则AA′的长为（　　） A． B．2 C．3 D．3 【分析】先根据含30°角的直角三角形的性质求出AB＝2，再由旋转的性质得出∠CA'A＝30°，进而判断出∠CA'A＝∠A'CB，得出A'B＝BC＝1，求和即可得出答案． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1， ∴AB＝2BC＝2， 由旋转知，A'C＝AC， ∵点A′，B，A在同一条直线上， ∴∠AA'C＝∠A＝30°， ∵∠ABC＝90°﹣∠A＝60°， ∴∠A'CB＝∠ABC﹣∠CA'A＝30°， ∴∠A'CB＝∠CA'A， ∴A'B＝BC＝1， ∴AA'＝A'B+AB＝3， 故选：D． 5．（3分）如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠AOB的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【分析】根据旋转的性质可得∠AOC＝∠BOD＝40°，进而根据∠AOD的度数为90°，得出∠COB＝10°，即可求解． 【详解】解：∵△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形， ∴∠AOC＝∠BOD＝40°， ∵∠AOD＝90°， ∴∠COB＝90°﹣40°﹣40°＝10°， ∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝50°， 故选：B． 6．（3分）如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，M，N是网格线交点，△ABC与△DEF关于某点对称，则其对称中心是（　　） A．点G B．点H C．点M D．点N 【分析】A、D两点到M的距离相等且三点在一条直线上，B、E两点到M都是2×3的网格且三点在一条直线上，C、F两点到M都是1×2的网格且三点在一条直线上，可得对称中心是点M． 【详解】解：AD、CF、BE相交于点M， ∴点M是△ABC与△DEF的对称中心， 故选：C． 7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C′，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，若点B′恰好落在AB边上，则点A到直线A′C的距离等于（　　） A．1 B． C． D． 【分析】作AH⊥A′C于H，先根据含30°角的直角三角形的性质和三角形内角和得BC＝1，∠B＝60°，再根据勾股定理得出，然后根据旋转的性质可得∠ACH＝∠BCB′＝60°，最后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：作AH⊥A′C于H， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1， ∴∠B＝60°，AB＝2， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：， ∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C， ∴CB＝CB′，∠A′CB′＝∠ACB＝90°， ∴∠B＝∠CB′B＝60°， ∴∠BCB′＝60°， ∴∠ACH＝∠BCB′＝60°， ∵∠AHC＝90°， ∴∠CAH＝30°， ∴， 在直角三角形ACH中，由勾股定理得：， ∴点A到直线A′C的距离等于， 故选：C． 8．（3分）如图，直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，点E是边AC上一点，将BE绕点B顺时针旋转60°到点F，则CF长的最小值是（　　） A． B． C． D．3 【分析】取AB的中点为点D，连接DE，过点D作DH⊥AC，垂足为H，在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出AB的长，∠ABC的度数，再根据线段的中点定义可得AD＝BDAB＝6，从而可得DHAD＝3，然后利用旋转的性质可得：BE＝BF，∠EBF＝60°，从而利用等式的性质可得∠ABE＝∠CBF，进而利用SAS证明△BDE≌△BCF，最后利用全等三角形的性质可得DE＝CF，再根据垂线段最短，即可解答． 【详解】解：取AB的中点为点D，连接DE，过点D作DH⊥AC，垂足为H， ∴∠AHD＝90°， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6， ∴AB＝2BC＝12，∠ABC＝90°﹣∠A＝60°， ∵点D是AB的中点， ∴AD＝BDAB＝6， ∴DHAD＝3， 由旋转得：BE＝BF，∠EBF＝60°， ∴∠EBF＝∠ABC＝60°， ∴∠EBF﹣∠EBC＝∠ABC﹣∠EBC， ∴∠ABE＝∠CBF， ∵BD＝BC＝6， ∴△BDE≌△BCF（SAS）， ∴DE＝CF， 当DE⊥AC时，即当点E和点H重合时，DE有最小值，且最小值为3， ∴CF长的最小值是3， 故选：D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝78°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD＝α，则∠EFC的度数是 　　．（用含α的代数式表示） 【分析】由旋转的性质可知，BC＝CD，∠B＝∠EDC，∠A＝∠E，∠ACE＝∠BCD，因为∠BCD＝α，所以∠B＝∠BDC90°，∠ACE＝α，由三角形内角和可得，∠A＝12°．所以∠E＝12°．再由三角形内角和定理可知，∠EFC＝180°﹣∠ECF﹣∠E＝168°α． 【详解】解：由旋转的性质可知，BC＝CD，∠B＝∠EDC，∠A＝∠E，∠ACE＝∠BCD， ∵∠BCD＝α， ∴∠B＝∠BDC90°，∠ACE＝α， ∵∠ACB＝78°， ∴∠A＝180°﹣78°﹣∠B＝180°﹣78°﹣9012°． ∴∠E＝12°． ∴∠EFC＝180°﹣∠ECF﹣∠E＝168°α． 故答案为：168°α． 10．（3分）如图，点O为等边△ABC内一点，AO＝8，BO＝6，CO＝10，将△AOC绕点A顺时针方向旋转60°，使AC与AB重合，点O旋转至点O1处，连接OO1，则△BOO1的面积是 　24　． 【分析】根据旋转的性质可得O1B＝OC＝10，AO＝AO1，∠OAO1＝60°，从而可得△OAO1是等边三角形，然后利用勾股定理的逆定理，进行计算可得△OBO1是直角三角形，从而可得∠O1OB＝90°，最后利用三角形的面积进行计算即可解答． 【详解】解：由旋转得： O1B＝OC＝10，AO＝AO1，∠OAO1＝60°， ∴△OAO1是等边三角形， ∴OO1＝AO＝8， 在△BOO1中，OB2+O1O2＝62+82＝100，O1B2＝102＝100， ∴OB2+O1O2＝O1B2， ∴△OBO1是直角三角形， ∴∠O1OB＝90°， ∴△BOO1的面积OB•OO1 6×8 ＝24， 故答案为：24． 11．（3分）如图，把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC，若直线DF垂直平分AB，垂足为点E，连接BF，CE，且BC＝2．下面四个结论： ①BF； ②∠CBF＝45°； ③∠CED＝30°； ④△ECD的面积为， 其中正确的结论有　①②④　． 【分析】利用旋转的性质得CF＝CB＝2，∠BCF＝90°，则可得△CBF为等腰直角三角形，于是可对①②进行判断；由于直线DF垂直平分AB，则FA＝FB，BE＝AE，于是根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠ECA＝∠A＝22.5°，然后根据三角形内角和可计算出∠CEF，从而可对③进行判断；作EH⊥BD于H，如图，根据三角形中位线性质得EHAC1，利用旋转性质得CD＝CA＝2+2，则利用三角形面积公式可计算出△ECD的面积，从而可对④进行判断． 【详解】解：∵把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC， ∴CF＝CB＝2，∠BCF＝90°， ∴△CBF为等腰直角三角形， ∴BFBC＝2，∠CBF＝45°，所以①②正确； ∵直线DF垂直平分AB， ∴FA＝FB，BE＝AE， ∴∠A＝∠ABF， 而∠BFC＝∠A+∠ABF＝45°， ∴∠A＝22.5°， ∵CE为斜边AB上的中线， ∴EC＝EA， ∴∠ECA＝∠A＝22.5°， ∴∠CEF＝180°﹣90°﹣2×22.5°＝45°，所以③错误； 作EH⊥BD于H，如图， ∵把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC， ∴CD＝CA＝2+2， ∵点E为AB的中点， ∴EHAC1， ∴△ECD的面积•（1）•（2+2）＝23，所以④正确． 故答案为①②④． 12．（3分）如图，已知线段AB＝9，点C为线段AB上一点，AC＝3，点D为平面内一动点，且满足CD＝3，连接BD将BD绕点D逆时针旋转90°到DE，连接BE、AE，则AE的最大值为　33　． 【分析】如图，以BC为直角边在直线AB的上方作等腰Rt△OCB，OC＝BC，∠OCB＝90°，连接AO，OE．证明△CBD∽△OBE，推出，求出OE，OA即可解决问题． 【详解】解：如图，以BC为直角边在直线AB的上方作等腰Rt△OCB，OC＝BC，∠OCB＝90°，连接AO，OE． ∵△OCB，△EDB都是等腰直角三角形， ∴∠CBO＝∠DBE＝45°，OBBC，BEBD， ∴，∠CBD＝∠OBE， ∴△CBD∽△OBE， ∴， ∵CD＝3， ∴OE＝3， ∵AB＝9，AC＝3， ∴BC＝OC＝6， 在Rt△ACO中，∵∠ACO＝90°，AC＝3，OC＝6， ∴OA3， ∵AE≤OA+OE， ∴AE≤33， ∴AE的最大值为33． 故答案为33． 13．（3分）如图，在直角三角形△ABC内部有一动点P，∠BAC＝90°，连接PA，PB，PC，若AC＝6，AB＝8，求PA+PB+PC的最小值　2　． 【分析】如图，将△ACP绕点C顺时针旋转60°得到△ECF，连接PF，BE，作EH⊥BA交BA的延长线于H．首先证明PA+PB+PC≥BE，求出BE的值即可解决问题． 【详解】解：如图，将△ACP绕点C顺时针旋转60°得到△ECF，连接PF，BE，作EH⊥BA交BA的延长线于H． 由旋转的旋转可知：PA＝EF，△PCF，△ACE是等边三角形， ∴PF＝PC， ∴PA+PB+PC＝EF+FP+PB， ∵EF+FP+PB≥BE， ∴当B，P，F，E共线时，PA+PB+PC的值最小， ∵∠BAC＝90°，∠CAE＝60°， ∴∠HAE＝180°﹣90°﹣60°＝30°， ∵EH⊥AH，AE＝AC＝6， ∴EHAE＝3．AHEH＝3， ∴BE2， ∴PA+PB+PC的最小值为2． 故答案为2． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在BA上，连接AF． （1）若∠BAC＝34°，求∠BAF的度数； （2）若AC＝4，BC＝3，求AF的长． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理得出∠ABC＝56°，根据旋转的性质得出∠EBF＝∠ABC＝56°，AB＝BF，最后根据等腰三角形的性质，即可解答； （2）根据勾股定理得出，根据旋转的性质得出BE＝BC＝3，EF＝AC＝4，进而得出AE＝AB﹣BE＝2，最后根据勾股定理即可解答． 【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝34°， ∴∠ABC＝56°， ∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE， ∴∠EBF＝∠ABC＝56°，AB＝BF， ∴； （2）由勾股定理得：AB5， ∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE， ∴BE＝BC＝3，EF＝AC＝4， ∴AE＝AB﹣BE＝2， ∴． 15．（7分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣4，4），B（﹣2，0），C（﹣1，2）． （1）将△ABC先向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1（点A1、B1、C1分别与点A、B、C对应），请在图中画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2（点A2、B2、C2分别与点A、B、C对应），请在图中画出△A2B2C2，并写出点C2的坐标． 【分析】（1）先找到点A，B，C平移后的对应点A1、B1、C1，再顺次连接，即可求解； （2）先找到点A，B，C平移后的对应点A2、B2、C2，再顺次连接，即可求解． 【详解】解：（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求；点C2的坐标为（2，1）． 16．（8分）如图，等边△ABC内有一点P，若将△PBC绕点B逆时针旋转得到△P1BA． （1）求∠PBP1的度数； （2）若AP＝4，BP＝3，CP＝5，求∠APB的度数． 【分析】（1）根据旋转的性质：对应角相等，以及等边三角形的性质：三个角均为60°，即可得解； （2）将△ABP绕点A顺时针旋转60°，得到△ACP2，连接PP2，可得：△APP2为等边三角形，利用勾股定理逆定理可得：△PP2C是直角三角形，即可得解． 【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∵将△PBC绕点A逆时针旋转到△P1AB， ∴∠ABC＝∠PBP1， ∠PBP1＝∠ABC＝60°； （2）如图，将△ABP绕点A顺时针旋转60°，得到△BCP2，连接PP2， 则：∠BPA＝∠CP2B，BP＝BP2，∠PBP2＝60°， ∴△BPP2为等边三角形， ∴∠BP2P＝60°， ∵AP＝4，BP＝3，CP＝5， ∴PP2＝BP2＝BP＝3，CP2＝AP＝4， ∴42+32＝25＝CP2， ∴△PP2C是直角三角形， ∴∠CP2P＝90°， ∴∠APB＝∠CP2B＝∠PP2B+PP2C＝60°+90°＝150°． 17．（8分）如图是由小正方形组成的5×5的网格，小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E五个点均为格点，F是线段CD与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，每个画图任务的画线不得超过三条． （1）在图（1）中，若点A和B关于点O中心对称，画点O； （2）在图（1）中，若点F绕点E逆时针旋转90°后得到点G，画点G； （3）在图（2）中，在线段BC上画点M，使∠AMB＝∠BAC； （4）在图（2）中，画满足条件的格点N，使∠ANC＝2∠ABC． 【分析】（1）利用网格特征作出AB的中点O即可； （2）作出线段CT绕点E逆时针旋转90°的线段BK，可得点G，连接EG即可； （3）如图2中，取格点K，连接AK交BC一点M，则∠BAK＝45°，可证∠AMB＝∠BAC； （4）作出△ABC的外心N即可． 【详解】解：（1）如图1中，点O即为所求； （2）如图1中，点G即为所求； （3）如图2中，点M即为所求 （4）如图2中，点N即为所求 18．（9分）已知：如图，在同一平面内，△ABC和△A1B1C1关于点O对称． （1）请在图中画出△A1B1C1； （2）指出图中的对称中心是哪个点？ （3）若点O是平面直角坐标系的原点，且点A的坐标为（3，﹣1），请直接写出点A1的坐标． 【分析】（1）根据对称点所连线段都经过对称中心．而且被对称中心平分即可作图； （2）由对称中心定义即可得出结论； （3）根据关于原点对称的点横纵坐标均为原坐标相反数即可得出答案． 【详解】解：（1）在同一平面内，△ABC和△A1B1C1关于点O对称．如图，△A1B1C1为所求． （2）如图，点O即是对称中心； （3）点A的坐标为（3，﹣1），A1是点A关于原点的中心对称； ∴A1（﹣3，1）． 19．（12分）在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠ACB＝30°，将△ABC绕A按逆时针方向旋转，得到△ADE． （1）如图1，点F为BC与DE的交点，连接AF．求证：FA平分∠DFC； （2）如图2，点P为线段AB中点，点G是线段BC上的动点，在△ABC绕A按逆时针方向旋转的过程中，点G的对应点是点G1，求线段PG1长度的最大值与最小值． 【分析】（1）先判断出AM＝AN，即可得出结论； （2）①当G在BC上运动至垂足点D，△ABC绕点A旋转，使点G的对应点G1在线段AB上时，PG1最小； ②当G在BC上运动至点C，△ABC绕点A旋转，使点G的对应点G1在线段AB延长线上时，PG1最大，即可求得线段PG1长度的最大值与最小值． 【详解】（1）证明：作AM⊥BC于点M，AN⊥DE于点N，如图1， 根据旋转的性质可知：△ABC≌△ADE， ∵AM⊥BC于点M，AN⊥DE于点N， ∴AM＝AN， ∴FA平分∠DFC， （2）解：线段PG1长度的最小值45，PG1长度的最大值为5+8； 解题过程如下： ①过点A作AF⊥BC于F，如图a， ∵△ABC为钝角三角形， ∴点F在线段BC上， 在Rt△ACF中，AC＝8，∠ACB＝30°， ∴AFAC＝4， ∵AB＝10，点P为线段AB中点， ∴APAB＝5， 当G在BC上运动，AG与BC垂直，即点F与点G重合时，△ABC绕点A旋转，使点G的对应点G1在线段AB上，此时PG1最小， 最小值为：PG1＝AG1﹣AP＝AF﹣AP＝45； ②当G在BC上运动至点C，如图b， △ABC绕点A旋转，使点G的对应点G1在线段BA延长线上时，PG1最大， 最大值为：PG1＝AP+AG1＝AP+AC＝5+8． 综上所述，线段PG1长度的最小值45，PG1长度的最大值为5+8； 20．（12分）如图，三角形PQR是三角形ABC经过某种变换后得到的图形，分别观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系． （1）若三角形ABC内任意一点M的坐标为（x，y），点M经过这种变换后得到点N，根据你的发现，点N的坐标为　（﹣x，﹣y）　． （2）若三角形PQR先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形P′Q′R′，画出三角形P′Q′R′并求三角形P′AC的面积． （3）直接写出AC与y轴交点的坐标　（0，）　． 【分析】（1）依据点M与点N关于原点对称，即可得到点N的坐标； （2）依据三角形PQR先向上平移3个单位，再向右平移4个单位即可得到三角形P′Q′R′，进而得出三角形P′AC的面积． （3）先求得直线AC解析式为yx，当x＝0时，y，即AC与y轴交点的坐标为（0，）． 【详解】解：（1）如图，点M与点N关于原点对称， ∴点N的坐标为（﹣x，﹣y）， 故答案为：（﹣x，﹣y）； （2）如图，△P′Q′R′即为所求， S△P'AC3×41×21×3﹣1×1＝6﹣1﹣1.5﹣1＝2.5； （3）设直线AC解析式为y＝kx+b， 把A（4，3），C（1，2）代入，可得 ， 解得， ∴直线AC解析式为yx， 当x＝0时，y，即AC与y轴交点的坐标为（0，）． 故答案为：（0，）． / 学科网（北京）股份有限公司 $$