精品解析： 河北省沧州市青县2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

青县2024——2025学年第一学期期末教学质量检测 八年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 在下列四个图案中，不是轴对称图案的是（　　） A. B. C. D. 2. 光刻机采用类似照片冲印的技术，把掩膜版上的精细图形通过光线的曝光印制到硅片上，是制造芯片的核心装备．ArF准分子激光是光刻机常用光源之一，其波长为米，该光源波长用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 下列运算中正确是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，为了估计池塘岸边A，B的距离，小芳在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A，B间的距离不可能是（ ） A. 20米 B. 15米 C. 10米 D. 5米 5. 如图，在△ABC与△ADC中，若，则下列条件不能判定△ABC与△ADC全等的是( ) A. B. C. D. 6. 课堂上老师在黑板上布置了右框所示的题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？（ ） 用平方差公式分解下列各式： （1） （2） （3） （4） A. 第1道题 B. 第2道题 C. 第3道题 D. 第4道题 7. 如图是五边形的三个外角，若则=（ ） A B. C. D. 8. 如图，已知．按照以下步骤作图：①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于，两点，连接．②分别以点，为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接，．③连接交于点．下列结论中错误的是（　　） A B. C. D. 9. 如图，∠AOB=30°，P是∠AOB的角平分线上的一点，PM⊥OB于点M，PN//OB交OA于点N，若PM=1，则PN的长为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 3 D. 2 10. 已知，则分式的值为（ ） A. 8 B. C. D. 4 11. 为推进垃圾分类，推动绿色发展．某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用万元购买甲型机器人和用万元购买乙型机器人的台数相同，两型号机器人的单价和为万元．若设甲型机器人每台万元，根据题意，所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 12. 根据，，，的规律，则的个位数字是（ ） A. 7 B. 5 C. 3 D. 1 二、填空题（每题3分，共12分） 13. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为______． 14. 已知的展开式中不含x项，项的系数为，则的值为______． 15. 如图，等腰的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交边于点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为_________． 16. 对于正数x，规定．例如：， ，则______． 三、解答题（共72分） 17. 基本计算： （1）计算： （2）分解因式： （3）计算： （4）解方程： 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）作出关于x轴对称的图形，并写出点的坐标； （2）在x轴上作出点P，使得最短，并写出点P的坐标． 19. 在一个支架的横杆点处用一根绳悬挂一个小球，小球可以摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小球从摆到位置时，过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直，过点作于点，测得，．求的长． 20. 如图，在中，平分线相交于点O． （1）若，，求的度数； （2）若，直接写出______； （3）若，，请猜想和之间的数量关系，并说明理由． 21. 计算：，其中． 22. 对完全平方公式：适当的变形可以解决很多数学问题，例如： 若，，求的值． 解：因为， 所以，即：，又因为， 所以． 根据上面解题思路与方法解决下列问题： （1）若，．求的值； （2）填空：若．则______； （3）如图，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 23. 金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：升 油价：元升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：_____元 （1）用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 分别求出这两款车的每千米行驶费用． 若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？年费用年行驶费用年其它费用 24. 【学习新知】等边对等角是等腰三角形的性质定理，如图1，可以表述为 ∵ ∴ 【新知应用】已知：在中，，若，则______；若，则______． 【尝试探究】如图2，四边形中，，，若连接，则平分． 某数学小组成员通过观察、实验，提出以下想法：延长到点，使得，连接，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性质可以证明．请你参考他们的想法，写出完整的证明过程． 【拓展应用】借助上一问的尝试，继续探究：如图3所示，在五边形中，，，，连接，平分吗?请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 青县2024——2025学年第一学期期末教学质量检测 八年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 在下列四个图案中，不是轴对称图案的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形概念求解．此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，故不合题意； B、该图形不是轴对称图形，故合题意； C、该图形是轴对称图形，故不合题意； D、该图形轴对称图形，故不合题意； 故选：B． 2. 光刻机采用类似照片冲印的技术，把掩膜版上的精细图形通过光线的曝光印制到硅片上，是制造芯片的核心装备．ArF准分子激光是光刻机常用光源之一，其波长为米，该光源波长用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】用科学记数法表示绝对值小于1的数，将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数． 【详解】解：米用科学记数法表示为：米； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数． 3. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘除法及积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 利用同底数幂的除法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A．，原式计算错误，故该选项不符合题意； B． ，原式计算错误，故该选项不符合题意； C．，原式计算错误，故该选项不符合题意； D．，原式计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 4. 如图，为了估计池塘岸边A，B的距离，小芳在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A，B间的距离不可能是（ ） A. 20米 B. 15米 C. 10米 D. 5米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，正确理解题意是解题的关键．设A，B间的距离为x，根据三角形的三边关系，可得到x的取值范围，即可判断答案． 【详解】解：设A，B间的距离为x， 根据三角形的三边关系，得： ， ， 故A，B间的距离不可能是5米． 故选：D． 5. 如图，在△ABC与△ADC中，若，则下列条件不能判定△ABC与△ADC全等的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】A.根据“AAS”，可以推出△ABC≌△ADC，故A不符合题意； B.根据“ASA”，可以推出△ABC≌△ADC，故B不符合题意； C.根据“SSA”，不能判定三角形全等，故C符合题意； D.根据“SAS”，可以推出△ABC≌△ADC，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型． 6. 课堂上老师在黑板上布置了右框所示的题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？（ ） 用平方差公式分解下列各式： （1） （2） （3） （4） A. 第1道题 B. 第2道题 C. 第3道题 D. 第4道题 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方差公式的特点“符号相同数的平方减符号相反数的平方等于两数之和与两数之差的乘积”即可求解． 【详解】解：由题意可知：， ， 无法用平方差公式因式分解， ， 故第3道题错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了用公式法进行因式分解，熟练掌握平方差公式及完全平方式是解决此类题的关键． 7. 如图是五边形的三个外角，若则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出五边形的内角和，结合，即可求出答案. 【详解】解：根据题意，五边形的内角和为：， ∵ ， ∵， ∴； 故选：C. 【点睛】本题考查了多边形的内角和，多边形的外角，解题的关键是熟练掌握求多边形内角和的公式进行解题. 8. 如图，已知．按照以下步骤作图：①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于，两点，连接．②分别以点，为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接，．③连接交于点．下列结论中错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本作图得出是角平分线的作图，进而解答即可． 【详解】由作图步骤可得：是的角平分线， ∴∠COE=∠DOE， ∵OC=OD，OE=OE，OM=OM， ∴△COE≌△DOE， ∴∠CEO=∠DEO， ∵∠COE=∠DOE，OC=OD， ∴CM=DM，OM⊥CD， ∴S四边形OCED=S△COE+S△DOE=， 但不能得出， ∴A、B、D选项正确，不符合题意，C选项错误，符合题意， 故选C． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积等，熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)是解题的关键. 9. 如图，∠AOB=30°，P是∠AOB的角平分线上的一点，PM⊥OB于点M，PN//OB交OA于点N，若PM=1，则PN的长为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】过点P作于点D，根据角平分线的性质得到PD的长度，根据角平分线+平行必出等腰得到，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：过点P作于点D， ∵P是∠AOB的角平分线上的一点，PM⊥OB于点M， ∴，， ∵PN//OB， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，角平分线与平行线结合必出等腰三角形． 10. 已知，则分式的值为（ ） A. 8 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】把已知整理成，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵，即， ∴，即， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，在本题中能理解整体思想并且将整体代入是解题关键． 11. 为推进垃圾分类，推动绿色发展．某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用万元购买甲型机器人和用万元购买乙型机器人的台数相同，两型号机器人的单价和为万元．若设甲型机器人每台万元，根据题意，所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】甲型机器人每台万元,根据万元购买甲型机器人和用万元购买乙型机器人的台数相同,列出方程即可. 【详解】解：设甲型机器人每台万元，根据题意，可得 ， 故选：A． 【点睛】本题考查的是分式方程，解题的关键是熟练掌握分式方程. 12. 根据，，，的规律，则的个位数字是（ ） A. 7 B. 5 C. 3 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法相关的规律、数字类规律探索等知识点．由题意可发现规律，再将代入进行计算可得，然后根据的末位数字的规律，即可解答． 【详解】解：根据题意得：， 把代入得：， ∴， ∵， ∴的末位数字是按1，3，7，5为一个循环的， ∵， ∴的末位数字为1． 故选D． 二、填空题（每题3分，共12分） 13. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和公式、多边形外角和为等知识，先设这个多边形的边数为，由题意，结合多边形内角和公式及外角和为列方程求解即可得到答案，熟记多边形的内角和公式、多边形外角和为是解决问题的关键． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 多边形的内角和是外角和的2倍， ，解得， 故答案为：． 14. 已知的展开式中不含x项，项的系数为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式乘以多项式不含某一项问题，先进行多项式乘以多项式的计算，再根据展开式中不含x项，项的系数为，得到，整体代入代数式计算即可． 【详解】解： ， 由题意，得：， ∴， ∴； 故答案为：． 15. 如图，等腰的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交边于点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为_________． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短距离的计算，根据题意，连接，由三角形的面积可得，连接，当的值最小时，的周长最小，当点三点共线时，的值最小，最小值为，即，由此即可求解． 【详解】解：连接， ∵是等腰三角形，点为边的中点， ∴，， ∵底边长为，面积是， ∴， 解得，， 连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴周长为， 当的值最小时，的周长最小， 在中，， ∴当点三点共线时，的值最小，最小值为，即， ∴的周长为， 故答案为：11 ． 16. 对于正数x，规定．例如：， ，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查数字的变化规律，分式的加法，由题意求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 故选为：． 三、解答题（共72分） 17. 基本计算： （1）计算： （2）分解因式： （3）计算： （4）解方程： 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查整式的运算和分式的运算以及解分式方程，根据相关知识进行解答即可． （1）运用多项式除以单项式运算法则进行计算即可； （2）原式运用十字相乘法进行因式分解即可； （3）原式先通分，再根据同分母分式加减法法则进行计算即可； （4）分式两边同乘以，得整式方程，求出整式方程的解，进行检验，即可得出原方程的解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解：， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， ∵， ∴， 经检验是原方程的根， 所以原方程的根是． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）作出关于x轴对称的图形，并写出点的坐标； （2）在x轴上作出点P，使得最短，并写出点P的坐标． 【答案】（1）见解析， （2）图见解析， 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换，轴对称-最短路径问题，坐标与图形变化-平移，一次函数的应用，解决本题的关键是掌握旋转的性质． （1）根据，，和轴对称的性质即可作出关于x轴对称的图形，进而写出点的坐标； （2）连接交x轴于点P即可使得最短，运用待定系数法求出的解析式，进而可以写出点P的坐标． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，点P即为所求； 设直线的解析式为， 把，代入，得： ， 解得，， 所以，直线的解析式为， 令时，， 解得，， ∴点P的坐标为． 19. 在一个支架的横杆点处用一根绳悬挂一个小球，小球可以摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小球从摆到位置时，过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直，过点作于点，测得，．求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，由直角三角形的性质证出，利用证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案．证明≌是解题的关键． 【详解】解：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴的长为． 20. 如图，在中，的平分线相交于点O． （1）若，，求的度数； （2）若，直接写出______； （3）若，，请猜想和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理与角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）利用角平分线的定义求出和，再利用三角形内角和定理求解； （2）根据推出，根据角平分线定义得出，，最后利用三角形内角和定理求解； （3）当时，，同（2）可得． 【小问1详解】 解：∵的平分线相交于点O，，， ∴，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 由角平分线定义得，， ∴ ； 【小问3详解】 解：猜想：，理由如下： 同（2）可得当时，，，， ∴ ， 即． 21. 计算：，其中． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，先将所求式子的括号内进行通分运算，再把除法转换为乘法，分式的分子与分母因式分解后进行约分得最简结果，选取合适的的值代入计算即可． 【详解】解： ∵且分式有意义， ∴ ∴原式= 22. 对完全平方公式：适当的变形可以解决很多数学问题，例如： 若，，求的值． 解：因为， 所以，即：，又因为， 所以． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： （1）若，．求的值； （2）填空：若．则______； （3）如图，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】（1） （2）17 （3）图中阴影部分面积为 【解析】 【分析】（1）根据公式变形计算即可． （2）设，则，，，根据公式，变形计算即可． （3）设，则，求得后，计算三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴， 解得， 故答案为：12． 【小问2详解】 ∵， 设， 则，，， ∵， ∴， 故． 【小问3详解】 ∵，两正方形的面积和， ∴设， 则， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形计算，正方形的性质，熟练掌握公式变形是解题的关键． 23. 金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：升 油价：元升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：_____元 （1）用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 分别求出这两款车的每千米行驶费用． 若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？年费用年行驶费用年其它费用 【答案】（1）新能源车的每千米行驶费用为元， （2）①燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；②当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低 【解析】 【分析】（1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用； （2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可． 【小问1详解】 解：由表格可得， 新能源车的每千米行驶费用为：（元）， 即新能源车的每千米行驶费用为元； 【小问2详解】 解：①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ，， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； 设每年行驶里程为， 由题意得：， 解得， 答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低． 【点睛】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． 24. 【学习新知】等边对等角是等腰三角形的性质定理，如图1，可以表述为 ∵ ∴ 【新知应用】已知：在中，，若，则______；若，则______． 【尝试探究】如图2，四边形中，，，若连接，则平分． 某数学小组成员通过观察、实验，提出以下想法：延长到点，使得，连接，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性质可以证明．请你参考他们的想法，写出完整的证明过程． 【拓展应用】借助上一问的尝试，继续探究：如图3所示，在五边形中，，，，连接，平分吗?请说明理由． 【答案】新知应用：； 尝试探究：见解析 拓展应用：平分；见解析 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可； （2）延长到点，使得，连接，证明得到，，从而得出平分； （3）连接，延长到，使，连接，由，得到，，，再证明得到，从而得出平分． 【详解】新知应用： ∵， ∴， 若，则； 若，则， ∴； 故答案是； 尝试探究： 证明：如图，延长到点，使得，连接， ∵， 又∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 即平分； 拓展应用： 证明：连接，延长到，使，连接， ∵，， ∴ ∵在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即平分； 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$