江西省上犹中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

高二数学（历史方向）试题参考答案 1. 【答案】D 2.【答案】D 3.【答案】B  4. 【答案】A 解：将志愿者安排出去，不同的安排方案总数为种，甲和乙去同一路口，不同的安排方案总数为种，所以甲和乙不能去同一个路口，则不同的安排方案总数为种.故选：A. 5.【答案】A 解：对于A，，与的夹角为，选项A错误.对于B，已知以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是.，则.所以，选项B正确. 对于C，，，因为，所以，选项C正确. 对于D，在平行六面体中，根据向量加法的三角形法则，，由于，，所以，选项D正确. 6.【答案】B 解：设，由，可得， 所以， 故的最大值为点到圆上的点的最大距离， 即.故选：B. 7.【答案】C 解：设至少有一名女生为事件 ，则，则，；因为随机变量，所以，；根据正态分布的性质，，所以，；，得，可得，解得，所以； 8.【答案】C 解：依题意，抛物线的焦点，准线方程为，即直线，不妨令点在第二象限，由是等边三角形，得直线的方程为，于是点，显然点在双曲线的渐近线上，则，又，解得，，所以双曲线的方程为.故选：C 9. 【答案】AC 解：椭圆化为，于是，，所以长轴长为，A正确；由方程可知，椭圆C的两个焦点在y轴上，又，所以两个焦点的坐标分别为，，B错误;由椭圆的性质知的最大值为，C正确;根据椭圆的定义知的周长，D错误.故选：AC. 10．【答案】BCD 解：由题意，，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．显然，，，是两两互斥的事件，D正确；且，， ，A错误，，，所以，B正确；，C正确； 11.【答案】ACD  解：因为平面，平面，所以，在正方形中，有，所以两两互相垂直，所以以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，而，又，，所以，分别为，的中点，从而，对于，，故 A正确；对于，，，故 B错误；对于，易知，平面的一个法向量为，则，且，所以平面，故C正确；对于，易知，所以异面直线与夹角的余弦值为，故 D正确． 12.【答案】900 解：由题意可知，,因为成绩服从正态分布，所以，所以跳绳成绩在108~140之间的人数约为.故答案为：900. 13. 【答案】## 解：设，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系,则，.，，.设直线与CD所成角为，则.故与CD所成角的余弦值为. 14. 【答案】## 解：不妨设双曲线的一条渐近线方程为，且在第一象限内在直线下方，双曲线的一条渐近线方程为，且在第一象限内在直线上方，因为这两条渐近线关于直线对称，夹角为，直线的倾斜角为，所以渐近线的倾斜角为，渐近线的倾斜角为，所以， 故双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，故与的离心率之积为. 故答案为：. 15. 解：（1）∵圆心在直线上，∴设圆的标准方程为， ∵圆经过两点，∴，解得，， ∴圆标准方程为. （2）∵为直角三角形，,∴圆心到直线的距离. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 则圆心到直线的距离，不符合题意； 所以直线的斜率存在，设直线的方程为，即， ∵圆心到直线的距离，∴，解得， ∴直线的方程为或. 16. 解：（1）在中， 令，得，所以. （2）在中， 令，得， 所以. （3）∵的展开式的通项公式为， ∴. 17.【答案】解：由矩形，则， 由平面，则，， 以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 如图所示，由，， 则，，，，，，， ，又，平面， 平面，为平面法向量， ，， ， 又平面，所以平面， ，，，， 设面的法向量，则，取， 得，设与平面所成角为，则， 与平面所成角的正弦值为． 设面法向量为，则，取，得， 由可知面的法向量，，， 由图可得，二面角为锐二面角，二面角的余弦值为．  18. 解：（1）的所有可能取值为．，， ，，所以的分布列为 6 14 22 30 所以． （2）记“甲抽出题目分值之和为”，， 则，．当甲抽出题目分值之和为24时，乙抽出题目分值之和需为32或40，所以； 当甲抽出题目分值之和为32时，乙抽出题目分值之和需为40，所以． 故． 19.解：1）由题意，，得，故椭圆的标准方程为； （2）由（1）知：，显然直线不与轴重合，设直线为，， 联立，得，显然，所以，， 则，圆半径为1，则， 故，所以（负值舍），即满足条件的直线有2条；   （3） 设切线方程为，切线方程为，且，圆与相切，则， 化简得，同理， 所以是的两个不相等实根，则， 又在椭圆上，故，则，由存在，则时，取最小值-1. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二（历史方向）数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设，直线：，：，若，则m值为（ ） A. B. C. D. 或 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3.已知空间三点，，，在直线上有一点满足，则点的坐标为( ) A. B. C. D. 4. 2024年4月22日至23日，习近平总书记在重庆市考察调研，某街道办派甲、乙等6名志愿者到三个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口两位引导员，若甲和乙不能去同一个路口，则不同的安排方案总数为（ ） A. 72种 B. 54种 C. 36种 D. 108种 5.如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，在下列结论中错误的是（    ） A．向量与的夹角是 B． C． D． 6. 已知复数z满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7.下列说法正确的个数是（    ）． ①．从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为 ②．若随机变量，则方差 ③．若随机变量，，则 ④．已如随机变量X的分布列为，则 A. 1 B.2 C. 3 D. 4 8. 已知抛物线的焦点F是双曲线的右焦点，抛物线的准线与双曲线的渐近线交于A，B两点.若是等边三角形，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则（ ） A. 长轴长为6 B. 两个焦点的坐标分别为， C. 的最大值是5 D. 的周长为12 10．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的是（    ） A．事件与相互独立 B．； C．； D．，，是两两互斥的事件 11. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形， 平面，，，，则(     ) A. B. C. 平面 D. 异面直线与夹角的余弦值为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 某中学2400名学生参加一分钟跳绳测试.经统计，成绩近似服从正态分布，已知成绩小于76的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩在108~140之间的人数约为_______. 13. 直三棱柱中，是中点，则与CD所成角的余弦值为__________. 14. 已知双曲线的一条渐近线与双曲线 的一条渐近线关于直线对称，且这两条渐近线的夹角为30°，则双曲线与的离心率之积为______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （13分）已知圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆相交于两点，且为直角三角形，求的方程. 16.（15分） 已知. （1）求n的值； （2）求的值； （3）求的值（结果用数字表示）. 17. （15分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，是的中点，平面，且，． 求证：； 求与平面所成角的正弦值；求二面角的余弦值． 18.（17分）巴黎奥运会于2024年7月26日至8月11日举行．某体育局为普及奥运知识，组织了答题活动．设置一个抽题箱，箱中有若干装有题目小球，小球大小、颜色、质量都一样．每个小球内只有一道题目，每道题目只有一个分值，题目分值分别为2分、10分．抽取规则：每次从抽题箱抽取一个小球，对小球中题目作答后将该题目放回原球内，并把小球放回抽题箱，摇匀后，再抽取．已知2分题目小球被抽到的概率为，10分题目小球被抽到的概率为． （1）若甲抽取3次，记表示甲3次抽取题目分值之和，求的分布列和数学期望． （2）若甲、乙各抽取4次，已知甲前两次抽出题目分值之和为20，记事件“乙抽出题目分值之和大于甲抽出题目分值之和”，求． 19.(17分)如图，已知椭圆的上、下焦点分别为，，焦距为2，离心率为，称圆心在椭圆上运动，且半径为的圆是椭圆的“环绕圆”.  (1)求椭圆的标准方程； (2)记直线与椭圆的另一个交点为点，“环绕圆”的面积为，三角 形的面积为，试判断，是否存在点，使，若存在，求满足条件的直线的条数，若不存在，请说明理由； (3)若过原点可作“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆于、两点，直线，的斜率 存在，记为，，求的最小值。 学科网（北京）股份有限公司 $$